Moviiento Aortiguado y Forzado Problea 1. Una asa al extreo de un uelle oscila con una aplitud de 5 c y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la asa esta en la posición de equilibrio (x = 0). a) Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la asa en función del tiepo, en la fora x = Acos(wt + α), dando lo valores nuéricos de A, w y α. b) Deterinar los valores de x, dx dt y dx2 dt 2 para t= 8 3 seg. Resp: a) A = 5 c, ω = 2πrad/seg, α = ±π/2, b)x = 5 2 Problea 2. La ecuación de una cierta onda es: 3 c, dx dt A (x, t) = 10 sin (2π (2x 100t)) = 5πc/seg y dx2 dt 2 = 10π2 3c/seg 2. donde x se ide en etros y t se ide en seg. Hallar la aplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación. Dibujar la onda ostrando estos paráetros. Resp:10, 0.5, 100 Hz, 50 /seg. Problea 3. Una partícula esta soetida siultáneaente a tres oviientos arónicos siples de la isa frecuencia y en la dirección x. Si las aplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15, respectivaente, y la diferencia de fase entre el priero y el segundo es de 45, y entre el segundo y tercero es 30, hallar la aplitud de desplazaiento resultante y su fase respecto al prier coponente (el de aplitud 0,25 ). Resp:A = 0, 51, φ = 33, 4. Problea 4. Dos vibraciones sobre la isa recta vienen descriptas por las ecuaciones: y 1 = A cos (10πt) y 2 = A cos (12πt) Hallar el periodo de batido y dibujar un esquea cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo de pulsación. Resp: 2 seg. Problea 5. Hallar la frecuencia del oviiento cobinado en cada una de las siguientes vibraciones: a) sin (2πt 2) + cos (2πt) b) sin (12πt) + cos (13πt π/4) c) sin (3t) cos (πt) Resp: a)1 Hz. b)6, 25 Hz. c)0, 48 Hz. Problea 6. Se cuelga de un uelle un objeto de 1 g de asa y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazaiento era de 43, 785 c y la aceleración era de 1, 7514 c/seg 2. Cual es la constante del uelle? Resp: 0, 04 g seg 2. 1
Problea 7. Una asa cuelga de un uelle unifore de constante k. 1. Cual es el periodo de las oscilaciones del sistea? 2. Cual seria el periodo si la asa se colgase de odo que: a) Estuviese sujeta a dos uelles idénticos situados uno junto al otro? b) Estuviese sujeta al extreo inferior de dos uelles idénticos conectados uno a continuación del otro? Resp: 1) T 0 = 2π k T0 2) a) 2 b) 2T 0. Problea 8. Calcular la constante del resorte equivalente de la siguiente figura. Resp: En notación copacta: ((2k 1 k2 2k3 ) k 4 ) k 5. Problea 9. Se cuelga un cuerpo de asa del extreo de dos resortes acoplados en serie, de constantes K 1 y K 2. El otro extreo se cuelga del techo. Hallar: a) El alargaiento producido por cada resorte. b) La constante recuperadora del único resorte que hiciese su papel ecánico. 2
Datos: = 2 Kg, K 1 = 150 N/, K 2 = 180 N/. Cóo cabian los resultados si resortes están en paralelo? Resp: En serie: a) δl 1 = 0, 1307, δl 2 = 0, 1089, b) 81,82 N/, en paralelo a) δl 1 = δl 2 = 0, 0594, b) 330 N/. Problea 10. El sistea de una otocicleta de 200 kg de asa es odelado por un aortiguador (ver figura a)). Cuando el aortiguador es soetido a una velocidad vertical inicial debido a un bache en la calle, la resultante de la curva en función del tiepo es la que se uestra en la figura b). Encontrar la constante de aortiguación y del resorte si el período de aortiguaiento de la vibración es de 2 seg. Encontrar el tiepo en el cual la aplitud se reduce a 1/16. Encontrar la velocidad ínia para un áxio desplazaiento de 250. Realizar hipótesis y suponer la aproxiación logarítica. Resp: c=554,49 N.seg/, k=2358,26 N/, t = 0,36 seg, v in = 1,41 /seg. Problea 11. Encontrar la frecuencia de vibración natural del sistea de la figura. Datos: Peso=2000 N, l 1 = l 2 = l 3 = 3, A 1 = 20c 2, A 2 = 10c 2, A 3 = 5c 2 y E = 2,1 10 11 N/. Resp: 265,91 rad/seg. Problea 12. Coprobar que x = A exp αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación: dx 2 dt 2 + γ dx dt + w2 0x = 0 3
Hallar α y w en función de γ y w 0. Resp: γ = 2α, w 2 0 = w 2 + α 2. Problea 13. Se cuelga un objeto de asa 0,2 Kg de un uelle cuya constante es de 80 N. Se soete el objeto a una fuerza resistente dada por bv, siendo v su velocidad en seg. Plantear la ecuación diferencial del oviiento en el caso de oscilaciones libres del sistea. Si la frecuencia de aortiguaiento es de 3 2 de la frecuencia sin aortiguaiento. Cual es el valor de la constante b? Resp: 4 Kg seg. Problea 14. El esquea de un cañón se uestra en la figura. El ecaniso de barras y el cañón posee un peso de 500 Kg. La constante del resorte para realizar el ipulso del cañón es de 10000 N/. La altura áxia de la que parte el cañón es 0.4. Calcular: 1. El coeficiente critico de aortiguaiento. 2. La velocidad inicial del cañón. 3. El tiepo en el que cañón llega a la posición 0,1 desde la posición inicial. Resp: 1) 4472,1 N.seg/, 2) 4,86 /seg, 3) 0,82 seg. Problea 15. Encuentre las soluciones de los sisteas representados por las siguientes ecuaciones. Las condiciones iniciales son ẋ(0) = 1 y x(0) = 0. 1. 2ẍ + 8ẋ + 16x = 0. 2. 3ẍ + 12ẋ + 9x = 0. 3. 2ẍ + 8ẋ + 8x = 0. Problea 16. Un oscilador arónico aortiguado, cuya frecuencia angular natural es 15 rad/seg y cuyo paráetro de aortiguaiento es 9 1/seg, se encuentra inicialente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un ipulso que lo pone en oviiento con una velocidad inicial v 0 = 60 c/ses.para este sistea se pide: a) Expresar la elongación del oscilador en función del tiepo. b) Calcular el áxio desplazaiento que experienta el oscilador a partir de su posición de equilibrio. c) Calcular el tiepo que deberá transcurrir para que la aplitud de las oscilaciones aortiguadas se reduzca a un 0, 1 % del valor áxio anteriorente calculado. 4
Resp: a) 0,05 exp 9t sin(12t), b) 0,01995, c) 0,869 seg. Problea 17. Consideraos un oscilador aortiguado de asa 0,2 Kg, b = 4 N.seg y k = 80 N. Si la fuerza ipulsora es F = F 0 cos(wt) siendo F 0 = 2N y w = 30 1 seg. Deterinar los valores de A y δ de la respuesta descripta por x = Acos(wt δ). Resp: A = 1, 28 c, δ = 130. Problea 18. Se tiene un sistea asa-resorte con una fuerza externa arónica. La constante del resorte es 5000 N/. La aplitud áxia de la fuerza externa es de 30 N con una frecuencia de 20 Hz. La vibración de la asa es de 0,2. Asuiendo que las condiciones iniciales son ẋ(0) = 0 y x(0) = 0, deterinar la asa del sistea. Resp: 0,29 Kg. Problea 19. Encontrar todos los paráetros característicos de un sistea aortiguado con una fuerza ipulsora arónica con una asa de 10 kg, c = 20 N.seg/ (constante de aortiguación), k = 4000 N/, x 0 = 0,01, y ẋ(0) = 0. 1. Si F (t) = F 0 cos(ωt) es la fuerza ipulsora con F 0 = 100 N y ω = 10 rad/ses. 2. Si la vibración es libre, es decir, F (t) = 0. Resp: x(t) = χ 0 exp( γω n t) cos(ω d t φ 0 ) + χ cos(ωt φ) con 1) χ 0 = 0,02, γ = 0,05, ω n = 20rad/seg, ω d = 19,97 rad/seg, φ 0 = 5,58, χ = 0,03, φ = 3,81. 2) x(t) = χ 0 exp( γω n t) cos(ω d t φ 0 ) con χ 0 = 0,01 y φ 0 = 2,86. Problea 20. En la figura adjunta se uestra un odelo siple de un vehículo que puede vibrar en la dirección vertical cuando se ueve sobre un caino ontañoso. El vehículo tiene una asa de 1200 kg. El sistea de suspensión tiene un resorte constante de 400 kn/ y una relación de coeficientes de aortiguación ζ = 0, 5. Si la velocidad del vehículo es de 20 k/h, deterinar la aplitud del vehículo. La superficie del caino varía sinusoidalente con una aplitud de y = 0, 05 y una longitud de onda de 6. Realizar hipótesis. Resp: 0,055048. 5
Problea 21. Extra: Un cuerpo de asa = 0, 2 kg. está suspendido del techo ediante un resorte. La fuerza que realiza el resorte al ser estirado una longitud z a partir de su longitud sin deforar es F = kz, donde k = 29 N. El cuerpo está suergido en un fluido viscoso que aortigua el oviiento con una fuerza proporcional a la velocidad: F v = bv. Tener en cuenta el peso del cuerpo, toando g = 9, 8 s. 2 a) Escribir la ecuación diferencial que rige el oviiento z(t) del cuerpo, y la solución general de esta ecuación, considerando todos los casos posibles en función del valor de b. b) Si b = 0, 4 N.seg, hallar la expresión z(t) y representarla gráficaente, describiendo los paráetros as iportantes, si las condiciones iniciales son z(0) = 3, 27 c y v(0) = 0, 424 s. c) Si el valor del coeficiente de la fuerza viscosa es b = 8 N.seg condiciones iniciales son z(0) = 6, 8 c y v(0) = 0, 6 s., hallar el oviiento del cuerpo si las d) Si se considera el sistea sin gravedad y con una fuerza sinusoidal externa, de valor áxio 20 N y frecuencia angular 25 rad s. El valor del coeficiente de aortiguación es es 0,4 N.seg. Calcular la aplitud de las oscilaciones, a qué frecuencia se producirá la resonancia y cuál será la aplitud de la oscilación resonante. 6