Herramientas matemáticas básicas para el procesamiento de imágenes

Transcripción

1 Herramientas matemáticas básicas para el procesamiento de imágenes Fundamentos de procesamiento de imágenes IIC / IEE er semestre 2011 Cristián Tejos Basado en material desarrollado por Marcelo Guarini, Domingo Mery, libro Digital Image Processing, 3erd Edition, R. Gonzalez y R. Woods, y wikipedia

2 Relaciones básicas entre pixeles Vecindad 4 o N 4 (p) Def: los 4 vecinos de un pixel p(x,y) ubicados en las coordenadas Vecindad diagonal o N D (p) Def: los 4 vecinos de un pixel p(x,y) ubicados en las coordenadas Vecindad 8 o N 8 (p) Def: los pixeles definidos por N 4 (p) y por N D (p) 2

3 Relaciones básicas entre pixeles Medidas de distancia: Para los pixeles p, q y z, con coordenadas (x, y), (s, t) y (v, w), respectivamente, D es una función de distancia o métrica La distancia Euclidiana entre p y q se define como: 3

4 Relaciones básicas entre pixeles Medidas de distancia: La distancia D4 (llamada distancia city-block) entre p y q se define como:

5 Relaciones básicas entre pixeles Medidas de distancia: La distancia D8 (llamada distancia tablero de ajedrez) entre p y q se define como:

6 Operaciones entre arreglos versus operaciones matriciales Una operación entre arreglos, que envuelve a una o más imágenes se efectúa pixel a pixel. Consideremos las siguientes dos imágenes El producto entre arreglos está dado por En cambio el producto matricial es 6

7 Operaciones lineales versus operaciones no lineales Una de las clasificaciones importantes de métodos de procesamiento de imágenes es si son lineales o no lineales. Consideremos el operador general H que produce una imagen de salida g(x, y) dada una imagen de entrada f(x, y): Se dice que H es un operador lineal si 7

8 Operaciones lineales versus operaciones no lineales Por ej., supongamos que el operador H es el operador (lineal). Su función es simplemente sumar sus entradas 8

9 Operaciones lineales versus operaciones no lineales Por Ej., supongamos ahora que el operador H es el operador max (no lineal). Su función es buscar el pixel de máximo valor en la imagen. Consideremos las siguientes dos imágenes Supongamos además que. Probamos para ver si es lineal Trabajando con la expresión de la derecha vemos que la operación no es lineal. 9

10 Operaciones aritméticas Las operaciones aritméticas entre imágenes son operaciones de arreglos, i.e. se llevan a cabo entre pares de pixeles correspondientes. Las cuatro operaciones se denotan: Ejemplo: sea una imagen corrupta formada por adición de ruido,, a una imagen libre de ruido, esto es: En general, se asume que el ruido en cada pixel es independiente (no está correlacionado con el ruido de otros pixeles) y tiene media cero. 10

11 Operaciones aritméticas Ej. Para reducir el contenido de ruido, se suma un conjunto de imágenes ruidosas. Esta es una técnica comunmente utilizada para mejorar imágenes Si el ruido satisface las restricciones mencionadas puede demostrarse que si una imagen se forma promediando K diferentes imagenes ruidosas, entonces se tiene que y 11

12 Operaciones aritméticas Disminusión de ruido

13 Operaciones aritméticas Ej. Substracción de imágenes para realzar diferencias. La segunda imagen se obtuvo haciendo cero el bit menos significativo de cada pixel. Las imágenes se ven iguales. Sin embargo la diferencia entre las dos muestra claramente sus diferencias Original Bit menos significativo = 0 Diferencia 13

14 Operaciones aritméticas Otra aplicación frecuente y exitosa: angiografía por sustracción Imagen original de rayos X del paciente, llamada máscara Imagen obtenida inyectando un medio yodado al flujo sanguíneo del paciente para aumentar el contraste. Imagen diferencia entre las dos imágenes superiores Imagen diferencia realzada

15 Operaciones aritméticas Multiplicación (o división) de imágenes Ej: corrección de sombras. Supongamos que un sensor produce imágenes que pueden modelarse como el producto entre una imagen perfecta y una de sombreado Si la imagen de sombreado se conoce entonce se puede obtener la imagen perfecta dividiendo por la imagen de sombreado.

16 Operaciones aritméticas Multiplicación (o división) de imágenes Ej: enmascaramiento

17 Operaciones espaciales Operaciones sobre un pixel Son de la forma Ej: Transformación de brillo para obtener el NEGATIVO

18 Operaciones espaciales Operaciones de vecindad

19 Operaciones espaciales Operaciones de vecindad

20 Transformaciones espaciales geométricas Pueden expresarse como La siguiente transformación enconge la imagen original a la mitad de su tamaño Una de las transformaciones espaciales utilizadas más comunmente es la llamada transformación afín, que tiene la forma general

21 Transformaciones espaciales geométricas v y = v sin ϑ + w cos ϑ

22 Transformaciones espaciales geométricas

23 Transformaciones espaciales geométrica Rotación de una imagen e interpolación de intensidades Imagen de 300 dpi Rotada 21 utilizando interpolación del vecino más cercano Rotada 21 utilizando interpolación bilineal Rotada 21 utilizando interpolación bicúbica

24 Principios básicos T es el operador sobre f definido en una vecinadad del punto (x, y)

25 Principios básicos Ejemplos

26 Funciones de transformación de intensidad básicas Negativo y potencias Negativo

27 Funciones de transformación de intensidad básicas Negativo

28 Funciones de transformación de intensidad básicas Transformaciones logarítmicas

29 Funciones de transformación de intensidad básicas Corrección gamma

30 Funciones de transformación de intensidad básicas Corrección gamma Imagen original (rampa) Imagen original vista en un monitor con un gamma de 2,5 Imagen original corregida en gamma Imagen corregida en gamma vista en el mismo monitor

31 Funciones de transformación de intensidad básicas Corrección gamma Imagen MRI de una columna vertebral fracturada

32 Funciones de transformación de intensidad básicas Corrección gamma Imagen aérea

33 Funciones de transformación de intensidad básicas Funciones de transformación lineales por tramo Estiramiento de contraste Forma de la función de transformación Imagen de bajo contraste Resultado del estiramiento de contraste Resultado de aplicar un umbral

34 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de niveles de intensidad Realza a un mismo valor el rango de grises [A,B] y disminuye el resto a un nivel más bajo Realza a un mismo valor el rango de grises [A,B] y preserva los otros niveles de intensidad

35 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de niveles de intensidad Original Aplicación de una transformación similar a la primera curva de la transparencia anterior

36 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de niveles de intensidad Original Aplicación de una transformación similar a la segunda curva de la transparencia precedente a la anterior

37 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de bit-planes

38 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de bit-planes Original Bit 1 Bit 2 Bit 6 Bit 7 Bit 8

39 Funciones de transformación de intensidad básicas Selección de bit-planes Bits 8 y 7 Bits 8, 7 y 6 Bits 8, 7, 6 y 5

40 Histograma El histograma de una imagen digital con niveles de intensidad de gris en el rango [0, L-1] es una función discreta, donde es el k-ésimo bin o valor de intensidad y es el número de pixeles en la imagen con intensidad # de ocurrencias bin intensidad Cómo se puede interpretar esto en términos de probabilidades?

41 Histograma Interpretación probabilística probabilidad bin intensidad

42 Procesamiento de Histograma Ejercicios:

45 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma: Cuál es la idea? T(r) T(r)

46 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma Supongamos por el momento valores de intensidad contínuos y sea r la variable que corresponde a la intensidad de la imagen a ser procesada. Enfocaremos la atención en transformaciones de la forma Que produce una salida de intensidad s por cada pixel en la imagen de entrada con intensidad r.

47 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma Asumiremos que: (a) es una función monotónicamente creciente en el intervalo. (b) En algunas formulaciones discutidas más adelante, se utiliza el inverso en cuyo caso se cambia la condición (a) por (a ) es una función monotónicamente creciente en forma estricta en el intervalo

48 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma El requerimiento (a) garantiza que los valores de intensidad de salida nunca serán menores que los correspondientes de entrada, previniendo artefactos creados por inversión de intensidades. La condición (b) garantiza que el rango de intensidades de salida es el mismo que el de la entrada. La condición (a ) garantiza que el mapeo de retorno (de s a r) será biyectivo (uno a uno), previniendo posibles ambiguedades.

49 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma Monotónicamente creciente Monotónicamente creciente en sentido estricto

50 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma

55 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma Ecuacion (2)

56 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma (forma discreta)

57 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma (forma discreta) Histograma

64 Procesamiento de Histograma Ecualización de histograma (forma discreta) Funciones de transformación utilizadas en las cuatro imágenes anteriores

65 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma

66 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma (6) (7)

67 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma

68 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ej. (caso contínuo) t

69 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ej. (caso contínuo)

70 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Caso discreto

73 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Caso discreto, resumen de pasos a seguir:

74 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo

78 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo (z 7 )

80 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo S 0 ->Z 3 S 1 ->Z 4 S 2 ->Z 5 S 3 ->Z 6 S 5 ->Z 7 S k Z q

81 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo Imagen de la luna Phobos de Marte tomada por el Mars Global Surveyor. Histograma de la imagen

82 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo Curva de transformación para ecualización de histograma Histograma resultante Imagen resultante de muy bajo contraste y concentrada en grises altos

83 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo Histograma especificado Curva de transformación

84 Procesamiento de Histograma Especificación de histograma: Ejemplo Imagen resultante Histograma de la imagen resultante

85 Procesamiento de Histograma Procesamiento local de histograma Imagen original Resultado de aplicar ecualización global de histograma Resultado de aplicar ecualización local de histograma utilizando una vecindad de 3 x 3

86 Métodos probabilísticos Métodos probabilísticos. Los métodos probabilísticos entran de diversos modos en el procesamiento de imágenes. La forma más simple es considerando la intensidad de grises como cantidades aleatorias. Ejemplo: sea el valor de todas las intensidades posibles en una imagen digital de M x N. Entonces, la probabilidad que ocurra el nivel de intensidad en una imagen dada, se estima como: donde es el número de veces que la intensidad ocurre en la imagen, y MN es el número total de pixeles. Claramente

87 Métodos probabilísticos Métodos probabilísticos. Una vez obtenida, podemos determinar un número importante de características de la imagen. Por ejemplo, la intensidad media. La varianza de la intensidad, que es una medida de la amplitud de los valores de z en torno a la media En general, el n-esimo momento de una variable aleatoria z en torno a la media es

88 Métodos probabilísticos Métodos probabilísticos. S = 14.3 S = 31.6 S = 49.2

89 Procesamiento de Histograma Uso de la información estadística del histograma para realzar imágenes.

94 Procesamiento de Histograma Uso de la información estadística del histograma para realzar imágenes. EJEMPLO: Se requiere realzar la zona obscura de la siguiente imagen para observar claramente el filamento que aparece obscuro al lado derecho.

99 Procesamiento de Histograma Uso de la información estadística del histograma para realzar imágenes. Original Ecualización de histograma global Realce utilizando estadística de histograma local

100 Fundamentos de Filtros Espaciales Mecánica de los filtros espaciales

103 Fundamentos de Filtros Espaciales Correlación espacial en una dimensión

104 Fundamentos de Filtros Espaciales Convolución espacial en una dimensión

105 Fundamentos de Filtros Espaciales Correlación y Convolución espacial en dos dimensiones

106 Fundamentos de Filtros Espaciales Correlación espacial en dos dimensiones

107 Fundamentos de Filtros Espaciales Convolución espacial en dos dimensiones

108 Fundamentos de Filtros Espaciales Correlación y Convolución espacial en dos dimensiones Expresiones Matemáticas

109 Fundamentos de Filtros Espaciales Representación vectorial para filtrado lineal

110 Fundamentos de Filtros Espaciales Representación vectorial para filtrado lineal

111 Fundamentos de Filtros Espaciales Generación de máscaras para filtros espaciales

112 Fundamentos de Filtros Espaciales Generación de máscaras para filtros espaciales

113 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento

114 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento

115 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento, EJEMPLO Imagen original 500 x 500 pixeles Máscara de 3 x 3

116 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento, EJEMPLO Máscara de 5 x 5 Máscara de 9 x 9

117 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento, EJEMPLO Máscara de 15 x 15 Máscara de 25 x 25

118 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtros para suavizamiento, EJEMPLO Original Pasabajo Umbral

119 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtro de mediana (no lineal) sal

120 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtro de mediana (no lineal), EJEMPLO: Original Pasabajo Mediana

121 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtro espaciales para agudizar

122 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtro espaciales para agudizar (diferencia entre la derivada de primer órden y la de segundo órden)

123 Fundamentos de Filtros Espaciales Filtro espaciales para agudizar (diferencia entre la derivada de primer órden y la de segundo órden)

124 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano)

125 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Implementación en forma de máscara

126 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Otra implementación utilizada en la práctica frecuentemente

127 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Extensión utilizando las diagonales

128 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano)

129 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Imagen original Laplaciano sin escalar

130 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Imagen original Laplaciano escalado

131 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Imagen original Laplaciano sumado a imagen

132 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la segunda derivada para agudizar imágenes (Laplaciano) Imagen original Laplaciano sumado a imagen

133 Fundamentos de Filtros Espaciales Unsharp - mask

134 Fundamentos de Filtros Espaciales Unsharp - mask

135 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la primera derivada para agudizar imágenes (Gradiente)

140 Fundamentos de Filtros Espaciales Uso de la primera derivada para agudizar imágenes (Gradiente) EJEMPLO:

141 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Hasta ahora sólo hemos visto procesamiento a nivel de pixel, en el dominio de la imagen Muchas veces es conveniente aplicar una transformación de dominio, procesar en el nuevo dominio y luego aplicar la transformación inversa, para volver al dominio de la imagen. Una clase importante de transformadas 2-D lineales, T(u, v) puede expresarse de la siguiente forma: donde es la imagen de entrada, se conoce como kernel de transformación directa y la ecuación es evaluada para

142 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Dada T(u, v) es posible recuperar f(x, y) aplicando la transformada inversa a T(u, v) para x = 0,1,..., M-1 e y = 0, 1,..., N-1 y donde s(x, y, u, v) corresponde al kernel de transformación inversa. Los pasos típicos de procesamiento utilizando esta modalidad son:

143 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Ejemplo: 1 2 Imagen corrupta por ruido sinusoidal Transformada de Fourier de la imagen Máscara utilizada para eliminar los peaks de energía Transformada inversa de Fourier del producto entre 2 y 3 3 4

144 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Se dice que el kernel de transformación directa es separable si Adicionalmente se dice que un kernel es simétrico si equivalente a r 2 (x,y), de tal forma que r 1 (x,y) es funcionalmente La transformada de Fourier vista en el ejemplo, tiene los siguientes kernels directo e inverso respectivamente: y

145 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Sustituyendo ambos kernels en la forma general nos da el siguiente par de transformadas No es difícil comprobar que los kernels de Fourier son separable y simétricos, y que los kernels que son separables y simétricos permiten calcular la transformada 2-D como un conjunto de transformadas 1-D

146 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Cuando los kernels directo e inverso satisfacen las condiciones mencionadas y f(x, y) es una imagen cuadrada de M x M las transformadas pueden expresarse en forma matricial como: Para obtener la transformada inversa, se pre y post multiplica por la matriz de transformada inversa B

147 Transformadas de imágenes Transformadas de imágenes Lo anterior indica que F [con elementos f(x, y) ] puede ser recuperada completamente a partir de su transformada directa entonces la aplicación de la ecuación matricial anterior da la aproximación Además de la Transformada de Fourier, existe un importante número de transformadas útiles en procesamiento de imágenes: Transformada de Walsh, de Hadamard, del Coseno Discreto, de Haar entre otras