FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 27 de MAY Nombre y apellido: Nota

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1 FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 27 de MAY Nombre y apellido: Legajo: Nota / / / / / 1.- El gobierno de la ciudad ha construido senderos especiales para bicicletas en un barrio de la ciudad de Buenos Aires. Se sabe que antes de la existencia de senderos el número de bicicletas que transitaban por una cierta esquina del barrio en un día hábil era una variable aleatoria con distribución Normal con esperanza igual a 100 y desvío estándar igual a 10. Con el fin de evaluar si la construcción de senderos ha estimulado el uso de bicicletas, se tomó una muestra de 25 días hábiles posteriores a la inauguración del sendero y se midió el número de bicicletas diarias que transitaron por esa esquina. La media de estos 25 días resultó ser 105. a) Plantee un test apropiado para este problema indicando las hipótesis, estadístico de prueba y región crítica de nivel b) Cuál es su conclusión a partir de los datos obtenidos? 2.- Se desea averiguar la proporción p de adultos desempleados en cierta comunidad. Para ello se está planeando tomar una muestra aleatoria de adultos en la comunidad. Se desea construir un intervalo con 90% de confianza para la proporción p cuya longitud no supere el valor a) Qué tamaño de muestra debe tomarse para construir un intervalo de confianza para p con las características deseadas? b) Si en una muestra de 1500 adultos, 75 dijeron estar desempleados, encuentre un intervalo de 90% de confianza para p basado en esta muestra. 3.- El tiempo entre llamadas que recibe la oficina de una corporación tiene una distribución exponencial con una media de 10 minutos. a) Calcule la probabilidad de no recibir llamada alguna en un lapso de 20 minutos. b) Calcule la probabilidad de recibir al menos 2 llamadas en un período de 20 minutos. 4.- a) Modelo lineal: Concepto de coeficiente de correlación b) Si el coeficiente anterior tomara un valor igual a -0,98 cómo interpretaría dicho resultado? 5.- a) Concepto de estimador insesgado b) Exhiba un ejemplo de un estimador insesgado y demuestre que lo es.

2 Probabilidad y Estadística 16/07/2015 Examen Final Apellido y Nombres: Legajo: NOTA 1) Se venden botellas de vino con un contenido nominal de 750 cm 3 pero el contenido real es una v.a. Normal X. En una oficina de Defensa del Consumidor se plantea la necesidad de estimar por intervalo la media de X con un error o precisión de 2 cm 3 y con un nivel de confianza del 98 %. Hay información de que el desvío estándar de X es σ x =10 cm 3. a) Qué tamaño de muestra se debe elegir para realizar la estimación? b) Si en una muestra de tamaño 25 el promedio del contenido resultó ser 752 cm 3, cuál sería el intervalo de confianza del 98%? Interprete el intervalo obtenido. 2) El tiempo de espera en una oficina de correos es una variable aleatoria cuya distribución es exponencial con una media de 10 minutos. a) Halle la probabilidad de que una persona espere más de 15 minutos. b) Cuál es la probabilidad de que en un intervalo de 15 minutos se atienda a más de 2 personas? 3) Un fabricante afirma que por lo menos el 90 por ciento de las piezas de una maquinaria que suministra a una fábrica guarda las formas especificadas. Sin embargo el responsable de la fábrica sospecha que dicha afirmación es falsa. Un examen de 200 de esas piezas reveló que 160 de ellas guardaban las formas especificadas. a) Plantee un test de nivel 0.05 para confirmar la suposición del responsable de la fábrica, indicando el estadístico del test, su distribución y la región crítica. b) En base a lo observado en dicha muestra, encuentra evidencias para confirmar la suposición del responsable de la fábrica? Encuentre el p valor de su conclusión. 4) Función de distribución acumulada. a) Dé la definición general de función de distribución acumulada (que incluya a las variables aleatorias discretas y continuas). b) Cuáles son las propiedades que caracterizan a esta función? 5) Prueba de hipótesis. a) En el procedimiento de un test de hipótesis, qué papel juega en la toma de la decisión el estadístico del test? b) Por qué importa conocer la distribución del estadístico del test bajo la hipótesis nula?

3 UTN FRBA - PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EXAMEN FINAL 30/7/2015 APELLIDO Y NOMBRE: LEGAJO Nº: EJ. I: Para la construcción del balastro de un tramo de vías de ferrocarril se utiliza en un 30% grava proveniente de una cantera y en un 70% granito triturado. En pruebas previas a la colocación se ha detectado que la granulometría de la grava no se encuentra bien graduada en el 5% de las partidas provenientes de una cantera y en el 7% de las partidas de granito triturado. I-A- cuál es la probabilidad de que la próxima partida de grava a ser utilizada en el balastro no se encuentre bien graduada? I-B- si la próxima partida de grava no se encuentra bien graduada cuál es la probabilidad de que sea una partida de granito triturado? EJ. II: Se ha adquirido un generador de electricidad que entrega a la red un voltaje que constituye una variable aleatoria con distribución Normal con una media de 218 V. y un desvío estándar de 10 V. Con la finalidad de incrementar el voltaje se ha mejorado el rendimiento del generador tomándose posteriormente una muestra de 16 mediciones del voltaje obteniéndose un valor de 219 V. II-A- Plantee un test apropiado para verificar la calidad, indicando las hipótesis y el estadístico de prueba para un nivel de significación de Indique cuál es la decisión a tomar sobre la base del resultado de 219 V. obtenido. II-B- cuál es la probabilidad de cometer un error del tipo II si luego de la mejora la tensión es 220 V? EJ. III: La velocidad del rio Paraná bajo el puente Rosario Victoria es una variable aleatoria con distribución de probabilidades Normal. Una muestra de 10 mediciones arrojó un desvío estándar insesgado de 6.2 nudos. Se ha determinado un intervalo de confianza para el desvío estándar cuyo límite inferior es nudos. III-A- cuál es el nivel de confianza de la estimación? III-B- cuál es el límite superior del intervalo? EJ. IV: Una muestra de mediciones de intensidad del sonido en un aeropuerto ha arrojado los siguientes valores: X1, X2, X3 y X4 IV-A- construya un estimador insesgado de la media con los valores obtenidos en la muestra justificando la condición de insesgadez. IV-B- Indique cual es la distribución límite de la media muestral si el tamaño de la muestra tiende a infinito. Justifique. EJ. V: un modelo lineal simple arroja un valor del coeficiente de correlación, V-A- Cómo interpreta el hecho de que el coeficiente de correlación obtenido sea mayor 0.95? V-B- Cómo interpreta el hecho de que el coeficiente de correlación obtenido sea negativo?

4 EXAMEN FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1º Apellido y Nombre: Legajo Nº: 1.- Al depósito de un supermercado llega un cargamento de pomelos blancos y pomelos rosados mezclados que se ofrecen a la venta. Un 4 % de los blancos y un 3 % de los rosados presentan semillas. La probabilidad de que un pomelo tomado al azar de la mezcla tenga semillas es del 3,75%. a) Cuál es el porcentaje de pomelos blancos en el cargamento? b) Cuál es la probabilidad de que un pomelo que tiene semillas sea rosado? 2.- El número de preguntas que hace un alumno a su profesor en una hora de clase responde a un proceso de Poisson. La probabilidad que un alumno realice al menos una pregunta en una hora es de 0, a) Cuál es la probabilidad que un alumno realice en 2 horas a lo sumo de dos preguntas? b) Si T es la variable aleatoria que representa el tiempo, en horas, que transcurre entre dos preguntas consecutivas realizadas por un alumno, calcule E(T) e interprete el resultado obtenido. 3.- En compras de tela por bulto para la confección de camisas se encuentra que cada retazo tiene una cantidad variable X de metros de voile de seda. Aunque el vendedor sostiene que el valor medio de X no baja de 20 metros se busca, mediante una muestra aleatoria, decidir rechazar o no tal afirmación con un nivel α=0,05 Se tomaron 8 bultos al azar y se obtuvieron los siguientes valores de X en metros: X i (m) 15,4 18,2 20,3 17,5 22,6 14,8 17,4 19,4 a) Realizar el test correspondiente y plantear la regla de decisión. b) Si se tomara una nueva muestra aleatoria de 8 valores de X y la media muestral resultara x = 18,4 qué decisión tomaría? por qué? 4) a) Definición de estimador insesgado de un parámetro poblacional. b) Sea una muestra aleatoria obtenida a partir de una población normal con media resulte insesgado:. Determinar el valor de h tal que el siguiente estimador para la media = 5.- Acerca del Modelo lineal: a) Concepto e interpretación del coeficiente de determinación b) Si en un modelo lineal el coeficiente de determinación resultara igual a 0.89 y el coeficiente de correlación igual a 0.94 cómo interpretaría ambos resultados?

5 UTN - FRBA - PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EXAMEN FINAL 16 DE FEBRERO 2016 APELLIDO Y NOMBRE: N º LEGAJO: NOTA a b a B a b A b a b 1.- Sean A y B dos sucesos independientes contenidos en un espacio muestral S. La probabilidad de que ambos ocurran es igual a 0,24. La probabilidad de que ocurra solamente uno cualquiera de ellos y el otro no (ambas posibilidades) vale 0,52. a) Calcular un par de valores posibles para P(A) y P(B) b) Calcular P ( A B ) 2.- El consumo doméstico mensual de electricidad Y (en miles de kilowatios) en un pueblo de la provincia de Buenos Aires sigue una distribución normal. Si se sabe que hay un 69% de meses con consumo menos o igual a 16 kilowatios y un 2,5% de meses con consumo mayor o igual a 17.9 kilowatios a) Hallar el valor de los parámetros de la distribución (media y desvío standard) b) Cuál es la probabilidad de que en un mes el consumo de electricidad esté comprendido entre y kilowatios? 3.- Un fisioterapeuta sostiene que su método consigue aumentar en 3 kg. Al menos la resistencia media del esfuerzo de un músculo en particular en personas de 20 a 40 años. Quien cuestiona su eficiencia propone la toma de una muestra aleatoria de 30 individuos que usaron el método, obteniéndose aumentos de la resistencia muscular cuya media fue de 2,92 kg y su desvío 0,24 kg. Considerando un nivel de significación del 10 %, se pregunta: a) Existe razón suficiente para descartar la eficiencia del método? b) Explique el concepto de valor p y determínelo para este caso 4.-A partir de una muestra de tamaño n extraída de una variable aleatoria normal con media igual a y desvío igual a, se proponen los siguientes estimadores para la media poblacional: ˆ x1 x ˆ 2 x2 x Son ambos insesgados? Justifique su respuesta 5.- Modelo de regresión lineal simple: La aplicación del criterio de los mínimos cuadrados consiste en minimizar cierta función: a) a qué función se le aplica el criterio? b) qué parámetros se estiman por aplicación de ese criterio?

6 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - EXAMEN FINAL 23/02/2016 APELLIDO Y NOMBRE: Nº LEGAJO: NOTA a b a b a b a b a b 1.- Una empresa que fabrica bombas hidroneumáticas se preocupa por el nivel de ruido medio que producen las mismas, que debe ser inferior a 75 decibeles. Una muestra aleatoria de 36 mediciones del nivel de ruido tiene una media de 74 decibeles con una desviación estándar de 3.3 decibeles. a) Plantee un test adecuado de nivel 0.05 para confirmar si el nivel de ruido medio producido por las bombas es inferior a 75 decibeles. Qué decisión tomaría en este caso? b) Cuál es el p-valor de su conclusión? 2.- El número de fallas que presenta una máquina sigue un proceso de Poisson con intensidad de 3 por día. a) Cuál es la probabilidad de que en 2 días se produzcan menos de 4 fallas? b) Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 12 horas hasta que se produzca la primera falla? 3.- Se ha observado que un termómetro sometido a condiciones meteorológicas adversas da una medición entre 2 grados menos y 2 más de la temperatura real. El error cometido es una variable continua con función de densidad: (2 x) si -2 x 2 f ( x) 8 0 en otro caso a) Cuál es la probabilidad de que el termómetro cometa un error entre -1 y 1 grado? b) Halle el valor medio de la variable Y= 3X Sucesos Independientes. a) Definición. b) Demuestre que si A y B son sucesos independientes entonces P(A B) = P(A) * P(B). 5.- Proporción muestral a) Defina el estimador proporción muestral y demuestre que es un estimador insesgado del parámetro p de una variable aleatoria con distribución binomial. b) Cuál es la distribución de la proporción muestral? Justifique.