Desarrollo del tema.- 1. Los dipolos. 2. Las relaciones de potencia en los dipolos. 3. Concepto de potencia aparente y reactiva. 4. La notación compleja de la potencia. 5. El teorema de Boucherot. 6. El factor de potencia. Su importancia. 1
1. Los dipolos. Un circuito cualquiera, de AC, que se encuentra formado por elementos activos (generadores) y elementos pasivos (receptores) provisto de dos terminales accesibles, recibe el nombre de dipolo. Los dipolos pueden ser : a. Activos.- Poseen fuentes de energía ( generadores de tensión e intensidad) y en los terminales, la tensión posee el mismo sentido que la intensidad. b. Pasivos.- Esta formado por los elementos diferentes a los generadores ( elementos pasivos o receptores). En los terminales, la tensión posee diferente sentido a la intensidad. La potencia instantánea será: p = u. i ; si p < 0 el dipolo suministra energía, por el contrario, si p > 0, el dipolo absorbe energía. La potencia disipada o almacenada en un dipolo pasivo, cuando consta de un sólo elemento, será la siguiente: POTENCIA DE LOS ELEMENTOS PASIVOS Resistencia (φ = 0º) Bobina ( φ = 90º) Condensador( φ =- 90º) P = U I = R I 2 = U 2 R ;; Q = 0 P =0 ;; Q=U I =X L I 2 = U 2 2. Las relaciones de potencia en los dipolos. Xl P=0 ;;Q=U I =X C I 2 = U 2 Xc La entrada de un dipolo pasivo, se encuentra conectada a un generador de tensión : u = U ef 2 sen ω t ;; I ef = U ef /Z ;; Z = R 2 X 2 ;; φ = arctg X R p = u i = 2 U ef I ef sen ω t. sen ( ω t - φ ) 2
matemáticamente : cos A cos B = - 2 sen A B 2. sen A B 2 A B 2 = ω t ;; A + B = 2 ω t A B 2 = ( ω t - φ ) ;; A B = 2 (ω t - φ ) A = 2 ω t - φ ;; B = φ p = I ef U ef ( cos φ - cos (2 ω t - φ )) = U ef I ef cos φ U ef I ef cos (2 ω t - φ ) Representando esta función de potencia se observa: Potencia instantánea absorbida por un dipolo. La intensidad se encuentra adelantada a la tensión 90º y la frecuencia de la potencia es el doble de la tensión o intensidad. Varía sinusoidalmente alrededor de U.I cos φ. Evidentemente, la potencia se anula cuando la tensión o la intensidad son nulos y toma valor positivo cuando los signos de la tensión y la intensidad son los mismos. Cuando p > 0, el dipolo pasivo recibe energía que procede de la fuente de alimentación o excitación. Cuando p< 0 cede energía de la acumulada en los campos eléctricos y magnéticos. La potencia media, activa, real o verdadera, P, será igual : P = U.I cos φ El segundo sumando es la potencia fluctuante : U ef I ef cos (2 ω t - φ) En el caso de los dipolos pasivos no existen fuentes de energía, cumpliéndose que P 0, el cos φ 0, por lo que varía entre -π/2 y π/2 Cuando P = 0 ; φ = π /2, en este caso el circuito sólo posee bobinas y condensadores y no resistencias. En el caso de que cos φ< 0. P < 0, suministrando el dipolo energía. En este caso solamente puede ser que el dipolo sea activo. 3
Si se toma el valor representativo de la tensión U como origen de fases, se puede apreciar si un dipolo actúa como activo o pasivo: Posición de I Parte positiva del eje real Primer cuadrante Segundo cuadrante Parte negativa del eje real Tercer cuadrante Carácter del dipolo Receptor resistivo Receptor capacitivo Generador inductivo Generador resistivo Generador capacitivo Cuarto cuadrante Receptor inductivo. Un dipolo activo actúa como receptor o como generador. Un dipolo pasivo, solamente puede actuar como receptor de energía. Problema 1.- Determinar cuál de los siguientes dipolos del circuito de la figura actúa como generador y cuál como receptor. Resolución.- Dipolo 1 U 1 = 25 0 ;; I 1 = - 5 + j, es un dipolo que actúa como generador Inductivo. 4
Dipolo 1 U 2 = 25 0 ;; I 2 = 5 j - 25 4 3j = 1 + 2j Al estar en el primer cuadrante, actúa como un receptor capacitivo. Problema 2.- Se conectan los dos dipolos en paralelo sobre una impedancia Z = 1 + 2j. Si el dipolo suministra una corriente I = 2 2 45 (A) a la tensión de U = 5 0 (V). Determinar siel dipolo D 2 es un receptor o generador. Dipolo Generador: (D 1 ) U 1 = 5 0 (V) ;; I 1 = 2 2 j Es un generador capacitivo. En el receptor 2 (D 2 ) I 2 = 2 2 45-5/0 1 2 j = 2 + 2 j - 5/0 2,23/70 = I 2 = 2 + 2 j 2,23-70 = 2 + 2j 1 + 2j = 1 + 4j D 2 es un receptor capacitivo. 3. Concepto de potencia aparente y reactiva. El producto de U. I = P, es válido para el caso de DC. En el caso de circuitos de AC, solamente esta expresión se cumple cuando los elementos son puramente resistivos. En general, la potencia activa absorbida por un dipolo : P = I. U cos φ. El producto U.I es la potencia aparente S = U. I Para interpretar las distintas potencias, es necesario considerar el triángulo de impedancias de un dipolo pasivo en serie, formada por una resistencia conectada en serie con una reactancia X. Los distintos triángulos que se representan son: 5
El cateto cuya longitud es: R I = U cos φ = U a Representa la tensión en la componente resistiva del dipolo; se la conoce como componente activa de la tensión U a El otro cateto, de longitud : X I = U sen φ = U r. Representa la tensión en la componente reactiva de dicho dipolo, se la denomina componente reactiva de la tensión U r La hipotenusa de longitud ZI = U. Representa la tensión total o tensión de entrada del dipolo. Multiplicando de nuevo los lados del triángulo de tensiones por la impedancia se obtiene otro triángulo llamado triángulo de potencias. El cateto horizontal R I 2 = U. I cos φ = U a I = P. Representa la potencia absorbida por la componente resistiva del dipolo; es la potencia activa. La hipotenusa es U. I = S. Representa la potencia aparente. El cateto vertical X I 2 = U I sen φ = U r I = Q : corresponde a las oscilaciones de la potencia en la componente reactiva Z. Es la potencia reactiva Se pueden establecer las siguientes relaciones : Q S = P 2 Q 2 ;; tg φ = P ;; cos φ = P S Las potencias aparente y reactiva no se pueden considerar propiamente como potencias. Las magnitudes se pueden resumir en la siguiente tabla: La potencia reactiva Q, se suele denominar potencia desmagnetizante o desvatiada. Su 6
valor es el siguiente : Q = U r I = U. I sen φ = X I 2 Puede ser positivo o negativo dependiendo el ángulo φ Impedancia inductiva.- φ > 0,, Q > 0, el dipolo consume energía reactiva Impedancia capacitiva.- φ < 0,, Q< 0, el dipolo suministra energía reactiva Si el dipolo pasivo se encuentra en paralelo, se puede construir el triángulo de impedancias en el que se verifique ψ = - φ. Si la tensión es de origen de fases y los tres lados se multiplican por U, se obtiene el triángulo de intensidades. El cateto cuya longitud es GU = I cos ψ = I cos φ = Ia. Representa la llamada componente activa de la intensidad ( I a ) El otro cateto de longitud BU = I sen ψ = - I sen φ =I r. Repesenta la componente reactiva de la intensidad I r La hipotenusa de longitud YU = I. Es la intensidad total del dipolo. Multiplicando nuevamente los lados de los triángulos de intensidad poe la tensión, se obtiene el triángulo de potencias G U 2 = U. I cos ψ = U. I cos φ = P (potencia activa) B U 2 = U I sen ψ = - U I sen φ = - Q - B U 2 = Q ( potencia reactiva) mientras que la hipotenusa representa la potencia aparente. 7
4. La notación compleja de la potencia. La potencia aparente, se puede expresar matemáticamente, con notación compleja, a partir de la potencia activa y reactiva: puede expresar como : S = P + j Q El módulo es S = U. I y la potencia compleja. Se S = U. I*, siendo I*. la intensidad compleja conjugada. Problema 3.- Calcular la característica de los dipolos del circuito y las potencias desarrolladas. Resolución.- Dipolo D 1 ;; I = - (5 j ) = - 5 + j, es un generador industivo. S 1 = U 1 I* = 25. (5+j) (VA) ; P 1 = 125 W ; Q 1 = 25 (Var) El dipolo D 2 I = (5 j) - 25 /0 4 3j = 5 j - ( 5-36,8 ) = 5 j 4 + 3 j = 1+ 2 j. Es un receptor capacitivo. La intensidad de la impedancia será : I = 25/0 4 3j = 4 3 j S = U. I* = 25 ( 4+3j) VA P 2 = 100 W ;; Q = 75 Var La intensidad que llega al dipolo D 2 es I = 1 + 2j A La potencia consumida por el dipolo 2 será : S e = 25 (1-2j) VA ;; P e = 25 W ;; Q e = - 50 Var 8
Problema 4.- Un dipolo en serie LCR, se encuentra alimentado por un generador de corriente de valor eficaz 5 A y 90 º de fase. Con estos datos determinar: a. La potencia aparente, activa y reactiva que suministra el generador. b. La potencia aparente, activa y reactiva absorbida por los receptores. Resolución.- Z = 10 + 20 j 10 j = 10 + 10 j Ω U = I. Z = (10 + 10 j ). 5 j = -50 + 50 j V S = U I* = (-50 + 50 j). -5 j = 250 + 250 j (VA). El módulo será = 353,55 (VA) P = 250 W :: Q = 250 Var En el caso de la resistencia : U R = 5j. 10 = 50 j S R = 50 j. - 5j = 250 VA. ;; P R = 250 W ;; Q R = 0 Var U L = 5j 20j = -100 V S L = -100. - 5j = 500 j VA ;; P L = 0 W ;; Q = 500 Var U C = 5j -10j = 50 V S C = 50. -5j = -250 j VA ;; P C = 0 W ;; Q C = - 250 j Var 5. El teorema de Boucherot. El teorema de Boucherot se resume de la siguiente forma: En una red eléctrica cualquiera, considerando la frecuencia constante, existe una conservación entre 9
las potencias activas y las reactivas: Σ P i = 0 Σ Q i = 0 Problema 5.- Aplicando el teorema de Boucherot, determinar las potencias aparente, activa y reactiva para el siguiente circuito, sabiendo que I 1 = 20 2 0 A e I 2 = 20 2 90 (A) Resolución.- I = I 1 + I 2 = 20 2 + 20 2 j = 40 45 A P = R I 2 = 10. 40 2 = 16000 W P 1 = R 1 I 1 2 = 10 (20 2 ) 2 = 8000 W ;; P 2 = 8000 W Q 1 = 10 (20 2 ) 2 = 8000 Var Q 2 = - 8000 Var P T = P + P 1 + P 2 = 16000 + 8000 + 8000 = 32 000 W Q T = 8000 8000 = 0 Var S = P + Q j = 32 000 VA 6. El factor de potencia. El factor de potencia, recibe le nombre de k y se define como la relación que existe entre la potencia activa y la aparente : P k = S Parte de la potencia aparente se transforma en activa. Si la tensión y la intensidad son senoidales, el factor de potencia k = cos φ. La energía eléctrica permite que los receptores absorban la energía y la transforme en mecánica, luminosa, calorífica, etc. Debido a esto, la intensidad de corriente se encontrará retrasada una ángulo φ respecto a la tensión, la potencia aparente que absorben de la red una componente activa y otra reactiva de carácter inductivo. La potencia útil representa la energía por unidad de tiempo que absorbe un receptor. La 10
potencia inductiva representa un bombeo de energía. No representa un aumento de potencia útil. Para una misma potencia activa, P, interesa que el factor de potencia sea lo más cercano posible a la unidad, por lo tanto la I, podrá ser más pequeña ( P = I. U cos φ ), lo que se traduce a las ventajas siguientes : Una disminución de las pérdidas por efecto Joule en la línea de conducción. Un aumento de la intensidad disponible por otros usuarios de la red, puesto que la intensidad total posee un valor máximo, determinado por las secciones de los conductores y del generador. Las compañías eléctricas gravan el consumo con factores de potencia bajos, con un complemento, llamado de energía reactiva, aplicándose un valor porcentual K 1 (%), determinándose según la fórmula: K r (%)= Factor de Potencia K r (%) 1 cos φ > 0,95 0,95 cos φ 0,90 cos φ < 0,90 37,026 cos 2 = 41,026 K r (%) = 0 K r (%)= 29,16 cos 2 = 36 Cuando las anteriores expresiones da lugar a un resultado negativo, en vez de recargo se aplica a una bonificación en porcentaje igual al valor absoluto de dicho resultado. El recargo no puede ser superior al 50,7 % ni los descuentos superarán el 4 %. Si el factor de potencia es menor del 0,8 en los usuarios 1.0 ; 2.0.1 ; 2.0.2 ; 2.0.3 y 3.0.1 se les aplica el complemento por energía reactiva. La mayor parte de las líneas son de carácter inductivo y como los receptores se encuentran conectados en paralelo el valor de cos φ corresponde a una instalación y se obtiene a partir del triángulo de admitancias. cos φ = G Y = G G 2 Bc Bl 2 Para que el factor de potencia sea próximo a uno, B C B l = 0, conectándose en paralelos reactancias de condensadores, cuyas reactancias capacitivas compensen las inductivas. En las instalaciones eléctricas no se pueden corregir el factor de potencia hasta que llegue al valor 1, puesto que aparecerían los fenómenos de resonancia, En la práctica el factor de potencia suele estar entre el 0,9 y 0,95. Para transformar el factor de potencia desde cos φ 1 en otro mayor cos φ 2 ; el triángulo de potencias expresa : Q 1 = P tgφ 1 ;; Q 2 = P tgφ 2 Restando ambas expresiones: En valor absoluto Q C = C ω U 2, resulta: Q C = Q 1 Q 2 = P ( tgφ 1 - tgφ 2 ) 11
C = P tg 1 tg 2 P tg 1 tg 2 U 2 = 2.. f.u 2 En el caso de que el factor de potencia cos φ 2 = 0 las ecuaciones serán : C = P.tg 1 U 2 = P. tg 1 2.. f.u 2 Problema 6.- Dado el circuito de la figura : P 1 = 4 kw P 2 = 1 kw P 3 = 5 kw Q 1 = 7 kvar Q 2 = 5 kvar Q 3 = - 2 kvar Determinar: a. La intensidad I usando el teorema de Boucherot. b. La capacidad que ha de tener el condensador que se conecta en paralelo entre A y B para que el factor de potencia pase a ser 0,9 inductivo. Resolución.- P = P 1 + P 2 + P 3 = 4 + 1 + 5 = 10 kw Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 7 + 5-2 = 10 kvar S = 10 + 10 j VA ;; I* = 10000 10000 j 220/0 = 45 + 45 j A I = 45 45 j = 63-45 ;; cos φ 1 = 2 2 ;; φ 1 = 45 ;; cos φ 2 = 0,9 ;; φ 2 = C = P tg 1 tg 2 2.. f.u 2 = 10000 tg 45 tg 25,8 2..50.220 2 = 339 μ F 12
Problema 7.- El circuito de la figura se encuentra alimentado por un generador cuya tensión instantánea es u = 100 2 sen 0,5 π t (V). Determinar las potencias aparente, activa y reactiva y fluctuante proporcionada por el generador. 100 1 j 10 1 2 j 2 Resolución.- = 100 1 j 10. 2 I = = 5 (1-j) A U Z = 100 10 10 j = 100 1 j 10 1 j 1 j = S = U. I* = 100. 5(1 + j ) = 500 + 500 j (VA) S = 500. 2 VA cos φ = P S = 2 2 ;; φ = 45 º P = 500 W ;; Q = 500 VAr P = 500. 2 cos (2. 0,5 π t - 45 ) Problema 8.- En el siguiente circuito, el valor eficaz de la intensidad total que circula por el dipolo es de 30 A. Determinar la potencia aparente absorbida por el mismo: Resolución.- Z = 4. 5 3j 9 3 j = 20 12 j 9 3 j = 23,3/ 31 9,48/ 18,5 = 2,457-12,5 Ω U = I. Z = 73,7-12,5 V ;; S = U I* = 73,7-12,5. 30 = 2211-12,5 VA 13
Problema 9.- En un taller se tiene una potencia instalada de 50 kva con un factor de potencia de 0,8. Determinar la potencia de los condensadores en kvar que se debe de inatalar para que el factor sea la unidad. Resolución.- φ 1 = arc cos 0,8 = 36,8º C = P tg 1 tg 2 2.. f.u 2 tg φ 1 = Q P Q = 30 kvar P cos φ = P = 40 kw S Problema 10.- En el circuito de la figura, cada una de las resistencias consume una potencia de 1,5 W. Sabiendo que R = 7,5 kω, calcular el valor de R 2 Resolución.- Aplicando el teorema de Boucherot.- P 1 = I 2 R 1 ;; I 1 = 0,01414 A U 1 = I. R = 7500. 0,01414 = 106,05 V X C = 1 C = 1 10 6 100 = 10000 Ω I C = U Xc = 0,01067 j A I = I l 2 I c 2 = 0,01771 A ;; R 2 = P I 2 = 4782 Ω tensión U A Problema 11.- En el circuito de AC de la figura se pide : a. El valor eficaz de las intensidades. b. La potencia consumida. c. El factor de potencia. d. Representar el diagrama fasorial de las intensidades tomando como origen de fases la 14
Resolución.- El circuito está formado por tres impedancias en paralelo : Z 1 = 10 10 j = 10 2-45 Ω I 1 = Z 2 = 10 + 10 j = 10 2 45 Ω I 2 = Z 3 = - 10 j = 10-90 Ω I 3 = 100 0 10 2 45 = 7,07 45 A 100 0 10 2 45 = 7,07-45 A 100 0 10 90 = 10 90 A I = I 1 + I 2 + I 3 = 5 + 5j + 5 5j + 10 j = 10 + 10 j A = 14,14 45 A P = U. I. cos φ = 100 14,14 cos 45 = 1000 W S = U I* = 100. (10 10 j) = 1000 1000 j = 1000 2-45 Q = - 1000 j VAr La representación es la siguiente : 15
Problema 12.- En el circuito de la figura de corriente alterna, la tensión posee un valor de 200 V. Determinar los valores eficaces de las tensiones U AB y U BC Representar el diagrama fasorial adoptando la tensión U como origen. Calcular su factorde potencia. Si se desconecta la resistencia R, determinar cuál será el funcionamiento del circuito. A B C Resolución.- Circuito en paralelo resonante ; Z = 10 + 10 j = 10 2 45 I = 200 0 10 2 45 =10 10 j=10 2 45 A ;;U AB = R. I =10 0.10 2 45 =100 2 45 V ;;U ABef =100V U BC = X L. I =10 90.10 2 45 =100 2 45 V ; ;U BCef =100V U =U AB +U BC =100 100 j +100+100 j=200v Al girar la representación 45º El factor de potencia es cos φ = cos 45 = 0,76 I L1 = U AB X L = 100. 2 45 10 90 =10 2 135 = 10 10 j (A) I C = U AB X C = 100. 2 45 10 90 =10 2 45 =10+10 j( A) I L2 = U BC X L2 = 100. 2 45 10 90 =10 2 45 =10 10 j (A) 16
Si no existiese la resistencia R en paralelo : Z = 5j. 5j 5j 5j = 25 0 = La impedancia será infinita. no pasando corriente por el circuito, aunque se encuentre oscilando. El diagrama fasorial es el siguiente: I C I L1 I L2 Problema 13.- En el circuito de la figura I 1 = 2 A e I t = 3 A. Calcular la potencia activa total consumida. I T I 1 I 2 Resolución.- I 2 = U R = 240 160 =1.5 A I 1 2 = I T 2 +I 2 2 2 I T I 2.cosϕ I 2 = I 1 = U Z = 240 0 R+ X L j = 240 0 31+113 j = 240 0 117 75 =2 75 17
4=9+2,25 2.3.1,5.cosϕ ; ;cosϕ = 7,25 =0,81 ϕ =40º 9 I T =3 40 S=U. I =240 0.3 40 =720 40 =551+462 j ;; P=551 W ;;Q=462 VAr Problema 14.- Un generador de 240 V y 60 Hz, suministra 4500 VA a una carga con factor de potencia de 0,75. Calcular la capacidad del condensador que ha de instalarse en paralelo con la carga para que el factor de potencia sea de 0,90 de retraso y 0,90 de adelanto. Resolución.- C = P tg 1 tg 2 2.. f.u 2 ; P = S cos φ 1 = 4500 0,75 = 3375 W tg φ 1 = 0,8819 ;; tg φ 2 = 0,4843 C = 3375 0,8819 0,4843 2..60. 240 2 = 61,79 μ F Cuando hay adelanto, tg φ 2 = - 0,4843 C = 3375 0,8819 0,4843 2..60. 240 2 = 212,34 μ F 18