Introducción. Por favor. No olvide bajar el tono a su. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI / 42

Introducción Por favor No olvide bajar el tono a su teléfono móvil!. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 1 / 42

Introducción UNIDAD I ESTABILIDAD DE SISTEMAS DINÁMICOS Edinson FRANCO Esteban ROSERO José RAMIREZ UNIVERSIDAD DEL VALLE GRUPO DE INVESTIGACIÓN EN CONTROL INDUSTRIAL Febrero a Junio de 2008 Cali - Colombia Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 2 / 42

Introducción Introducción Un sistema inestable se considera inútil. El requerimiento más importante para un sistema dinámico es que sea estable. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 3 / 42

Objetivo Objetivo Determinar la estabilidad de los sistemas automáticos de control estudiados. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 4 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Estabilidad ELSA Un sistema lineal invariante (SLI) y de solo una entrada y una salida (UNESA), es estable de Entrada Limitada-Salida Acotada (ELSA, en inglés Bounded Input - Bounded Output (BIBO)), si toda entrada acotada produce una salida acotada. Esta propiedad esta muy asociada con la respuesta al impulso g(t) o g(k) del sistema. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 5 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Sea el sistema de tiempo continuo (discreto) descrito por su función de transferencia: R(s) r(kt) G(s) C(s) G(z) c(kt) Para SLI-UNESA de tiempo contínuo, la condición de estabilidad ELSA exige que: si entonces r(t) N < para t 0 c(t) M < para t 0 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 6 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada A partir de la respuesta calculada vía la integral de convolución: c(t) 0 r(t τ) g(τ) dτ N 0 g(τ) dτ M se requiere que el área de la curva debajo de g(τ) debe ser finita. Note: es necesario que lim g(t) 0 t para que el sistema continuo sea ELSA. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 7 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Para SLI-UNESA de tiempo discreto, la definición de estabilidad ELSA es la misma; se debe cumplir la condición: g(k) < 0 para que el sistema discreto sea ELSA estable se debe cumplir que: lim k g(k) 0 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 8 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Las condiciones anteriores en g(t) o g(k) permiten relacionar la estabilidad ELSA con la ubicación de las raíces en los planos s o z respectivamente. Plano s: Polo(s) en el semiplano izquierdo, g(t) es acotada y decrece asintóticamente lim g(t) 0; esto garantiza que g(τ) dτ sea t 0 acotada, luego el sistema es ESTABLE. Plano z: Polo(s) dentro del círculo unitario, g(k) es acotada y decrece asintóticamente lim g(k) 0; esto garantiza que k 0 g(k) sea acotada, luego el sistema es ESTABLE. Plano s: Polo(s) en el semiplano derecho lim g(t), luego el t sistema no es estable ELSA; un sistema que no es estable ELSA, se define como INESTABLE. Plano z: Polo(s) fuera del círculo unitario lim g(k), luego el sistema es INESTABLE. k Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 9 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Plano s: Si hay un polo en el origen o complejos no repetidos en el eje imaginario, g(t) es constante o una sinusoide no amortiguada y asintóticamente no tiende al infinito; sin embargo, la integral de g(t) no es acotada y el sistema es ELSA INESTABLE. Plano z: Un polo simple en z = 1, tiene una secuencia de respuesta al pulso unitario constante; pares de polos complejos no repetidos en el círculo imaginario o un polo simple en z = 1 tienen respuestas oscilatorias acotadas. Sin embargo, la sumatoria de g(k) no es acotada y el sistema es ELSA INESTABLE. Por razones prácticas, cuando las raíces de la ecuación característica están en el eje complejo jw o en el círculo de radio unidad del plano z, se dice que el sistema es MARGINALMENTE ESTABLE o INESTABLE. Recordemos que la acción integral adiciona polos en s = 0 o z = 1 y en principio es inestable, sin embargo, sabemos que es muy útil. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 10 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada Ejercicio propuesto: Utilizando el software Matlab ó Scilab, evalué las respuestas en el tiempo y la estabilidad para un sistema de primer orden; un sistema de segundo orden con polos complejos conjugados, polos reales y polos repetidos; un sistema de segundo orden con un cero en el lado derecho y en el izquierdo; un sistema de segundo orden con un polo adicional ubicado en el lado izquierdo, en el eje jw y en el lado derecho. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 11 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna Estabilidad Interna Consideremos a un sistema de control realimentado unitario con funciones de transferencia G 1 (s) para el controlador y G 2 (s) para la planta, con entradas de referencia r(t), perturbaciones a la entrada y salida de la planta d 1 (t),d 2 (t) y ruido en la medida n(t) y con salidas de interés c(t) y la señal de control a(t), como se muestra en la figura 1. r(t) + d 1 (t) a(t) + + + + G 1 (s) G 2 (s) + + n(t) d 2 (t) c(t) Figure: Sistema de control realimentado. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 12 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna Para este sistema podemos definir funciones de transferencia entre cada salida y cada entrada, ocho en total. Decimos que el sistema de control es INTERNAMENTE ESTABLE, si las ocho funciones de transferencia son estables. Esto equivale a exigir que todas las señales en el lazo sean acotadas para cada conjunto de entradas r(t),d 1 (t),d 2 (t) y n(t) acotadas. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 13 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna La estabilidad interna se puede asociar también a las raíces de la ecuación caraterística. Consideremos G 1 (s) = N 1 (s)/d 1 (s) y G 2 (s) = N 2 (s)/d 2 (s). Se puede probar que el sistema realimentado es internamente estable, si y solo si las raíces del polinomio característico (PC): D 1 (s)d 2 (s) + N 1 (s)n 2 (s) = 0 tienen parte real negativa. La noción de estabilidad interna es más fuerte que la de estabilidad ELSA de la referencia a la salida; ella exige adicionalmente que no hayan cancelaciones de polos inestables entre la planta G 2 (s) y el controlador G 1 (s). Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 14 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna Ejemplo Consideremos: G 1 (s) = ( s+1) 1 s y G 2 (s) = (s+1)( s+1) La función de transferencia entre la salida C(s) y la entrada de referencia R(s): T(s) = C(s) R(s) = 1 s 2 + s + 1 es estable. Sin embargo, la función de transferencia entre la salida C(s) y la entrada de perturbación D 1 (s): S cd (s) = C(s) D 1 (s) = s ( s + 1)(s 2 + s + 1) es inestable; el lazo cerrado no es internamente estable, ya que D 1 (s)d 2 (s) + N 1 (s)n 2 (s) = ( s + 1)(s 2 + s + 1) tiene una raíz inestable. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 15 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna De lo anterior, tenemos que el problema de determinar la estabilidad ELSA o interna de un sistema, se reduce a poder saber si el PC: p(s) = s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0, con coeficientes a i reales, tiene todas sus raíces con parte real negativa, esto es, si es Hurwitz. Por supuesto que para ello podríamos simplemente calcular las raíces del polinomio. Sin embargo, en muchos casos es útil estudiar la relación entre la posición de las raíces y ciertos coeficientes del polinomio. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 16 / 42

Definiciones de Estabilidad Estabilidad Interna Veamos algunas propiedades polinomiales de interés para ello: 1. El coeficiente a n 1 satisface: a n 1 = n i=1 donde los λ 1,λ 2...λ n son las raíces de P(s) 2. El coeficiente a 0 satisface: a 0 = ( 1) n n 3. Si todas las raíces de p(s) tienen parte real negativa, entonces necesariamente a i > 0,i {0,1,...(n 1)}. 4. Si cualquiera de los coeficientes del polinomio es no positivo (negativo o cero), entonces al menos una de las raíces tiene parte real no negativa. i=1 λ i λ i Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 17 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz Criterio de Routh-Hurwitz En estabilidad se estudian 2 aspectos de interés para análisis y diseño: Estabilidad absoluta, Investiga si un sistema de control es estable. Estabilidad relativa, Investiga el grado de estabilidad de un sistema estable. El criterio de Routh-Hurwitz es un algoritmo de aplicación directa para evaluar la estabilidad absoluta de un sistema análogo determinando el número de polos de lazo cerrado que caen en el semiplano derecho, sin calcular las raíces del PC. También indica el número de raíces que están sobre el eje imaginario jw; es uno de los métodos más usados para determinar si un polinomio es Hurwitz o no, basándose en sus coeficientes. Es útil sobre todo para polinomios de grado elevado. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 18 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz El método es el siguiente: 1. Ordenar el PC de la forma: 2. Verificar que: Que an 0. a 0 s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n = 0; a n 0 Todos los coeficientes de la ecuación tienen el mismo signo y que ninguno de los coeficientes es igual a cero, a x 0 - condición necesaria pero no suficiente-; de lo contrario, existe al menos una raíz que es imaginaria o tiene parte real positiva y el polinomio no es Hurwitz. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 19 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz 3. Elaborar la tabla. Tabla de Routh o Arreglo de Routh s n a 0 a 2 a 4 s n 1 a 1 a 3 a 5 s n 2 b 1 b 2 b 3 s n 3 c 1 c 2 c 3. s 1 d 1 d 2 s 0 f 1. (1) b 1 = a 1a 2 a 0 a 3 a 1, b 2 = a 1a 4 a 0 a 5 a 1, b 3 = a 1a 6 a 0 a 7 a 1,... c 1 = b 1a 3 a 1 b 2 b 1, c 2 = b 1a 5 a 1 b 3 b 1,... etc...hasta la fila enésima. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 20 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz 4. Aplique el criterio de Routh, el cual establese que: El número de cambios de signos en los elementos de la primera columna es igual al número de las raíces con partes reales positivas o en el semiplano derecho del plano s. Por tanto, un polinomio será Hurwitz si tiene todos sus coeficientes y elementos de la primera columna de la tabulación de Routh, positivos. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 21 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz Ejemplo P(s) = s 4 + 2s 3 + s 2 + 4s + 2 = 0 Arreglo de Routh: s 4 1 1 2 s 3 2 4 s 2 1 2 s 1 8 0 s 0 2 (2) Observe que en la primera columna aparece un cambio de signo en orden descendente del dos al menos uno, y luego del menos uno al ocho, luego aparecen dos cambios de signo; por tanto hay dos raíces con parte real positiva y se concluye que el sistema es INESTABLE. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 22 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz En efecto en Matlab, el cálculo de las raíces nos muestra dos polos con partes reales positivas. >> D=[1 2 1 4 2] D = 1 2 1 4 2 >> roots(d) ans = -2.1877 0.3516 + 1.2843i 0.3516-1.2843i -0.5156 >> Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 23 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz Se dificulta aplicar el criterio cuando: 1. El primer elemento de una fila es cero, tendiendo a infinito los elementos de la fila siguiente. En este caso, se reemplaza el elemento nulo por un número positivo pequeño ǫ. 2. Los elementos de una fila son nulos; esto es debido a: Pares de raíces reales equidistantes del eje imaginario. Pares de raíces complejas conjugadas, simétricas al origen. En este caso se puede crear la Ecuación Auxiliar(EA), con los coeficientes de la fila superior a la fila nula; esta ecuación es de orden par y sus raíces son también del PC. Para este caso, se reemplaza la fila nula con los coefientes de la EA. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 24 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz Ejemplo: Primer caso P(s) = s 4 + 5s 3 + 7s 2 + 5s + 6 s 4 1 7 6 s 3 5 5 0 s 2 7 5 5 6 5 0 = 6 = 6 5 5 s 1 6 5 6 5 = 0 ǫ > 0 6 s 1 ǫ 6 6 0 = 6 ǫ 0 Si ǫ > 0, no hay cambio de signos; sin embargo, si ǫ = 0, indica que hay dos raíces en el eje imaginario y un pequeño disturbio puede llevar el sistema a la región de inestabilidad. En este caso, se procede como en el segundo caso. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 25 / 42 (3)

Criterio de Routh-Hurwitz Ejemplo: Segundo caso P(s) = s 3 + 10s 2 + 16s + 160 = 0 Arreglo de Routh: s 3 1 16 s 2 10 160 s 1 0 0 s 0 Ecuación Auxiliar: p a (s) = 10s 2 + 160s 0 tomando la derivada de la EA: dp a(s) ds = 20s 1, (4) s 4 1 16 s 3 10 160 s 2 20 s 1 160 0 no hay cambio de signo -> no hay raices en el semiplano derecho. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 26 / 42 (5)

Criterio de Routh-Hurwitz El par de raices simétricas se obtiene al resolver la EA p a (s) = 10s 2 + 160s 0 = 0, asi, se calculan como s = ±j4. (componente oscilatoria con frecuenca de 4 rad/seg.) Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 27 / 42

Criterio de Routh-Hurwitz Ejemplo Sistema de Control de la excitación con excitatriz y acción I. G(s) = k I s(τ E s + 1)(τ G s + 1) τ E, τ G > 0 Solución: Ecuación característica: τ E τ G s 3 + (τ E + τ G )s 2 + s + k I = 0 Donde: s 3 τ E τ G 1 s 2 τ E + τ G k I s 1 1 τ EQ k I 0 s 0 k I τ EQ = τ Eτ G τ E + τ G Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 28 / 42

El sistema es estable si: Criterio de Routh-Hurwitz 1 τ EQ k I > 0 y k I > 0 0 < k I < 1 τ EQ = τ E + τ G τ E τ G Por otro lado, si k I = τ E+τ G en el eje complejo; la EA es: τ E τ G, la fila s es nula y hay raíces conjugadas 1 τ E τ G : frecuencia de oscilación. (τ E + τ G )s 2 + τ E + τ G τ E τ G = 0 s 2 = 1 τ E τ G 1 s 1 2 = ±j τ E τ G Dividiendo el PC por la EA se obtiene la tercera raíz en: s 3 = 1/τ EQ Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 29 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Se debe escribir el PC en la forma: P(z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + + a n 1 z + a n, a 0 > a n El sistema es estable si cumple todas las siguientes condiciones: 1. a n < a 0 2. P(z) z=1 > 0 { > 0 Si n es par 3. P(z) z= 1 = < 0 Si n es impar 4. b n 1 > b 0 c n 2 > c 0. q 2 > q 0 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 30 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury z 0 z 1 z 2 z 3 z n 2 z n 1 z n 1 a n a n 1 a n 2 a n 3 a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3 b n 4 b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2 b 3 b n 2 b n 1 5 c n 2 c n 3 c n 4 c n 5 c 0 6 c 0 c 1 c 2 c 3 c n 2..... 2n 5 p 3 p 2 p 1 p 0 2n 4 p 0 p 1 p 2 p 3 2n 3 q 2 q 1 q 0 b k = a n a n 1 k a 0 a k+1 ; c k = b n 1 b n 2 k b 0 b k+1 ; q k = p 3 p 2 k p 0 p k+1 k = 0,1,,n 1; k = 0,1,,n 2; k = 0,1,2 (6) (7) Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 31 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury Ejemplo Evaluar la estabilidad del sistema con PC:P(z) = z 4 1.2z 3 + 0.07z 2 + 0.3z 0.08 = 0 Solución: a 0 = 1, a 1 = 1.2, a 2 = 0.07, a 3 = 0.3, a 4 = 0.08 1 a n < a 0 : 0.08 < 1 Cumple 2 P(1) = 0.09 > 0 Cumple 3 P( 1) = 1.89 > 0 Cumple Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 32 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury 4 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 1 0.08 0.3 0.07 1.2 1 2 1 1.2 0.07 0.3 0.08 3 0.994 1.176 0.075 0.204 4 0.204 0.075 1.176 0.994 5 0.946 0.315 (8) b 3 = 0.994 = 0.994 > b 0 = 0.204 = 0.204 Cumple c 2 = 0.946 = 0.946 > c 0 = 0.315 = 0.315 Cumple el sistema es estable Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 33 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury Ejemplo Evaluar el rango de valores de la ganancia k para que el siguiente sistema sea estable: R(z) + k (0.3679z+0.2642) (z 0.3679)(z 1) C(z) Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 34 / 42

Solución: Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury C(z) R(z) = k(0.3679z + 0.2642) z 2 + (0.3679k 1.3679)z + 0.3679 + 0.2642k Ecuación característica: }{{} 1 z 2 + (0.3679k 1.3679) z + }{{}} 0.3679 + {{ 0.2642k } a 0 a 1 a 2 Para un sistema de segundo orden, las condiciones se reducen a: 1. a 2 < a 0 2. P(1) > 0 3. P( 1) > 0 De la condición 1. se obtiene: 0.3679 + 0.2642k < 1 1 + 0.3679 0.2642 < k < 1 0.3679 0.2642 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 35 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Prueba de Estabilidad de Jury De la condición 2. se obtiene: P(1) = 0.6321k > 0 k > 0 De la condición 3. se obtiene: P( 1) = 2.7358 0.1037k > 0 k < 26.38 La solución es la intersección de las tres condiciones previas: 0 < k < 2.3925 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 36 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Si se usa la transformada Bilineal: W = z + 1 z 1 El interior del círculo unitario z < 1 corresponderá en el plano complejo de W = σ + jw: z = W + 1 W 1 σ + jw + 1 < 1 (σ + 1)2 + w 2 σ + jw 1 (σ 1) 2 + w 2 < 1 σ 2 + 2σ + 1 + w 2 < σ 2 2σ + 1 + w 2 σ < 0 al semiplano izquierdo; por tanto, se puede aplicar el criterio de Routh en el dominio de W para evaluar la estabilidad absoluta. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 37 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Ejemplo Consideremos el polinomio: Solución: Con z = W + 1 ( W + 1 W 1 P(W ) = W 1 P(z) = z 3 1.3z 2 0.08z + 0.24 = 0 ) 3 1.3 ( W + 1 W 1 W 3 7.57W 2 36.43W 14.14 = 0 ) 2 0.08 ( W + 1 ) +0.24 W 1 El sistema es inestable pues los coeficientes no tienen el mismo signo. Nota: Este procedimiento exige más cálculos que Jury, pero permite calcular la frecuencia de oscilación para la Ganacia Crítica: ganancia no nula, para la cual se obtienen polos de lazo cerrado en el eje complejo. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 38 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Realice los siguientes ejercicios del libro de Kuo: Routh: 6-2, 6-3, 6-4, 6-7, 6-9 Jury: 6-18, 6-19, 6-20 Transformada Bilineal: 6-17 Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 39 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Resumen En este capítulo se dieron las definiciones de estabilidad de entrada-salida e interna en tiempo continuo y discreto, para sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Se conoció que la condición para estos tipos de estabilidad se relaciona directamente con las raíces de la ecuación característica. Para que un sistema en tiempo continuo sea estable, las raíces de la ecuación característica deben localizarse en el semiplano izquierdo del plano s. Para que un sistema en tiempo discreto sea estable, las raìces de la ecuación característica deben localizarse dentro del círculo unitario en el plano z. La condición necesaria para que un polinomio P(s) no tenga ceros sobre el eje jw y en el semiplano derecho del plano s es que todos sus coeficientes deben ser del mismo signo y ninguno puede ser cero. Mediante el criterio de Routh Hurwitz, se verifican las condiciones necesarias y suficientes para que P(s) tenga ceros solamente en el semiplano izquierdo del plano s. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 40 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Resumen Para sistemas en tiempo discreto, se debe verificar la ecuación característica P(z) para raíces sobre y fuera del círculo unitario en el plano z. El criterio de Routh Hurwitz no puede aplicarse directamente a esta situación. Un método confiable es utilizar la transformada bilineal, que transforma el círculo unitario en el plano z en el eje imaginario de otro plano de variable compleja, y entonces se puede aplicar el criterio de Routh Hurwitz a la ecuación transformada. La prueba de estabilidad de Jury permite evaluar la estabilidad absoluta de sistemas discretos, directamente de la ecuación característica. Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 41 / 42

Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh Ejercicios Realize los ejercicios propuestos en actividades de aprendizaje GRACIAS! Franco E., Rosero E., Ramírez J.M. () SISTEMAS DE CONTROL II GICI 2008 42 / 42