ESTRATEGIA EVALUATIVA: Taller de profundización DOCENTE: Lic. Leydi Patricia Sinisterra Santana ASIGNATURA: Aritmética GRADO: Sexto Año lectivo 2016-2017 (II PERIODO) Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Ejercicios resueltos 1) Halla el máximo común divisor de los siguientes grupos de números: a) 24 y 30 b) 266 y 123 c) 65, 30 y 45 d) 52, 80, 10 y 65 2) Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a) 38 y 8 b) 13 y 30 c) 86, 64 y 20 d) 75, 45, 20 y 25 3) Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, cuándo volverán a estar los tres juntos? 4) En el almacén tenemos 100 cartones de zumo, 60 piezas de fruta y 40 bocadillos. Queremos guardarlos en cajas que tengan el mismo número de objetos. Cuántos artículos habrá en cada caja? Cuántas cajas harán falta? 5) Escribe tres números que sean primos entre sí y calcula su MCD y mcm. Qué conclusión sacas? Luego escribe tres múltiplos de 6, y luego calcula el MCD y mcm de todos ellos. Qué conclusión sacas? 6) Una habitación tiene 230cm de largo por 120cm de largo. Queremos cubrir el suelo con baldosas cuadradas. Cuánto tienen que medir estas baldosas? Cuántas baldosas harán falta? Soluciones 1) Halla el máximo común divisor de los siguientes grupos de números: a) 24 y 30 24 = 23 3 1 30 = 2 3 5 1 MCD = 2 3 1 = 6
b) 266 y 123 266 = 2 133 1 123 = 3 41 1 MCD = 1 c) 65, 30 y 45 65 = 5 13 1 30 = 2 3 5 1 45 = 5 32 1 MCD = 5 1 = 5 d) 52, 80, 10 y 65 52 = 22 13 1 80 = 24 5 1 10 = 2 5 1 65 = 5 13 1 MCD = 1 2) Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a) 38 y 8 38 = 2 19 1 8 = 23 1 mcm = 23 19 1 = 152 b) 13 y 30 13 = 13 1 30 = 2 3 5 1 mcm = 13 2 3 5 1 = 390 c) 86, 64 y 20 86 = 2 43 1 64 = 26 1 20 = 22 5 1 mcm = 26 43 5 1 = 13760 d) 75, 45, 20 y 25 75 = 3 52 1 45 = 32 5 1 20 = 22 5 1 25 = 52 1 mcm = 32 22 52 1 = 900 3) Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, cuándo volverán a estar los tres juntos? Se trata de calcular el mínimo común múltiplo de los tres números: 6 = 2 3 1 8 = 23 1 10 = 2 5 1 mcm = 23 3 5 1 = 120
Por lo tanto, los tres autobuses vuelven a coincidir 120 minutos (2 horas) después, es decir, a las 9:00. 4) En el almacén tenemos 100 cartones de zumo, 60 piezas de fruta y 40 bocadillos. Queremos guardarlos en cajas que tengan el mismo número de objetos. Cuántos artículos habrá en cada caja? Cuántas cajas harán falta? Ahora tenemos que calcular el máximo común denominador: 100 = 22 52 1 60 = 22 3 5 1 40 = 23 5 1 MCD = 22 5 1 = 20 Habrá 20 artículos en cada caja. Cuántas cajas harán falta? De zumo 100/20 = 5 cajas De fruta 60/20 = 3 cajas De bocadillos 40/20 = 3 cajas Total 10 cajas 5) Escribe tres números que sean primos entre sí y calcula su MCD y mcm. Qué conclusión sacas? Luego escribe tres múltiplos de 6, y luego calcula el MCD y mcm de todos ellos. Qué conclusión sacas? Los números primos entre sí son aquellos que no tienen ningún divisor en común salvo la unidad. Por ejemplo, los apartados b y d del primer ejercicio. Tres números primos entre sí posibles son 5, 11 y 9. Sea cual sea los que escojas, verás que el MCD siempre te sale igual a 1. Tres múltiplos posibles de 6 son 12, 24 y 60. Calculemos el MCD y mcm: 6 = 2 3 1 12 = 22 3 1 24 = 23 3 1 60 = 22 3 5 1 MCD = 2 3 1 = 6 mcm = 22 3 5 1 = 60 Conclusión: si tenemos un grupo de números que son múltiplos de otro, el MCD es igual al más pequeño de todos, y el mcm igual al múltiplo más grande. 6) Una habitación tiene 230cm de largo por 120cm de largo. Queremos cubrir el suelo con baldosas cuadradas. Cuánto tienen que medir estas baldosas? Cuántas baldosas harán falta? En este debemos calcular el MCD de las dos medidas: 230 = 23 2 5 1 120 = 23 3 5 1 MCD = 2 5 1 = 10 Eso quiere decir que las baldosas tendrán que tener 10 centímetros de lado (recuerda que pide que las baldosas sean cuadradas). Cuántas baldosas harán falta? Un largo de 230cm necesitaría 23 baldosas; un ancho de 120cm, necesitaría 12 baldosas. Por lo tanto, harían falta 23x12 = 276 baldosas.
Solución del ejercicio 1 Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coi nciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos. 12 = 2 2 3 18 = 2 3 2 60 = 2 2 3 5 m. c. m. (12, 18, 60) = 2 2 3 2 5 = 180 180 : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h. Solución del ejercicio 2 Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 18 = 2 3 2 24 = 2 3 3 m. c. m. (18, 24) =2 3 3 2 = 72 Dentro de 72 días.
Solución del ejercicio 3 Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da resto 9? m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 3 2 5 = 720 720 + 9 = 729 Solución del ejercicio 4 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capaci dades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. m. c. d. (250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l. Número de garrafas de T 1 = 250/10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360/10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540/10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. Solución del ejercicio 5 Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Calculamos el máximo común divisor. 12 028 = 2² 31 97
12 772 = 2² 31 103 m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Cajas necesarias = 103 + 97 = 200