SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA ETAPA CLASIFICATORIA "VIII EDICIÓN DE LAS OLIMPIADAS DE LA SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA" Segundo Nivel Infantil 9 de abril de 2011 1. Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura? A B G F C D E a) 8 b) 10 c) 15 d) 13 e) Ninguno Solución: 1 d) Los triángulos que se pueden encontrar en la figura son los siguientes: (a) A-B-C-D-E-F-A (b) A-B-C-D-G-A (c) A-G-D-E-F-A (d) A-B-G-F-A (e) B-D-F-G-B (f) B-C-D-B (g) D-E-F-D (h) A-B-G-A (i) A-G-F-A (j) B-D-G-B (k) G-D-F-G (l) A-G-D-F-A (m) A-B-D-G-A 2. Con una cadena formas un círculo cuyo radio mide 20 centímetros, como se ve en la figura. Si con tus dedos deformas el círculo en los puntos de color negro, y en la dirección indicada por las flechas en la figura, puedes formar un cuadrado. 1
Cuál de las dos figuras tiene el perímetro mayor? a) Círculo b) Cuadrado c) Son iguales d) Es imposible saberlo e) Ninguna Solución: 2 c). H E @ La deformación del círculo en un cuadrado no produce un cambio en la longitud de la cadena y por tanto el perímetro permanece constante. 3. Hay tres casas ( ) y tres servicios: luz (E), teléfono (H) e internet (@), como se muestra en el dibujo: Para que una casa tenga un servicio determinado, debe unirse la casa con el servicio a través de un cable. Está prohibido hacer conexiones de cables entre las casas; tampoco se permiten cables que conecten los servicios entre sí. Conecta las tres casas con los tres servicios de manera que tengas el menor número de cruces entre los cables. Qué número de cruces es ése? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Ninguna Solución: 3 b) H E @ 2 La solución de este ejercicio no es única. Una de esas soluciones es, por ejemplo, la siguiente:
. Cuáles son los dos números que siguen al número 21 en la siguiente sucesión? 3,, 6, 8, 11, 1, 17, 21,... a) 2, 27 b) 25, 29 c) 25, 28 d) 2, 26 e) Ninguna Solución: b) La serie se forma sumando números como se muestra abajo: 3,, 6, 8, 11, 1, 17, 21, 25, 29 +1 +2 +2 +3 +3 +3 + + + 5. En el rectángulo, cuánto mide el área rayada si la línea entrecortada es paralela a la base? A F 6 B E C D a) 12 b) 2 c) 20 d) 16 e) Ninguna. Solución: 5 a) El área requerida se puede calcular siguiendo los siguientes pasos: Calcular la longitud de BC= longitud ABC-Longitud BC=2 Calcular el área del triángulo BCE= 1 2 base altura = 1 2 () (2) =. Calcular el área del triángulo BEF= 1 2 base altura = 1 2 () () = 8. Finalmente, el área de la zona sombreada es: área del triángulo BCE+área del triángulo BEF= + 8 = 12 6. La estatura de Ana y las de sus compañeros y compañeras de clase están indicadas en centímetros en el siguiente dibujo: 130 131 129 13 133 127 128 10 130 135 136 132 12 135 13 3
Ana se da cuenta de que el número de compañeros más altos que ella es igual al número de compañeros más bajos. Cuánto mide Ana? + a) 129 b) 130 c) 132 d) 13 e) Ninguna Solución: 6 c) Las estaturas de todos los estudiantes de la clase, ordenados de menor a mayor, son: 12, 127, 128, 129, 130, 130, 131, 132, 133, 13, 13, 135, 135, 136, 12 Se observa que los siete primeros números son menores que 132 y los siete siguientes son mayores que 132, por tanto, Ana mide 132 centímetros. 7. Cuántos números distintos de celular hay que empiecen con 09367 y que los tres últimos dígitos no sean exactamente111? a) 29 b) 30 c) 279 d) 1 000 e) Ninguna Solución: 7 e) Los tres dígitos que faltan pueden ser llenados de la siguiente forma 000, 001, 002,..., 998, 999. Así tendríamos 1000 números distintos de celular que empiezan con 09367. Si restamos el número celular 09367111 tendríamos entonces 999 números. 8. En la hoja de respuestas correspondiente, dibuja la casa de Nicolás uniendo los vértices indicados, sin levantar Ïel lápiz y sin repisar ninguna línea. e e c d c d a a b b Indica el orden de los vértices en el trazado. Por ejemplo, si lo inicias en el vértice a, luego sigues al d y luego al c, escribe adc. Solución: 8 La solución no es única. Una solución posible es seguir el orden de trazado acdbadecb. 9. Mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, con cinco números 5 puedes expresar el número 100: 5 5 5 5 5 = 100. Expresa el número 1 000 con ocho números 8.
Solución: 9 El número 1000 se puede obtener mediante la siguiente suma: 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000. 10. Dispones de cuatro colores: azul, rojo, negro (del lápiz) y blanco (no se pinta). Con el menor número de esos colores, pinta los países del mapa de América del Sur (en la hoja de respuestas) de manera que si dos países tienen una frontera común, no estén pintados del mismo color. Solución: 10 Es evidente que no se puede colorear el mapa con un solo color. Asimismo, no es difícil observar que con dos colores tampoco se puede cumplir la condición de que dos países vecinos estén siempre pintados de diferente color. Al intentar colorear el mapa con tres colores, independientemente del país por el que se empiece, se llegará a un error. Finalmente, si se utilizan los cuatro colores se obtiene la solución del problema. La solución no es única, una de las soluciones es, por ejemplo, la que se muestra en el siguiente gráfico. 5