A cellular automata to model epidemics Leonardo López Germán Burguener Leonardo Giovanini Pablo Beldoménico CAIS 2013 4 o Congreso Argentino de Informática y Salud 42 a Jornadas Argentinas de Informática 19 de septiembre de 2013 C O N I C E T sinc( i)
Contenido 1 Introducción Modelos epidemiológicos Modelos basados en autómtas celulares 2 Definición del autómata celular Rasgos generales del modelo Formalización del modelo Algoritmo propuesto 3 Ventajas del modelo 4 Ajuste 5 Resultados 6 Datos de contacto
Modelos epidemiológicos Introducción Muchos modelos epidemiológicos emplean ecuaciones diferenciales e incorporan la hipótesis de mezcla homogenea 1 2 Simplifican el análisis pero resulta poco realista en determinadas situaciones. Ignoran factores espaciales tales como: Densidad variable de la población. Dinámica poblacional. 1 Chowell, G., Ammonb, C., Hengartena, N., Hymana, J., 2005. Transmission dynamics of the great influenza pandemic of 1918 in geneva. Switzer- land: Assessing the effects of hypothetical interventions. 2 Anderson, R., May, R., 1991. Infectious diseases of humans: dynamics and control. Oxford University Press. Leonardo López - CAIS-2013 3/21
Modelos epidemiológicos Introducción Muchos modelos epidemiológicos emplean ecuaciones diferenciales e incorporan la hipótesis de mezcla homogenea 1 2 Simplifican el análisis pero resulta poco realista en determinadas situaciones. Ignoran factores espaciales tales como: Densidad variable de la población. Dinámica poblacional. 1 Chowell, G., Ammonb, C., Hengartena, N., Hymana, J., 2005. Transmission dynamics of the great influenza pandemic of 1918 in geneva. Switzer- land: Assessing the effects of hypothetical interventions. 2 Anderson, R., May, R., 1991. Infectious diseases of humans: dynamics and control. Oxford University Press. Leonardo López - CAIS-2013 3/21
Modelos epidemiológicos Introducción Muchos modelos epidemiológicos emplean ecuaciones diferenciales e incorporan la hipótesis de mezcla homogenea 1 2 Simplifican el análisis pero resulta poco realista en determinadas situaciones. Ignoran factores espaciales tales como: Densidad variable de la población. Dinámica poblacional. 1 Chowell, G., Ammonb, C., Hengartena, N., Hymana, J., 2005. Transmission dynamics of the great influenza pandemic of 1918 in geneva. Switzer- land: Assessing the effects of hypothetical interventions. 2 Anderson, R., May, R., 1991. Infectious diseases of humans: dynamics and control. Oxford University Press. Leonardo López - CAIS-2013 3/21
Modelos epidemiológicos Introducción Leonardo López - CAIS-2013 4/21
Modelos epidemiológicos Introducción En la realidad las poblaciones son heterogenas en aspectos tales como: Suceptibilidad a un patógeno. Infectividad. Tasa de contacto con otros individuos. Actualmente existe modelos que tienen en cuenta algunos de estos factores, pero no todos 3 4 3 Andersson, H., Britton, T., 1998. Heterogeneity in epidemic models and its effect on the spread of infection. Journal of applied probability, 651 661. 4 Callaway, D., Newman, M., Strogatz, S., Watts, D., 2000. Network robustness and fragility: Percolation on random graphs. Physical Review Letters 85 (25), 5468 5471. Leonardo López - CAIS-2013 5/21
Modelos epidemiológicos Introducción En la realidad las poblaciones son heterogenas en aspectos tales como: Suceptibilidad a un patógeno. Infectividad. Tasa de contacto con otros individuos. Actualmente existe modelos que tienen en cuenta algunos de estos factores, pero no todos 3 4 3 Andersson, H., Britton, T., 1998. Heterogeneity in epidemic models and its effect on the spread of infection. Journal of applied probability, 651 661. 4 Callaway, D., Newman, M., Strogatz, S., Watts, D., 2000. Network robustness and fragility: Percolation on random graphs. Physical Review Letters 85 (25), 5468 5471. Leonardo López - CAIS-2013 5/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Los modelos basados en autómatas celulares pueden cubrir varios de estos aspectos. Una grilla de dos dimensiones de objetos idénticos con un estado asociado que cambia con pasos discretos de tiempo a través de un conjunto de reglas. Una función de actualización determina como el comportamiento local influye el estado global del autómata. Es importante que el modelo propuesto contemple el movimiento de los individuos en la grilla. Leonardo López - CAIS-2013 6/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Los modelos basados en autómatas celulares pueden cubrir varios de estos aspectos. Una grilla de dos dimensiones de objetos idénticos con un estado asociado que cambia con pasos discretos de tiempo a través de un conjunto de reglas. Una función de actualización determina como el comportamiento local influye el estado global del autómata. Es importante que el modelo propuesto contemple el movimiento de los individuos en la grilla. Leonardo López - CAIS-2013 6/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Los modelos basados en autómatas celulares pueden cubrir varios de estos aspectos. Una grilla de dos dimensiones de objetos idénticos con un estado asociado que cambia con pasos discretos de tiempo a través de un conjunto de reglas. Una función de actualización determina como el comportamiento local influye el estado global del autómata. Es importante que el modelo propuesto contemple el movimiento de los individuos en la grilla. Leonardo López - CAIS-2013 6/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Los modelos basados en autómatas celulares pueden cubrir varios de estos aspectos. Una grilla de dos dimensiones de objetos idénticos con un estado asociado que cambia con pasos discretos de tiempo a través de un conjunto de reglas. Una función de actualización determina como el comportamiento local influye el estado global del autómata. Es importante que el modelo propuesto contemple el movimiento de los individuos en la grilla. Leonardo López - CAIS-2013 6/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Existen muchos trabajos en la literatura que consideran una célula del automata como una porción de población distribuida de forma homogénea 5 6 Incluyen ecuaciones diferenciales similares a los modelos clásicos. Muchos se rigen por reglas determinísticas. Un conjunto de reglas estocásticas resultan una mejor opcion para representar un modelo mas realista. 5 Liu, Q.-X., Wang, R.-H., Jin, Z., Sep. 2008. Persistence, extinction and spatio-temporal synchronization of sirs cellular automata models. URL http://arxiv.org/abs/0809.1968. 6 Santos, L., Costa, M., Pinho, S., Andrade, R., Barreto, F., Teixeira, M., Barreto, M., 2009. Periodic forcing in a three-level cellular automata model for a vector-transmitted disease. Physical Review E 80 (1), 016102. Leonardo López - CAIS-2013 7/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Existen muchos trabajos en la literatura que consideran una célula del automata como una porción de población distribuida de forma homogénea 5 6 Incluyen ecuaciones diferenciales similares a los modelos clásicos. Muchos se rigen por reglas determinísticas. Un conjunto de reglas estocásticas resultan una mejor opcion para representar un modelo mas realista. 5 Liu, Q.-X., Wang, R.-H., Jin, Z., Sep. 2008. Persistence, extinction and spatio-temporal synchronization of sirs cellular automata models. URL http://arxiv.org/abs/0809.1968. 6 Santos, L., Costa, M., Pinho, S., Andrade, R., Barreto, F., Teixeira, M., Barreto, M., 2009. Periodic forcing in a three-level cellular automata model for a vector-transmitted disease. Physical Review E 80 (1), 016102. Leonardo López - CAIS-2013 7/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Existen muchos trabajos en la literatura que consideran una célula del automata como una porción de población distribuida de forma homogénea 5 6 Incluyen ecuaciones diferenciales similares a los modelos clásicos. Muchos se rigen por reglas determinísticas. Un conjunto de reglas estocásticas resultan una mejor opcion para representar un modelo mas realista. 5 Liu, Q.-X., Wang, R.-H., Jin, Z., Sep. 2008. Persistence, extinction and spatio-temporal synchronization of sirs cellular automata models. URL http://arxiv.org/abs/0809.1968. 6 Santos, L., Costa, M., Pinho, S., Andrade, R., Barreto, F., Teixeira, M., Barreto, M., 2009. Periodic forcing in a three-level cellular automata model for a vector-transmitted disease. Physical Review E 80 (1), 016102. Leonardo López - CAIS-2013 7/21
Modelos basados en autómtas celulares Introducción Existen muchos trabajos en la literatura que consideran una célula del automata como una porción de población distribuida de forma homogénea 5 6 Incluyen ecuaciones diferenciales similares a los modelos clásicos. Muchos se rigen por reglas determinísticas. Un conjunto de reglas estocásticas resultan una mejor opcion para representar un modelo mas realista. 5 Liu, Q.-X., Wang, R.-H., Jin, Z., Sep. 2008. Persistence, extinction and spatio-temporal synchronization of sirs cellular automata models. URL http://arxiv.org/abs/0809.1968. 6 Santos, L., Costa, M., Pinho, S., Andrade, R., Barreto, F., Teixeira, M., Barreto, M., 2009. Periodic forcing in a three-level cellular automata model for a vector-transmitted disease. Physical Review E 80 (1), 016102. Leonardo López - CAIS-2013 7/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada celda del autómata representa un individuo en un determinado estado. La transición entre estados es probabilística. Inicialmente se simula movimiento aleatorio. Los contactos potenciales ocurren dentro de una zona de influencia en torno a un individuo infectado. Por simplicidad de utilizó una grilla rectangular y una vecindad de tipo Moore de radio variable. Se utilizaron condiciones de contorno no periódicas La simulación progresa en pasos de tiempo discreto Leonardo López - CAIS-2013 8/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada célua se define como una máquina estocástica de Moore de la forma A = (E, X, Y, δ) E es el conjunto de posibles estados: Susceptible (S), Expuesto (E), Infeccioso (I), Asintomático (A), Recuperado (R) y Muerto o Vacío (D). X Es el conjunto de entrada. Y Es el conjunto de salida. δ Función de transmisión El estado inicial del autómata esta dado por la probabiliad inicial para cada posible estado en a grilla G P(0) = [Si/G, Ei/G, Ii/G, Ai/G, Ri/G, Di/G] (1) Leonardo López - CAIS-2013 9/21
Rasgos generales del modelo Definición del autómata celular Cada célua se define como una máquina estocástica de Moore de la forma A = (E, X, Y, δ) E es el conjunto de posibles estados: Susceptible (S), Expuesto (E), Infeccioso (I), Asintomático (A), Recuperado (R) y Muerto o Vacío (D). X Es el conjunto de entrada. Y Es el conjunto de salida. δ Función de transmisión El estado inicial del autómata esta dado por la probabiliad inicial para cada posible estado en a grilla G P(0) = [Si/G, Ei/G, Ii/G, Ai/G, Ri/G, Di/G] (1) Leonardo López - CAIS-2013 9/21
Formalización del modelo Definición del autómata celular Finalmente el autómata puede ser definido como R = G(T, C). T: topología de la red, cuadrada con vecindad e tipo Moore y solo puede ser vista por celulas en estado I o A. Las condiciones de contorno son no periódicas. C: La conexión es unidireccional entre células en estado A o I con células en estado S, es isotrópica y uniforme e cualquier dirección dentro de la vecindad. Leonardo López - CAIS-2013 10/21
Algoritmo propuesto Definición del autómata celular Algorithm 1 Dinámica del autómata celular Grid{Grilla cuadrada de NxN} Nt = Individuos totales N = Das totales for Day = 1 N do for i = 1 Nt do {Infección} {Expuesto a Infeccioso} {Recuperados} {Muertos por enfermedad} {Nacimientos y muertes naturales} {Movimiento de los individuos} end for end for Leonardo López - CAIS-2013 11/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Algunas de las ventajas del modelo son: Permite un alto grado de heterogeneidad al contemplar a cada célular como un único individuo. Permite modelar diferentes distribuciones espaciales. Se pueden plantear diferentes estrategias de movimiento generando diferentes topologías poblacionales. Permite modelar diferentes estrategias de control tales como cuarentena o vacunación. La relajación de las hipótesis de los modelos clásicos permiten evaluar otras situciones que conducen a dinámicas que no se corresponden con el comportamiento de la media. Leonardo López - CAIS-2013 12/21
Ventajas del modelo Es posible desarrollar simulaciones sobre diferentes topolgías de grilla. Leonardo López - CAIS-2013 13/21
Resultados obtenidos del ajuste Dinámica de un caso real: Gripe española de 1918 en el cantón de Ginebra, Suiza 7. (Azul)Dados reales; (Negro)Ajuste obtenido con el modelo clásico 8 %;(Rojo) Ajuste obtenido con el modelo basado en autómatas propuesto 8 %. 7 Chowell, G., Ammonb, C., Hengartena, N., Hymana, J., 2005. Transmission dynamics of the great influenza pandemic of 1918 in geneva. Switzer- land: Assessing the effects of hypothetical interventions Leonardo López - CAIS-2013 14/21
Influencia de la distribución inicial Diferentes distribuciones espaciales iniciales para los individuos infecciosos determinan diferentes dinámicas en el modelo. 800 700 Half ofthe grid Third of the grid Eigth of the grid 600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Leonardo López - CAIS-2013 15/21
Influencia de la dinámica poblacional Dinámica obtenida para una población con movimiento centralizado. Los indiviuos tienden a moverse hacia un centro urbano Vs Dinámica obtenida para una población con movimiento aleatorio y distribución uniforme. Leonardo López - CAIS-2013 16/21
Influencia de la dinámica poblacional Se muestran tres ejemplos de diámicas poblacionales: Ejemplo dinámica 1 Ejemplo dinámica 2 Ejemplo dinámica 3 Leonardo López - CAIS-2013 17/21
Efecto de la vacunación 900 800 700 1/3 of susceptible popilation vacinnated No vaccination 600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Leonardo López - CAIS-2013 18/21
Efecto de la cuarentena Efecto de cuarentena para una población altamenete concentrada Vs Efecto de cuarentena para una población de densidad baja. 400 200 1% infected 100 50 1% infected 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 200 3% infected 100 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 400 5% infected 200 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 1000 No quarantine 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 3% infected 50 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 5% infected 50 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 No quarantine 50 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Leonardo López - CAIS-2013 19/21
Muchas Gracias Leonardo López - CAIS-2013 20/21
Datos de contacto Leonardo López- (l.lopez@conicet.gov.ar) Leonardo López - CAIS-2013 21/21