TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN 2009/10 EPS-UAM Práctica 5: Modulaciones digitales Apellidos, nombre Apellidos, nombre Grupo Puesto Fecha El objetivo de esta práctica es familiarizar al alumno con los principios básicos de la modulaciones digitales, centrándonos en el caso más sencillo: PAM, tanto en banda base como modulada. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ejercicio_x.m separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros.m generados en un único fichero practica_5_puesto_xx.zip, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda. Guárdese adicionalmente una copia personal, para la posible reutilización del código en prácticas posteriores. 5.1 Breve introducción teórica ( T.IV.1.1) Las modulaciones digitales se basan en transmitir bloques de k bits llamados símbolos sobre un conjunto finito de M señales analógicas. El número de señales M y el número de bits k en cada símbolo están relacionados por k=log 2 M. Por el hecho de que las señales que se transmiten cada T segundos forman un conjunto finito, la detección de la señal transmitida es más sencilla al reducirse el número de posibilidades (discretización). El conjunto de todos los posibles símbolos se conoce como alfabeto de la modulación. El alfabeto tendrá M=2 k símbolos, y cada símbolo (grupo de k bits) tiene asociada una señal analógica de forma biunívoca. La primera etapa del diseño de un modulador digital consiste en seleccionar M señales lo más distintas posibles, para aumentar la capacidad de discriminación en presencia de ruido. También hay que tener en cuenta en el diseño de las señales el ancho de banda del canal de transmisión. Tras seleccionar las M señales, en la segunda etapa se procede a asignar símbolos (bloques de k bits) a cada una de las señales. Una vez escogidas las señales, se procede a la transmisión cada T segundos de una señal s m (t) del conjunto de señales por cada k bits. El canal retardará y distorsionará la señal, pudiendo generar interferencia entre símbolos. Aparte de estas perturbaciones, en recepción, las señales analógicas recibidas vendrán acompañadas de ruido (el cual se suele modelar como blanco y gaussiano). Un receptor digital tiene las siguientes etapas fundamentales: filtro, muestreo y decisión. La misión más importante del filtro del receptor es combatir el ruido. Su salida se va a muestrear cada periodo de símbolo T y en base a esa muestra se va a decidir que símbolo se ha transmitido. Por tanto, el filtro debe proporcionar una señal a la salida cuyo valor en el instante de muestreo contenga la mayor información posible frente al ruido. Se estudiarán dos casos El diseño del filtro del receptor más simple se limita a eliminar el ruido fuera de la banda de la señal recibida, intentando no distorsionar la señal de información. En la etapa de muestreo se tendrá que elegir el instante óptimo de muestreo. El diseño del filtro óptimo del receptor tiene en cuenta la información del símbolo durante toda la duración del mismo. El filtro produce una salida en el instante de muestreo que maximiza la componente de información frente a la componente de ruido. El filtro que consigue esto se conoce como filtro adaptado a la señal de información usada. 1
Una vez filtrada la señal recibida y con un eje tiempo sincronizado gracias a la recuperación de reloj, la salida del filtro se muestrea en un instante determinado dentro del periodo de símbolo (si se utiliza filtro adaptado, al final del periodo), y esa muestra se utiliza para tomar una decisión sobre el símbolo transmitido en la última etapa: la decisión. El bloque decisor debe elegir la señal (el símbolo) que más probablemente se transmitió a partir de las muestras recibidas. Tras la decisión, se generan los k bits correspondientes a esa señal. 5.2 Modulaciones PAM binarias banda base ( T.IV.2.1) En esta práctica nos centraremos en sistemas binarios, es decir, M=2, con k=1. En los sistemas PAM binarios (Pulse Amplitud Modulation), en función del bit a enviar, se envía un pulso multiplicado por un valor entre dos posibles. La decisión entre los dos posibles valores que puede tomar el símbolo es muy sencilla y se hace simplemente comparando con un umbral. El esquema de un sistema PAM binario sencillo está representado en la Figura 1. Figura 1. Modulador y demodulador PAM binario El sistema que se desarrollará en esta práctica utiliza pulsos rectangulares unipolares (una de las amplitudes del PAM es cero), en concreto códigos NRZ (ver Figura 2). La duración del símbolo será T simb =1/15 segundos, y cada simulación constará del envío de 30 símbolos. Para la aproximación a las Transformadas de Fourier de las señales, utilice F s = 3000 Hz (salvo que se indique lo contrario). NRZ Non-Returning Zero Returning Zero 1 0 RZ-Unipolar 1 Símbolo elemental 0 T simb 1 0 1 1 0 xs NRZ (t) xs RZ (t) T simb sec T Figura 2: Ejemplos de modulaciones PAM en banda base El siguiente código construye una secuencia aleatoria de símbolos binarios sec que serán los que se quieren transmitir, y al mismo tiempo construye la correspondiente señal analógica (simulada) s0 con la forma de onda que se transmite por el canal mediante un código de línea no antipodal. Para ello utiliza la señales s0 y s1 de duración T simb como señales correspondientes a cada símbolo binario. sec=round(rand(1,nsimb)) % Genera una secuencia aleatoria de bits sm=[]; 2
for n=1:nsimb if sec(n)==0 sm = [sm s0]; else sm = [sm s1]; end end Defina las señales s0 y s1, y utilícelas como señales elementales. El canal se modela como un canal ruidoso con ruido blanco. Utilice la función tco_wgn() para añadir el ruido. 5.2.1 Ejercicio 1: Comunicaciones PAM básica. Para la modulación descrita anteriormente, escriba un programa Matlab que genere y demodule una señal con modulación PAM binaria, incluyendo un filtro de ruido que deje pasar 7/T simb Hz. Se supondrá que la recuperación del reloj es perfecta. El programa representará en 4 gráficas en una figura: o o La señal recibida antes del filtro de ruido (r(t)) y su espectro ( R(f) /T) La señal recibida después del filtro de ruido (z(t)) y su espectro ( Z(f) /T) Dibuje las señales resultantes, para η=10-3 r(t) r(t) R(f)/T z(t) 3
Z(f)/T La etapa de muestreo se puede simular mediante el siguiente código: SamplingT=?? ; % Instante de muestreo dentro de la duración del símbolo (0 SamplingT<Tsimb) for n=1:nsimb zs(n)=z(round(fs*(samplingt+tsimb*(n-1)))); end; zs %esta línea muestra en la consola MATLAB la secuencia de muestras generadas Observe que la variable SamplingT se corresponde con el instante de muestreo T s de teoría. Finalmente la etapa de decisión generará una secuencia de bits. Al tratarse de PAM binario se trata de elegir en función de un umbral. % decisión por umbral dsec=[1:nsimb]; for n=1:nsimb if zs(n)>umbral dsec(n) = 1; else dsec(n) = 0; end end dsec %esta línea muestra en la consola MATLAB la secuencia decodificada Los valores de instante de muestreo y umbral de decisión se obtendran observando la señal obtenida antes del decidor. Qué valores ha elegido para SamplingT y umbral? Razone su repuesta. Escriba la Las secuencia binaria transmitada (sec) y decodificada (dsec) Secuencia transmitida Secuencia decodificada Calcule la probabilidad de error (cociente entre símbolos erróneos / símbolos transmitidos ). Calcule también la probabilidad de error teórica para el experimento realizado según 2 1 1 s 0 s e = Q 2 ηb filtro P ( s ( T ) s ( T )) donde BBfiltro es el ancho de banda del filtro del receptor y T s es el instante de muestreo. Para evaluar la función Q (integral de la función densidad de probabilidad gaussiana normalizada) utilice la función tco_q.m (http://www.eps.uam.es/~tco). 4
Símbolos erróneos Símbolos transmitidos Probabilidad de error Probabilidad de error teórica El número de símbolos transmitidos es muy pequeño para obtener una estimación precisa de la probabilidad de error. Aumente el número de símbolos transmitidos hasta 3000 y calcule de nuevo la probabilidad de error. Símbolos erróneos Símbolos transmitidos Probabilidad de error 5.2.2 Ejercicio 2: Efecto del ruido en la probabilidad de error. Repita el experimento anterior (simule la transmisión de 300 símbolos) y observe las gráficas para diferentes valores de η η Símbolos erróneos Símbolos transmitidos Probabilidad de error Probabilidad de error teórica 10-2 4 10-3 10-3 5 10-4 10-4 A continuación escriba un programa Matlab que calcule la probabilidad de error teórica (no necesita representar las figuras) y la experimental para el intervalo η=1e-10:2e-2:4e-1. Utilice la función semilogy para representarla en escala logarítmica en el eje y. P e η 5.2.3 Ejercicio 3: Comunicaciones PAM con filtro adaptado ( T.IV.2.13-p 21) El filtro adaptado del sistema anterior se puede obtener como h () t = s ( T t) s ( T t) adapt 1 simb 0 simb La probabilidad de error teórica con filtro adaptado para PAM binario unipolar es 5
E ˆ s1 s E 0 bit Pe = Q = Q 2η η E 2 ˆ = E = E (NRZ unipolar, s ( t) = 0), s1 s0 bit s1 0 donde Eˆbit es la energía media por bit. Utilizando la expresión anterior, obtenga el filtro adaptado correspondiente. Represente la respuesta al impulso h adapt (t) y su respuesta espectral correspondiente. h adapt (t) H adapt (f) Basándose en el código del ejercicio 1 (transmitiendo de nuevo 30 símbolos en la simulación), sustituya el filtro de ruido por el filtro adaptado, y represente la señal obtenida tras el filtro para η=10-3. z(t) Z(f) /T Qué valores ha elegido para SamplingT y umbral? Razone su repuesta. Escriba la secuencia binaria transmitida (sec) y decodificada (dsec) 6
Secuencia transmitida Secuencia decodificada Calcule la probabilidad de error (cociente entre símbolos erróneos / símbolos transmitidos ). Calcule también la probabilidad de error teórica para el experimento realizado. Símbolos erróneos Símbolos transmitidos Probabilidad de error Probabilidad de error teórica Supone alguna mejora utilizar un filtro adaptado? 5.2.4 Ejercicio 4 (ampliación): Efecto del ruido en la probabilidad de error con filtro adaptado Repita el experimento anterior (simule la transmisión de 300 símbolos) y observe las gráficas para diferentes valores de η η Símbolos erróneos Símbolos transmitidos Probabilidad de error Probabilidad de error teórica 10-2 4 10-3 10-3 5 10-4 10-4 A continuación escriba un programa Matlab que calcule la probabilidad de error teórica (no necesita representar las figuras) y la experimental para el intervalo η=1e-10:2e-2:4e-1. Utilice la función semilogy para representarla en escala logarítmica en el eje y. 7
P e η 5.2.5 Ejercicio 5 (ampliación): Modulación PAM con pulsos RZ Repita los ejercicios anteriores para modulación PAM binaria en banda base con pulsos RZ (Return to Zero), basándose en los programas anteriores. Para ello deberá redefinir las señales básicas s0 y s1 que de acuerdo con la forma de los pulsos. Qué valores ha elegido para SamplingT y umbral para cada uno de los métodos (filtro básico y filtro adaptado)? Represente las probabilidades de error teórica y experimental en el intervalo η=1e-10:2e-2:4e-1 para cada uno de los métodos anteriores. Utilice la función semilogy para representarla en escala logarítmica en el eje y. P e η Cuáles son las diferencias que extrae entre la modulación banda base con NRZ y RZ? Justifique sus respuestas. 8
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