TUBO DE RESONANCIA ONDAS ESTACIONARIAS 1. OBJETIVO Estudio de las ondas acústicas y de su propagación en el interior del tubo de Kundt. Cálculo de la velocidad del sonido. 2.- FUNDAMENTO TEÓRICO La resultante de dos ondas de la misma naturaleza (igual amplitud y frecuencia), que se encuentran en una región finita del espacio, es una nueva onda, denominada onda estacionaria, cuya perturbación es la suma de las perturbaciones de las ondas originales. La ecuación de onda de la onda estacionaria se caracteriza por tener variables separables. Dependiendo de las condiciones en los extremos, la parte espacial de la onda se describirá por la función seno o coseno, siendo la forma más genérica de escribirla: y(x, t) (A sen kx + B cos kx). sen (ω t) (1) Por ejemplo, en el caso de una onda estacionaria con condición de mínimo en el extremo x0, tendremos: y(x 0, t) (A sen 0 + B cos 0). sen (ω t) 0 t lo que supone que B tiene que ser cero y la parte espacial de la onda viene descrita por la función seno: y(x, t) A sen kx. sen (ω t) Ampl(x). sen (ω t) siendo: Ampl(x) A sen kx De esta forma, la amplitud es función de la posición x en el medio material, denominándose vientres o antinodos a las posiciones x donde la amplitud es máxima, y nodos a los puntos donde la amplitud es nula. Así, para el caso analizado, donde la parte espacial de la onda viene dada por la función seno, tendremos: VIENTRES: sen(kx)±1 kx(2n+1)π/2 (n número entero) NODOS: sen(kx)0 kxnπ (n número entero) (2) En el caso de que la parte espacial venga descrita por la función coseno, tendremos: VIENTRES: cos(kx)±1 kxnπ (n número entero) NODOS: cos(kx)0 kx(2n+1)π/2 (n número entero) (3) - 1 -
En ambos casos podemos ver que la distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda (λ/2) y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es igual a un cuarto de longitud de onda (λ/4). Ondas sonoras Una onda sonora es una onda (longitudinal) producida a consecuencia de los cambios de presión en un fluido (simplificamos la situación a una columna de gas). En este caso, se produce una variación de la presión a lo largo del tubo (ondas de presión), así como un desplazamiento de las moléculas del gas alrededor de su posición de equilibrio (ondas de desplazamiento). Las ondas de presión y las ondas de desplazamiento están desfasadas en 90º, de forma que en los puntos de máximo desplazamiento la presión es nula, y en los puntos de mínimo desplazamiento la presión es máxima. Los tubos que contienen columnas gaseosas pueden tener los dos extremos cerrados, abiertos o un extremo abierto y el otro cerrado. Tubo cerrado por ambos extremos: en este caso, aparecen en los extremos del tubo un vientre de presión acústica (ver figura 1) (y por tanto un nodo de desplazamiento). Figura 1: Ejemplo de algunos modos de vibración en ondas de presión. - 2 -
Como podemos observar, para los diferentes armónicos tenemos: λ 2L n n número entero (4) Las ondas sonoras se desplazan con velocidad v s (velocidad del sonido en el medio), de forma que: λ v s λ. ν (5) T Así, las frecuencias de los distintos armónicos serán: ν v λ s v s n 2L n número entero (6) Tubo abierto ambos extremos: en este caso aparecen en ambos extremos nodos de presión (vientres de desplazamiento). Puede comprobarse que los valores de las frecuencias de los distintos armónicos vienen dados de nuevo por la expresión (6). Tubo abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro: en este caso, en el extremo cerrado tendremos un vientre de presión (y por tanto un nodo de desplazamiento), mientras que en el extremo abierto aparecerá un nodo de presión (y por tanto un vientre de desplazamiento). Figura 2: Ejemplo de algunos modos de vibración en ondas de presión - 3 -
Como podemos observar, para los diferentes armónicos tenemos: λ 4L (2n + 1) n número entero (7) En este caso, las frecuencias de los distintos armónicos serán: ν v λ s v s (2n + 1) 4L n número entero (8) 3.- MATERIAL UTILIZADO Tubo de Resonancia con escala graduada y altavoz Pistón Móvil para variar la longitud del tubo de resonancia Micrófono Generador de funciones Osciloscopio Cables y conectores 4.- EXPERIMENTACIÓN El tubo de Resonancia es un dispositivo que permite estudiar las ondas estacionarias generadas en su interior. Consiste en un tubo de plástico graduado, cerrado en uno de sus extremos por la ubicación de un altavoz. El otro extremo puede estar cerrado o abierto en función de que se introduzca o no el pistón móvil, accesorio que permite en los tubos cerrados variar la longitud del mismo. El altavoz está conectado a un generador de funciones y transforma las señales producidas por el generador en ondas sonoras. El micrófono, introducido en el tubo, detecta estas ondas y las transforma en señales eléctricas que son observadas en el osciloscopio. Cuando la frecuencia de la onda generada por el altavoz coincida con una de las frecuencias posibles de los distintos armónicos, se producirá un fenómeno de resonancia observándose un máximo de señal en el osciloscopio. Figura 3: Dispositivo Experimental - 4 -
4. 1 Cálculo de la Velocidad del Sonido en un Tubo Cerrado por ambos Extremos. Seleccionen una longitud del tubo de Resonancia con la ayuda del pistón móvil, que puede introducirse en el interior del tubo. Enciendan el osciloscopio y el generador de funciones. Para conocer el funcionamiento de ambos equipos consulten la información que acompaña a la práctica. Enciendan el micrófono (ON/OFF) y colóquenlo justo en el extremo del tubo. Para localizar las frecuencias resonantes (y por tanto las frecuencias de los diferentes armónicos) varíen el selector de frecuencias del generador (entre 20 y 20000 Hz) y, con ayuda del osciloscopio, localicen los distintos máximos de presión. Es suficiente para la realización del estudio tomar los valores de las frecuencias correspondientes a siete armónicos, que no tienen por qué ser consecutivos. Para cada frecuencia de resonancia se determinará también experimentalmente el valor de la longitud de onda. Para ello, desplacen el micrófono a lo largo del tubo y determinen λ sabiendo que, la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos es igual a λ/2 y la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es igual a λ/4. L ν (Hz) λ (cm) 1/λ (cm -1 ) Representen νf(1/λ) y, determinen la velocidad de propagación del sonido realizando un ajuste por mínimos cuadrados a los datos. Comparen la velocidad del sonido así calculada con el valor teórico de la misma. La velocidad del sonido en aire a una temperatura de 20 o C es: v s (20 o C)343,7 m s -1 Expresen el error relativo (%) cometido al comparar ambos valores. - 5 -
4. 2 Cálculo de la Velocidad del Sonido en un Tubo Cerrado por un Extremo y Abierto por el otro Extremo. Extraigan ahora el pistón móvil para dejar el tubo abierto por un extremo, y localicen ahora, con la ayuda del osciloscopio, los mínimos de presión. Varíen, al igual que en el apartado anterior, el selector de frecuencias del generador entre 20 y 20000 Hz. De manera similar a como se realizó en el apartado anterior, tomen los valores para cinco frecuencias de resonancia y localicen las longitudes de onda correspondientes. Representen νf(1/λ), realicen a los datos un ajuste por mínimos cuadrados y calculen la velocidad de propagación del sonido. Expresen el error relativo cometido al comparar el valor así calculado con el valor teórico proporcionado. ν (Hz) λ (cm) 1/λ (cm -1 ) A la vista de los datos obtenidos, cuándo se comete un error mayor en el cálculo de la velocidad del sonido, en el caso de tubos cerrados por los dos extremos o cuando el tubo sólo está cerrado por un extremo? Razone la respuesta. - 6 -