FIABILIDAD (VI): TESTS DE VIDA ACELERADA

FIABILIDAD (VI): TESTS DE VIDA ACELERADA Autores: Ángel A. Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu), Rafael García Martín (rgarciamart@uoc.edu). RELACIÓN CON OTROS MATH-BLOCS Este math-block forma parte de una serie de 8 documentos relacionados todos ellos con la Fiabilidad de componentes desde un punto de vista estadístico: Conceptos Básicos (I). Identificación y descripción gráfica de los datos (II). Análisis paramétrico de los tiempos de fallo (III). Análisis no paramétrico de los tiempos de fallo (IV). Comparación no paramétrica de muestras (V). Tests de vida acelerada (VI). Modelos de regresión para observaciones censuradas (VII). Análisis Probit (Éxito / fracaso) (VIII). ESQUEMA DE CONTENIDOS Modelos de vida acelerada Fiabilidad (VI): Tests de vida acelerada Ejemplo test de vida acelerada (Minitab) Proyecto e-math 1

INTRODUCCIÓN En ocasiones, realizar un experimento para determinar los tiempos de fallo de un determinado dispositivo puede resultar excesivamente largo y costoso. En tales casos, es recomendable recurrir a un test de vida acelerada, i.e.: un experimento en el que los dispositivos sean sometidos a condiciones más extremas de lo normal, con lo que se conseguirá acelerar el proceso de desgaste y, en consecuencia, se reducirá el tiempo de duración del estudio. Los resultados así obtenidos sobre tiempos de fallos se podrán extrapolar al caso en que los dispositivos se encuentren funcionando en condiciones normales. Normalmente, lo que se hace es incrementar alguna de las llamadas variables aceleradoras (temperatura a la cual trabaja el dispositivo, voltaje, presión, vibración, número de horas al día de uso, etc.), para ver cómo afecta este incremento a los tiempos de fallo de una determinada proporción de dispositivos. Supóngase, p.e., que se desea conocer qué influencia tiene el valor de la variable aceleradora Z sobre el instante en que habrán fallado el 20% de los dispositivos, i.e., sobre el percentil de orden 20 de T ó T 20. El objetivo será pues encontrar una relación matemática entre las variables Z y T 20, i.e.: se buscará un modelo de regresión simple que permita explicar los valores de T 20 a partir de los valores de Z. Para llevar a cabo de forma efectiva estos tests de vida acelerada, será conveniente recurrir a software especializado. En este capítulo se hará uso del programa MINITAB a fin de ejemplificar con casos prácticos los conceptos involucrados en este tipo de estudios. MODELOS DE VIDA ACELERADA Por defecto, MINITAB usará un modelo de regresión lineal simple a la hora de explicar la relación existente entre la variable independiente Z y la variable dependiente Tp (percentil de orden p de T). Sin embargo, es posible construir modelos no lineales sin más que transformar la variable aceleradora. Así, por ejemplo, cuando Z representa la temperatura en grados centígrados a la cual trabajan los dispositivos, es frecuente considerar transformaciones de Z como las siguientes: 11604,83 1 X = Arr( Z) = ; X = Inv( Z) = ; X = Ln Z ; X = Log10Z Z + 273,16 Z + 273,16 Además, según la distribución que sigan los tiempos de fallo T (exponencial, Weibull, etc.), puede resultar conveniente (ver tabla) realizar alguna de las siguientes transformaciones del percentil Tp: Yp = Tp Yp = Ln Tp Yp = Log10 Tp De forma general, el percentil de orden p de la variable dependiente Y será: Yp = a + b X + σ εp donde: a y b son el término independiente y el coeficiente de regresión σ = parámetro de escala (escala = 1 / forma) ε p = percentil de orden p de la distribución de los residuos (ε), la cual vendrá determinada por la distribución de T (ver tabla). Proyecto e-math 2

En la tabla siguiente se relaciona la distribución de los tiempos de fallo T con: 1) Las transformaciones idóneas para Tp, y 2) Las distribuciones que siguen los residuos ε Tests de vida acelerada Y p Distrib. de tiempos de fallo (T) Distrib. de ε Weibull valores extremos (0,1) exponencial Ln T p log-normal base e normal (0,1) log-logística logística (0,1) Log 10 T p log-normal base 10 normal normal (0,1) T p valores extremos valores extremos (0,1) logística logística (0,1) EJEMPLO DE TEST VIDA ACELERADA Supóngase que se desea investigar el proceso de deterioro que sufre la capa aislante de los motores eléctricos. Dichos motores soportan habitualmente temperaturas de entre 80 y 100º C. Con el fin de minimizar los costes del estudio (tanto de tiempo como de dinero), se llevará a cabo un test de vida acelerada. En primer lugar, para acelerar el proceso de desgaste, se registrarán los tiempos de deterioro de la capa a temperaturas extremas de 110, 130, 150, y 170º C. Con estos datos, guardados en el archivo Aislante.mtw, será posible estimar los tiempos de fallo para las temperaturas habituales de 80 a 100º C: Variable aceleradora Temp = 110, 130, 150, Temp min y max habituales Instante de fallo F = fallo ; C = censura Entrada de datos (input): En este caso, se usará una transformación de Arrhenius para la variable aceleradora, i.e., se tomará X = Arr(Z), siendo Z la variable aceleradora que representa la temperatura (Temp en este ejemplo). En base a un estudio anterior, se sabe también que los tiempos de fallo son ajustables mediante una distribución Weibull: Proyecto e-math 3

Será necesario especificar la columna que contiene el indicador de censura (F = fallo, C = censura). Es posible solicitar también, además de los gráficos por defecto, un gráfico de probabilidad para los residuos. Con dicho gráfico se podrá comprobar visualmente si la distribución elegida para los tiempos de fallo (la Weibull en este caso) es correcta: Finalmente, también se pedirá a MINITAB que, a partir del modelo obtenido, realice las predicciones sobre los tiempos de fallo del percentil 50 a las temperaturas de 80 y 100º C (incluidas en la columna Diseño). Es decir, se obtendrán estimaciones del tiempo que tardarían en deteriorarse el 50% de las capas aislantes para una temperatura de 80º C y para una temperatura de 100º C: Proyecto e-math 4

Salida de datos (output): Los resultados se muestran a continuación: Regression with Life Data: T versus Temp Response Variable: T Censoring Information Count Uncensored value 66 Right censored value 14 Censoring value: Censura = C Estimation Method: Maximum Likelihood Distribution: Weibull Transformation on accelerating variable: Arrhenius Información sobre la distribución elegida para T, y sobre la transformación de la variable aceleradora Valores estimados de a, b, y 1/σ (shape=1/scale), así como los p- valores asociados al test con H0: el coeficiente es 0 (i.e., no tiene razón de existir en el modelo) Regression Table Standard 95,0% Normal CI Predictor Coef Error Z P Lower Upper Intercept -15,1874 0,9862-15,40 0,000-17,1203-13,2546 Temp 0,83072 0,03504 23,71 0,000 0,76204 0,89940 Shape 2,8246 0,2570 2,3633 3,3760 Log-Likelihood = -564,693 ProbPlot for T Atención!: dependiendo de la distribución elegida, el output nos dará uno de los dos parámetros (Scale o Shape) Anderson-Darling (adjusted) Goodness-of-Fit At each accelerating level Level Fitted Model 110 22,30 130 0,6750 150 4,996 170 2,435 Standardized Residuals = 0,7553 Predicciones (basadas en el modelo creado) para los tiempos de fallo del 50% de dispositivos bajo las temperaturas indicadas. Table of Percentiles Standard 95,0% Normal CI Percent Temp Percentile Error Lower Upper 50 80,0000 159584,5 27446,85 113918,2 223557,0 50 100,0000 36948,57 4216,511 29543,36 46209,94 Proyecto e-math 5

La tabla de regresión proporciona los coeficientes del modelo. Para una distribución de Weibull (como la que se ha elegido), nuestro modelo sería: Ln T p = 15,1874 + 0,83072 Arr 1 2,8246 ( Temp) + εp donde ε sigue una distribución de valores extremos (0,1). La tabla de percentiles muestra los percentiles de orden 50 para las temperaturas solicitadas de 80 y 100º C. El percentil 50 es un buen estimador para el tiempo de duración esperada de una capa de aislamiento sometida a una determinada temperatura. A 80º C, la protección funcionaría alrededor de 159.584,5 horas (o 18,20 años); a 100º C, la misma protección no superaría las 36.948,57 horas (4,21 años). A partir del gráfico siguiente es posible obtener información sobre la distribución de tiempos de fallo para cada temperatura. En este caso, es posible estimar los percentiles de orden 10, 50, y 90. Finalmente, con en el gráfico de probabilidad de los residuos es posible comprobar si la distribución elegida se ajusta de forma correcta a las observaciones. En general, cuanto más cerca estén los puntos de la recta central, tanto mejor Relation Plot (Fitted Arrhenius) for T será la aproximación: Weibull Distribution - ML Estimates - 95,0% CI Censoring Column in Censura 100000 10,0% 50,0% 90,0% Time to Failure 10000 1000 Probability Plot for SResids of T Extreme value Distribution - ML Estimates - 95,0% CI Censoring Column in Censura 70 90 110 Temp 130 150 170 99,9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 Failure Censor AD* 66 14 0,7553 20 Percent 10 5 3 2 1 0,1-8 -4 Standardized Residuals 0 Proyecto e-math 6

ENLACES [W1] En la dirección de weibull.com puede encontrarse un enlace a un libro electrónico dedicado por completo a los test de vida acelerada El contenido de este libro es el siguiente Proyecto e-math 7