TEMA Sistemas de Ecuaciones lineales * Llamaremos ecuación lineal con n incógnitas a la siguiente igualdad: a a... a n n b Donde a i Son números reales se llaman coeficientes i Son las incógnitas de la ecuación b Número real llamado termino independiente Como se ve en una ecuación lineal, todas la incógnitas tienen grado. Ejemplos: Ecuación lineal con incógnita 8 Ecuación lineal con incógnitas 9 No es una ecuación lineal 9 No es lineal. Es una ecuación de segundo grado No es ecuación lineal Llamaremos solución de una ecuación lineal a n números reales ordenados (c,c,...,c n ) R n tal que al sustituir por c, por c,..., n por c n se cumple la igualdad. Por ejemplo: En la ecuación (,) es solución puesto que.. pero también lo es (, ), puesto que..( ) Llamaremos resolver una ecuación a hallar sus soluciones. Propiedad: Si en una ecuación se multiplican ambos miembros por un mismo numero (distinto de ), las soluciones de la ecuación resultante no varían.
Ejemplo: En la ecuación multiplicamos por ambos miembros, quedando: Las soluciones anteriores, (, ) (, ) lo siguen siendo (basta sustituir comprobar) Igualmente ocurre, si en lugar de multiplicar se divide por un mismo número. Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Se llama así al conjunto de m ecuaciones siguientes: a a... a n n b a a... a n n b...... a m a m... a mn n b m Sistema de ecuaciones con n incógnitas a ij R; j incógnita b i R donde i toma valores desde,,,..., m j toma,,...,n A veces en lugar de,, se pone,. (poner ejemplo) Se dice que (c,c,...,c n ) es una solución del sistema, si lo es de cada una de las ecuaciones del sistema. SISTEMAS CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DETERMINADOS Una única solución COMPATIBLES C tienen solución INDETERMINADOS Infinitas soluciones CD CI INCOMPATIBLES no tienen solución I Nota: No es posible que un sistema de ecuaciones lineales, tenga, por ejemplo dos soluciones (ó tiene, ó tiene ó tiene infinitas). El proceso de hallar las soluciones de un sistema se llama resolver el sistema, el de clasificar un sistema se llama discutir el sistema. Dos sistemas se dice que son equivalentes cuando tienen eactamente las mismas soluciones. Propiedades de los sistemas. Al multiplicar o dividir una o más ecuaciones de un sistema por un número distinto de el sistema resultante es equivalente al primero.. Al cambiar el orden de dos o más ecuaciones de un sistema resultante es equivalente al primero.
. Al cambiar el orden de las incógnitas en una o varias ecuaciones el sistema resultante es igual al primero 4. Si una cualquiera de las ecuaciones de un sistema se sustitue por otra resultante de multiplicar aquella por un número real distinto de sumarle otras ecuaciones del mismo sistema multiplicada por ciertos números reales, el sistema resultante es equivalente al primero Ejemplo: La solución del sistema siguiente es (,, ), o escrita de otra forma,, (basta sustituir en cada ecuación para comprobarlo) Si sustituimos al segunda ecuación por la segunda ecuación:.ª.ª.ª, queda:. ª 4.ª.ª.ª.ª.ª.ª.ª El sistema resultante es: Se puede comprobar sustituendo, que la solución inicial, sigue siendo solución de este sistema, luego es equivalente al primero. METODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN El método de resolución de sistemas de ecuaciones consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas sustituir el valor hallado en las otras ecuaciones. Con ello se consigue convertir el sistema original en otro sistema de una ecuación una incógnita menos. (se suele elegir la ecuación la incógnita que más nos faciliten la tarea a la hora de despejar). Veamos en el ejemplo anterior: º Despejamos la en la segunda ecuación: º Sustituimos la en la ª en la ª ecuación:.( ) ( ) Operando simplificando queda:
4 luego: Ahora repetimos la operación despejando la en la primera ecuación sustituendo en la segunda:, luego sustituendo en la ª queda: ( ) Por tanto: Sustituendo este valor en la ecuación, queda por tanto finalmente, sustituendo los valores de e hallados en la ecuación, queda Por tanto la solución es:, Ej. Terminar de resolver el ejercicio de eamen 6º Junio (tarde), que se dejó inacabado en el tema por necesitar conocer conceptos sobre resolución de sistemas de ecuaciones. El sistema al que se llega que no es lineal pero tiene una resolución similar. Es el siguiente: 4 8 4 Sol : Ej. Veamos otro ejercicio por sustitución (9º Septiembre ) C) 4
La respuesta válida es la A). La C) no es válida pues son positivos los valores obtenidos. METODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS (ELIMINACIÓN) El método de Gauss consiste en sustituir por medio de la aplicación de la 4ª propiedad de la página, el sistema por otro equivalente en el que en la segunda ecuación se elimine la incógnita, en la tercera la incógnita, etc hasta llegar, en el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, a un sistema en la que la última ecuación sólo tiene una incógnita, la. Entonces se despeja ésta su valor se sustitue en la segunda, hallando el valor de, con los valores hallados se sustitue en la primera hallando el valor de. Para su aplicación daremos el siguiente concepto: Llamaremos matri de m filas n columnas a un cuadro de m.n números ordenados. Se suele representar entre paréntesis. Así por ejemplo, una matri de filas 4 columnas, es por ejemplo: Cada sistema de ecuaciones tiene dos matrices asociadas al mismo: la matri de los coeficientes del sistema, que está formada como su nombre indica por los coeficientes de las incógnitas de dicho sistema, la matri ampliada que es la matri de los coeficientes del sistema, a la que se le añade la columna de los términos independientes.
Ej. En el caso del sistema: (Ejercicio de eamen 4º de Junio de 999 mañana) Halla la solución (,, ) del sistema: La matri del sistema es: Mientras que la matri ampliada es: Como es evidente, cada matri ampliada determina eactamente el sistema del que procede se puede trabajar con ella, prescindiendo de las incógnitas, para facilitarnos las cosas. Apliquemos pues el método de Gauss para resolver este sistema: Para ello, dejaremos la primera fila de la matri igual la multiplicaremos por los números adecuados para que al sumarla a las filas posteriores, se vaan eliminando la incógnita (esto se concreta en conseguir un en el lugar donde está el coeficiente de la en la matri correspondiente): Matri ampliada ª ª ª ª 4 - ª dividido 4 ª. ( 4) ª Se despeja : Se despeja : Por tanto la solución del sistema es: Se sustituen los valores de e en la ª se despeja la : se escribe el sistema equivalente con sus incógnitas: Veamos otro ejemplo de Gauss, a través de uno de los ejercicios de eamen propuestos: 9º Junio mañana La solución (,, ) del sistema de ecuaciones 6 verifica: A) 6
B) C) ; ; 6 Ordenamos las filas la ª pasa a la tercera posición 6 ª ª ( ).ª ª Para conseguir eliminar la en la tercera ecuación (consigamos un ) :.ª 4.ª 6 6 pasa a la ª posición 4 6 4 4 4 4 4 4 4 6 se resuelve el sistema equivalente: 4 4 4 6 6 4 Sustituendo el valor de en la segunda ecuación queda: 4 4 4 6 4 8 Finalmente sustituendo el valor de e en la primera queda: 9 4 9 Por tanto la solución es la C), a que pues Ejercicio 4 Pág. (este es un ejercicio de práctica del sistema de Gauss que supera con mucho el nivel que ponen en eamen) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: u 9 u u u 9 º * ( ) ª º * ( ) ª º * ( ) 4ª 9 4 6 4 6 ª * 4 ª ª * 4 ª 9 9 4 4 4ª:
9 9 4 9 9 4 ª *( ) 4ª 9 9 4 9 6 6 9 9 4 u Reescribamos el sistema de Gauss equivalente, teniendo en cuenta que hemos cambiado la posición de las incógnitas u: 6 u ( ) u 9 6 u u u u 6 6 9 4 9 9 4 La solución es: ; ; ; u Ejercicio Pág. De una caja que contiene pieas de los tipos A B se desea determinar su peso el peso de cada una de las pieas. Para ello se sabe que: a) Dos cajas una piea A pesan 9 Kg. b) Una piea A una caja de la cual se han etraído dos pieas B pesa 6 Kg. c) Tres cajas, una piea A tres pieas B pesan 4 Kg. Si llamamos A peso de una piea del tipo A B peso de una piea del tipo B C peso de una caja a) A C 9 b) A B C 6 c) A B C 4 9 6 4 ª *( ) ª ª *( ) ª 9 ª por el de la tercera 6 9 ª por el de la segunda 6 pasa a la ª posición 9 9 9 A C 9 B C C 9 C 9 B 9 B 9 B 4 B A ; B ; C 9 Luego la piea A pesa Kg., la piea B pesa Kg. la caja pesa 9 Kg. A. 9 9 A 8 9 A 9 8 A Hacer ejercicios de eámenes: º de septiembre de 998 4º de junio de 999 (mañana) (hecho a en clase como ejemplo de Gauss) 8º de junio de 999 (tarde) 6º de junio de (mañana) 8
9º de junio de (mañana) (hecho a en clase como ejemplo de Gauss) º de junio de (tarde) 9º de septiembre de (resuelto en los apuntes por sustitución) 6º de junio de (m) (igual que el 6º de junio de por la mañana, pero cambiando el papel de las incógnitas) 6º de junio de (t) (igual que el 6º de junio de por la mañana, pero cambiando el papel de las incógnitas) º de septiembre de (igual que el 6º de junio de por la mañana, pero cambiando el papel de las incógnitas) 9º de junio de 4 (m) (se resuelve mejor por la regla de Cramer que veremos más adelante) º de junio de 4 (t) (se resuelve mejor por la regla de Cramer que veremos más adelante) Ha otros sistemas que han salido en eámenes, pero que no se pueden resolver de esta manera los veremos en el tema 9. (Algunos de los ejercicios anteriores están desarrollados en las páginas siguientes) En no hubo eámenes de sistemas de ecuaciones. Los que han salido en 6, los resolveremos en el tema 9 aplicando el Teorema de Rouché el método de Cramer. Los ejercicios del de junio tarde septiembre se resolverán por el T. de Rouché, en cuanto al º de junio de por la mañana es el mismo de junio de por la mañana. 9
EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA Sep. de 998 (º) > > 6 > 9 ª >.ª().ª 9 9 9 9 6-4 -X Junio de 999 (m) 4º (Ver apuntes: hecho en clase) Junio de 999 (t) 8º 6 > 6 > 6 > ª >.ª (-).ª - -6 > 6 6 6 - > 9 Junio (m) 6º 4 > 4 > 9 > 8 9 ª >.ª (-) ª 8 9 8 6 9-9 6 9 > - > - - > - SOLUCIÓN - SOLUCIÓN 9 -
6 > - > - - 6 > - 9 9 9 8 - > - > - 6 6 6 6 9 SOLUCIÓN 6 6 6 Junio (m) 9º (Hecho en clase: ver apuntes) Junio (t) º 6 > 6 4 4 > - 6 > 6 > 9 ª >.ª(-)ª 4 6 4 6 > 6 > SOLUCIÓN Septiembre (9º) > > 4 4 Dividiendo por la ª > > > Cambiando de orden ª ª >
- - > SOLUCIÓN Junio (m) 6º 4 9 Solución 6 6 6 Es distinto al de junio (m) (6º) pero cambiando en aquel la por la, la por la por la. Junio (t) 6º El mismo por junio (m) 6º, pero cambiando la por la, la por la 9 Solución 6 6 6 Septiembre º El mismo de junio (m) 6º pero cambiando la por la la por la. 9 Solución 6 6 6 * Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánche Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance otros, editado por la editorial San Torres en las eplicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la UNED Alira-Valencia Francisco Tomás Valiente, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado ampliado. También ha participado en la edición de los eámenes del Tema Miguel Ángel Portillo.