Figuras de tres dimensiones

Figuras de tres dimensiones

Poliedros: cuerpos geométricos limitados por 4 o más superficies planas que son polígonos. Poliedros regulares: todas las caras de igual forma y tamaño. Solo existen 5. Prismas Pirámides Cuerpos de revolución: Se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Sus caras son curvas.

Poliedros Elementos básicos: Caras Aristas Vértices

Poliedros regulares Tienen todas sus caras, aristas y ángulos iguales. TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 4 triángulos equiláteros 6 hexaedros 8 triángulos equiláteros 1 pentágonos 0 triángulos equiláteros

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 4 triángulos equiláteros 6 hexaedros 8 triángulos equiláteros 1 pentágonos 0 triángulos equiláteros Teorema de Euler (Poliedro Convexo)

Fórmula de Euler (Poliedros Convexos) Hexaedro = Cubo Poliedro convexo: Se puede apoyar en el plano sobre todas sus caras. Poliedro cóncavo: Si existe alguna cara en la que no se puede apoyar.

Prismas Tienen dos caras iguales y paralelas. Bases. Sus caras laterales son paralelogramos. hexágonos (superior e inferior) 6 rectángulos (laterales)

Prismas Otros elementos importantes de un prisma. ARISTA BÁSICA ARISTA LATERAL ALTURA APOTEMA BASE

Prismas CLASIFICACIÓN: PRISMAS OBLICUOS RECTOS Prisma Recto: Si sus caras laterales son rectángulos. En caso contrario es oblicuo REGULARES IRREGULARES Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.

Prismas en el entorno:

Prismas en el entorno:

Pirámides Tienen sólo una cara por base. Sus caras laterales son triángulos y concurren en un vértice. Elementos importantes de una pirámide. APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA ARISTA LATERAL a ALTURA DE LA PIRÁMIDE APOTEMA BASE ARISTA BÁSICA BASE

Pirámides PIRÁMIDES OBLICUAS RECTAS REGULARES IRREGULARES Una pirámide es recta si sus caras laterales son triángulos isósceles. En caso contrario es oblicua Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular

Pirámides en el entorno:

Pirámides en el entorno:

Cuerpos de revolución CILINDRO: se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. EJE GIRO radio generatriz altura RADIO GENERATRIZ BASE

Cilindros en el entorno:

Cuerpos de revolución CONO: se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. EJE GIRO eje giro altura GENERATRIZ RADIO BASE radio

Conos en el entorno:

Conos en el entorno:

Cuerpos de revolución ESFERA: se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. GENERATRIZ eje giro diámetro CENTRO RADIO EJE DE GIRO

Esfera en el entorno:

Esfera en el entorno:

Esfera en el entorno:

Volúmenes y Áreas

El Volumen y la Capacidad de un cuerpo 1dm = 1 Litro 1cm = 1 ml 1m = 1 KL

Cubo Volumen de Ortoedro y Cubo Ortoedro

Volumen de Prisma VPrisma = área de la base altura Volumen de Pirámide VPirámide = 1/ (área de la base altura)

Volumen del cilindro Vcilindro = área de la base altura Vcilindro = π r h Volumen del Cono

EJERCICIOS 1 Hallar el área de estas figuras El área de la pirámide es la suma de las áreas de un cuadrado y 4 triángulos. El área del prisma es la suma de las áreas las bases ( pentágonos) y 5 rectángulos.

Hallar el área de estas figuras El área del dodecaedro es la suma de las áreas de 1 pentágonos. El área del octoedro es la suma de las áreas de 8 triángulos. b) Para calcular el área de cada triángulo del icosaedro, necesito saber la base del triángulo para aplicar la fórmuladesuárea Cuidado con las unidades!

Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular con aristas laterales de 1 centímetros y aristas de la base de 10 centímetros.

4 Hallar el área de un tetraedro regular de 10 centímetros de arista El área es la suma de las áreas de 4 triángulos (base + laterales)

5 La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm. de lado. Su altura es de 4 dm. Hallar su área total El área de la pirámide es la suma de las áreas de 4 triángulos y de un cuadrado.

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7 Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular: V = A h BASE Primero calculo el área de la base, que es un hexágono. Para ello necesito la apotema y aplico Pitágoras: a = 10 5 = 8, 66 cm Como la fórmula del volumen es V= A base altura V = ABASE h P a 60 8,66 ABASE = = = 59, 8 cm V = 59,8 5 = 6 495 cm

8 Halla el volumen de esta pirámide: V A BASE = = h Si analizo la fórmula, y los datos que tengo, veo que necesito calcular la altura de la pirámide. Para ello acudo a Pitágoras: a = 4 a = 16,95 cm h = 7 + 4 16,95 =,9 cm =,9 cm Una vez calculada la altura de la pirámide, ya puedo aplicar la fórmula ABASE h 4,9 V = = = 616, 8 cm

9 Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 5 cm y el radio de su base es de 1 cm. V A BASE = = h Primero necesito calcular la altura del cono. Para ello aplico Teorema de Pitágoras: h = 5 1 = 1, 9 cm Una vez calculada la altura del cono, ya puedo aplicar la fórmula ABASE h,14 1 1,9 V = = = 00, 8 cm

10 Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 1 cm y su altura es de 5 cm. Queremos llenarlo hasta los / de su capacidad. Cuántos litros de agua necesitamos? V C = A h B El área de la base: V C = A h B =,14 6 5 86 cm =,86 litros,86 = 1,884 litros = 86 cm Necesitamos 1,884 litros de agua.

11 Calcula el volumen de estas figuras: Hay que aplicar la fórmula adecuada a cada figura las recuerdas?... V A = ABASE h = V = h = V = A h = = 9 7 0 = = 160 cm = = = 1695,6 cm = 444,8 cm BASE BASE =,14 6 15.,14 5 17 =

1 Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 0 cm de lado y su arista lateral es de 9 cm. V A BASE = = h El área de la base se calcula con la fórmula del área de un hexágono. Necesito la apotema, y aplico Pitágoras: a = 0 10 = 17, cm Y también necesito la altura de la pirámide. Y por tanto tendré que volver a utilizar a Pitágoras: 10 cm. h = 9 0 = 1 cm Finalmente aplicamos la fórmula: ABASE h V = P a 10 17, ABASE = = = 108 cm 108 1 766 cm V = =

1 Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 0 cm y el radio de su base es de 10 cm. V A BASE = = h El área de la base : A b = π r =,14 10 = 14 cm Necesito la altura de la pirámide. Pitágoras: h = 0 10 = 17, cm Finalmente aplicamos la fórmula:. ABASE h,14 10 17, 1810 7 cm V = = =,

14 Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura: V T = V Semiesfera + V Cono El volumen de la semiesfera es la mitad de la que corresponde a una esfera completa. Y sé el radio: = 61,67 cm El volumen del cono: V C = A B h = 14 cm. Se suma el volumen de la semiesfera y del cono: V FIGURA = 66, cm

Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos: A BASE 60 8,66 = = 59,8 cm V = ABASE h = ABASE h 4. V = = V = π r = =,14 4 11 = 59,8 5 4 55,64 cm = =,14 11 = 165 cm = 506,6 cm = = =

Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 18 cm de lado y su altura es de 40 cm. V A BASE = = h Para calcular el área de la base necesito la apotema, y aplico Pitágoras: A BASE = P a a = 18 9 = 15, 6 cm A BASE = P a cm = 84,4 Como la altura de la Pirámide la tengo, ya puedo aplicar la fórmula:. ABASE h V = P a ABASE = = 84,4 cm 84,4 40 V = = 11 cm

Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es de,5 cm. V A BASE = = h Para calcular el área de la base: πr,14,5 Como la altura del Cono no la tengo, Pitágoras: h = 10, 5 = 9, 7 cm Ya puedo aplicar la fórmula:. ABASE h,14,5 9,7 V = = = 6, 4 cm