(distribución normal) 1 1.- Calcular las probabilidades de los siguientes intervalos, empleando para ello las tablas de la distribución de probabilidad normal estándar N(0, 1): (1) P(z 2 14) (2) P(z 0 63) (3) P(0 76 z 1 89) (4) P(z 0 28) (5) P(z 0 37) (6) P( 0 19 z 1 45) (7) P( 0 32 z 0 15) (8) P( 0 75 z 0 75) (9) P(z 0 64) 2.- Hallar el valor de z α para que se cumpla que P(z z α ) = 0 879 3.- Sea p = 0 9554, hallar el valor de z α para que se cumpla que P(z z α ) = 0 9554 4.- Dada p = 0 1788, encontrar el valor de z α para que se cumpla que P(z z α ) = 0 1788 5.- Hallar el valor de z α para que se cumpla que P(z z α ) = 0 4168 6.- Dada 1 α = 0 94, hallar el intervalo centrado en la media para una N(0, 1). 7.- Hallar el intervalo centrado en la media cuya probabilidad sea de 0 96, para una N(0, 1). 8.- Hallar el intervalo centrado en la media, sabiendo que 1 α = 0 88, para una N(0, 1). 9.- Hallar el intervalo centrado en la media cuya probabilidad sea de 0 92, para una N(0, 1). 10.- Hallar el intervalo centrado en la media cuya probabilidad sea de 0 98, para una N(0, 1).
(distribución normal) 2 1.- Las tallas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media igual a 175 cm. y desviación típica igual a 8 cm. Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una talla: a) Mayor que 180 cm. b) Menor que 180 cm. c) Entre 170 y 180 cm. 2.- El peso de los huevos que se produce en una granja sigue una distribución normal de media μ = 60g y σ = 6 4g. a) Los huevos de menos de 53g se destinan para la industria de la bollería. Cuántos de una partida de 8000 huevos, se destinarán a tal fin?. b) Se selecciona el 10% de los huevos (los más grandes) para comercializarlos como calidad extra. A partir de que peso deben elegirse?. 3.- El coeficiente intelectual (C. I. ) de los estudiantes de la universidad de Sildavia sigue una ley N(115, 12). Calcular: a) La probabilidad de que un estudiante elegido al azar, tenga un C. I. superior a 138. b) El porcentaje de estudiantes cuyos C. I. se alejen de la media menos de 6 unidades. c) Se considera superdotado a quien posee un C. I. superior a 140. En la universidad de Sildavia hay 5.000 estudiantes, cuántos de ellos, aproximadamente, son superdotados?. 4.- El tiempo necesario para terminar un determinado examen sigue una distribución normal con media de 60 minutos y desviación típica estándar de 10 minutos. Se pide: a) Cuánto debe durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen?. b) Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos?. 5.- En un estudio sobre niveles de emisión de sustancias contaminantes, la variable x representa la cantidad de óxido de nitrógeno emitida. Se sabe que, para los vehículos de cierto tipo, x tiene una distribución normal con media 1'6 y desviación típica de 0 4. a) Hallar la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1 8. b) Hallar la probabilidad de que x esté comprendida entre 1 2 y 1 4. c) Obtener un valor de contaminación c tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a 0 9901.
(distribuciones de las medias muestrales) 3 1.- Las estaturas de 1200 estudiantes de un instituto se distribuyen normalmente con media de 1 72m y desviación típica de 0 9 m. Si se toman muestras de 36 estudiantes cada una, se pide: a) Calcular la media y la desviación típica esperada en la distribución de las medias muestrales. b) Calcular la probabilidad de que la media de las muestras se encuentre entre 1 68 y 1 73 m. c) En cuántas muestras cabe esperar que la media sea menor que 1'69 m?. 2.- Los tornillos fabricados por cierta máquina de precisión, que se distribuyen según una normal, tiene un peso medio de 142 32g y una desviación típica de 8 5g. a) Calcular la probabilidad de que una muestra elegida al azar de 25 tornillos, tomada entre ellos, tenga un peso medio superior a 144 6g. b) Realizar el mismo cálculo para el caso de que la muestra elegida sea de 100 tornillos. 3.- De los datos registrados en un hospital se ha constatado que el peso, en gramos, de los recién nacidos se distribuye según una normal N(3100, 225). a) Indicar como se distribuye la media en las muestras de tamaño 80. b) Calcular y comparar la probabilidad de que: El peso de un niño supere los 3170g El peso medio en una muestra de 50 niños supere los 3200g. c) Hallar el intervalo centrado en 3100g, que contiene el 95% de los pesos medios en las muestras de tamaño 100. 4.- Las notas de un examen siguen una distribución normal N(5 6, 2 5). a) Hallar la probabilidad de que una nota, elegida al azar, sea mayor que 6. b) Hallar la probabilidad de que la media de las notas de 15 estudiantes sea mayor que 6. c) Hallar δ de modo que el intervalo [5 6 δ, 5 6 + δ] contenga el 99% de las notas. d) Hallar ε de modo que el intervalo [5 6 ε, 5 6 + ε] contenga el 99% de las notas medias tomadas en las muestras de 15 estudiantes. 5.- La variable altura de las alumnas de una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media μ = 1 62m y desviación típica de σ = 0 12m. Calcular la probabilidad de que la media obtenida en una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1'60m.
(intervalos de confianza) 4 1.- Se supone, que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos de una cierta clase, es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ = 1 5 puntos. Se elige una muestra aleatoria de tamaño 10 y se obtiene una suma de sus calificaciones igual a 59'5 puntos. a) Determínese un intervalo de confianza al 95%, para la calificación media de la clase. b) Qué tamaño ha de tener la muestra, para que el error máximo de la estimación sea de 0'5 puntos, con un nivel de confianza del 95%? 2.- Se supone que el tiempo de vida útil en miles de horas (Mh) de un cierto modelo de televisión, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a σ = 0 5 Mh. Para una muestra aleatoria simple de 4 televisores de dicho modelo, se obtiene una media muestral de x = 19 84 Mh de vida útil. a) Hállese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de vida útil medio de los televisores. b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto del error de la estimación de la media poblacional mediante la media muestral sea inferior a 0'2 Mh con probabilidad mayor o igual que 0 95. 3- En un laboratorio se obtuvieron seis determinaciones del ph de una solución con los siguientes resultados: 7 91, 7 94, 7 90, 7 93, 7 89 y 7 91. Se supone que la población de todas las determinaciones del ph de la solución tiene una distribución normal de media desconocida con desviación típica igual a σ = 0 02. a) Determínese un intervalo de confianza al 98% para la media μ de todas las determinaciones del ph de la misma solución, obtenidas con el mismo método. b) Con el mismo nivel de confianza anterior, cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea a la sumo de 0 02?. 4.- Se han elegido al azar 10 televisores de un taller de electrónica y se han anotado el número de horas que se han necesitado para su reparación. Los resultados han sido los siguientes: 7 5 8 2 4 7 4 1 6 6 Se supone que el número de horas de reparación de este tipo de televisores es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ = 1 5 horas. a) Determínese el intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de reparación. b) Qué tamaño debe tener una muestra para que el error máximo de estimación sea de 0 5 horas con el mismo nivel de confianza?. 5.- Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de artes, a los que se les ha propuesto un test de habilidad. La media y la desviación típica obtenida de la muestra son x = 82 y s = 14, respectivamente. A partir de estos datos, calcular el intervalo en el cual se hallará la media de la población con un nivel de confianza del 99%.
(intervalos de confianza) 5 1.- El peso en gramos del contenido de las cajas de cereales de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica σ = 5 gramos. Se toma una muestra de tamaño 144. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra x y la media de la población μ sea menor de 1 gramo. b) Si la media muestral obtenida es igual a 499 5 gramos, determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90% para el peso medio de ese tipo de cajas de cereales. 2.- La altura de los árboles de una comarca se puede aproximar por un variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y varianza σ 2 = 25 cm. Se coge una muestra aleatoria simple y, para un nivel de confianza del 95%, se construye un intervalo de confianza para la media poblacional cuya amplitud es de 2 45cm. a) Determínese el tamaño de la muestra seleccionada. b) Determínese el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la altura media para la muestra seleccionada fue de 170 cm. 3.- El saldo en cuenta a fin de año de los clientes de un banco, se puede aproximar por una variable aleatoria normal de desviación típica igual a σ = 400 euros. Para estimar la media del saldo en cuenta a fin de año para los clientes de dicho banco, se elige una muestra aleatoria de 100 clientes. a) Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación se sabe que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media de la población es menor o igual que 66 euros?. b) Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de observarse para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menos o igual que 40 euros, con un nivel de confianza del 95%. 4.- El tiempo de espera para ser atendido en un cierto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica σ = 3 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 121. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ sea mayor que 0 5 minutos. b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95% para μ, si la media de la muestra es igual a 7 minutos. 5.- Se supone, que el gasto de las personas de una población en regalos, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica igual a 45 euros. a) Se toma una muestra aleatoria y se obtiene el intervalo de confianza (251 6, 271 2) para μ, con un nivel de confianza del 95%. Calcular la media muestral y el tamaño de la muestra. b) Si se toma una muestra de tamaño 64 para estimar μ, calcúlese el error máximo cometido por esa estimación con un nivel de confianza del 90%.
(intervalos de confianza) 6 1.- El precio (en euros) del metro cuadrado de las viviendas de un determinado municipio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica σ = 650 euros. a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza para la media μ igual a IC = [2265 375, 2424 625], con un nivel de confianza del 95%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b) Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño 225. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de la media μ por la media muestral con un nivel de confianza del 99%. 2.- La duración de un componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica σ = 1000 h. a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño 81 y la media muestral de su duración ha sido x = 8000 h. Calcúlese un intervalo de confianza al 99% para la media de la población μ. b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 7904 y 8296 horas para una muestra aleatoria simple de tamaño 100 si sabemos que μ = 8100 h? 3.- En cierta región, el gasto familiar realizado en gas natural, medido en euros, durante un mes determinado se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica σ = 75 euros. a) Determínese el mínimo tamaño muestral necesario para que al estimar la media del gasto familiar en gas natural μ, mediante un intervalo de confianza al 95%, el error máximo cometido sea inferior a 15 euros. b) Si la media del gasto familiar en gas natural μ, es de 250 euros y se toma una muestra aleatoria simple de 81 familias, cuál es la probabilidad de que la media muestral X, sea superior a 230 euros?. 4.- El nivel de colesterol total en sangre en adultos de 50 años, medido en miligramos por decilitro (mg/dl) se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica σ = 20 mg/dl. a) A partir de una muestra aleatoria simple se obtiene el intervalo de confianza (191 2, 210 8), expresado en (mg/dl), para estimar μ con un nivel de confianza del 95%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra considerada. b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 100. Calcúlese la amplitud del intervalo de confianza al 98% para μ.