La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden

TEMA 4 La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden 4.1. Lenguajes de Primer Orden Alfabeto Los elementos comunes de los alfabetos de los lenguajes de primer orden son: 1. Las conectivas de la lógica proposicional:,,,,. 2. Las constantes lógicas:,. 3. Los símbolos de cuantificación:,. 4. Los símbolos de puntuación: (, ) y, 5. Un conjunto infinito numerable, V, de variables. (como símbolos, utilizaremos las últimas letras del alfabeto x, y, z,..., posiblemente subindizadas). A todos estos símbolos hay que añadir los elementos de la signatura del lenguaje, C,F,P, y que viene determinada por la aplicación o el dominio en el que queramos trabajar. Los tres conjuntos que describimos a continuación y el conjunto de variables V, deben ser disjuntos dos a dos, es decir, no puede haber elementos comunes entre ellos. 6. C denota al conjunto de símbolos de constante, puede ser vacío, finito o infinito numerable. Utilizaremos las primeras letras del alfabeto, a, b, c,..., con o sin subíndices. 7. F denota al conjunto de símbolos de función, puede ser vacío, finito o infinito numerable. Este conjunto tiene asociado una función r F : F N, I. T. en Informática de Sistemas. Lógica computacional 1

2 Lógica Computacional que asigna a cada símbolo de función un número llamado aridad. Utilizaremos las letras del alfabeto, f, g, h,..., con o sin subíndices. 8. P denota al conjunto de símbolos de predicado, puede ser finito o infinito numerable, pero no vacío. Este conjunto tiene asociado una función r P : P N, que asigna a cada símbolo de predicado un número llamado aridad. Utilizaremos letras mayúsculas, P, Q, R,..., con o sin subíndices. Los símbolos de predicado de aridad 1 se denominan propiedades y el resto se denominan genéricamente relaciones. Definición 4.1 Dados cuatro conjuntos C, F, P y V disjuntos do a dos y en las condiciones descritas anteriormente, el alfabeto del lenguaje de primer orden con signatura C,F,P, que denotamos L 1 (C,F,P), es: C F P V {,,,,,,,,, (, ),, } Términos En la lógica de primer orden, las afirmaciones más simples no se representan por símbolos, sino que se entra en su estructura distinguiendo de quién o quiénes queremos establecer una propiedad o relación y las propiedades y relaciones. Para representar a los individuos de ese universo de discurso, utilizamos las variables, las constantes y las funciones, pero los objetos sintácticos que van a representar a estos individuos son los términos. El conjunto de términos se define recursivamente a partir del alfabeto, pero no serán fórmulas del lenguaje. Como hemos dicho, se utilizarán en su definición y representarán a elementos concretos o arbitrarios del universo de discurso. Definición 4.2 Dada la signatura C,F,P, denotaremos por T (C,F) al conjunto de los términos, que se define recursivamente como sigue: 1. Los elementos de V y C son términos, 2. Si f es un símbolo de función de aridad n (es decir, r F (f) = n) y t 1,...,t n son términos, entonces f(t 1,...,t n ) es un término; Los términos en los que no intervienen variables se denominan términos básicos y el conjunto formado por ellos se denota T B(C,F). Gramática de L 1 (C,F,P) Ya podemos definir el conjunto de fórmulas del lenguaje de primer orden. Como vemos, en este caso, el punto de mayor complejidad es la definición de E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 3 las fórmulas atómicas, en la que intervienen los términos que hemos definido anteriormente. Definición 4.3 El conjunto de fórmulas (bien formadas) del lenguaje L 1 (C,F,P) se define recursivamente como sigue: 1. Las fórmulas atómicas o átomos son las constantes y y las cadenas de la forma P(t 1,...,t n ), en donde P es un símbolo de predicado de aridad n y t 1,...,t n son términos. 2. Si A y B son fórmulas, A, (A B), (A B), (A B) y (A B) son fórmulas. 3. Si A es un fórmula y x V, entonces xa y xa son fórmulas. El uso de paréntesis y comas en los términos y en las fórmulas atómicas no es necesario, pero los utilizamos aquí para facilitar la lectura; es frecuente, sin embargo en la literatura, que estás fórmulas se escriban simplemente como Pt 1... t n. En adelante, denotaremos por Atom(C,F,P) al conjunto de átomos básicos, es decir, aquellos en los que no aparecen variables. De la misma forma, llamaremos fórmulas básicas a aquellas en las que no intervienen variables y, por lo tanto, tampoco símbolos de cuantificación. De la construcción de las fórmulas, deducimos que solo los elementos del universo de discurso, representados por variables, son cuantificables. Además, solamente sobre ellos se puede predicar, es decir, establecer propiedades o relaciones entre ellos. Estas características justifican la denominación de nuestro lenguaje como lenguaje de Primer Orden. 4.1.1. Conceptos relacionados y propiedades La noción de subfórmula se extiende a los lenguajes de primer orden como sigue. Definición 4.4 La aplicación, Sub: L 1 (L 1 ), devuelve el conjunto de todas las subfórmulas de una fórmula: Sub(A) = {A}, Sub( A) = Sub(A) { A} si A es una fórmula atómica Sub(A B) = Sub(A) Sub(B) {A B}, {,,, } Sub(QxA) = Sub(A) {QxA}, Q {, } I. T. en Informática de Sistemas

4 Lógica Computacional Escribiremos B A si B Sub(A). Diremos que B es subfórmula estricta de A si B A y B A. La noción de variable libre en una fórmula es fundamental para trabajar en los lenguajes de primer orden. Intuitivamente, las variables libres son aquellas que pueden ser sustituidas. Definición 4.5 En las fórmulas (o subfórmulas) del tipo xa y xa, decimos que A es el radio de acción del cuantificador. Decimos que una variable x aparece ligada en la fórmula A si es la variable de un cuantificador o aparece en el radio de acción de un cuantificador con variable x. Decimos que una variable x aparece libre en A si no aparece ligada, y decimos que x es libre en A si tiene apariciones libres. Denotaremos por Libres(A) al conjunto de las variables libres de A. Una fórmula se dice cerrada si no tiene variables libres; en caso contrario, decimos que es abierta. Si las variables x 1,...,x n son libres en A, escribiremos igualmente A = A(x 1,...,x n ). Si {x 1,...,x n } = Libres(A), llamamos cierre universal de A a la fórmula x 1... x n A(x 1,...,x n ) y llamamos cierre existencial de A a la fórmula x 1... x n A(x 1,...,x n ) Las variables son símbolos que representan a elementos arbitrarios del universo de discurso. En el desarrollo de algoritmos, transformaciones,... necesitaremos particularizar las fórmulas a elementos concretos o menos arbitrarios; esto lo haremos mediante la sustitución de variables. Definición 4.6 Sean x V, s, t T y A una fórmula. 1. El término [x/t]s se construye sustituyendo simultáneamente en s todas las apariciones de la variable x por el término t. 2. La fórmula [x/t]a se construye sustituyendo simultáneamente en A todas las apariciones libres de la variable x por el término t. 3. Si t es un término básico, la fórmula [x/t]a(x) se denomina instancia básica de A(x) y se denota igualmente por A(t), es decir: A(t) = [x/t]a(x). E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 5 Es decir, para cada x V y cada t T, [x/t] denota dos aplicaciones: [x/t]: T T [x/t]: L 1 L 1 Obsérvese que el primer elemento del par [x/t] debe ser una variable y, por lo tanto, solo es posible sustituir variables dentro de las fórmulas o términos. 4.2. Teoría de modelos sobre L 1 Definición 4.7 La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden sobre la signatura C,F,P se denota por L 1 (C,F,P) y está determinada por la siguiente teoría de modelos sobre el conjunto de fórmulas cerradas del lenguaje: Valores de verdad: BOOL= {0, 1}. Valor destacado: 1 Interpretaciones: Las interpretaciones son todas las aplicaciones I : Atom(M,F,P) {0,1}, en donde M es un conjunto no vacío tal que C M y M C es finito o infinito numerable. Estas interpretaciones se extienden al conjunto de las fórmulas cerradas como sigue: 1. I( ) = 0 2. I( ) = 1 3. I( A) = 1 I(A) 4. I(A B) = mín{i(a),i(b)} 5. I(A B) = máx{i(a),i(b)} 6. I(A B) = máx{1 I(A),I(B)} 7. I(A B) = 1 I(A) I(B) 8. I( xa(x)) = mín{i(a(t)) t T B(M,F)} 9. I( xa(x)) = máx{i(a(t)) t T B(M,F)} El conjunto M se denomina dominio o universo de la interpretación. Denotaremos por I al conjunto de todas las interpretaciones. I. T. en Informática de Sistemas

6 Lógica Computacional Obsérvese que en la evaluación recursiva de una interpretación I sobre un dominio M, aparecen fórmulas del lenguaje L 1 (M,F,P), aunque solo estamos interesados en las fórmulas de L 1 (C,F,P). La condición de que M C sea a lo sumo numerable supone que no podemos trabajar con dominios con cardinal de mayor, como por ejemplo, el conjunto de los números reales. Esta restricción no es necesaria, y solo la incluimos aquí para simplificar la definición de la semántica; de hecho, trabajaremos con ejemplos cuyo dominio es infinito no numerable. Es conveniente destacar aquí que, sin embargo, esta restricción no modifica la noción de validez en la lógica de primer orden; esta propiedad queda establecida por el teorema de Lowenheim-Skolem, cuyo enunciado queda fuera de los objetivos de este curso. Hemos utilizado las definiciones funcionales de los distintos conectivos para remarcar esta propiedad de la Lógica Clásica. Para los cuantificadores, es conveniente tener en cuenta las definiciones alternativas, pero equivalentes, que nos ayudan a comprender mejor su significado. Proposición 4.8 Sea I una interpretación sobre un dominio M: I( xa(x)) = 1 si y solo si I(A(t)) = 1 para TODO t T B(M,F). I( xa(x)) = 0 I( xa(x)) = 1 si y solo si I(A(t)) = 0 para si y solo si I(A(t)) = 1 para ALGÚN t T B(M,F). ALGÚN t T B(M,F). I( xa(x)) = 0 si y solo si I(A(t)) = 0 para TODO t T B(M,F). Una vez introducida la teoría de modelos, podemos definir fácilmente los distintos conceptos asociados. Definición 4.9 Definimos el operador Mod sobre el conjunto de fórmulas cerradas del lenguaje L 1 (C,F,P) como: Mod(Ω) = {I : Atom(M,F,P) {0,1} I(A) = 1, para toda A Ω} En adelante, escribiremos Mod(A) en lugar de Mod({A}). Los elementos de Mod(Ω) de denominan modelos de Ω. Además: Decimos que una fórmula cerrada A es satisfacible si existe una interpretación I tal que I(A) = 1; es decir, si Mod(A). Si Ω es un conjunto de fórmulas cerradas, decimos que Ω es satisfacible si existe una interpretación I tal que I(A) = 1 para toda A Ω; es decir, si Mod(Ω). E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 7 Decimos que una fórmula cerrada A es válida si I(A) = 1 para toda interpretación I; es decir, si Mod(A) = I. En tal caso escribimos: = A. Si A es una fórmula cerrada y Ω es un conjunto de fórmulas cerradas, decimos A es consecuencia lógica o que se infiere semánticamente de Ω si todo modelo de Ω es modelo de A; es decir, si Mod(Ω) Mod(A). En tal caso escribimos Ω = A. Decimos que dos fórmulas cerradas A y B son equivalentes y lo denotamos A B si I(A) = I(B) para cada interpretación I; es decir, si Mod(A) = Mod(B). Ejemplo 4.2.1 Vamos a describir un modelo para la fórmula A = x y(p(x,y) P(f(x,y),a)). Para facilitar la definición de la interpretación, lo habitual es utilizar dominios cuya estructura permita identificar los símbolos de constantes, los símbolos de función y los símbolos de predicado con elementos concretos, con funciones concretas y propiedades o relaciones concretas del dominio, respectivamente. En particular, de esta forma conseguimos que todos los términos básicos se identifican igualmente con elementos del dominio. Dominio: C = {a} : a = 0 F = {f} : M = Q (Conjunto de los números racionales) f(x,y) = x y P = {P } : P(x,y) x y Con las identificaciones anteriores, conseguimos también: T B(Q, {f}) = Q. De esta forma, hemos definido una interpretación I : Atom(Q, {f}) {0,1}: I(P(q 1,q 2 )) = 1 si y solo si q 1 q 2 La interpretación I traduce la fórmula A en una propiedad sobre el dominio Q: (IA): Para todo número racional x y todo racional y, si x y, entonces x y 0. De esta forma, la interpretación I es un modelo de A si la propiedad (IA) se verifica en Q, lo cual es cierto. En la mayoría de las aplicaciones se trabaja solamente con fórmulas cerradas y por ello, hemos definido la semántica partiendo de este tipo de fórmulas. I. T. en Informática de Sistemas

8 Lógica Computacional A lo largo del curso, en los ejemplos y ejercicios, trabajaremos siempre con fórmulas cerradas, pero en algunas situaciones tendremos que recurrir a fórmulas abiertas; esto puede ser necesario en la aplicación de determinadas propiedades, como veremos más adelante, o en pasos intermedios en la aplicación de determinados resultados. Por esta razón, necesitamos establecer algunas nociones semánticas sobre fórmulas abiertas. Definición 4.10 Decimos que una fórmula (abierta) es satisfacible si su cierre existencial es satisfacible. Decimos que una fórmula (abierta) es válida si su cierre universal es válida. Dos fórmulas (abiertas) A y B son equivalentes si el cierre universal de A B es una fórmula válida. Hemos utilizado lo que se conoce como semántica de Herbrand para determinar la teoría de modelos; en este tipo de semántica, los dominios se definen como conjuntos de términos en un lenguaje extendido. La forma general de definir la teoría de modelos se conoce como Semántica de Tarski y en ella se admite cualquier posible universo; la identificación entre fórmulas y elementos del universo se establece mediante estructuras. Sin embargo, las lógicas resultantes, en cuanto a las nociones de satisfacibilidad y validez, son equivalentes. Hemos optado en este curso por la semántica de Herbrand por ser más asequible en una primera aproximación a la lógica clásica. Es inmediato deducir, a partir de la definición de semántica de la Lógica de Primer Orden, que esta es una extensión conservativa de la Lógica Proposicional, es decir, la noción de validez de las fórmulas sin cuantificadores coincide con la de la Lógica Proposicional. Teorema 4.11 Todo esquema de tautología (fórmula válida en la lógica proposicional) proporciona un esquema de fórmula válida en la lógica de primer orden. En particular, todo esquema de equivalencia en la lógica proposicional proporciona un esquema de equivalencia para la lógica de primer orden. Corolario 4.12 Sean A i, i = 1,...,n, A y B fórmulas: Ω {A} = B si y solo si Ω = A B. A 1,...,A n = A si y solo si = (A 1 A n ) A A 1,...,A n = A si y solo si A 1 A n A es insatisfacible. A es válida si y solo si A es insatisfacible E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 9 El siguiente resultado tiene un enunciado idéntico a su versión para la Lógica Proposicional, sin embargo, no puede deducirse del teorema anterior, aunque su demostración es análoga. Teorema 4.13 (de equivalencia) Si B A y B C, entonces A A[B/C]. Es conveniente destacar que, para aplicar este teorema podemos necesitar trabajar con fórmulas abiertas. Por ejemplo, para eliminar la doble negación dentro de la fórmula x P(x) tenemos que utilizar la equivalencia P(x) P(x). Terminamos esta sección con un resultado que muestra las equivalencias básicas en las que intervienen los símbolos de cuantificación. Proposición 4.14 Las siguientes equivalencias son válidas en la Lógica Clásica de de Primer Orden y se denominan equivalencias básicas xa(x) x A(x) xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) xa(x) x A(x) xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) Si la variable x no aparece libre en C: C xa(x) x(c A(x)) C xa(x) x(c A(x)) C xa(x) x(c A(x)) C xa(x) x(c A(x)) C xa(x) x(c A(x)) C xa(x) x(c A(x)) xa(x) C x(a(x) C) xa(x) C x(a(x) C) Vamos a demostrar dos de estas equivalencias como ejemplos de como trabajar con la semántica de primer orden de forma teórica. Consideremos una interpretación con dominio M, I : Atom(M,F,P) {0,1}: I( xa(x)) =1 I( xa(x)) =1 máx{i(a(t));t T B(M,F)} =1 + mín{ I(A(t));t T B(M,F)} = mín{1 I(A(t));t T B(M,F)} = mín{i( A(t));t T B(M,F)} =I( x A(x) Por lo tanto, efectivamente xa(x) x A(x). Para el siguiente ejemplo, vamos a utilizar la siguiente versión de la definición de una interpretación sobre una implicación: I(A B) = I( (A B)) = 1 I(A B) = 1 I(A)I( B) I. T. en Informática de Sistemas

10 Lógica Computacional Supongamos que x no es libre en la fórmula C; entonces: I( x(a(x) C)) = mín{i(a(t) C);t T B(M,F)} (Aquí hemos usado que x no es libre en C y, por lo tanto, la sustitución de x por t no modifica el consecuente de la implicación) = mín{1 I(A(t)I( C);t T B(M,F)} =1 máx{i(a(t)i( C);t T B(M,F)} =1 (máx{i(a(t);t T B(M,F)})I( C) (Este paso se justifica fácilmente distinguiendo los caso I( C) = 1 e I( C) = 0) =1 I( xa(x))i( C) =I( xa(x) C) 4.2.1. Lenguaje y formalización Esta sección será desarrollada en clase a partir de ejemplos de dificultad creciente, así como a través de los distintos ejercicios del tema. Tal y como hemos ido mostrando a lo largo de la asignatura, el objetivo de la lógica es representar formalmente determinados segmentos del razonamiento humano. El proceso por el que convertimos razonamientos expresados en lenguaje natural a razonamientos formales se denomina formalización. Para hacer esto, debemos elegir, en primer lugar, el lenguaje de primer orden que recoja todos los aspectos que influyan en la corrección razonamiento. En cualquier caso, no debemos olvidar que un razonamiento puede ser formalizado correctamente de varias formas. Para evitar una formalización excesivamente compleja, procuraremos distinguir en el razonamiento solo aquellos predicados, constantes y funciones que realmente influyen en la corrección formal del mismo. 4.3. Semidecibilidad de la Lógica de Primer Orden Como hemos visto en los temas anteriores, la Lógica Clásica Proposicional es decidible, es decir, disponemos de algoritmos que determinan, tras una secuencia finita de pasos, si una fórmula es válida o no es válida. La posibilidad de encontrar este algoritmo radica en que el conjunto de las variables proposicionales (fórmulas atómicas) que intervienen en una fórmula es siempre finito. Sin embargo, cuando trabajamos con fórmulas de primer orden, el conjunto E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 11 de fórmulas atómicas a las que debemos asignar valores es tan grande como el dominio M que elijamos, y dado que este conjunto es arbitrario, debemos de considerar la posibilidad de que sea infinito. Esto nos lleva, intuitivamente, a deducir que la Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden no es decidible. Sin embargo, sí disponemos de una propiedad más débil, la semidecidibilidad. Teorema 4.15 (de Church) La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden no es decidible pero sí es semidecidible, es decir, existen algoritmos tales que: dada una fórmula A, si esta fórmula es válida, el algoritmo determina su validez tras una secuencia finita de pasos; si la fórmula no es válida, el algoritmo puede finalizar con esta conclusión tras una secuencia finita de pasos o no terminar. Como vemos en el enunciado, la limitación radica en que no tenemos asegurada la finalización del algoritmo si su entrada es una fórmula que no es válida; a estos procedimientos también se conocen como semi-algoritmos. En la práctica, esto supone que en muchos casos no sabremos distinguir entre fórmulas no-validas que provocan una ejecución indefinida del algoritmo de fórmula válidas que requieren mucho tiempo de ejecución. Los tres métodos de demostración que estudiamos en esta asignatura, Tablas Semanticas, Método de Gilmore y Resolución, son por lo tanto, semialgoritmos. El uso de este tipo de procedimientos suele ir acompañado de análisis sintácticos que determinan si la fórmula de entrada está en una clase de fórmulas decidibles; estas clases son conjuntos de fórmulas descritos formalmente y para las cuales se puede afirmar que los semi-algoritmos de decidibilidad sí terminan con cualquiera de los dos posibles resultados. Aunque el estudio de este tipo de clases queda fuera de los objetivos del curso, sí veremos algunas condiciones mínimas que garantizan la terminación de los algoritmos. 4.4. Tablas semánticas Igual que en el caso proposicional, los métodos de demostración son realmente algoritmos de satisfacibilidad con los que buscamos determinar un modelo de la fórmula o fórmulas de entrada. Si estamos interesados en estudiar la validez de una fórmula o de un razonamiento, aplicaremos en primer lugar el principio de refutación. En una lógica de primer orden, la busqueda de un modelo supone: Determinar una dominio M: este dominio contendrá, al menos, las cons- I. T. en Informática de Sistemas

12 Lógica Computacional tantes que aparecen en el conjunto inicial, pero puede contener más elementos. A cada átomo básico construido sobre el dominio M le tenemos que asignar un valor de verdad, I(A) {0,1}. Como en el caso proposicional, en la mayoría de los problemas determinaremos una interpretación parcial, es decir, bastará con asignar valores de verdad a algunos átomos básicos. Para acercarnos intuitivamente al algoritmo de las tablas semánticas en primer orden, veamos el siguiente ejemplo resuelto a nivel semántico. Ejemplo 4.4.1 Vamos a buscar un modelo de la fórmula (( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x))) I(( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x))) = 0 (1) I( xp(x) xq(x)) = 1 (4) I( x(p(x) Q(x))) = 0 (2) : a I(P(a) Q(a)) = 0 (3) I(P(a)) = 0 I(Q(a)) = 0 I( xp(x)) = 1 (5) : a I( xq(x)) = 1 (6) : a I(P(a)) = 1 I(Q(a)) = 1 (Absurdo) (Absurdo) En este caso, concluimos que es imposible encontrar ningún modelo. En la línea que hemos utilizado en segundo lugar y que aparece marcada con (2):a, hemos utilizado el siguiente hecho: para conseguir que I( x(p(x) Q(x))) = 0, necesitamos que haya un elemento en el dominio, al que llamamos a, que verifique I(P(a) Q(a)) = 0. Como el caso proposicional, la busqueda del modelo se hace transmitiendo la evaluación a las subfórmulas, pero en este caso, además, necesitamos determinar el valor de estas subfórmulas para elementos concretos del dominio. En la línea I( xp(x)) = 1, usada en quinto lugar y etiquetada con (5):a, necesitamos decir que todos los átomos P(t) son verdaderos en la interpretación que estamos construyendo. Dado que no podemos hacer esto, ya que ni siquiera sabemos cual puede ser finalmente el dominio, lo que hemos hecho ha sido hacerlo parcialmente, es decir, utilizamos los elementos del dominio que hemos introducido hasta ese momento. A E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 13 diferencia del caso proposicional, en que cada fórmula era usada solo una vez, este tipo de formulas de primer orden deberán ser usadas para cada elemento nuevo que añadamos. Igual que hicimos en el caso proposional, en el algoritmo vamos a construir árboles de tal forma que las fórmulas de cada rama se supondrán verdaderas en la interpretación correspondiente. Así evitamos escribir explicitamente la interpretación I. Clasificación de las fórmulas A las fórmulas de tipo α, de comportamiento conjuntivo, y de tipo β, de comportamiento disyuntivo, añadimos las fórmulas de tipo δ o de comportamiento existencial y las de tipo γ o de comportamiento universal. α α 1 α 2 α α 1 α 2 A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A A A β β 1 β 2 β β 1 β 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 δ δ(d) xa(x) A(d) xa(x) A(d) d M γ γ(t) xa(x) A(t) xa(x) A(t) t T B(M,F) Según se muestra en la tabla, y detallaremos posteriormente, la expansión de las fórmulas δ se hará considerando un elemento del dominio, mientras que la expansión de las fórmulas γ se hará con cualquier termino construido a partir del dominio. Además, dado que las fórmulas existenciales describen un elemento del dominio con unas propiedades determinadas, supondremos que el elemento usado para su expansión es completamente nuevo, es decir, no está entre las constantes iniciales y no ha sido utilizado en la expansión de otra fórmula existencial. Aunque estas restricciones no son estrictamente necesarias, su consideración simplifica enormemente la descripción del algoritmo sin aumentar drásticamente su complejidad. I. T. en Informática de Sistemas

14 Lógica Computacional Definición 4.16 Consideremos un conjunto Ω = {B 1,...,B m } de fórmulas cerradas. Definimos las tablas semánticas para Ω de forma recursiva como sigue: El árbol cuya única rama es B 1 B 2. B m es una tabla semántica, denominada tabla inicial para Ω. Si T es una tabla semántica para Ω y T se obtiene a partir de T aplicando una regla de extensión α, β, δ o γ, entonces T es una tabla semantica. Las reglas de extensión α y β se definen como en el caso proposicional; las reglas γ y δ se definen como sigue: Extension δ: Si una fórmula de tipo δ aparece en la tabla, entonces cada rama que contiene a δ es extendida con un nodo etiquetado con δ(d), en donde d es un parámetro (elemento de M) que no aparece aún en dichas ramas. δ X 1. X n δ(a) Extension γ: Si una fórmula de tipo γ aparece en la tabla y t T B(M,F), en donde M es el conjunto de los parámetros que aparecen en las ramas que contienen a γ, entonces cada rama que contiene a γ y a los parámetros que aparecen en t, es extendida con un nodo etiquetado con γ(t). γ X 1. X n γ(t) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 15 Para entender el funcionamiento del algoritmo, basta recordar que cada rama describe un posible modelo del conjunto inicial de fórmulas. En tal caso, el conjunto de parámetros que aparecen en la rama determinan el dominio de dicha interpretación. Tal y como hemos observado antes, en la extensiones δ, introducimos parámetros nuevos, es decir, elementos nuevos del dominio que estamos construyendo. Sin embargo, en las extensiones γ debemos utilizar los parámetros que ya hemos introducido, los que introduciremos posteriormente y los términos que se pueden construir a partir de todos ellos; dado que los dominios de cada rama corresponden a interpretaciones diferentes, no tenemos que utilizar en una rama parámetros que no aparezcan en ella, aunque aparezcan en otra parte del árbol. Definición 4.17 Una rama en una tabla T se dice (atómicamente) cerrada si en ella aparece un literal básico y su opuesto; se marcan con el símbolo debajo de su hoja. Una rama en una tabla T abierta si no es cerrada. Una tabla se dice cerrada si todas sus ramas son cerradas. Las fórmulas α, β o δ solo serán extendidas una vez; serán marcadas con el símbolo para recordar que ya han sido usadas. Atendiendo a las observaciones que hemos hecho hasta ahora, es fácil entender que no podemos marcar las fórmulas γ, ya que pueden ser utilizadas varias veces, tantas como términos se puedan construir a partir de los parámetros de las ramas que la contienen. Por esa misma razón, tampoco podemos definir la noción de rama completa igual que hicimos en el caso proposicional; posteriormente, definiremos las ramas completas de forma más restrictiva. Teorema 4.18 (de corrección y completitud) El conjunto de fórmulas {B 1,...,B m } es insatisfacible si y solo si existe una tabla cerrada para {B 1,...,B m }. La versión del teorema anterior en términos de satisfacibilidad se enuncia como sigue. Proposición 4.19 Si Φ es el conjunto de fórmulas no marcadas en una rama abierta de una tabla para {B 1,...,B m }, entonces cualquier modelo de Φ es modelo {B 1,...,B m }. En adelante, diremos que una rama es satisfacible si el conjunto de sus fórmulas no marcadas es satisfacible. La aplicación del resultado anterior está limitada I. T. en Informática de Sistemas

16 Lógica Computacional por el hecho de que una rama satisfacible puede contener fórmulas γ y, por lo tanto, el estudio de su satisfacibilidad puede ser tan complejo como el problema inicial. Dado que la Lógica de Primer Orden no es decidible, podemos estar seguros de que es imposible caracterizar sintácticamente las ramas satisfacibles que podemos encontrar en una tabla y, por lo tanto, tendremos que conformarnos con caracterizar algunos casos particulares. Proposición 4.20 Si en una rama de una tabla no aparecen símbolos de función, todas las fórmulas α, β y δ están marcadas y las fórmulas γ se han extendido utilizando todos las constantes o parámetros que aparecen en la rama, entonces la rama es satisfacible. Las ramas descritas en este enunciado se denominan ramas completas. Sin embargo, podemos encontrarnos tablas con ramas satisfacibles que no son completas en el sentido del resultado anterior. El teorema de corrección y completitud enunciado para validez de inferencias a través del principio de refutación queda como sigue. Corolario 4.21 La inferencia A 1,...,A n = A es válida si y solo si existe una tabla cerrada para {A 1,...,A n, A}. Si Φ es el conjunto de fórmulas no marcadas en una rama abierta de un tabla para {A 1,...,A n, A}, entonces cualquier modelo de Φ es un contramodelo de A 1,...,A n = A. 4.4.1. El algoritmo En la figura 4.1 aparece el diagrama de flujo del algoritmo de las tablas semánticas. Debemos tener en cuenta las siguientes observaciones. 1. No se puede realizar ningún proceso de normalización previo al algoritmo; las fórmulas deben incluirse tal y como aparecen en el problema inicial. Naturalmente, esto no es una limitación del algoritmo, pero uno de los objetivos del curso es entender las características de cada método y algoritmo y el poder trabajar con todo tipo de fórmulas es una característica de las tablas semánticas que debemos explotar. 2. Tal y como se refleja en el diagrama, el orden de prioridad de las extensiones es α, δ y β. Este orden está determinado por cuestiones de eficiencia; dejamos para el final la extensión β, responsable de la generación de nuevas ramas. 3. Las extensiones γ se hacen cuando no haya fórmulas α, δ o β sin marcar: se elige una fórmula γ, un término generado a partir de las constantes E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 17 Figura 4.1: Diagrama de flujo del algoritmo de las tablas semánticas. de una rama y se expanden todas las ramas que contengan a la fórmula y a las constantes. 4. El orden de expansión de las fórmulas y de los términos usados en las extensiones γ no condiciona la corrección del método, pero sí el tamaño de la tabla construida. En las implementaciones del algoritmo es necesario establecer un orden, pero en la aplicación manual podremos elegir libremente las fórmulas y términos, aunque respetando siempre los criterios de prioridad. I. T. en Informática de Sistemas

18 Lógica Computacional 4.4.2. Ejemplos Ejemplo 4.4.2 La siguiente tabla demuestra la validez de la fórmulas A = ( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x)) (( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x))) (1) xp(x) xq(x) (4) x(p(x) Q(x)) (2):a (P(a) Q(a)) (3) P(a) Q(a) xp(x) (5):a P(a) xq(x) (6):a Q(a) Para facilitar traza de la aplicación del algoritmo, hemos seguido el siguiente convenio en las indicaciones sobre las marcas de las fórmulas: el número indica el orden en que la fórmula ha sido expandida; en las fórmulas δ, hemos indicado además el parámetro introducido para su expansión; las fórmulas γ no son marcadas, pero hemos indicado el parámetro usado en cada una de sus extensiones. Ejemplo 4.4.3 La fórmula A = ( x(p(x) Q(x)) ( xp(x) xq(x)) no es válida y podemos construir una tabla con una rama abierta y completa para encontrar un contramodelo. E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 19 ( x(p(x) Q(x)) ( xp(x) xq(x))) (1) x(p(x) Q(x)) (5):a (7):b ( xp(x) xq(x)) (2) xp(x) (3):a xq(x) (4):b P(a) Q(b) P(a) Q(a) (6) P(a) Q(a) P(b) Q(b) (8) P(b) Q(b) La fórmula de tipo γ, x(p(x) Q(x)) ha sido usada dos veces: en quinto lugar se ha usado sustituyendo la variable x por el parámetro a y en septimo lugar sustituyéndola por b. La única rama abierta permite construir el siguiente contramodelo: M = {a,b}, I(P(a)) = 0, I(P(b)) = 1, I(Q(a)) = 1, I(Q(b)) = 1 Ejemplo 4.4.4 La fórmula x yp(x,y) y xp(x,y), tampoco es válida, aunque no podemos encontrar una tabla con una rama completa que lo pruebe. ( x yp(x,y) y xp(x,y)) (1) x yp(x,y) (2):a y xp(x, y) (4):b yp(a, y) (3):b P(a,b) xp(x, b) (5):c P(c,b) Es fácil intuir que la tabla se puede extender indifinidamente y que nunca podremos completar una rama. Sin embargo, la fórmula sí admite un contra- I. T. en Informática de Sistemas

20 Lógica Computacional modelo finito: M = {a,b} y tomando la relación I(P) como I(P) a b a 0 1 b 1 0 Ejemplo 4.4.5 El recíproco de la fórmula del ejemplo anterior sí es una fórmula válida y xp(x,y) x yp(x,y) ( y xp(x,y) x yp(x,y)) (1) y xp(x, y) (2):a x yp(x, y) (3):b xp(x,a) (4):b yp(b,y) (5):a P(b,a) P(b,a) Ejemplo 4.4.6 La fórmula x(p(x) xp(x)) es válida x(p(x) xp(x)) (1):a (4):b (P(a) xp(x)) (2) P(a) xp(x) (3):b P(b) (P(b) xp(x)) (5) P(b) xp(x) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 21 Ejemplo 4.4.7 Si x no es libre en C, entonces la siguiente fórmula es válida: ( xp(x) C) x(p(x) C) (( xp(x) C) x(p(x) C)) (1) xp(x) C (2) x(p(x) C) (4):a xp(x) (3):a C P(a) (P(a) C) (6) (P(a) C) (5) P(a) P(a) C C En este ejemplo, hemos usado el método de las tablas como una herramienta teórica. Dado que C es una fórmula, la rama de la derecha no está atómicamente cerrada, aunque si podemos cerrarla al contener dos fórmulas opuestas, C y C. Ejemplo 4.4.8 La fórmula x(p(x) C) ( xp(x) C) es válida: ( x(p(x) C) ( xp(x) C)) (1) x(p(x) C) (3):a ( xp(x) C) (2) xp(x) (5):a C P(a) C (4) P(a) P(a) C I. T. en Informática de Sistemas

22 Lógica Computacional Ejemplo 4.4.9 La siguiente fórmula es válida ( xp(x) xq(x)) x y(p(x) Q(y)) : (( xp(x) xq(x)) x y(p(x) Q(y))) (1) xp(x) xq(x) (5) x y(p(x) Q(y)) (2):a y(p(a) Q(x)) (3):b (P(a) Q(b)) (4) P(a) Q(b) xp(x) (6):a P(a) xq(x) (7):b Q(b) Ejemplo 4.4.10 La siguiente fórmula es válida x y(p(x) Q(y)) ( xp(x) xq(x)) : ( x y(p(x) Q(y)) ( xp(x) xq(x))) (1) x y(p(x) Q(y)) (5):a ( xp(x) xq(x)) (2) xp(x) (3):a xq(x) (4):b P(a) Q(b) y(p(a) Q(x)) (6):b P(a) P(a) Q(b) (7) Q(b) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 23 E.T.S.I. Informática Lógica Computacional: Relación 4 1. Diga cuáles de las siguientes cadenas de símbolos son fórmulas de un lenguaje de primer orden. Para aquellas que sean fórmulas, construya su árbol de formación. x(p(x) Q(x,y)), xp(x) Q(x,y), xp(y), x(p(f(x)) f(p(x))), P(P(x,y) P(y,x)) 2. Defina recursivamente la función grado sobre un lenguaje de primer orden. Debe tenerse en cuenta que cada par x y x se considera como un conectivo único. 3. Halle las variables libres de cada una de las siguientes fórmulas: a) xp(x,y) P(x,a) b) x(p(x,y) P(x,a)) c) x( yp(x,g(a,y)) zp(y,z)) 4. Evalúe las siguientes sustituciones a) [x/f(y)]( xp(x) Q(x)); b) [y/f(y)]( x( P(y) yq(x,y))) 5. La composición de sustituciones no es conmutativa; evalúe las siguientes sustituciones y concluya esta afirmación: [x/g(y)] [y/g(x)]a(x, y), [y/g(x)] [x/g(y)]a(x, y) 6. Defina recursivamente las aplicaciones: [x/t]: T T y [x/t]: L 1 L 1. 7. Consideramos la siguiente interpretación sobre M = N: a = 0, f(n,m) = n + m, g(n, m) = n m e I(P) es la relación de igualdad. Interprete las siguientes fórmulas con I y determine si es un modelo para ellas: a) xp(g(x,a),x) b) x y(p(f(x,a),y) P(f(y,a),x)) c) x y zp(f(x,y),z) d) xp(f(x,x),g(x,x)) 8. Describa, si es posible, un modelo para las siguientes fórmulas a) x(p(x) P(f(x))) b) x(q(x,y) Q(y,x)) 9. Utilice la semántica de la lógica de primer orden para demostrar las siguientes propiedades. a) xa(x) ya(y) y xa(x) ya(y). b) Si z no aparece libre en A, entonces za A y za A. I. T. en Informática de Sistemas

24 Lógica Computacional 10. Utilice la semántica de la lógica de primer orden para demostrar la validez de la siguiente equivalencia e inferencia. a) x y(p(x) Q(y)) xp(x) xq(y)) b) x(p(x) Q(x)), xp(x) = xq(x) 11. Formalice en L 1 los siguientes razonamientos: a) Todo estudiante es inquieto. Luis es un estudiate. Por tanto, Luis es inquieto. b) El sucesor de todo número natural par es impar. 6 es un natural par. Por tanto, el sucesor de 6 es impar. c) Hay quien, aún siendo coherente, solo se preocupa de sus propios problemas. Todo el mundo se preocupa por las cuestiones del medio ambiente, a menos que sea un irresponsable. Por tanto, hay quien es coherente y toma como propio el problema del Medio Ambiente. d) No es cierto que cualquier filósofo sea sea más sabio que cualquier químico. Los filósofos son más sabios que los aficionados a los crucigramas. Por tanto, si ningún químico es filósofo hay quien no es filósofo ni aficionado a los crucigramas. e) Todas las enfermedades infecciosas son controlables. Quien padece una enfermedad controlable, o no se preocupa por la enfermedad o se automedica. Luis es un deportista que nunca se automedica, pero que padece una enfermedad infecciosa. Por tanto, hay deportistas que no se preocupan por la enfermedad que padecen. f ) El padre de Juan es poeta y autor de libros de poesía. Hay poetas que no publican libro alguno. Quien tiene un padre poeta, solo compra libros de poesía si su padre ha publicado agún libro. Por lo tanto, Juan compra libros de poesía. 12. Estudie la validez de la siguiente fórmula usando Tablas semánticas: x(q(x) y(p(y) R(x,y))) x(p(x) y(q(y) R(y,x))) 13. Estudie la validez de la siguientes inferencias utilizando Tablas semánticas: x( y(s(x,y) M(y)) y(i(y) E(x,y))) a) xi(x) x y(s(x,y) M(y)) x(g(x) M(x)) b) x(m(x) F(x)) x( G(x) F(x)) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 25 14. Aplique el método de las tablas semánticas para analizar la validez del razonamiento siguiente: El padre del padre de una persona es su abuelo, toda persona tiene un padre; por lo tanto todo el mundo tiene un abuelo. I. T. en Informática de Sistemas

26 Lógica Computacional E.T.S.I. Informática Lógica Computacional: Ejercicios propuestos 4 1. Diga si las siguientes afirmaciones son ciertas o no razonando la respuesta a) La fórmula xq(z) es una fórmula bien formada b) Las fórmulas abiertas no son fórmulas bien formadas. c) Una variable puede aparecer libre y ligada en una fórmula d) [f(x)/g(y)]p(f(x),y) = P(g(y),y) e) [y/g(y)]p(y,y) = P(g(y),g(y)) 2. Dé una definición recursiva de las siguientes funciones definidas sobre un lenguaje primer orden. a) Función variables libres, que da el conjunto de variables libres de cada fórmula A. b) Función variables ligadas, que da el conjunto de variables ligadas de cada fórmula A. 3. Utilice inducción completa sobre el grado de A para demostrar la siguiente propiedad: Si a es una constante que no aparece en A, entonces x es libre en A si y solo si [x/a]a A. 4. La composición de sustituciones no es conmutativa, y por eso una composición como [y/s] [x/t] se evalua sobre una fórmula sustituyendo secuencialmente las variables: en primer lugar sustituimos la variable x y posteriormente la variable y. Definimos la sustitución simúltánea de las variables x 1,...,x n por los términos t 1,...,t n respectivamente y se denota como {x 1 /t 1,...,x n /t n } como la aplicación que, sobre una fórmula A sustituye simultáneamente todas las apariciones libres de las variables x 1,...,x n por los términos t 1,...,t n respectivamente. Evalúe la sustitución {x/g(y),y/g(x)}a(x,y) y deduzca que {x/g(y),y/g(x)} [x/g(y)] [y/g(x)] {x/g(y),y/g(x)} [y/g(x)] [x/g(y)] 5. Decimos que la variable x es sustituible por el término t en la fórmula A si x no aparece libre en el radio de acción de un cuantificador con variables de t. Si x es sustituible por t en A(x), entonces la fórmula [x/t]a(x) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 27 se denota igualmente por A(t) y se denomina instancia de A(x).En particular, todas las variables son sustituibles por términos básicos; las correspondientes instancias, se denominan instancias básicas. Determine para cada una de las fórmulas siguientes si la variable x es sustituible por el término f(x,z) a) y(p(x,y) P(y,a)) b) Q(z) x yr(x,y,a) c) xq(x) yp(x,y) d) y(p(f(x,y),x) E(z,q(x,y))) e) y(p(x,y) xp(x,y)) f ) z(p(x,z) xp(x,y)) g) xp(y,g(x)) yp(g(x),y) h) xp(y,g(x)) zp(g(x),z) 6. Considaremos la fórmula A = x y((p(y,x) (P(x,a) E(x,a))) (P(a,f(x,y)) E(a,f(x,y))) y la interpretación I sobre el dominio M = Z definida por a = 0, f(n,m) = n m, I(P) = {(n,m) n < m}, Determine si I es un modelo de A. I(E) = {(n,m) n = m}. 7. Consideremos la siguiente interpretación en M = Z: a = 0, f(x,y) = x y y la relación I(P) es <, es decir, I(P)(x,y) = 1 si y solo si x < y. Determine si I es un modelo de las siguientes fórmulas: a) xp(f(a,x),a) b) x y z(p(x,y) P(f(x,z),f(y,z))) c) x y P(f(x,y),x)) d) x yp(x,f(f(x,y),y)) 8. Demuestre que si c es una constante que no aparece en A(x), entonces xa(x) es válida si y solo si A(c) es válida. 9. Sea A(x) una fórmula en la que x es sustituible por el término t (ver el ejercicio 5 de esta relación). Utilice la semántica de la lógica de primer orden para demostrar que las siguientes fórmulas son lógicamente válidas: A(t) xa(x) xa(x) A(t) Dé ejemplos que justifiquen la necesidad de que x sea sustituible por t. I. T. en Informática de Sistemas

28 Lógica Computacional 10. Utilice la semántica de la lógica de primer orden para demostrar las equivalencias básicas. 11. Formalice en la lógica de predicados de primer orden los siguientes razonamientos: a) Todos los alumnos de esta clase tienen más de 18 años. b) Todo el que plagia el trabajo ajeno es un inepto. Es sabido que los expertos en Programación no son ineptos y que algunos expertos en Programación dominan las técnicas de la Programación paralela. Por tanto, algunos de los que dominan las técnicas de la Programación paralela, no plagian el trabajo ajeno. c) Todo estudiante que deja la adquisición de conocimientos sobre una materia para la semana antes del examen, tiene una disculpa interesante. Hay estudiantes aburridos interesantes. Así pues, de lo dicho se concluye que no hay quien, preocupándose de adquirir conocimientos sobre una materia durante todo el curso, sea aburrido. 12. Pruebe la validez de las equivalencias básicas de la lógica de primer orden utilizando Tablas semánticas. 13. Estudie la validez de las siguientes fórmulas usando Tablas semánticas: x y z( (F(z) G(z)) (G(y) F(x)) ( xf(x) xg(x)) x(f(x) G(x)) ( xf(x) x F(x)) x y(f(x) F(y)) x(p(x) y(q(y) R(y,x))) x(q(x) y(p(y) R(x,y))) 14. Estudie la validez de la siguientes inferencias utilizando Tablas semánticas: x(c(x) (W(x) R(x))) a) x(c(x) O(x)) x(o(x) R(x)) y(s(y) C(y)) b) x( y(s(y) V (x,y)) z(c(z) V (x,z))) x(f(x) y(g(y) H(x))) c) xf(x) x (F(x) G(x)) x(f(x) H(x)) E.T.S.I.Informática

Tema 4: La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden. 29 x(g(x) yh(y)) d) xg(x) x H(x) x(f(x) G(x)) e) x(f(x) G(x)) xf(x) x(h(x) A(x)) f ) x( y(h(y) T(x,y)) y(a(y) T(x,y))) x(f(x) G(x)) g) x(f(x) H(x)) x(j(x) (K(x) F(x))) x(h(x) G(x)) x(k(x) H(x)) x(j(x) K(x)) F(a) h) x(f(x) G(x)) x((f(x) G(x)) ( F(x) G(a))) x yp(x,y) i) x P(x,x) x y z ((P(x,y) P(y,z)) P(x,z)) x yp(x,y) j) x y(p(x,y) Q(x,y)) x yq(x, y) 15. Aplique el método de las tablas semánticas para analizar la validez o no de los siguientes razonamientos: a) Ningún vendedor de coches usados compra un coche usado para uso familiar. Algunos de los que compran un coche usado para uso familiar son deshonestos. Por lo tanto, algunas personas deshonestas no son vendedores de coches usados b) Todo estudiante es honesto, Juan no es honesto; por lo tanto Juan no es estudiante. c) Todo atleta es fuerte; todo el que es fuerte e inteligente triunfará en su carrera. Pedro es un atleta, Pedro es inteligente; por lo tanto Pedro triunfará en su carrera. d) Todo aquel que ama a alguien ama a Dios, no hay nadie que no ame a nadie; por lo tanto todo el mundo ama a Dios. I. T. en Informática de Sistemas