Resumen Microeconomía Introducción Problema Económico: Necesidades ilimitadas pero recursos limitados. Este problema es resuelto con dos principios: Principio de Optimización y Principio de Equilibrio. - Problema de Optimización: Las personas intentan elegir el mejor patrón de consumo al que pueden acceder - Problema de Equilibrio: Los precios se ajustan hasta que la cantidad que al gente demanda es igual a la cantidad ofrecida. Demanda Curva de demanda Los mercados en particular le preguntan a cada comprador potencial cuanto es el precio máximo que pagara por un bien. Ese precio se llama Precio de reserva. Oferta Curva de oferta La cuerda de oferta depende F (k;l) > y: Teconología, Costo de producción: Px. Insumos; Número de productores y Factores aleatorios. Equilibrio de mercado 1 de 32
Estatica Comparativa Propiedades del bienestar del Equilibrio Eficiencia en sentido de Pareto: Una asignación es pareto optima si no se puede alcanzar otra asignación que mejore a algunos sin empezar a otros. - Primer Teorema: Cualquier equilibrio competitivo genera una asignación que es eficiente en el sentido de pareto - Segundo Teorema: Cualquier asignación eficiente en el sentido de pareto puede alcanzarse con un equilibrio competitivo. El problema de este teorema es que debo asegurarme que las condiciones de mercados sean perfectos. Por que se llega a esta eficiencia? Los precios cumplen dos funciones: Razonamiento y Asignación - Razonamiento: Cuando la oferta es relativamente baja, los precios sirven para asignar los bienes a quienes mas los valoran - Asignación: En el largo plazo, los precios sirven como señal de hacia donde deben asignarse los recursos productivos 2 de 32
Tecnología de Producción Tecnología de producción: Es el proceso que permite transformar insumos o factores de producción en un bien final. La tecnología en si es una restricción natural a la producción. Función de producción Plan de producción: Es el par (x;y). Cuanto quiero producir y cuantos insumos tengo. Esto es tecnológicamente factible si es posible producir y a partir de x. Conjunto de producción: Lo denotamos por Y, es el conjunto de planes tecnologicamente factible. Función de producción: Indica cual es la máxima cantidad de productos que puedo obtener con un producto y. Conjunto de producción Utilizando la función de producción, podemos definir formalmente el conjunto de producción Y = {(x ; y) R n+1 :y f(x)} Si n=1 podemos traficar fácilmente el conjunto de producción Decimos que un plan de producción (x1,.,xn, y) Y es eficiente si no existe otro plan (x 1,, x n,y ) Y tal que i, x i x i y además y y. Es decir que un plan d producción es eficiente si no existe otra manera de producir la misma cantidad con menos insumos, o bien, producir más con los mismos insumos, o bien, producir más con los mismo insumos. Podemos concluir que un plan que cumpla y < f (x) no puede ser eficiente. En otras palabras, si un plan es eficiente, entonces debe cumplirse que y = f (x). No todos los planes que se encuentren sobre la frontera son eficientes. 3 de 32
Isocuantas: Todas las combinaciones de insumos (x1 ; x2) que nos arrojan la misma cantidad de producto - Tecnologia Leontief f (x 1, x 2 ) = min {a 1 x 1 ; a 2 x 2 } - Bienes Sustitutos f (x1 ; x2) = a1x1 + a2x2 4 de 32
- Bienes Cobb-Douglas f (x 1, x 2 ) = Ax 1 α x2 β α, β > 0 - Tecnología CES Propiedades del Conjunto de Producción - Monotonicidad: Para cualquier plan de producción (x 1,,x n, y) Y, el plan de producción (x 1,, x n, y ' ) tal que i, x i xi y ademas y y también pertenece a Y. En el caso de que la función de producción sea de un único insumo, basta con que la función de producción sea no decreciente. Sus isocuantas sos planas o decrecientes. - Convexidad: Para cualquier par de planes de producción (x,y) Y y (x,y ) Y, el plan de producción (x, y ) = α(x, y) + (1 α)(x, y ) también pertenece a Y. Esta propiedad implica que las productividades marginales son decrecientes y que las isocuantas son convexas. Si es de un solo insumo, la función debe ser cóncava. 5 de 32
Productividad Marginal: Es cuanto aumenta el insumo x1 manteniendo fijo el insumo x2 - Tasa de variación: - Si tomamos la variación de x1 lo más chico posible: Tasa Marginal de Sustitución (TMST): La Tasa Marginal de Sustitución es la pendiente de la isocuanta -Pmg1 / Pmg2. La TMST es decreciente, por eso la isocuanta es convexa. Retornos a Escala: Si la tecnología de producción es monótona, entonces sabemos que la producción aumentara. Para saber en que proporción: - Teorema: Si la función de producción f es estrictamente cóncava, entonces el conjunto de producción Y es convexo. Si ademas f (0) = 0 entonces Y tiene rendimientos decrecientes a escala Tecnologias Homogeneas y Homoteticas - Definición: Una función es homogénea de grado t si f (kx) = k t f (x) A. Proposición: Una función exhibe rendimientos constantes a escala si y solo si es homogénea de grado 1. - Definición: Una función g : R R es una transformación monótona si g es una función estrictamente crecient 6 de 32
- Definición: Una función f (x) es una función homotetica si f (x) = g(h(x)), donde h(.) es homogénea de grado 1 y g(.) es estrictamente creciente. Es decir, si f es una transformación monótona de una función homogénea de grado 1. Importante: En estas funciones, la TMST es independiente de la escala de producción. 7 de 32
Maximización de Beneficios Objetivo de la Firma: El objetivo para la firma será la maximizacion de beneficios. En principio la firma tendrá que afrontar diversas desiciones: Cuanto de cada insumos xi comprar; cuanto producir y; A que precio p vender? Maximizacion del Beneficio en el Corto Plazo Como los insumos son difíciles de ajustar, entonces vamos a suponer que permanecen fijos durante cierto periodo de tiempo, a estos los llamamos Insumos Fijos. La firma deberá pagar por ellos, incluso en el caso que decida no producir. Los insumos que si se pueden ajustar en el corto plazo los llamaremos Insumos Variables. - Problema - Función objetivo bien definida - Si el problema esta bien definido, entonces basta con encontrar la CPO para resolverlo - CPO 8 de 32
- El ingreso marginal del insumo es el valor de su producto marginal - El costo marginal del insumo en su costo por unidad - La firma eficiente iguala el ingreso marginal con el costo marginal - Graficamente: - Optimo: A partir de las condiciones de primer orden se puede obtener la cantidad optima que debe ser contratada, es decir, la demanda optima de insumo variable x1. Reemplazamos este valor en la restricción de maximizacion de beneficios y logramos obtener la función optima. 9 de 32
Maximizacion de Beneficios en el Largo Plazo Todos los insumos son variables, entones la firma puede elegir de manera optima la cantidad de cada insumo. - Problema - CPO - Las condiciones anteriores dan lugar al siguiente resultado - En el optimo, la TMST es igual al precio relativo de los insumos: la tasa a la que la firma sustituye insumos sin alterar la producción debe ser igual a la tasa a la que se intercambian los bienes del mercado. Función de Beneficio Máxima - La función de beneficio es homogénea de grado 1 - Lema de Hotelling 10 de 32
Proposiciones Retornos a Escala - Proposición: Supongamos que la función de producción f (x ), x R n tiene rendimientos constantes a escala. Entonces los beneficios de largo plazo son nulos. - Proposición: Supongamos que la función de producción f (x ), x R n tiene rendimientos crecientes a escala. Entonces, si el problema de maximizacion tiene solución, los beneficios de largo plazo son negativos. 11 de 32
Minimizacion de Costos Podemos separar el proceso de maximizacion de beneficios en dos partes. En un primer paso, la firma elige la combinación de insumos optima que le permita producir una determinada cantidad. Este es el problema de la minimizacion de costos, este problema siempre tiene solución. - Problema - Para resolverlos se utiliza el Método de Lagrange - CPO - Resolviendo el sistema anterior, podemos obtener las demandas compensadas optimas, condicionales a un nivel de producto particular: x 1 c (w1,w 2,y),x 2 c (w1,w 2,y) - De el reordenamiento de las CPO obtenemos la relación: 12 de 32
Función de Costo Minimo - Propiedades 13 de 32
Curva de Costos La curva de costos C (w 1,w 2,y) establece el costo mínimo de producir una cantidad de bien final y, tomando como dados los precios de los insumos w. También sabemos que existen costos que deben pagarse sin importar el volumen de producción debido a la existencia de factores fijos en el corto plazo. Es necesario diferenciar las costos llamándolos costos fijos y costos varibles Costo Medio El costo medio mide el costo por unidad de bien final, es decir el costo promedio. El costo medio fijo siempre es decreciente, por lo contrario, el costo medio variable tiende a ser creciente debido a la presencia de factores fijos. La producción se vuelve más ineficiente al no poder elegir de manera optima el factor fijo. La curva de costos medios es la suma de ambas curvas. Tiene forma de U pues para valores relativamente bajos de producción, la reducción en el costo fijo promedio influye más en el costo agregado. Conforme aumenta la producción, el incremento del costo variable promedio toma relevancia. Costo Marginal El costo marginal determina la tasa de cambio en el costo total ante un incremento en la producción final 14 de 32
Cuando producimos cantidades cercanas a cero, las curvas de costo medio y marginal tienden a ser iguales Cuando producimos en puntos donde los costos variables son decrecientes, debe suceder que el costo marginal sea menor al promedio Es decir, que es decreciente cuando el costo marginal es menor al costo variable promedio En el caso contrario, es creciente. El mismo argumento vale para costo medios totales 15 de 32
Costo y Rendimientos a Escala - Proposición: Los rendimientos a escala están dados por la función de costos medios de la siguiente manera: Otras propiedades - Proposición: Si f tiene rendimientos constantes a escala, entonces la función de costos es C(w,y) = c(w,y)y. Es decir, la función de costos es lineal en la cantidad producida. - Proposición: Si f es cóncava, entonces C es convexa. Relación entre las Curvas de Corto y Largo Plazo La diferencia entre el corto y largo plazo, es que en el largo plazo la firma puede elegir óptimamente todos los insumos, mientras que el corto plazo esta restringida. Entonces debe cumplirse que C L (y) C C (y), es decir que C L (y) / y C C (y) / y. Los costos medios de largo plazo son siempre menores o iguales a los del corto plazo 16 de 32
Preferencias Teoría del consumidor: El consumidor elige la mejor opción dentro de aquellas que puede comprar Preferencias: Sea X el conjunto de canastas de consumo posibles e imaginables. El conjunto de elecciones posibles de un consumidor. En un mundo n bienes, un elemento típico de X es un vector x = (x1,, xn), donde xi es la cantidad del bien i. Un consumidor que tiene que elegir entre las canastas x X o y X, podría decir: Prefiere x a y; Prefiere y a x; x e y le dan lo mismo. Formalmente definimos el concepto de preferencia debil: x y significa que el consumidor prefiere débilmente x a y o que x es al menos tan bueno como y. Racionalidad - Axioma 1: La relación de preferencia débil es completa. Este axioma nos dice que el individuo puede elegir entre dos canastas cualquiera. - Axioma 2: La relación de preferencia débil es transitiva. Este axioma nos asegura que el individuo no tenga preferencias circulares cuando debe elegir entre tres o mas alternativas. - Si la relación de preferencia satisface ambos axiomas entonces es Racional. 17 de 32
Otras propiedades - Lema 1: Si la relación de preferencia débil es Racional (completa y transitiva) entonces la relación > es: A. Asimetrica: B. Transitiva - Lema 2: Si la relación es completa y transitiva (racional) entonces la relación ~ es: A. Reflexiva B. Simétrica C. Transitiva Función de utilidad El concepto de relación de preferencias es bastante intuitivo, pero como herramienta de análisis es difícil de utilizar. Esto debido a que no podemos utilizar herramientas matemáticas sobre ellas. Para ello desarrollamos el concepto de utilidad. La utilidad no mide la felicidad o la intensidad de felicidad de las personas. Simplemente la utilizamos para ordenar numéricamente las preferencias. - Definición: - Es decir que cada vez que una canasta sea preferida a otra, la función de utilidad debe asignarle un número real mayor. - Si la relación de preferencias es racional, casi siempre es posible encontrar una función de utilidad que la represente. 18 de 32
- Remark: Los números asociados a las canastas son totalmente - Proposición: Si la función u(.) representa la relación de preferencias, entonces cualquier transformación monótona creciente de u(.), f(u), también la representa. Curva de indiferencia: Es una representación gráfica de todas las canastas de consumo que dejan al consumidor indiferente frente a una canasta particular Conjunto de indiferencia 19 de 32
- Propiedades - Definición 20 de 32
- Definición Utilidad Marginal y TMS Utilidad Marginal: La tasa a la cual cambia la utilidad por cada unidad de cambio en el consumo del bien. UMgi - Si queremos ver el cambio en el bien x1 por ejemplo: - El problema de la utilidad marginal es que no transmite un contenido claro acerca del comportamiento del individuo pues depende de la función de utilidad que utilicemos. Lo único que podemos asegurar es que la utilidad marginal es positiva. 21 de 32
Tasa Marginal de Sustitución: Es la tasa a la cual el agente esta dispuesto a ceder del consumo de un bien para aumentar su consumo de otro, manteniéndose sobre la misma curva de indiferencia. Pendiente de la curva de indiferencia - La TMS es invariante a transformaciones de la función de utilidad 22 de 32
Conjunto Presupuestario Las desiciones de los consumidores se ve restringida por el precio de los bienes y la riqueza Recta Presupuestaria - Cambios en el ingreso - Cambios en los precios 23 de 32
Bien Numerario La recta de presupuesto se compone de los precios y el ingreso como variables exógenas. Es posible demostrar que una de ellas es redundante, en el sentido que podemos tomarla como un valor fijo y ajustar las variables para que describan exactamente el mismo conjunto presupuestario. Impuestos y subsidios - Impuesto por unidad: El agente debe pagar una cantidad t por cada unidad de bien que adquiere. Gráficamente, altera la pendiente de la restricción presupuestaria. - Impuesto Ad Valorem: Se cobra un porcentaje sobre el valor de la transacción. - Impuesto de suma fija: Cantidad fija de dinero que el gobierno le cobra a los consumidores. No altera la pendiente de la restricción presupuestaria, solamente la traslada. 24 de 32
Restricciones de Racionamiento El gobierno puede establecer una cantidad máxima que los agentes pueden consumir 25 de 32
Elección Óptima Sabiendo que las preferencias del individuo nos indican como se ordenan las posibles canasta de consumo. Por otro lado, el conjunto presupuestaria nos indica cuales son las canastas de consumo relevantes. Es decir, las que el consumidor efectivamente puede adquirir dado su ingreso y los precios dados. Teniendo esta información es suficiente para predecir cual será la canasta elegida por el consumidor Elección Optima Gráficamente - Teorema: Si el consumidor tiene preferencias convexas y encontramos un punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta presupuestaria, entonces este punto es una canasta de consumo optima. 26 de 32
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Elección Óptima Formal Problema del Consumidor - Proposición: Si las preferencias son monótonas, el consumidor siempre elegirá una canasta de bienes que se encuentre sobre la recta presupuestaria. Función de Utilidad Indirecta - Proposición: La función de utilidad indirecta es homogénea de grado cero en precios e ingresos. Identidad de Roy - Propiedad: 28 de 32
Estatica Comparativa Lo que buscamos observar es como cambia la demanda antes variaciones en el precio o ingreso. Generalmente determinamos el efecto sobre variables endogenas de un cambio en las variables exógenas. Variables Endógenas: Canasta de consumo y utilidad indirecta Variable Exógenas: Precio e ingresos Cambios en el ingreso: Cuanto más aumente nuestro ingreso, mayor será nuestro conjunto presupuestario - Proposición: - Proposición: Si las preferencias son monótonas, entonces el consumo de al menos un bien aumenta. 29 de 32
Bienes Normales e Inferiores - Corolario: Si las preferencias son monótonas, nunca puede pasar que todos los bienes sean inferiores. - Aclaración: La clasificación de bienes normales e inferiores depende tanto de las preferencias como de los paramentos (precio e ingreso). Por ejemplo: Para bajos niveles de ingreso el consumo de pases de colectivos es un bien normal. Pero a partir de cierto nivel de ingreso, se espera que su consumo disminuya conforme el agente aumente su ingreso. 30 de 32
Curva de Engel Sendero de expansión del ingreso: Es la curva que une las canastas optimas a medidas que cambia el ingreso. Si los dos bienes son normales, el sendero de expansión es creciente. Para graficar la demanda de i como función del ingreso m. La llamamos Curva de Engel. Es creciente cuando el bien es normal. Bienes Ordinarios y Giffen 31 de 32
Cambios en Precio Curva de Demanda 32 de 32