TEMA 1. MAGNITUDES Y UNIDADES 1.1 Unidades Toda magnitud física debe llevar asociadas sus unidades. Es fundamental para el método científico que las medidas sean reproducibles y, para que esto sea posible, las magnitudes con sus unidades han de ser expresadas de una manera concisa y no ambigua. Desde tiempos inmemoriales el hombre ha empleado sistemas de medida para cuantificar. Muchos de estos sistemas de medidas estaban basados en partes del cuerpo o en objetos cotidianos (una vara, un pie, etc.). El problema de este tipo de unidades es que no eliminaba la ambigüedad, y fomentaba el uso de diferentes medidas en los distintos pueblos, lo que dificultaba en actividades como el comercio ponerse de acuerdo sobre las cantidades con las que se estaba comerciando. A finales del siglo XVIII se adoptó en Francia el llamado sistema métrico. La ventaja de este sistema es doble: por una parte, proporciona una única unidad para cada magnitud física. Además, no hace necesario el uso de factores de conversión, puesto que todos los múltiplos y submúltiplos de cada unidad son potencias de diez. En la actualidad el sistema métrico que se emplea a nivel internacional es el Sistema Internacional de Unidades (SI), y es el que emplearemos a lo largo de estas páginas. El organismo encargado de velar por la uniformidad de las unidades es la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Sistema Internacional de Unidades Todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales. Muchas de las magnitudes que se estudiarán, tales como la velocidad, fuerza, momento lineal, trabajo energía y potencia, pueden expresarse en función de tres unidades fundamentales: longitud, tiempo y masa. Las selección de las unidades patrón o estándar para estas unidades fundamentales determina un sistema de unidades. Longitud: La unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m), estaba definida originalmente por la distancia comprendida entre dos rayas grabadas sobre una barra de una aleación de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Francia. Se escogió esta longitud de modo que la distancia entre el Ecuador y el Polo Norte a lo largo del meridiano que pasa por París fuese igual a diez millones de metros. El metro patrón se define hoy como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundos. 1
Tiempo: La unidad de tiempo, el segundo (s), se definió originalmente en función de la rotación de la tierra, de modo que correspondía a (1/60)(1/60)(1/24) del día solar medio. Actualmente se define en función de una frecuencia característica asociada al átomo de cesio. Masa: La unidad de masa, el kilogramo (Kg), igual a 1000 gramos (g), se define de modo que corresponde a la masa de un cuerpo patrón concreto. Para completar el sistema, necesitaremos tres unidades físicas fundamentales más: Temperatura: la unidad en el SI son los grados Kelvin (K). Masa sustancial: el mol Corriente eléctrica: el amperio (A). Intensidad Luminosa: candela (cd) La unidad de cualquier magnitud física puede expresarse en función de esas unidades del SI fundamentales. Magnitud Física Unidad Símbolo Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd Como es un sistema métrico decimal, los múltiplos y submúltiplos de cada una de estas unidades se expresan en potencias de 10. En la siguiente tabla se muestran los nombres de algunos de ellos. 2
1000 n 10 n Prefijo Símbolo Escala Corta Escala Larga Equivalencia decimal 1000 8 10 24 yotta Y Septillón Cuadrillón 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1000 7 10 21 zetta Z Sextillón Mil trillones 1 000 000 000 000 000 000 000 1000 6 10 18 exa E Quintillón Trillón 1 000 000 000 000 000 000 1000 5 10 15 peta P Cuadrillón Mil billones 1 000 000 000 000 000 1000 4 10 12 tera T Trillón Billón 1 000 000 000 000 1000 3 10 9 giga G Billón Mil millones (o millardo) 1 000 000 000 1000 2 10 6 mega M Millón 1 000 000 1000 1 10 3 kilo k Mil 1 000 1000 2/3 10 2 hecto h Centena 100 1000 1/3 10 1 deca da / D Decena 10 1000 0 10 0 ninguno Unidad 1 1000-1/3 10-1 deci d Décimo 0.1 1000-2/3 10-2 centi c Centésimo 0.01 1000-1 10-3 mili m Milésimo 0.001 1000-2 10-6 micro µ Millonésimo 0.000 001 1000-3 10-9 nano n Billonésimo Milmillonésimo 0.000 000 001 1000-4 10-12 pico p Trillonésimo Billonésimo 0.000 000 000 001 1000-5 10-15 femto f Cuadrillonésimo Milbillonésimo 0.000 000 000 000 001 1000-6 10-18 atto a Quintillonésimo Trillonésimo 0.000 000 000 000 000 001 1000-7 10-21 zepto z Sextillonésimo Miltrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 001 1000-8 10-24 yocto y Septillonésimo Cuadrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 000 001 Unidades derivadas Las unidades derivadas son las utilizadas para expresar magnitudes físicas que dependen (son combinaciones) de las magnitudes básicas. Las iremos introduciendo a lo largo de los temas que vayamos estudiando cuando las necesitemos. 3
1.2 Conversión de Unidades Todas las magnitudes físicas contienen un número y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebraica. Ejemplo: Queremos hallar la distancia recorrida en tres horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilómetros por hora (km/h). La distancia x es precisamente la velocidad v multiplicada por el tiempo t: 80 3 240 Como toda magnitud puede multiplicarse por 1 sin modificar su valor, podemos cambiar 240 km en millas sabiendo que 1 mi = 1,61 km, luego Multiplicado por este factor: 1 1,61 1 240 1 1,61 149 El factor 1 mi / 1,61 km se denomina factor de conversión. Todos los factores de conversión tienen el valor 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. 1.3 Dimensiones de las Magnitudes El área de una figura plana se encuentra multiplicando una longitud por otra, por ejemplo el área de un rectángulo de lados 2m y 3m es A = 2m 3m = 6 m 2. La unidad de esta área es el metro cuadrado. Puesto que el área es el producto de dos longitudes, se dice que tiene dimensiones de longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele escribirse L 2. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene sentido si ambas tiene las mismas dimensiones. 4
A continuación se presentan las dimensiones de algunas magnitudes físicas: Magnitud Física Símbolo Dimensión Área A L 2 Volumen V L 3 Velocidad v L/T Aceleración a L/T 2 Fuerza F ML/T 2 Presión (F/A) p M/LT 2 Densidad (M/V) ρ M/L 3 Energía E ML 2 /T 2 Las magnitudes fundamentales se han representado como: Longitud: L Masa: M Tiempo: T Ejemplo Sabiendo que la potencia P, se define como energía/tiempo, dar las dimensiones correctas de la potencia: Se dividen las unidades de energía por el tiempo: / 5
1.4 Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes que emplearemos en este curso de Física serán de dos tipos: escalares y vectoriales. Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido. La elección de un escalar o un vector para representar una magnitud física depende de la naturaleza de la misma; si estamos describiendo la temperatura de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, etc., emplearemos vectores. Un vector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres números que se denominan componentes o coordenadas del vector. Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es posible relacionarlas de una manera sistemática. Ejemplos Temperatura, T = 298 K Densidad, ρ = 1200 Kg/m 3 Fuerza, F = 48 N Campo eléctrico, E = 2500 + 1000! N/C Sistemas de coordenadas En general, emplearemos el sistema de coordenadas cartesianas para especificar las componentes de un vector. El sistema de coordenadas cartesianas está constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado origen. 6
Componentes cartesianas: " #" $," % & En tres dimensiones: " #" $," %," ' & Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes. Como se observa en la figura anterior están relacionadas con el ángulo que forma el vector con el eje x y con su longitud (módulo): 1.5 Vectores Constituyentes " $ " cos+ + ",-. / 0 / 1 " % " sin+ " 4" $ 5 " % Vector unitario Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo. AB mide 3, por lo que: Y su módulo: Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k: Vectores unitarios para los ejes cartesianos: 7
Vectores constituyentes de un vector Una vez introducidos los vectores unitarios i, j, k que definen los sentidos positivos de los ejes cartesianos, podemos expresar cualquier vector como la suma de los siguientes vectores: Componentes cartesianas: " #" $," % & En tres dimensiones: " #" $," %," ' & Como se observa en la figura anterior:!!!! 6 " $ " $!!!! " % " "!!!! $ 5 "!!!! % " $ 5 " % " % Y de forma análoga en tres dimensiones: 8! 8 9 : 5 8 ; <5 8 = >! Que es la forma que más comúnmente emplearemos para expresar una magnitud vectorial. 1.6 Operaciones con vectores Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar: 8
A. Suma de vectores Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos. Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vector a continuación del otro y dibujar el vector desde el origen del primero al final del segundo. Ejemplo:?! 5A 3 25 7 C!!?! 5 #5 5 2&5 #A3 5 7& 75 4 B. Producto escalar ( ) El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como: De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados: 9
Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que: El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa. Ejemplo:?! 5A 3 5! 25 7 5 4! C!!?! 5 2 5 #A3& 7 5 4 1 A7 C. Producto vectorial (x) El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación: El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que: Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se obtienen entonces las siguientes relaciones: 10
Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante: Ejemplo:?! 5A 3 5! 25 7 5 4!?! D! 5 A3 1D A19A 18 5 41! 2 7 4 11