Inducción Electromagnética Área Física Resultados de aprendizaje Calcular diferentes magnitudes físicas en circuitos sujetos a inducción magnética. Contenidos 1. Introducción teórica. 2. Ejercicios. Debo saber Flujo magnético El flujo magnético se puede visualizar como la densidad de líneas de campo magnético que atraviesan un área, y que se expresa como el producto punto entre el campo magnético y un vector normal a la superficie que atraviesa. Campo magnéti o Superfi ie 6 Normal Figura 1. Cuando el ángulo entre la normal y el campo se acerca a atraviesa la superficie disminuye., la cantidad de líneas que Nota: Flujo magnético es un producto punto donde B y S son vectores respectivamente. B representa campo magnético y S representa superficie o Segunda Edición - 2017 1
De esta expresión se pueden deducir las diferentes maneras de obtener una fem inducida: ( o ) o o in El primero de los tres últimos términos es la variación en el campo magnético, el siguiente una variación en la superficie y el último la variación en el ángulo entre el campo y la superficie. El flujo magnético es medio en Weber [Wb] u Tesla Metro Cuadrado [Tm 2 ]. Ley de Faraday-Lenz Una corriente inducida por un campo magnético producirá otro campo magnético, contrario al que indujo la corriente. La relación cuantitativa se expresa como: Donde es el voltaje inducido, y el flujo magnético, que puede depender de las coordenadas espaciales (por eso la derivada parcial en el tiempo). Signo negativo da cuenta de la oposición al campo causado por la corriente inducida. Dicho de otra manera, se puede decir que la Ley demuestra que al circular corriente por un alambre. Este genera un campo magnético a su alrededor, y si este campo magnético es variable en el tiempo, se producirá una fem inducida o voltaje inducido. Figura 2. El imán cae, creando corrientes; las mismas corrientes generan campos magnéticos que se oponen a la aceleración del imán debido a la gravedad, haciendo que se mueva a velocidad constante. (El experimento se puede realizar con un imán y un Segunda Edición - 2017 2
Ejercicio 1 Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo magnético de la tierra de y luego en se gira. Cuál es la fem promedio generada en la bobina? R: El área de una de las espiras circulares es: En el flujo a través de una vuelta es perpendicular a la superficie: o Luego : o Los cambios en el flujo y el tiempo son: Con, la fem inducida es: Ejercicio 2 Un cubo de lado está colocado como se muestra en la Fig. 3. A través de él hay una región de campo magnético uniforme dado por. a) Calcule el flujo a través de la cara sombreada. b) Cuál es el flujo total a través de las seis caras? R: a) El flujo magnético a través de la cara sombreada es: ( ) ( ) Segunda Edición - 2017 3
y B l z l l x Figura 3. Campo magnético a través de un cubo de lado. b) Para cualquier superficie cerrada, el flujo es nulo (todas las líneas que salen, vuelven a entrar): ( ) Ejercicio 3 En la Fig. 4, el imán de barra se mueve hacia la espira. El valor es positivo, negativo o cero? N v S a R b Figura 4. Imán en movimiento. R: Las líneas de campo magnético van del polo norte al polo sur magnético, entonces las líneas atraviesan la espira de la siguiente manera: Como se aprecia en la Fig. 5, el flujo de la espira aumenta a medida que el imán se acerca. De acuerdo a la ley de Lenz, en este caso se inducirá una corriente cuyo sentido será tal que el campo magnético inducido por la corriente generada se opondrá al flujo del campo externo. De acuerdo a lo mencionado, la corriente irá en sentido anti horario dentro de la espira. Segunda Edición - 2017 4
N S v Figura 5. Líneas de campo magnético. En la figura se muestra como en la resistencia la corriente va desde el terminal al terminal. Como en la resistencia se produce una caída de tensión, el terminal está a mayor potencial que, esto implica que la diferencia de potencial sea negativa. Ejercicio 4 Una bobina circular, que está formada por 100 espiras de de radio y de resistencia se encuentra colocada perpendicularmente a un campo magnético de. Si el campo magnético se anula al cabo de. Determine la fuerza electromotriz inducida, la intensidad que recorre el circuito y la cantidad de carga transportada. Cómo se modifican las magnitudes anteriores si el campo magnético tarda el doble de tiempo en anularse? R: El flujo de campo magnético que atraviesa inicialmente a la bobina es: Con la ley de Lenz: o ( ) o Y con la ley de Ohm: Finalmente, con, se obtiene que la carga transportada es: Segunda Edición - 2017 5
Si el campo tarda el doble en anularse,, entonces la rapidez con que varía el flujo magnético es menor, por lo que disminuye el valor de la fem y la intensidad de la corriente; no obstante, la cantidad de carga transportada permanece igual. 6 6 6 6 Ejercicio 5 Una corriente de está cargando un capacitor que tiene placas circulares de de radio. Si la separación de placas es de 4 [mm]. a) Cuál es la rapidez de incremento en el tiempo del campo eléctrico entre las placas? b) Cuál es el campo magnético entre las placas a del centro? R: El flujo del campo eléctrico es, y sabiendo en este caso que, se tiene: ( ) Entonces: a) [ ] b) [ ] Ejercicio 6 Una varilla conductora de longitud está libre para deslizarse sobre dos barras paralelas conductoras, como se muestra en la Fig. 6. Dos resistores y, están conectados en los extremos de las barras formando una espira. Un campo magnético constante Segunda Edición - 2017 6
está dirigido perpendicularmente hacia el interior de la página. Un agente externo jala la varilla hacia la izquierda con una rapidez constante * +. Determinar: a) Las corrientes que pasan por ambos resistores. b) La potencia total entregada a la resistencia del circuito. c) La magnitud de la fuerza aplicada necesaria para mover la varilla a esta velocidad constante. B x y Ω v Ω Figura 6. Varilla en movimiento. R: Para ordenar el problema, se clasifican las dos áreas creadas por la varilla, en 1) al área izquierda y en 2) el área derecha. En 1) el flujo a través de la espira va disminuyendo debido al movimiento de la varilla. Aplicando la ley de Lenz se determinará el sentido de circulación de la corriente inducida. Como en la espira 1 el flujo de las líneas de campo va disminuyendo, la corriente tomará un sentido tal que el campo magnético inducido por irá en el mismo sentido del campo magnético externo. Utilizando la regla de la mano derecha, se observa que el sentido de circulación de es en el sentido horario, como se muestra en la Fig. 7. Luego para determinar el sentido de circulación de la corriente inducida por la espira 2, se aplica nuevamente la ley de Lenz. Como en la espira 2 el flujo de líneas de campo magnético externo está aumentando, el sentido de la corriente inducida será tal que el campo magnético inducido por la corriente se opone a la variación del flujo a través de la espira. Como se muestra en la figura, tendrá sentido anti horario. Ahora que se tienen los sentidos de las corrientes inducidas e, se procede a calcular la fem generada por ambas espiras. Segunda Edición - 2017 7
Segunda Edición - 2017 8 Figura 7. Corrientes en el sistema. Considerando la espira 1): Donde y ( ) ( ( ( )) ) Luego: * + a) Como las dos espiras comparten los terminales A y B, las espiras tendrán el mismo voltaje. Aplicando la ley de Ohm se determina e : v B Ω Ω i i i i a A B
b) La potencia se determina a través de la siguiente ecuación: Donde Entonces la potencia entregada es. c) Al moverse la varilla, se induce una fem y una corriente, pero la corriente está inmersa en un campo magnético, por lo tanto, la varilla con corriente sentirá una fuerza de Lorentz debido al campo magnético externo. Con y, se procede a calcular esta fuerza: ( ) ( ) ( ) Como la varilla se mueve a una velocidad constante, la fuerza ejercida por el agente externo tiene que ser igual a la fuerza de Lorentz, pero en sentido opuesto. Segunda Edición - 2017 9
Ejercicio 7 La espira que aparece en la Fig. 8, se halla dentro de un campo magnético uniforme * +. Si el lado DC de la espira corta las líneas de flujo a una frecuencia de encuentra en el plano en l instante, calcule: a) La fuerza electromotriz inducida en. b) La corriente inducida en. y la espira se B z cm B cm Ω C A φ ω y x D Figura 8. Espira en rotación. R: Utilizando la expresión: ( ) Donde en el mismo sentido de la corriente inducida. Para determinar el sentido de la corriente, hay que observar que porción de la espira rectangular corta las líneas de flujo de campo magnético, en este caso es el tramo DC. En el tramo DC se inducirá la fem que dará origen a la corriente inducida. Al igual que todos los ejercicios anteriores, la corriente será tal que el campo magnético inducido se oponga a la variación del flujo de campo magnético externo. Al observar los datos conocidos, solo conocemos el campo magnético externo. Al determinar un, solo falta la velocidad con la que se mueve la barra DC. Con en coordenadas cilíndricas. Segunda Edición - 2017 10
z C v φ ρ y x D Figura 9. Coordenadas cilíndricas. dl Como : Donde y Luego, como el campo magnético externo está en términos de coordenadas rectangulares: in o Entonces: ( in o ) Calculando el producto entre y : in o o ( ) Evaluando la integral: o ( ) o 6 o Segunda Edición - 2017 11
Ahora se necesita determinar : ( ) Con. A partir de la condición inicial que en la espira se encontraba en el plano. ( ) Se tiene: ( ) Por lo tanto: 6 o ( ) 6 in( ) Por lo tanto, para a) Y para b): 6 in( ) Ejercicio 8 Una esfera de radio tiene una densidad de carga volumétrica constante. Determine el momento magnético de la esfera cuando ésta gira como un cuerpo rígido a velocidad angular alrededor de un eje que pasa por su centro. R: El momento magnético es simplemente una cantidad que determina el torque que experimentaría un imán, o una corriente en un campo magnético externo. El volumen de un anillo infinitesimal es in (en coordenadas esféricas). La longitud del de la circunferencia del anillo es in y es el grosor. El área del anillo es in. La carga total por anillo es igual al producto de la carga y la velocidad con la densidad de carga: in Segunda Edición - 2017 12
ω R Figura 10. Esfera cargada rotando alrededor de su eje. La corriente por anillo es el producto de la carga y la velocidad angular ( ), entonces: in in El módulo del momento magnético es, y se conserva la dirección del vector superficie, que sería hacia arriba, en el eje de rotación. El momento magnético infinitesimal es: in Con el cambio de variable: in o ( o ) in o o o Finalmente, el momento magnético es: ( ) ( ) Segunda Edición - 2017 13
Responsables académicos Corregida Editorial PAIEP. Si encuentra algún error favor comunicarse a ciencias.paiep@usach.cl Fuentes Nahvi, M., Edminister, J. (2003). Schaum s Outline of Theory and Problems of Electric Circuits. (4 a ed.). Nueva York, Estados Unidos: McGraw Hill. Serway, R. (1993). Electricidad y Magnetismo. (3 a Interamericana. ed.). México DF, México: McGraw Hill Benguria, R., Depassier, M., Favred, M. Problemas resueltos de electricidad y magnetismo. (3ª ed.). Universidad Católica de Chile. Serway, R., Jewett, J. (2005). Física para ciencias e ingenierías. Tomo II (6 a ed.). California, Estados Unidos: Thomson-Brooks/Cole. Segunda Edición - 2017 14