El Jacobiano y el grupo de Picard de una curva

El Jacobiano y el grupo de Picard de una curva 1. Definición del Jacobiano Sea X una superficie de Riemann compacta de género g, y Ω 1 X el espacio vectorial de las formas diferenciales holomorfas. Se puede demostrar que dim C Ω 1 X = g; yo lo he visto de dos formas: 1. Se construye una base del espacio de las formas armónicas H X, y mediante un isomorfismo con C g se ve que dim C H X = g. Además, H X = Ω 1 X Ω1 X, y entonces como Ω1 X y Ω1 X son R-isomorfos, se tiene que dim C Ω 1 X = g.. Usando Riemann-Roch: Tenemos que para todo divisor D Div(X) y todo divisor canónico K KDiv(X) dim L(D) dim L(K D) = deg D + 1 g. Si ponemos D = K, obtenemos que dim L(K) = dim L (1) (0) = dim Ω 1 X = 1 + deg K + 1 g = g + g = g. Sea H 1 (X, Z) el primer grupo de homología de X (que es isomorfo al grupo fundamental abelianizado de X, π 1 (X)/[π 1 (X), π 1 (X)]). Ponemos H 1 (X, Z) = a 1,..., a g, b 1,..., b g Z. Podemos ver que H 1 (X, Z) (Ω 1 X ) de la siguiente forma: ponemos [γ] : Ω 1 X C donde ω γ ω. Se tiene que esto es efectivamente una inclusión. H 1 (X, Z) se llama el subgrupo de periodos. Definición Definimos el Jacobiano de X como JacX := (Ω 1 X ) /H 1 (X, Z). Sea {ω 1,..., ω g } una base de Ω 1 X. Vemos que JacX es un toro compleo, via la identificación λ + H 1 (X, Z) (λ(ω 1 ),..., λ(ω g )) + Λ, donde Λ = {( γ ω 1,..., γ ω g) : [γ] H 1 (X, Z)}. Entonces JacX C g /Λ. Eemplo JacP 1 = {0} (ya que Ω 1 P 1 = 0). Eemplo Sea X = C/L. Entonces Ω 1 X = dz C. Consideremos la aplicación X JacX tal que z + L z 0 dz + Λ = z + Λ. Tenemos que Λ = { γ dz : [γ] H 1(X, Z)} = L, y luego C/L JacX. Notamos que si una curva es isomorfa a su Jacobiano entonces necesariamente debe tener género igual a 1. Eemplo Consideremos la curva hiperelíptica X : y = x 6 1, y sea π : X Ĉ la función meromorfa tal que (x, y) x. Los puntos rama de esta función son precisamente las raíces de x 6 1; es decir, el conunto {1, e πi/3,..., e 5πi/3 }. Se tiene que dx Ω 1 X = y, xdx dy = y x 5, dy x 4. 1

Además, tenemos que el conunto {[γ] [η] H 1 (X, Z) : π γ = π η y unen puntos rama} genera H 1 (X, Z). Calculé entonces las integrales dy x 5, para ciertas curvas γ y η, y me dio que si JacX = C /L, entonces ( 1 L = ib 6, 1 ) ( 1 (e πi/3 e πik/3 ), ib 3, 1 ) (e πi/3 e πik/3 ) :, k 6 γ η γ η donde B(x, y) = 1 0 tx 1 (1 t) y 1 dt es la función beta. Moralea: No es fácil calcular Jacobianos!. El Jacobiano como variedad abeliana Recordamos que una variedad abeliana es un toro compleo C g /L unto a una forma Hermitiana no degenerada H : C g C g C tal que IH(L L) Z. dy x 4, Z Proposición.1 JacX es una variedad abeliana. Para demostrar esta proposición, basta encontrar la forma Hermitiana. Se pueden definir números de intersección en H 1 (X, Z) tales que a a k = 0 b b k = 0 a b k = δ k parra todo, k. Toda base que cumple esto se llama una base simpléctica. Para tal base existe una base de Ω 1 X (llamada base dual), digamos {ω 1,..., ω g }, tal que a ω k = δ k. La matriz periodo de JacX es Π = (I g τ), donde τ es una matriz simétrica con parte imaginaria Hermitiana positiva definida. Se tiene que una matriz J es la matriz de IH para alguna forma Hermitiana H que cumple lo buscado (y además principalmente polarizada) si y solamente si ΠJ 1 Π t = 0 y iπj 1 Π t es Hermitiana positiva definida. Si tomamos ( ) 0 Ig J = = (ℵ I g 0 ℵ k ) k (donde {ℵ 1,..., ℵ g } = {a 1,..., a g, b 1,..., b g }), entonces J cumple las propiedades anteriores: ΠJ 1 Π t = τ τ = 0 iπj 1 Π t = Iτ > 0. Por lo tanto, JacX es una variedad abeliana, y además obtuvimos que es principalmente polarizada.

3. La aplicación de Abel-Jacobi Sea X. Consideremos la aplicación A : X (Ω 1 X ) /H 1 (X, Z) tal que p p +H 1 (X, Z). Equivalentemente, podemos definir A : X C g /Λ donde p ( p ω 1,..., p ω g ) + Λ. Se llama la aplicación de Abel-Jacobi. Podemos extender esta aplicación a Div(X) mediante A( p X n p p) = p X n pa(p) (recordamos que un toro compleo es un grupo abeliano). Así obtenemos un homomorfismo A : Div(X) JacX. Es importante notar que A no depende del punto base. Consideremos la restricción A 0 : Div 0 (X) = ker(deg) JacX. Llegamos entonces al Teorema de Abel: Teorema 3.1 PDiv(X) = ker A 0. Esto implica entonces que sabemos exactamente cuándo un divisor de grado cero es principal. Es sorprendente el resultado aún en género 1: D = p X n p p es principal si y solamente si p X n p = 0 y p X n pp = 0 (en el toro). Otro teorema sorprendente: Teorema 3. A 0 es sobreyectiva. Como corolario, obtenemos que Div 0 (X)/PDiv(X) JacX. Sea g 1. En este caso vemos que A restringida a X es una inmersión, ya que si A(p) = A(q), obtenemos que como divisor A(p q) = 0, y luego p q es principal. Esto implica que existe f : X Ĉ meromorfa con un cero simple en p y un polo simple en q, y luego sería un isomorfismo. Esto contradice el hecho de que el género es mayor o igual que 1. Un corolario importante de esto es el siguiente: Corolario 3.3 Toda curva de género 1 es un toro compleo. Demostración Tenemos A : X JacX, y además en este caso JacX es una curva de género 1. Se ve que A es holomorfa e inyectiva, y por lo tanto es un isomorfismo. 4. El grupo de Picard Definimos PicX := Div(X)/PDiv(X) y Pic 0 X = Div 0 (X)/PDiv(X) (oo que sobre una variedad y un cuerpo cualquiera la definición es un poco distinta, pero coincide en el caso que la variedad sea suave). Muchas veces el Teorema de Abel se escribe como JacX Pic 0 X. Tenemos la secuencia exacta 0 Div 0 (X)/PDiv(X) inc PicX deg Z 0. Por la parte anterior, esto es simplemente 0 JacX PicX Z 0. 3

Consideremos ahora p X y ϕ : PicX Div 0 (X)/PDiv(X) tal que [D] D deg D p+pdiv(x). ϕ es un homomorfismo y ϕ inc = id. Esto implica que la secuencia exacta escinde, y luego PicX JacX Z. Sea f : X Y una aplicación holomorfa entre superficies de Riemann compactas. Notamos que f induce un homomorfismo f : Div(Y ) Div(X) (mediante pullback): f ( q Y n q q) = p X n f(p) (mult p f) p. Además, si D = (g) es principal, tenemos que f ((g)) = (g f), y también para un divisor D cualquiera se tiene deg f (D) = (deg f)(deg D). Por lo tanto, f define un homomorfismo PicY PicX y también un homomorfismo JacY JacX. Vemos entonces que Pic y Jac son functores contravariantes de la categoría de superficies de Riemann compactas con las aplicaciones holomorfas a la categoría de los grupos abelianos. 5. El grupo de Picard visto como fibrados en líneas Sea X una superficie de Riemann compacta; en toda esta sección veremos a X como un espacio topológico con la topología de Zariski (a menos que se diga otra cosa. Recuerde que la topología de Zariski es la topología cofinita, donde los abiertos son complementos de conuntos finitos). Sea E un conunto (que muchas veces en distintos contextos se pide que sea espacio topológico, variedad complea, variedad algebraica, etc.) y π : E X una función tal que: 1. Existe un cubrimiento por abiertos {U i } i I de X tal que para cada i existe una biyección (que en otros contextos va a ser una función continua, holomorfa, un morfismo, etc.) φ i : π 1 (U i ) U i C que cumple que pr φ = π.. Dados i,, φ i φ 1 : (U i I ) C (U i U ) C tiene la forma (x, v) (x, r x v) para algún r x C\{0} donde x r x es regular. Diremos que E es un fibrado en líneas de X. Los r x que corresponden a cada i, se denotarán por t i y se llaman funciones de transición. Eemplo El fibrado en líneas trivial es E = X C donde π : E X es la primera proyección. Notamos de la definición de un fibrado en líneas que cada fibrado en líneas se obtiene pegando fibrados triviales sobre cada U i a través de las funciones de transición. Definición Una función α : E E entre dos fibrados en líneas π : E X y π : E X es un homomorfismo si π α = π y si para todo par de funciones descritas antes φ 1 : π 1 (U i ) U i C y φ : (π ) 1 (U ) U C, se tiene que φ i α φ 1 : (U i U ) C (U i U ) C es de la forma (x, v) (x, f(x)v) para alguna función f regular en U i U. La definición de isomorfismo es obvia. Denotamos por LB(X) el conunto de todas las clases de isomorfismo de fibrados en líneas. Observamos que LB(X) tiene un producto natural (que llamaremos producto tensorial), donde si E y E corresponden a cubrimientos {U i } i I y {V m } m M con funciones de transición {t i } i, I y {s mn } m,n M, respectivamente, entonces E E se define por el cubrimiento {U i V m } (i,m) I M y por las funciones de transición {t i s mn } (i,,m,n) I M. Se tiene que LB(X) con forma un grupo abeliano. Definición Una sección racional sobre un fibrado en líneas π : E X es una función s : U E para algún abierto (Zariski) U X tal que 4

1. π s U = id U. para toda biyección descrita antes φ : π 1 (V ) V C (para algún abierto V X) se tiene que pr φ s V es racional (meromorfa). Definición Si s es una sección racional del fibrado en líneas π : E X (y este fibrado está definido por abiertos U i y funciones φ i : π 1 (U i ) U i C), definimos el orden de s en p U i como ord p s := ord p pr φ i s. Usando las funciones de transición, es fácil ver que esta definición no depende del cubrimiento. Con esto, definimos el divisor (s) := p X (ord ps) p. Proposición 5.1 Si s y s son dos secciones racionales del fibrado en líneas π : E C, entonces (s) (s ) (son linealmente equivalentes). En particular, observamos que podemos definir una aplicación H L : LB(X) PicX tal que E (s), donde s es cualquier sección racional de E. La siguiente proposición es interesante: Proposición 5. H L es un isomorfismo de grupos. Así obtenemos que PicX LB(X). De esta forma, podemos analizar y estudiar el grupo de Picard desde otro punto de vista. De hecho, tenemos los siguientes isomorfismos de grupos: PicX JacX Z LB(X) {haces invertibles sobre X} H 1 (X, O X). Eemplo Sea X una superficie de Riemann compacta, y sea {U i, φ i } un atlas para la estructura complea de X. Ponemos el fibrado en líneas trivial sobre cada U i (es decir, U i C). Sea T i = φ i φ 1 ; definimos las funciones de transición t i = T i φ i Ui U. Este fibrado en líneas se llama el fibrado tangente de X, y se denota por T. El nombre viene del hecho de que el haz de las secciones regulares de T (que denotaremos por O{T}) es isomorfo al haz invertible de campos de vectores tangentes regulares. en X (derivaciones que varían de una forma regular con la coordenada local). Eemplo Poniendo t i = T i φ i Ui U = (1/T i ) φ i Ui U, obtenemos otro fibrado en líneas llamado el fibrado canónico de X; se denota por K. El haz de secciones regulares de K (que denotaremos por O{K}) es isomorfo a Ω 1 X. Es bonito observar que T K es el fibrado trivial; es decir, como elementos de PicX son inversos el uno del otro. Además, como haces invertibles se tiene que O{T} O{K} = O X. 5