Contenido DOMINIOS DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA 1.- Señales analógicas y digitales. 2.- Señales analógicas periódicas. 3.- Representación en los dominios del tiempo y de la frecuencia. 4.- Análisis de Fourier. 5.- Ancho de banda. Objetivo.- Usar representaciones de señales en el dominio de la frecuencia y transformar señales simples entre los dominios i del tiempo y la frecuencia. Última modificación: ió 1 de agosto de 2010 Tema 2 de INTRODUCCIÓN A LAS COMUNICACIONES ELECTRÓNICAS Edison Coimbra G. 1
1.- Señales analógicas y digitales Onda continua que cambia suavemente en el tiempo. Puede tener un número infinito de valores dentro de un rango. Onda con valores discretos. Sólo puede tener un número limitado de valores. 2
2.- Señales analógicas periódicas Parámetros: Amplitud pico y efectivo Periodo Frecuencia Fase f 1 T T 1 f 3
Frecuencias extremas Frecuencia 0. Qué ocurre si una señal no cambia en absoluto? Qué pasa si mantiene un nivel de voltaje constante durante todo su tiempo de actividad? En ese caso, su frecuencia es 0. Conceptualmente, esta idea es sencilla. Si una señal no cambia en absoluto, nunca completa un ciclo, por tanto su frecuencia es 0 Hz. Frecuencia infinita. Pero qué pasa si una señal cambia instantáneamente? Qué pasa si salta de un nivel a otro instantáneamente? En ese caso, su frecuencia es infinita. En otras palabras, cuando una señal cambia instantáneamente, su periodo es 0, puesto que la frecuencia es el inverso del periodo, entonces, en este caso, la frecuencia tiende a infinito. Unidades del periodo y la frecuencia 4
Ejemplos con ondas senoidales Ejemplo 1.- Vl Voltaje de la electricidad iidd comercial. il El voltaje en su casa se puede representar mediante una onda seno con una amplitud pico de 311 V. Sin embargo, es de conocimiento común que el voltaje en los hogares de Bolivia es de 220 V. Esta discrepancia se debe al hecho de que este último es un valor efectivo o RMS (raíz cuadrática media - root mean square), ) La señal se hace cuadrada d y luego se calcula l el valor medio. El valor pico es igual a 1.41 RMS. Ejemplo 2.- Voltaje de una batería. El voltaje de una batería es una constante; este valor constante se puede considerar una onda seno de frecuencia 0, como se verá luego. Por ejemplo, el valor pico de una batería AA es normalmente 1,5 V. Resolver ejercicios de aplicación 5
Fase de la onda senoidal Describe la posición (desplazamiento) de la onda respecto al instante de tiempo 0. Resolver ejercicios de aplicación 6
Longitud de onda λ Es la distancia que se desplaza la señal en un periodo T, a través de un medio de transmisión. Para ondas electromagnéticas: 7
3.- Representación en los dominios del tiempo y de la frecuencia Ejemplos de señales simples de una sola frecuencia 8
4.- Análisis de Fourier En la actualidad, en la pantalla de una PC, la fotografía se transforma en un conjunto de píxeles que tienen mucha menos nitidez que el original. Sin embargo, muy pronto, las PC podrán mostrar una imagen interactiva, por ejemplo de una ciudad en la que el espectador podrá acercarse para apreciar con mayor detalle un edificio, su puerta de entrada y hasta el número del edificio. Se podrá hacer porque las nuevas técnicas permiten comprimir la cantidad de datos que se utilizan para almacenar una imagen, permitiendo almacenar una imagen más detallada en un espacio menor. Los investigadores tratan de aislar y manipular patrones específicos ocultos en grandes cantidades de datos, de forma muy parecida a como nuestros ojos observan el rostro de una persona, o nuestros oídos distinguen el sonido de una flauta en una sinfonía. 9
El diapasón y la voz humana Para comprender la manipulación de patrones específicos, se comienza con diferenciar dos tipos de sonidos: un diapasón y la voz humana. Tono de un diapasón Pronunciación de la palabra clases Al golpear un diapasón se obtiene un tono puro (onda senoidal) que perdura largo tiempo. En matemáticas, se dice que este tono tiene una frecuencia "localizada"; es decir, está formado por un solo tono. Una palabra hablada sólo dura un segundo y, por tanto, está "localizada" en el tiempo. Su frecuencia no está localizada porque la palabra no es un solo tono, sino una combinación de muchas frecuencias distintas. 10
Análisis de Fourier de una onda periódica En 1807, Fourier, desarrollo la teoría el análisis i de Fourier, que afirma que cualquier forma de onda periódica puede representarse como una suma infinita (serie) de ondas seno o coseno, o ambas, cuyas frecuencias sean múltiplos de la frecuencia fundamental de la onda. Matemáticamente: Serie de Fourier A0 f ( t) A1 cos t B1 sen t A2 cos 2 t B2 sen 2 t A3 cos3 t B3 2 f(t): onda periódica. Por lo general un voltaje v(t) o una corriente i(t) A n y B n : coeficientes reales, positivos, negativos o cero. sen 3 t... = 2πf : frecuencia fundamental, en radianes. 2, 3, 4,.: 2ª, 3ª, 4ª,... armónica. Un ejemplo de la teoría: cuando un músico toca la nota La en un violín o una flauta, tiene una frecuencia fundamental de 440 Hz y armónicos con frecuencias de 880, 1320, Hz. Aunque un violín y una flauta toquen la misma nota, el sonido será distinto porque sus armónicos (2, 3, 4,..tienen distinta fuerza o "amplitud (A n, B n ). Con sintetizadores se consigue una imitación de un violín o una flauta combinando ondas senoidales puras de amplitudes adecuadas. Esto es lo que predijo Fourier en 1807. 11
Ejemplo para una señal de información Para una onda cuadrada d (señal rectangular con semiciclos i positivos y negativos de igual duración) la serie de Fourier obtenida es la siguiente: Su espectro de frecuencias: Onda cuadrada en el tiempo Espectro de frecuencias 12
Demostración de ejemplo anterior Suma de fundamental y la 3ª armónica. Suma de fundamental, la 3ª y la 5ª armónica. Suma de fundamental e infinita cantidad de armónicas. 13
Series de Fourier para señales de información 14
Series de Fourier para señales de información 15
Descomposición de señal periódica compuesta Manualmente es difícil. Se hace con MATLAB. Frecuencia f Frecuencia 3f Frecuencia 5f Frecuencias resultantes Espectro de frecuencias Frecuencia 16
Análisis de Fourier de una onda aperiódica Los matemáticos ampliaron la idea de Fourier a funciones aperiódicas que cambian en el tiempo, que no se repiten en la misma forma. La mayoría de las ondas del mundo real son aperiódicas. Por ejemplo: el sonido de un motor que acelera, reduce y se interrumpe de vez en cuando. En las imágenes también es importante la distinción entre patrones repetitivos y no repetitivos. Un patrón repetitivo se puede ver como una textura o fondo, mientras que un patrón no repetitivo es percibido por el ojo como un objeto. patrón no repetitivo patrón repetitivo 17
Serie y transformada de Fourier Para representar patrones repetitivos (fondo) de una imagen se utilizan ondas periódicas o repetitivas formadas por una serie de armónicos. patrón repetitivo Las características no repetitivas se resuelven en un espectro de frecuencias mucho más complejo, denominado "transformación de Fourier", de la misma forma que la luz se puede descomponer en un espectro de colores. patrón no repetitivo Las transformaciones de Fourier han sido un éxito. Durante el siglo XIX resolvieron muchos problemas de la física y de la ingeniería. i Esta importancia i llevó a científicos e ingenieros a pensar en ellas como la forma preferida de analizar fenómenos de todo tipo. 18
Ejemplo para señales de información Según la serie de Fourier, una onda cuadrada periódica tiene un espectro de frecuencias formado por frecuencias discretas (una fundamental y armónicas). Según la transformada de Fourier, un impulso aperiódico tiene un espectro de frecuencias formado por frecuencias continuas. 19 19
Ejemplo para una señal de voz Dominio del tiempo Espectro de frecuencias Dominio de la frecuencia Esta señal se observa con un Señal de voz analizador de espectro o con MATLAB que ha utilizado el algoritmo FFT. Resolver ejercicios de aplicación 20
5.- Ancho de banda BW Es el rango de frecuencias contenido en una señal. Espectro de una señal periódica BW de señal periódica Espectro de una señal aperiódica BW de señal aperiódica 21
Ancho de banda de señal AM Un ejemplo de señal aperiódica compuesta es la señal propagada por una estación de radio AM. En Bolivia, cada estación de radio AM tiene asignado un BW de 10 khz. El BW total dedicado a estaciones AM va desde los 530 hasta los 1700 khz. 22
Ancho de banda de señal FM Otro ejemplo de señal compuesta aperiódica es la señal propagada por una estación de radio FM. En Bolivia, cada estación de radio FM tiene asignado un BW de 200 khz. El BW total dedicado a estaciones FM va desde los 88 hasta los 108 MHz. FIN 23