PP: gran cantidad de faltantes Mejor solución no siempre es la misma: 1) Trabajar con datos incompletos (ojo con no sesgar la serie!!) 2) Completar con algún método
Definición: Homegeneidad 2 estaciones A y B Est A Est B A1 b1 A2 b2.. A = Σ Ai B = Σ bi Qi = bi/ai en el período coincidente.. Aj bj A y B son homogéneas cuando: σ (Q) < σ (A) y σ (Q) < σ (B) An An+1.... bn
Primer método de estimación de faltantes Condición: A y B homogéneas bj: faltante Est A Est B A1 b1 A2 b2.. A = Σ Ai B = Σ bi en el período coincidente sin contar ni Aj ni bj.. Aj bj Q = B/A bj se estima como: bj = Aj Q An An+1.... bn
Segundo método de estimación de faltantes Idea: Establecer si las 2 estaciones están relacionadas a través de una relación lineal Y cuantificar esa relación Método de las mínimos cuadrados Estacion B 20 P2 E1b y = 3,2052+0,4978*x y 18 16 14 12 10 8 Estacion B = bo +b1 Estación A Pendiente b1 =(Σxi yi n xm ym)/(σxi 2 n xm 2 ) Ordenada al origen 6 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 x:y: r 2 = 0,3897; r = 0,6243 p = 0,0015; y = 3,20524017 x + 0,497816594*x Estación A
20 P2 E1b y = 3,2052+0,4978*x 18 16 Ŷ= b1 x * bo y 14 12 SSE SSR SST 10 8 6 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 x:y: r 2 = 0,3897; r = 0,6243 p = 0,0015; y = 3,20524017 x + 0,497816594*x SST = SSR + SSE Suma de los cuadrados de error No explicado por la recta Σ (yi-ŷ) 2 Suma total de los cuadrados ΣΣ(yi-ym) 2 Suma de los cuadrados debida a la regresión Σ(Ŷ-ym) 2
Cómo sabemos si el ajuste es bueno????? Coeficiente de determinación: mide la proporción de la variación que es explicada por la variable independiente del modelo R 2 = SSR/SST = 1 SSE/SST Ejemplo: R 2 = 0.91 indica que el modelo lineal entre Y y X explica un 91% de la variabilidad de Y. TEST DE SIGNIFICANCIA 1) TEST NORMAL. R ~ N(0 ; 1/(N-2)1/2 ) R > 1.96/ (N-2)1/2 SIGNIFICATIVO CON 95% DE CONFIANZA R > 2.58/ (N-2)1/2 SIGNIFICATIVO CON 99% DE CONFIANZA 2) Test T Ho : R=0 T = ( R (n-2) ½ ) / (1-R 2 )
Cuándo puede usarse para el caso de relaciones no lineales?? y = c e dx Ln y = ln c + d x lne Ln y = ln c + d x Llamando: Y = ln y b = ln c Y = b + d x es una relación lineal También pueden usarse ajustes no lineales
Con Excel: Grafico Dispersion Agregar línea de tendencia Lineal (o cualquier otro ajuste) Mostrar ecuación y R Con STATISTICA: Statistics Multiple regresion Resultados: R 2 porcentaje de varianza explicada por la recta F = SSR/SSE debe ser lo más grande posible para que el ajuste sea bueno P debe ser menor que el nivel de significancia con el que se quiere trabajar Coeficientes B: ordenada al origen y pendiente y los respectivos test para ver si difieren de cero.
8 7 y = 0.0037x + 4.0034 R 2 = 0.1703 6 5 4 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Tercer método de estimación de faltantes Se cuenta sólo con la serie A y falta un dato intermedio. Estación A 20 18 P2 E1b y = 3,2052+0,4978*x Estacion A = bo +b1 Tiempo 16 14 y 12 10 8 6 Solo interpolación!!! Ojo extrapolación!! 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 x:y: r 2 = 0,3897; r = 0,6243 p = 0,0015; y = 3,20524017 x + 0,497816594*x Tiempo
Reducción de Promedios a Períodos de igual Longitud Estimar el promedio de B para n+k años: Est A Est B A1 b1 A2 b2.. Período coincidente: hasta año n A1 = Σ Ai/n promedio primeros n años B1 = Σ bi/n promedio primeros n años.. Aj An An+1.. An+k.. bj bn Q = B / A A2 = Σ Ai/(n+k) promedio n+k años Estimo: B2 = Σ bi/(n+k) = Q A2
Ai precipitación en el tiempo i; serie temporal de n términos VARIABILIDAD MEDIA = Σ ІAi ĀІ / n VARIABILIDAD SECUENCIAL = Σ ІAi Ai-1І / (n-1) VARIABILIDAD RELATIVA = VARIABILIDAD SECUENCIAL / Ā
Análisis de variabilidad de la precipitación: Indice de pluviosidad implica realizar la siguiente transformación: Pi = pi /Pmedia * 100 porcentaje de la precipitación normal esperada Pj > 100 pp superiores a las normales Pj < 100 pp inferiores a las normales
Método de los Quintiles para precipitación mensual Ejercicio 11 Se necesita tener una muestra de datos ordenada Ext subnormal sub normal sobre Ext sobre -------------------------------------------------------------------------------- pp 20% 40% 60% 80% 100% Quintil1 Quintil 2 Quintil 3 Quintil 4 Percentil 20 Percentil 40 Percentil 60 Percentil 80 Ver: ejemplosparaclase.xls Pagina PPMENSUAL
Método de los Quintiles para precipitación diaria Ejercicio 12 N días en total N-k días con pp Método de los quintiles OJO!!! Distinguir pp nula de dato faltante Ver: ejemplosparaclase.xls Pagina PPDIARIA
Con serie original de datos: Histograma Ojiva Ejercicio 14 y 15 Cálculo de probabilidades probabilidad ojiva pp AJUSTE POR FUNCIONES DE PROBABILIDAD Ejercicio 13 y 17 Si la distribución es simétrica: ajuste NORMAL Si no es simétrica: transformación: LOG NORMAL
Para variables positivas: precipitación, presión de vapor, evaporación, agua precipitable Distribución GAMMA : X tiene distribución γ (α ; β) cuando la función de densidad probabilística es: F (x) = 1 / β αг(α) x α-1 e -x/β Donde Г es la función gamma Α = (1 + (1+4/3 A) 1/2 ) / 4 A α= ln (xmedio) Σ(ln x) / n β = xmedio /α
α y β > 0 Esperanza de la distribución = α * β Varianza de la distribución = α * (β) 1/2
Planilla de cálculo de distribución gamma: AJUSTEGAMMA.XLS Calcula ln (pp), parámetros α y β, Probabilidad con la función DISTR.GAMMA (x; α; β; Argumento) Argumento = verdadero probabilidad acumulada Argumento = falso función de densidad Si se conocen los parámetros de la distribución, se puede estimar el valor de pp por debajo del cual caen los valores con un determinado nivel de probabilidad: DIST.GAMMA.INV (probabilidad; α; β) Función de distribución acumulada probabilidad x pp
Ajuste por distribución Normal y Log Normal: **** Con Excel: DISTR.NORMAL (x; media; desvío; Argumento) DISTR.LOG.NORMAL (x; media; desvío) **** Con STATISTICA: Statistic Distribution Fitting Elegir la distribución Da las frecuencias observadas y las esperadas con el ajuste
Período de retorno: es el tiempo promedio (en años) esperado para la repetición de determinado evento Un suceso que ocurre m veces en n años tiene probabilidad de ocurrencia: P = m/n El intervalo medio entre sucesivas recurrencias será el período de retorno: T = n/m = 1/P
Ejemplo: Si existe un 2% de riesgo de que se produzca una tormenta intensa quiere decir que P(tormenta intensa) =0.2 T = 1/0.2 = 50 años Esto no quiere decir que la tormenta se produzca regularmente cada 50 años sino que en un período largo (por ejemplo 500 años), es posible que la tormenta se repita 10 veces!!!!
Probabilidad de excedencia: Probabilidad de que, dado un determinado período de retorno T, o bien la probabilidad p de determinado evento (p= 1/T), el mismo ocurra al menos una vez en el intervalo de tiempo de n años: P (T,n) = 1 (1-1/T) n Ejemplo: cuál es la probabilidad de que una tormenta cuyo período de retorno es 50 años, ocurra al menos 1 vez en los próximos 5 años: P(50; 5) = 1- (1-1/50) 5 = 0.096 = 9.6%
INTENSIDAD DE UNA TORMENTA Es la cantidad de lluvia caída en un intervalo de tiempo dado Intensidad (mm/h) Para analizar la evolución de una tormenta se toman intervalos cada vez más pequeños y se compara la intensidad. hietograma tiempo Pico de intensidad en un intervalo de tiempo: Máximo cambio de precipitación en ese intervalo durante toda la tormenta
Ejemplo: Tiempo (min) pp(mm) 5 1 10 7 15 15 20 6 25 3 30 2 Total de pp caída en la tormenta: 1+7+15+6+3+2 = 34 mm Tiempo de duración de la tormenta: 30 minutos Pico de intensidad para 5 min: El máximo es que entre 10 y 15 min llovieron 15 mm: 15mm/5min = 180 mm/h Pico de intensidad en 10 minutos: Tiempo(min) 10 20 30 Pp (mm) 8 21 5 21mm/10min = 126 mm/h Intensidad media de la tormenta: Pptotal/tiempo total = 34 mm/30min = 68 mm/h