Aumentando ganancias restringidas por desigualdades (programación lineal) José Luis Gómez Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez/ Qué vas a hacer en esta práctica? En esta práctica vas a utilizar Excel para resolver un ejercicio donde hay que aumentar ganancias restringidas por desigualdades. Primero vas a crear una tabla de las ganancias para diferentes situaciones, después a mostrar en azul aquellas que sí cumplen con las desigualdades, y finalmente seleccionarás la situación que, cumpliendo con esas restricciones, da la mayor ganancia. Este tipo de ejercicios son muy importantes en ingeniería industrial y en la administración de empresas.
Ejemplo paso a paso Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso del Tec organizan un viaje, para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata a dos tipos de equipos de jóvenes: TIPO A: Equipos de cuatro, formados por tres chicas y un chico TIPO B: Parejas: una chica y un chico 1. Si la compañía paga $4000 a cada equipo de 4, y paga $1000 a cada pareja, Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? 2. Si la compañía paga $5000 a cada equipo de 4, y paga $3000 a cada pareja, Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? (No importa si algunos chicos o chicas no trabajan, lo que importa es obtener el máximo de ganancias) Solución en Excel: Para resolver el ejercicio descrito arriba, vamos a hacer una tabla de las ganancias correspondientes a diferentes combinaciones de equipos de 4 y de parejas. En esa tabla vamos a mostrar en azul aquellas combinaciones que sí puedan realizarse con un máximo de 20 chicas y un máximo de 10 chicos, para finalmente seleccionar entre ellas cuál da la máxima ganancia posible. En una hoja de Excel escribe Ganancia de Equipo de 4 en la celda A1 y escribe Ganancia por parejas en la celda A2:
En las celdas C1 y C2 vas a escribir las ganancias por equipo y por pareja. Para indicar que estas celdas son especiales, vamos a colorearlas de amarillo. Selecciona con el ratón las celdas C1 y C2. Selecciona ambas celdas y a click derecho sobre ellas, escoge formato de celdas:
En la ventana de Formato de Celdas elige la pestaña Relleno. Elige el color amarillo y oprime el botón Aceptar:
Escribe en las celdas C1 y C2 las ganancias correspondientes: 4000 para cada equipo de 4 y 1000 para cada pareja:
Vamos a construir una tabla de las ganancias. Vamos a llamar y a los renglones de la tabla. Para esto necesitaremos utilizar la herramienta de Nombres definidos que por default no se encuentra a la vista en la barra de herramientas, primero tendremos que habilitarla. Da click derecho sobre un espacio vació en la barra de herramientas y selecciona la opción personalizar barra de herramientas y de acceso rápido.
En la ventana que emerge selecciona la opción comandos más utilizados y todos los comandos, te aparecerá una lista con todos los comandos con los que cuenta Excel, busca y selecciona el comando Nombres definidos, da click en agregar y el comando se instalara en la barra de acceso rápido, da click en aceptar para finalizar.
Ahora si podemos definir y, el renglón y=0 en la tabla va a ser el renglón 17 de la hoja de Excel, el renglón y=1, el 16 de la hoja, etc., primero selecciona el comando Nombres definidos, Agregar nombre a un rango, Definir nombre, en la ventana que emergerá escribe y en Nombre y =17-Fila() en Hace referencia a:
En la celda A5 escribe la fórmula =y como se ve en la figura:
La fórmula =y en la celda A5 produce un resultado de 12:
Ahora copia y pega (copy-paste) la celda A5 en las celdas A6 a A17. Esto se puede hacer arrastrando (drag) la celda A5 con el ratón oprimido desde la esquina inferior derecha de la celda A5 hasta la celda A17:
Vamos a llamar x a las columnas de la tabla. Para definir x, otra vez selecciona el comando Definir nombre, Agregar nombre a un rango, Definir nombre.
En la ventana que emerja escribe x en el cuadro de Nombre, x en Comentarios, la fórmula =Columna()-2 en Hace referencia a, aceptar.
En la celda B18 escribe la fórmula =x como se ve en la figura:
La fórmula =x en la celda B18 produce un resultado de 0:
Ahora copia y pega (copy-paste) la celda B18 en las celdas C18 a I18. Esto se puede hacer arrastrando (drag) la celda B18 con el ratón oprimido desde la esquina inferior derecha de la celda B18 hasta la celda I18:
En la celda A4 escribe y parejas, cambia la trama de las celdas A4 a A17 a color verde usando el menú Formato, opción Celdas. En la celda J18 escribe x equipos de 4, cambia la trama de las celdas B18 a K18 a color rosa usando el menú Formato, opción Celdas:
La ganancia se obtiene sumando la ganancia por equipo por el número de equipos más la ganancia por parejas por el número de parejas. La ganancia por equipo está en la celda C1, pero vamos a escribirla como $C$1 para que no cambie esta referencia cuando se copie la fórmula a otra celda. De forma similar la ganancia de parejas corresponde a $C$2. El número de equipos es x, y el número de parejas es y. Entonces la ganancia viene dada por la fórmula: =$C$1*x+$C$2*y Escribe esta fórmula en la celda B5:
La fórmula en la celda B5 produce la ganancia si hubieran 12 parejas y 0 equipos:
Ahora copia y pega (copy-paste) la celda B5 en las celdas B6 a B17. Esto se puede hacer arrastrando (drag) la celda B5 con el ratón oprimido desde la esquina inferior derecha de la celda B5 hasta la celda B17:
Ahora copia y pega (copy-paste) las celdas B5:B17 en las celdas C5 a I17. Esto se puede hacer arrastrando (drag) las celdas B5:B17 con el ratón oprimido desde la esquina inferior derecha de las celdas B5:B17 hasta la celda I17:
Ya tenemos una tabla que da las ganancias para diferentes situaciones. Observa, por ejemplo, que la tabla nos dice que con x=5 parejas y con y=8 equipos se obtendría una ganancia de 28000. Sin embargo, no se pueden obtener esos valores, porque se necesitarían en total 13 chicos, y solamente hay 10 chicos. Debemos marcar de alguna manera en la tabla aquellas configuraciones que requieran un máximo de 10 chicos y un máximo de 20 chicas (no importa si algunos chicos o chicas no trabajan, lo que importa es obtener el máximo de ganancias). Para marcar las configuraciones que cumplen con las restricciones, primero selecciona las celdas del la tabla, desde la celda B5 hasta la celda I17. Con las celdas seleccionadas, elige en el menú Formato condicional, Resaltar regla de celdas, Más reglas:
En la venta que emerja selecciona la opción Utilice una fórmula que determine las celdas para aplicar formato, escribe la siguiente fórmula: =Y(x+y<=10, 3*x+y<=20) En esa fórmula, la Y mayúscula antes del paréntesis quiere decir ambos, como en naranjas Y manzanas, o en perros Y gatos ( dogs AND cats ):
Ahora selecciona Formato, Relleno, escoge un color azul y da click en aceptar y aceptar otra vez para cerrar la ventana principal.
Listo, aquellas ganancias que son posibles tomando en cuenta que sólo hay 20 chicas y 10 chicos son aquellas que tienen fondo (trama) azul:
Respuesta a la primera pregunta: Si la compañía paga $4000 a cada equipo de 4, y paga $1000 a cada pareja, Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? En la tabla más arriba podemos ver que la ganancia máxima posible (azul) es de 26000, y se obtiene con x=6, y=2. Es decir, deben formar 6 equipos y 2 parejas. Nota que en esta configuración, aunque es la de máxima ganancia, trabajarían las 20 mujeres pero sólo trabajarían 8 chicos (podríamos enviar a los dos chicos restantes a comprar los refrescos). Respuesta a la segunda pregunta: Si la compañía paga $5000 a cada equipo de 4, y paga $3000 a cada pareja, Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero?
Es muy fácil responder a la segunda pregunta con la hoja de Excel que construimos. Sólo cambia los valores de las celdas C1 y C2 a 5000 y 3000 respectivamente, y la tabla se actualiza inmediatamente: De la tabla arriba podemos ver que con estas ganancias por equipo y pareja, la máxima ganancia posible (azul) se obtiene con x=5, y=5, es decir, con 5 equipos y 5 parejas. A diferencia de la pregunta anterior, en este caso si trabajan todos los chicos y todas las chicas. Ahora puedes ir a resolver los ejercicios. Comandos de Excel que fueron utilizados Y(valor_lógico1;valor_lógico2;...)
Valor_lógico1, Valor_lógico2,... son entre 1 y 30 condiciones que se desea comprobar y que pueden ser VERDADERO o FALSO. Devuelve VERDADERO si todos los argumentos son VERDADERO; devuelve FALSO si uno o más argumentos son FALSO. Referencias relativas Una referencia relativa en una fórmula, como A1, se basa en la posición relativa de la celda que contiene la fórmula y de la celda a la que hace referencia. Si cambia la posición de la celda que contiene la fórmula, se cambia la referencia. Si se copia la fórmula en filas o columnas, la referencia se ajusta automáticamente. De forma predeterminada, las nuevas fórmulas utilizan referencias relativas. Por ejemplo, si copia una referencia relativa de la celda B2 a la celda B3, se ajusta automáticamente de =A1 a =A2. Referencias absolutas Una referencia de celda absoluta en una fórmula, como $A$1, siempre hace referencia a una celda en una ubicación específica. Si cambia la posición de la celda que contiene la fórmula, la referencia absoluta permanece invariable. Si se copia la fórmula en filas o columnas, la referencia absoluta no se ajusta. De forma predeterminada, las nuevas fórmulas utilizan referencias relativas y es necesario cambiarlas a referencias absolutas. Por ejemplo, si copia una referencia absoluta de la celda B2 a la celda B3, permanece invariable en ambas celdas =$A$1.
Comandos de Excel en Inglés Si tienes Excel en Inglés entonces debes escribir And en lugar de Y. Ejercicios Ejercicio 1: Si la compañía paga $4000 a cada equipo de 4, y paga $1000 a cada pareja, y la compañía añade la restricción de que el número de parejas debe ser mayor o igual que el número de equipos de 4, marca de color azul todas las configuraciones que cumplen con las nuevas restricciones. Ejercicio 2: Un fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar un máximo de 9 horas diarias en
funcionamiento, mientras que la de pintura un máximo de 8 horas. La ganancia por cada silla es de $100 y la ganancia por cada mesa es de $200. Utiliza Excel para responder: Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que la ganancia sea máxima? Conclusión El tipo de ejercicios que resolviste en esta práctica son muy importantes en la ingeniería industrial y en la administración de empresas. Usualmente se estudian en una materia llamada Investigación de Operaciones (Operations Research), y dentro de esa materia el tema se llama Programación Lineal (Linear Programming). Los ejercicios de esta práctica fueron escogidos de tal manera que puedan ser resueltos fácilmente en Excel, y que el lenguaje utilizado sea accesible para un estudiante que acaba de terminar la preparatoria. Sin embargo, los ejercicios de este tipo que puedes encontrar en libros y en Internet usualmente manejan un lenguaje más aplicado a la industria, en términos de limitaciones de transporte, limitaciones de espacio de almacenamiento, limitaciones en la capacidad de inventario, etc. Todas estas limitaciones pueden ponerse en forma de desigualdades, como se hizo en el ejemplo con las limitaciones en las cantidades de chicos y chicas. La forma en que se resolvió el ejemplo fue diseñada para enfatizar el papel de las desigualdades en las aplicaciones. También puede utilizarse como una introducción a la
programación lineal. Sin embargo, existen métodos mucho más sofisticados y poderosos para resolver problemas de este tipo que sean más complicados. De hecho Excel tiene un poderos complemento, el "Solver", que permite resolver ejercicios de programación lineal sin tener que hacer tablas ni gráficas. Si te gustó esta práctica, quizás debas estudiar ingeniería industrial. José Luis Gómez Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez/