Desarrollo de un filtro en el dominio de la frecuencia para procesamiento digital de imágenes de huella dactilar basado en la Transformada Rápida de Fourier Modificada. Resumen. El análisis en frecuencia es muy utilizado en distintos procesos aplicados a las imágenes, principalmente en los filtros de mejora de imagen, los cuales a su vez son usados en sistemas de reconocimiento, o de autenticación de usuarios. Por esta razón es que se deben de buscar técnicas que permitan que estos sistemas sean mas eficientes y mas rápidos para un mejor funcionamiento y que sean mas accesibles para la mayoría de la gente. Una de estas técnicas es usar la transformada de cósenos para obtener la magnitud del espectro, a una velocidad menor que la transformada de fourier, o es al menos lo que se demuestra en este trabajo. El objetivo es realizar una comparación entre los tiempos de procesamiento de la Transformada Discreta de Fourier (DFT) y de la Transformada Discreta de Cósenos (DCT), ambas en dos dimensiones, aplicadas a distintos tipos de imágenes. Introducción Existen muchas técnicas específicas para realizar un mejoramiento de huellas dactilares. Las técnicas de O Gorman y Nickerson y la de Methre and Sherlock son de las mas efectivas, pero estas técnicas están diseñadas para usarse en los sistemas policíacos (como el FBI), es decir en sistemas del tipo AFIS; y por lo tanto requieren demasiado tiempo de procesamiento en comparación con sistemas más pequeños como son los sistemas del tipo AFAS. El principio básico de operación en estos métodos es dividir a la imagen en bloques, creando un filtro específico para cada bloque basado en la dirección promedio del bloque (imagen direccional) y entonces filtrar cada bloque. Por lo tanto se requiere un sistema el cual espontáneamente cree un filtro adaptado a la dirección exacta del bloque. La información direccional de un bloque específico de la imagen esta contenido en la magnitud de la transformada de Fourier del bloque, por lo que sí se considera un bloque el cual contenga dos o tres colinas aproximadamente paralelas y se toma su transformada de Fourier, entonces se supone que las frecuencias dominantes de ese bloque corresponden a las colinas en el bloque. Es posible mejorar un bloque específico por sus frecuencias dominantes multiplicando la transformada de Fourier del bloque por su magnitud un cierto número de veces, entonces cuando se calcula la transformada inversa de Fourier se observa que el bloque ha sido mejorado. (1) Si multiplicamos por el cuadrado o el cubo de la magnitud de la transformada de Fourier se obtendrían mejores resultados, sin embargo las regiones donde se localizan las minucias suelen ser alteradas, por lo que en vez de multiplicar por factores enteros a la magnitud de la transformada de Fourier se debe utilizar una fracción. De todo esto se resalta la necesidad de evaluar la Transformada Rápida de Fourier utilizando una forma modificada que permita una mayor velocidad de cálculo, pues convencionalmente se requiere ejecutar esta función un gran número de veces por cada imagen a procesar. Y considerando que solamente se emplea la información presente en las magnitudes de las componentes de frecuencia despreciando la información en la fase, se puede recurrir a una transformación que utilice menos recursos computacionales como puede ser alguna de las variedades modificadas de la Transformada Rápida de Fourier. Métodos y materiales Desarrollo del sistema de mejora. El objetivo principal consiste en desarrollar un filtro digital de dos dimensiones con alta eficiencia en el dominio de la frecuencia para eliminar ruido en una imagen de huella dactilar considerando el empleo de la Transformada Rápida de Fourier modificada para acelerar la velocidad de transformación. Existe un algoritmo llamado Transformada Coseno Discreta de Fourier (DCT Discrete Cosine Transform) que es una versión modificada de la transformada Discreta de Fouier. Sus aplicaciones más comunes se centran en compresión de Imágenes y video. Para mejorar a la imagen a través de
la magnitud de su transformada de Fourier, ésta es dividida en bloques de 32x32 píxeles, a los cuales su transformada de Fourier F(u, es calculada de acuerdo a: para el caso de la transformada compleja y: para el caso de la transformación modificada. La imagen mejorada g(x,y) en cada bloque es obtenida por: F ( u, = 1 F ( u, = MN M 1N 1 x= 0 y= 0 M 1N 1 x= 0 y= 0 f ( x, y) e ux vy j 2π ( + ) M N (2) π (2x + 1) u π (2y + 1) v f ( x, y) cos[ ]cos[ ](3) 2M 2N k Aquí se considera a H ( u, = F( u, como la respuesta en frecuencia del filtro a emplear de modo que la transformada de fourier de la imagen mejorada viene a ser G ( u, = F ( u, H ( u, (5) Donde F(u, es la transformada de Fourier del bloque, k es la fracción por la cual se mult iplica a la magnitud de la transformada de Fourier, y -1 es la transformada Inversa de Fourier obtenida de acuerdo a: (4) empleando la transformada compleja y: g( x, y) = M 1 N 1 u= 0 v= 0 (6) π (2x + 1) u π(2y + 1) v G( u, cos[ ]cos[ ](7) 2M 2N con la transformada modificada. Experimentalmente se encontró que un valor de k = 1.1 fue el óptimo para el mejoramiento en imágenes de buena calidad, y para imágenes de mala calidad k = 1.3 presenta mejores resultados. Este método presenta un problema en los bordes de cada bloque por lo cual se necesito un traslape de 26 píxeles entre cada bloque para eliminar este efecto. Otro filtro usado en el proceso de mejoramiento es el filtro Gaussiano, Este filtro es un filtro pasabalas (cuyo efecto es el de realizar un suavizado en la imagen), en el cuál el núcleo es una Gaussiana 2-D, de media cero y desviación estándar s, de la forma: G(x, y) = e-(x2+y2 )/ 2s 2. (8) La transformada de Fourier de la Gaussiana es todavía Gaussiana y prácticamente no posee lóbulos laterales, por lo que su respuesta en frecuencia es muy buena. El proceso completo de la etapa de mejoramiento de la huella dactilar es como se muestra en la figura 1. Fig. 1 Etapas en el proceso de Mejoramiento.
Las etapas de umbral dinámico y umbral sirven para discernir entre la parte de la imagen que se considera como fondo de la parte considerada como objeto [4], compuesto se explicarán en la sección 4.5. El proceso de mejoramiento consiste básicamente en realizar dos filtrados a la imagen, donde el segundo filtrado solo se hace a las regiones que lo necesiten(las mas ruidosas). En este trabajo se estableció que este filtro basado en la Transformada de Fourier trabaja mucho mejor sobre la imagen binaria que sobre la imagen en niveles de gris como se describe en [3]. Por esta razón primero se binariza la imagen con un umbral dinámico y después se filtra. Los resultados del filtro aplicado a una imagen en niveles de gris y a una binaria se muestran en la s figuras 2 y 3. Después de realizar el primer filtrado, en algunas ocasiones suelen haber regiones todavía con demasiado ruido, por lo que un segundo filtrado es necesario a fin de poder eliminar dicho ruido. El umbral compuesto determina las regiones ruidosas que necesitan el segundo filtrado, y es a esas a las que se les aplica el filtro nuevamente. La figura 4 muestra la imagen final después de realizar todo el proceso de mejoramiento de la imagen. Fig. 2 Filtro aplicado a una imagen en niveles de gris Fig. 3 Filtro aplicado a una imagen binaria. Fig. 4 Huella Mejorada Resultados Se realizo un programa capaz de abrir imágenes del tipo bmp, convertirlas a escala de gris, y determinar la transformada de fourier discreta (DFT) y la transformada de cósenos discreta (DCT) de la imagen seleccionada, así como sus correspondientes transformadas inversas. en el programa podemos visualizar los segundos que tarda en realizar cada una de las transformadas, así como se puede tener acceso a las imágenes y hay un botón de Prueba con el cual tenemos acceso a un menú para realizar una transformada unidimensional. Al abrir una imagen la podemos visualizar en la parte inferior del menú, pero para trabajar con la imagen, la cual abrimos a color, necesitamos trabajar con ella en escala de grises, por lo que también se programo la función de convertir a escala de grises, la cual promedia los canales RGB, para obtener una imagen manejable, pues así tenemos un solo valor por píxel. Posteriormente, se usa la función para obtener la transformada de Fourier de la imagen, para obtener el espectro de magnitud y de fase de la imagen. Sin embargo hay que aclarar que para este espectro el origen esta recorrido al centro de la imagen, tanto para magnitud (arriba), como para fase (abajo), esto con el objetivo de apreciar mejor la información del espectro. Además, se hizo un escalamiento logarítmico para representar los valores del espectro de magnitud, para que este se pudiera apreciar mejor. El escalonamiento sigue la siguiente formula que es: G(n)=C log10(f(n)+1) Donde F(n) son los valores originales de la transformada y G(n) son los valores ya escalados y listos para mostrar, además C esta definido como: C=255/log10(R+1)
Donde R será el valor máximo que exista en la transformada. Así al aplicar este escalonamiento lograremos valores entre o y 255, además de que se podrá apreciar muy bien la información que nos aporta la transformada de la imagen. Para mostrar la fase se hizo algo similar, pero menos complejo, pues solo se llevaron todos los valores de fase a un intervalo de [0, 2p], y posteriormente mediante una regla de tres se llevan los valores al intervalo de [0,255]. Ahora para calcular la transformada de cósenos se hace algo muy parecido, se selecciona del menú de transformadas y posteriormente aparece la imagen de la transformada. Y así obtenemos la siguiente imagen, que es DCT del ejemplo: Para poder apreciar mejor la información de la transformada, se aplico exactamente el mismo escalonamiento que se le aplico a la amplitud de la transformada de Fourier. Solo se necesita una imagen para representar la imagen de la transformada de cósenos, pues a diferencia de la Transformada de Fourier, que trabaja con productos complejos, la DCT solo trabaja con números reales, lo cual hace mas sencillo su calculo además de que lo hace en un menor tiempo. Para demostrar esto último el programa también es capaz de determinar el tiempo de procesamiento de ambos algoritmos, para que podamos comparar su rendimiento. Esta información, se muestra en dos cajas de texto, donde se despliega cuantos segundos tarda cada algoritmo. Aquí es donde podemos ver el tiempo que toma la DCT y la DFT del ejemplo. Por ultimo, para comprobar que se estaban haciendo bien ambas transformadas, y debido a que se usarán también en el filtro, se programaron las transformadas inversas, es decir la IDFT y la IDCT, con la cual podemos regresar a la imagen original a partir de su trasformada. Resultados:
Entonces se evaluaron distintas imágenes para poder observar sus transformadas y mas que nada para hacer la comparación de tiempos, para poder demostrar la rapidez de una sobre otra, así como su eficacia. a continuación se muestran algunas de las transformadas con las que se experimento, así como sus correspondientes transformadas, tanto DFT como DCT. Imagen 1: Águila Imagen 2: huella Imagen 4: Segmento
Y los resultados de los tiempos de ejecución de cada imagen se expresan en la siguiente tabla: Imagen Tiempo de DFT (seg) Tiempo de DCT (seg) Ejemplo 6.661 3.089 Águila 7.441 3.401 Huella 4.929 2.294 Segmento 3.026 1.404 Impacto Como podemos observar la transformada de cósenos es mas de dos veces mas rápida que la transformada de Fourier, y nos brinda la información de la imagen sin tantas redundancias, pues a diferencia de la DFT la DCT no es cíclica, además de que en efecto fue mas rápida, debido a que solo trabaja con aritmética real, por lo tanto nos servirá muy bien para el filtro, sin embargo, falta verificar que tanto afecta la transformada de cósenos a las características que necesitamos de la huella, y al factor con el que se hace la exponenciación. El resultado es muy importante pues permitirá obtener un sistema de procesamiento para la huella dactilar de muy alta eficiencia y mucho más rápido que el que ya se tenía lo cual permitirá que nuestro sistema de reconocimiento de huellas dactilares sea un producto competitivo en el mercado.