Institución: Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Comercio y Administración Unidad Tepepan.

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2 DIVERSIFICACIÓN EFICIENTE VERSUS DIVERSIFICACIÓN ALEATORIA, CONSIDERANDO CARTERAS DE ACCIONES DE LA BOLSA MEXICANA DE VALORES Área temática: Finanzas Inversión AUTORES M. en C. Aidé Nidia Reyes Loyola M. en F. Rafael Guadalupe Rodríguez Calvo Docentes investigadores Institución: Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Comercio y Administración Unidad Tepepan. Domicilio: Periférico Sur 4863, Colonia Ampliación Tepepan, C.P. 16020, Delegación Tlapan, México Distrito Federal Teléfono: Oficina (0155) 57 29 60 00 exts. 73577, 73599. Casa (0155) 58 59 09 19. Fax: (0155) 50340509 Correo electrónico: anreyes@ipn.mx, aidereloy@hotmail.com Dirección para correspondencia: Salmón No. 125, Colonia Del Mar, Delegación Tláhuac C.P. 13270, México Distrito Federal.

3 DIVERSIFICACIÓN EFICIENTE VERSUS DIVERSIFICACIÓN ALEATORIA, CONSIDERANDO CARTERAS DE ACCIONES DE LA BOLSA MEXICANA DE VALORES RESUMEN El presente planteamiento forma parte de una línea de investigación, cuyo eje central es la administración de las inversiones en valores. Este trabajo en particular, presenta una prueba empírica de dos modelos utilizados para la planeación y formación de carteras de inversión: la diversificación aleatoria de Evans y Archer versus la diversificación eficiente de Harry Markowitz, considerando muestras de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores. La hipótesis plantea que de acuerdo con la teoría moderna de la cartera de Harry Markowitz, si se considera de manera explícita el riesgo y la covarianza entre los rendimientos de las acciones de cualquier muestra, se podrán encontrar mejores combinaciones de riesgo rendimiento que la que resulte de la diversificación aleatoria. De un marco muestral de 48 acciones de la Bolsa Mexicana de Valores, usando el generador de números aleatorios de Microsoft Excel se seleccionaron al azar tres carteras, con tres, cuatro y cinco activos respectivamente, a las cuales se les aplicaron ambos métodos de diversificación. Los resultados obtenidos fueron que con el método de Markowitz se encontraron portafolios que mejoran la diversificación ofrecida por el método de Evans y Archer en cada una de las carteras, con lo cual se confirmó la hipótesis de la investigación. Utilizar modelos que simplifiquen el análisis de procesos tan complejos como lo es la diversificación, es de suma importancia, debido al grado de conocimiento que permite adquirir. Palabras clave: Inversión, diversificación, acciones, carteras de inversión, riesgo, rendimiento, covarianza y frontera eficiente.

4 Planteamiento de la investigación. Antecedentes. En toda inversión se da un intercambio entre riesgo y rendimiento por lo que el inversionista debe contemplar una selección y distribución de riesgos y rendimientos de los valores en que vaya a invertir, esta situación es conocida como el problema de la inversión ; al respecto diversas teorías y modelos plantean propuestas de solución. La diversificación pretende la dilución del riesgo, al invertirse en varias categorías de valores ( Gitman, 2007), existiendo diferentes métodos para su aplicación. Harry Markowitz es el primero que demostró que considerando de manera explícita la covarianza entre los rendimientos de los activos financieros y aplicando métodos cuantitativos se podían construir portafolios óptimos de inversión para el nivel de aversión al riesgo de cualquier inversionista individual o institucional (Markowitz, 1952). Sin embargo, también John L. Evans y Stephen H. Archer, demostraron que agregando valores seleccionados al azar y combinándolos en proporciones iguales, se reduce el riesgo de la cartera (Evans y Archer, 1968). Este trabajo propone contrastar las bondades de la diversificación eficiente de Markowitz versus la diversificación aleatoria de Evans Archer, considerando muestras aleatorias de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores. La administración de carteras de inversión es un proceso complejo, en donde el conocimiento de modelos es útil, debido a que éstos son en esencia una analogía de sistemas reales, facilitando así la comprensión y la adquisición de conocimientos. Objetivo general. Obtener una prueba empírica sobre la supuesta superioridad de la diversificación eficiente de Harry Markowitz sobre la diversificación aleatoria de John Evans y Stephen Archer, considerando varias muestras aleatorias de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores.

5 Marco teórico. Para lograr el objetivo de este trabajo, por un lado, se aplicó la teoría moderna de la cartera de Harry Markowitz, que considera a la covarianza de los rendimientos entre los activos como la variable clave para formar las carteras de inversión. Y, por otra parte, se consideró la hipótesis de la diversificación aleatoria de John Evans y Stephen Archer que postula que agregando valores seleccionados al azar, y combinándolos en proporciones iguales, se reduce el riesgo de una cartera. Problema de selección de cartera. (Kolb, 1998:25) establece que el problema básico que confronta cualquier inversionista es cómo asegurar el rendimiento deseado al mismo tiempo que se enfrenta a un riesgo mínimo. De acuerdo con (Alexander, Sharpe y Bailey, 2003) el inversionista se enfrenta a un problema similar cuando invierte en una cartera entre un conjunto de carteras posibles. Por ello, esta situación se conoce como el problema de la selección de cartera. Relación de dominación entre acciones. Buscar un rendimiento alto requiere por lo general asumir un mayor riesgo, sin embargo cuando un inversionista tiene oportunidades de inversión en las cuales no se confronta el intercambio de riesgo y rendimiento, se dice que una oportunidad de inversión domina a la otra. (Kolb, 1998) establece que un valor domina a otro cuando cumple con cualquiera de las siguientes condiciones: 1. Si un valor (D) ofrece rendimientos esperados más altos que un segundo valor E y ambos tienen el mismo nivel de riesgo, el primer valor domina al segundo (D domina a E). 2. Si dos valores tienen el mismo rendimiento esperado (D y E), pero el nivel de riesgo del primero (D) es inferior al del segundo valor, el primer valor domina al segundo (D domina E).

6 3. Si un valor (D) tiene al mismo tiempo un rendimiento esperado más alto y un nivel de riesgo inferior que un segundo valor (E), el primero domina al segundo (D domina a E). VER ANEXO 1 Frontera eficiente. Se pueden crear múltiples carteras a partir de diversos activos, la determinación de rendimientos y riesgos son elementos que se necesitan calcular, para posteriormente analizarlos. Una herramienta que existe para realizar el análisis es el teorema del conjunto eficiente o frontera eficiente, que de acuerdo con (Alexander, Sharpe y Bailey, 2003) establece que para la selección de una cartera óptima entre un conjunto de carteras, el inversionista deberá considerar dos elementos: 1) que la cartera ofrezca el máximo rendimiento esperado para niveles variables de riesgo y 2) que la cartera ofrezca un riesgo mínimo de niveles variables de rendimiento esperado. El conjunto eficiente estará conformado por las carteras que cumplan estas dos condiciones. La relación de dominación es determinante en la elección de carteras, los inversionistas tienen buenas oportunidades de inversión cuando no se confronta el intercambio de riesgo y rendimiento, es decir, cuando existen carteras no dominadas. Para ejemplificar lo anterior a continuación se presenta una gráfica de un portafolio de riesgo con tres activos.

7 Todos los portafolios que se encuentran debajo de los portafolios representados por los puntos azules están dominados por éstos. Los puntos azules son todos los portafolios no dominados por ningún otro activo ya que representan las mejores combinaciones de riesgo-rendimiento para los inversionistas. (Kolb, 1998) señala que la frontera eficiente es la representación gráfica de los elementos del grupo eficiente el cual está conformado por el grupo de carteras que no están dominadas, por lo que los inversionistas buscarán invertir en ellas. Diversificación aleatoria versus diversificación eficiente. La diversificación eficiente considera explícitamente las desviaciones estándar y las correlaciones de los rendimientos de las acciones que conforman las carteras de valores, para obtener el máximo potencial de la diversificación de un grupo de valores. En contraste, se encuentra la llamada diversificación aleatoria que consiste en agregar valores seleccionados al azar y combinarlos en proporciones iguales, sin ningún conocimiento de las desviaciones estándar ni de las correlaciones de los valores seleccionados (Alexander, Sharpe y Bailey, 2003). Si se comparan los resultados de la diversificación aleatoria con los resultados de la diversificación eficiente, se tiene que para cada resultado de la diversificación aleatoria, se tendrá por lo menos un portafolio obtenido con la diversificación eficiente que será

8 mejor en términos de riesgo y/o en términos de rendimiento (Messuti, Alvarez, Graffi, 1992). Para ilustrar esto se presenta la siguiente gráfica: El punto A de la gráfica representa los resultados de un portafolio construido mediante la diversificación aleatoria, es decir, invirtiendo la misma proporción de fondos en cada uno de los activos que lo componen. Mientras que la línea continua representa la frontera eficiente de portafolios obtenidos a través del método de la diversificación eficiente. Puede observarse que el portafolio B obtenido con la diversificación eficiente, tiene el mismo nivel de rendimiento que el portafolio A obtenido por la diversificación aleatoria, pero un nivel de riesgo menor, por lo que B será mejor que A para cualquier inversionista. También puede verse que el portafolio C obtenido con el método de la diversificación eficiente, domina claramente al portafolio A obtenido con la diversificación aleatoria, porque tiene un mayor rendimiento a igualdad de riesgo. Por último, se puede ver que todos los portafolios que están sobre la frontera eficiente entre B y C son mejores alternativas de inversión que A, dado que tienen menor riesgo al mismo tiempo que mayor rendimiento que A. Por lo que se puede concluir, que con la diversificación eficiente se pueden alcanzar mejores combinaciones de riesgo rendimiento que con la diversificación aleatoria.

9 Pregunta de investigación. Considerando muestras aleatorias de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores qué método de diversificación generará las mejores combinaciones de riesgo rendimiento para cualquier inversionista, el método de diversificación eficiente de Markowitz o el método de diversificación aleatoria de John Evans y Stephen Archer?. Hipótesis. De acuerdo con la teoría moderna de la cartera de Harry Markowitz, si se considera de manera explícita el riesgo y la covarianza entre los rendimientos de las acciones de cualquier muestra aleatoria, se podrán encontrar mejores combinaciones de riesgo rendimiento que la que resulte de la diversificación aleatoria que consiste en asignar la inversión en partes proporcionales al número de activos que conforman la cartera, sin considerar de manera explícita ni el riesgo, ni la covarianza entre los rendimientos de los activos. Definición de variables. Si la proporción de fondos invertidos en el activo para una cartera dada de cualquier número de activos N, se expresa como entonces el rendimiento esperado de la cartera se define como (Alexander, Sharpe y Bailey, 2003): En donde: Rendimiento esperado del activo El riesgo de la cartera para cualquier número de activos, por su parte, está definido como sigue: En donde: Riesgo del activo Riesgo del activo activo Coeficiente de correlación entre el rendimiento del activo y el rendimiento del

10 A su vez, la fórmula del rendimiento esperado de cualquier activo se define como: En donde: Rendimiento del activo en el periodo. Probabilidad de que ocurra el rendimiento del activo del periodo El riesgo de cualquier activo se define como la desviación estándar de sus rendimientos, es decir: En donde: Rendimiento del activo en el periodo Rendimiento esperado del activo. Probabilidad de que ocurra el rendimiento del activo del periodo Por último, el coeficiente de correlación entre los rendimientos del activo A y los rendimientos del activo B está definido como sigue: En donde: = Rendimiento del activo A en el periodo = Rendimiento del activo B en el periodo = Rendimiento esperado del activo A. Rendimiento esperado del activo B. = Riesgo del activo A. = Riesgo del activo B. Probabilidad de que ocurran los rendimientos de los activos A y B del periodo Diseño de investigación. El esquema de investigación que se utilizó para poner a prueba la hipótesis es un diseño de tratamientos múltiples de tres grupos aleatorios a los que se les aplica dos tratamientos, en este caso, dos métodos alternativos de diversificación (Hernández, 2008). El diagrama es el siguiente:

11 RG 1 X 1 O 1 X 2 O 4 RG 2 X 1 O 2 X 2 O 5 RG 3 X 1 O 3 X 2 O 6 En donde: RG 1, RG 2 y RG 3 son tres grupos seleccionados al azar de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores, de tres, cuatro y cinco acciones respectivamente. X 1 son las proporciones de inversión de la diversificación aleatoria que consiste en asignar la inversión en partes proporcionales al número de activos que conforman las carteras. X 2 son las proporciones de inversión en las acciones de las carteras obtenidas con la diversificación eficiente de Markowitz, la cual considera a la covarianza entre los rendimientos como la variable clave para formar portafolios. O 1, O 2 y O 3 son las combinaciones de riesgo rendimientos obtenidas a partir del método de la diversificación aleatoria X 1, de las carteras RG 1, RG 2 y RG 3. O 4, O 5 y O 6 son las combinaciones de riesgo rendimiento obtenidas a partir del método de la diversificación eficiente de Markowitz X 2 de las carteras RG 1, RG 2 y RG 3. De acuerdo con la hipótesis de investigación O 4, O 5 y O 6 deberán ser mejores combinaciones de riesgo rendimiento que O 1, O 2 y O 3, respectivamente. Tipo de investigación. La presente investigación es de tipo cuantitativa, descriptiva y transversal. Debido a que para obtener los resultados, se recolectaron datos numéricos, los cuales se analizaron a través de métodos estadísticos. Logrando señalar qué son y cómo se manifiestan la diversificación aleatoria y la diversificación eficiente, a través de una prueba empírica con muestras de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores, en un periodo de tiempo determinado del año 2001 al 2008. Consiguiendo mostrar con precisión el método de diversificación que ofrece las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento.

12 Muestras. El mercado accionario mexicano se divide en siete grandes sectores: industria extractiva, industria de la transformación, industria de la construcción, sector comercio, sector de comunicaciones y transportes, sector de servicios financieros y sector de empresas controladoras. 1 De esta población de acciones se selecciona azar tres muestras de tres, cuatro y cinco acciones cada una, utilizando el generador de números aleatorios de Microsoft Excel, a las que se les aplicó el método de diversificación aleatoria y el método de diversificación eficiente. Herramientas de análisis. Las herramientas de análisis que se utilizaron fueron de dos tipos: estadísticos y matemáticos. Dentro de los instrumentos estadísticos que se usan son métodos tabulares y gráficos que representan series de tiempo y diagramas de dispersión, además de métodos de cálculo de medidas de tendencia central, de dispersión y de correlación entre variables. Mientras que los métodos matemáticos que se utilizan son métodos numéricos de aproximación y funciones lineales y cuadráticas. En todo momento se utilizó la hoja electrónica de cálculo de Microsoft Excel, para la aplicación de todos estos métodos de análisis cuantitativo. Datos y fuentes de información. Los datos que se utilizaron fueron los rendimientos anuales reales del 2001 al 2008 de las muestras aleatorias de acciones de la Bolsa Mexicana de Valores, que se obtienen del boletín mensual Indicadores Bursátiles de la Bolsa Mexicana de Valores publicado por la misma Bolsa Mexicana de Valores. 1 Cabe aclarar que la clasificación sectorial para empresas listadas en la BMV, a partir del 31 de marzo del año 2009 tiene un nuevo esquema, el cual es de 10 sectores: energía, materiales, industrial, servicios y bienes de consumo no básico, productos de consumo frecuente, salud, servicios financieros, tecnologías de la información, servicios de telecomunicaciones y servicios públicos (Medina, 2009). Sin embargo el periodo de estudio de la presente investigación es del año 2001 al 2008, cuya clasificación sectorial corresponde a la descrita en este apartado, sin embargo la clasificación de los sectores no tiene ningún impacto en el estudio.

13 Procedimiento. En primer lugar, del total de acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores se consideraron solamente como marco muestral aquellas que presentaron el dato de su rendimiento real en todos los años del periodo de estudio. Esto debido a que para calcular la correlación entre los rendimientos de los activos se requiere contar necesariamente con todos los datos de cada año. Del marco muestral se numeraron todas las acciones y se seleccionaron tres muestras aleatorias simples de tres, cuatro y cinco acciones cada una, usando el generador de números aleatorios de Microsoft Excel. Se calculó el rendimiento esperado y riesgo de cada una de las acciones seleccionadas así como el coeficiente de correlaciones entre los pares posibles de activos dentro de cada muestra. A las carteras seleccionadas se les aplicó el método de la diversificación aleatoria asignando un tercio, un cuarto y un quinto de los fondos a cada uno de los activos que las conforman y se calculó el rendimiento esperado y el riesgo de cada uno de los tres portafolios formados. Posteriormente, se aplicó el método de la diversificación eficiente de Markowitz para determinar las proporciones de inversión óptimas de cada cartera, usando un método gráfico para determinar los rendimientos esperados y riesgos de cada frontera eficiente para cada cartera seleccionada y se comparan los resultados con los obtenidos por el método de la diversificación aleatoria. Del contraste de los resultados obtenidos por los dos métodos de diversificación: diversificación aleatoria versus diversificación eficiente, se presenta una conclusión. Implicaciones, hallazgos y análisis de la temática abordada. Población y marco muestral accionario. El periodo de estudio abarcó del año 2001 al 2008, la población estuvo conformada por el total de acciones que cotizaron durante este periodo en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). Se consideró como marco muestral solamente aquellas que presentaron el dato

14 de su rendimiento real en todos los años del periodo de estudio, esto debido a que para calcular la correlación entre los rendimientos de los activos se requiere contar necesariamente con todos los datos de cada año. Por lo que, de las 137 acciones listadas en la BMV en el año 2001 se observó su rendimiento hasta el año 2008, siendo 48 acciones las que presentaron un rendimiento real durante todos los años, quedando así conformado el marco muestral. VER ANEXO 2 Selección de las muestras. Del marco muestral se numeraron todas las acciones y se seleccionaron tres muestras aleatorias simples de tres, cuatro y cinco acciones cada una, usando el generador de números aleatorios de Microsoft Excel. El procedimiento en Microsoft Excel fue el siguiente: se abrió una hoja de cálculo en blanco, posesionándose en la celda A1, insertando la función ALEATORIO.ENTRE (inferior, superior) ubicada en la categoría de matemáticas y trigonométricas, estableciendo un nivel inferior de 1 y un nivel superior de 48. Generador de números aleatorios de Microsoft Excel. Fuente: Microsoft Excel, con argumentos del marco muestral accionario. El generador arrojó números enteros aleatorios entre el 1 y el 48, que son la cantidad de acciones que integran el marco muestral. Conformándose de la siguiente manera las muestras aleatorias simples de tres, cuatro y cinco acciones.

15 Selección de muestras aleatorias simples de tres, cuatro y cinco acciones, usando el generador de números aleatorios de Microsoft Excel. Tres acciones Cuatro acciones Cinco acciones 24 16 15 29 36 39 48 3 1 46 33 17 Posteriormente se ordenó en forma ascendente las acciones en cada uno de los portafolios y se identificaron las acciones a las cuales correspondía el número que arrojó el generador de Microsoft Excel, con las que se integraron las carteras CA 3 (con tres activos), CA 4 (con cuatro activos) y CA 5 (con cinco activos). VER ANEXO 2 Acciones que integran las carteras CA 3, CA 4 y CA 5. CA 3 CA 4 CA 5 24) GMEXICO B 3) AMX A 1) ALFA A 29) HOGAR B 16) CYDSASA A 15) CONTAL * 48) WALMEX V 36) PEÑOLES * 17) FEMSA UBD 46) VALUEGF O 33) KOF L 39) SORIANA B Cálculo del rendimiento esperado y riesgo de cada una de las acciones de las carteras. Para el cálculo del rendimiento y riesgo de los activos, en cada una de las carteras, se utilizaron las siguientes fórmulas: Rendimiento: Riesgo:

16 Coeficiente de correlación: Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Cartera con tres activos. Determinación de rendimiento y riesgo esperado de cada uno de los activos que conforman el portafolio de tres activos. Año/ Acción GMEXICO B HOGAR B WALMEX V 2001-0.6974-0.3124 0.2637 2002 0.2089-0.4324-0.0972 2003 1.5922 1.6413 0.3047 2004 0.8538 0.041 0.1373 2005 0.2807-0.2538 0.4914 2006 0.5365 0.7139 0.5519 2007 0.669 0.3307-0.2362 2008-0.633-0.7602-0.0719 Rendimiento 0.3513 0.1210 0.1679 Riesgo 0.7090 0.7180 0.2673 Correlación GMEXICO B,HOGAR B 0.8471 Correlación GMEXICO B,WALMEX V 0.1632 Correlación HOGAR B,WALMEX V 0.3571

17 Cartera con cuatro activos. Determinación de rendimiento y riesgo esperado de cada uno de los activos que conforman el portafolio de cuatro activos. Año/Acción AMX A CYDSASA A PEÑOLES * VALUEGF O 2001-0.1242-0.3033 0.4055 0.5304 2002-0.2103-0.383 0.9994 0.0751 2003 0.9816 0.4796 1.5385-0.0382 2004 0.8146 0.3943 0.1226 0.2464 2005 0.5309-0.2962-0.0485 0.5254 2006 0.5161 0.4923 0.6174 0.5321 2007 0.3164 0.6497 1.2366 0.1383 2008-0.4026-0.0739-0.3064 0.0416 Rendimiento 0.3028 0.1199 0.5706 0.2563 Riesgo 0.4695 0.3979 0.6069 0.2245 Correlación AMX A,CYDSASA A 0.6367 Correlación CYDSASA A,PEÑOLES * 0.4540 Correlación AMX A,PEÑOLES * 0.3398 Correlación CYDSASA A,VALUEGF O -0.2290 Correlación AMX A,VALUEGF O 0.0486 Correlación PEÑOLES *,VALUEGF O -0.4105 Cartera con cinco activos. Determinación de rendimiento y riesgo esperado de cada uno de los activos que conforman el portafolio de cinco activos. Año/ Acción ALFA A CONTAL * FEMSA UBD KOF L SORIANA B 2001-0.215 0.2739 0.0437-0.1624-0.0415 2002 0.5472 0.2436 0.1753-0.0352-0.2412 2003 0.9373 0.0749 0.0518 0.2477 0.2026 2004 0.7294 0.0707 0.3410 0.0481 0.5313 2005 0.0496-0.2018 0.2749 0.0643 0.1655 2006 0.1646 0.2546 0.5634 0.3575 0.4204 2007-0.0454 0.0828-0.0367 0.2602 0.1681 2008-0.6054-0.1622-0.0621 0.0611-0.0533 Rendimiento 0.1952 0.0795 0.1689 0.1051 0.1439 Riesgo 0.4807 0.1706 0.2004 0.1605 0.2378 Correlación ALFA A,CONTAL * 0.3019 Correlación CONTAL *,KOF L -0.0381 Correlación ALFA A,FEMSA UBD 0.3443 Correlación CONTAL *,SORIANA B -0.0395 Correlación ALFA A,KOF L 0.2135 Correlación FEMSA UBD,KOF L 0.3091 Correlación ALFA A,SORIANA B 0.3623 Correlación FEMSA UBD,SORIANA B 0.6094 Correlación CONTAL *,FEMSA UBD 0.2562 Correlación KOF L,SORIANA B 0.5605

18 Aplicación del modelo de diversificación aleatoria. La diversificación aleatoria consiste en agregar valores seleccionados al azar y combinarlos en proporciones iguales, por lo que a las carteras seleccionadas se les aplica este método asignando un tercio, un cuarto y un quinto de los fondos a cada uno de los activos que las conforman y se calcula el rendimiento esperado y el riesgo de cada uno de los tres portafolios formados. Portafolio con tres activos. Riesgo y rendimiento el portafolio de tres activos con el método de diversificación aleatoria. PORTAFOLIO W GMEXICO B W HOGAR B W WALMEX V Riesgo Rendimiento PA 3 0.3333 0.3333 0.3333 0.4889 0.2134

19 Portafolio con cuatro activos. Riesgo y rendimiento el portafolio de cuatro activos con el método de diversificación aleatoria PORTAFOLIO W AMX A W CYDSASA A W PEÑOLES * W VALUEGF O Riesgo Rendimiento PA 4 0.25 0.25 0.25 0.25 0.2856 0.3124 Portafolio con cinco activos. Tabla 4.10. Riesgo y rendimiento el portafolio de cinco activos con el método de diversificación aleatoria. PORTAFOLIO W ALFA W CONTAL W FEMSA A * UBD L W KOF W SORIANA B Riesgo Rendimiento PA 5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1729 0.1385

20 Aplicación del modelo de diversificación eficiente. En este apartado se muestra la aplicación del método de diversificación eficiente que corresponde a la teoría moderna de la cartera de Harry Markowitz. La teoría moderna de la cartera establece que para seleccionar una inversión se deben evaluar las carteras existentes considerando sus rendimientos esperados, desviaciones estándar y correlaciones entre los rendimientos de los activos que las forman (Alexander, Sharpe y Bailey, 2003). Las aproximaciones de diversificación que se consideraron para este estudio, es a razón de 10 centavos por cada peso invertido. Los resultados de esta aplicación señalan las proporciones de inversión óptimas de cada cartera, usando el método gráfico para determinar los rendimientos esperados y riesgos de la frontera eficiente para cada cartera seleccionada. Portafolio con tres activos. Se generaron 66 portafolios, calculando el riesgo y rendimiento de cada uno de ellos. VER ANEXO 3 Mediante el método gráfico se determinaron los portafolios con las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento (10 portafolios), es decir la frontera eficiente representada con puntos rojos en la siguiente gráfica: Elaboración propia.

21 Portafolio con cuatro activos. Se generaron 244 portafolios, calculando el riesgo y rendimiento de cada uno de ellos. VER ANEXO 3 Mediante el método gráfico se determinaron los portafolios con las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento (21 portafolios), es decir la frontera eficiente representada con puntos rojos en la siguiente gráfica: Portafolio con cinco activos. Se generaron 721 portafolios, calculando el riesgo y rendimiento de cada uno de ellos. VER ANEXO 3 Mediante el método gráfico se determinaron los portafolios con las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento (41 portafolios), es decir la frontera eficiente representa con puntos rojos en la siguiente gráfica:

22 ente: Elaboración propia. Fu Contrastación de la hipótesis. A continuación se comparan los resultados obtenidos por el método de la diversificación aleatoria y los resultados obtenidos por el método de diversificación eficiente. Portafolio de riesgo con tres activos. En la siguiente gráfica, el punto azul que se muestra representa el resultado obtenido del portafolio construido mediante la diversificación aleatoria, mientras que los puntos rojos (10), son los portafolios obtenidos a través del método de diversificación eficiente.

23 De acuerdo con la hipótesis planteada se pueden encontrar mejores combinaciones de riesgo- rendimiento con la diversificación eficiente que la que resulte de la diversificación aleatoria. Para el caso de las carteras de tres activos, son cuatro portafolios obtenidos mediante el método de diversificación eficiente que son claramente superiores al portafolio que se obtuvo con la diversificación aleatoria. Se puede observar que el portafolio obtenido mediante la diversificación aleatoria, es decir, invirtiendo la misma proporción de fondos en cada uno de los activos que la componen, tiene un riesgo del 48.89% y un rendimiento del 21.34%, mientras que los cuatro portafolios obtenidos con la diversificación eficiente tienen un riesgo menor (30.54% a 45.53%) y un rendimiento mayor (22.30% a 27.80%). VER ANEXO 4 Portafolio de riesgo con cuatro activos. En la siguiente gráfica, el punto azul que se muestra representa el resultado obtenido del portafolio construido mediante la diversificación aleatoria, mientras que los puntos rojos (21), son los portafolios obtenidos a través del método de diversificación eficiente.

24 De acuerdo con la hipótesis planteada se pueden encontrar mejores combinaciones de riesgo- rendimiento con la diversificación eficiente que la que resulte de la diversificación aleatoria. Para el caso de las carteras de cuatro activos, son seis portafolios obtenidos mediante el método de diversificación eficiente que son claramente superiores al que se obtuvo con la diversificación aleatoria. Se puede observar que el portafolio obtenido mediante la diversificación aleatoria, es decir, invirtiendo la misma proporción de fondos en cada uno de los activos que la

25 componen, tiene un riesgo del 28.56% y un rendimiento del 31.24%, mientras que los seis portafolios obtenidos con la diversificación eficiente tienen un riesgo menor (17.06% a 27.70%) y un rendimiento mayor (31.92% a 41.35%). VER ANEXO 4 Portafolio de riesgo con cinco activos. En la siguiente gráfica, el punto azul que se muestra representa el resultado obtenido del portafolio construido mediante la diversificación aleatoria, mientras que los puntos rojos (41), son los portafolios obtenidos a través del método de diversificación eficiente. De acuerdo con la hipótesis planteada se pueden encontrar mejores combinaciones de riesgo- rendimiento con la diversificación eficiente que la que resulte de la diversificación aleatoria. Para el caso de las carteras de cuatro activos, son diez portafolios obtenidos mediante el método de diversificación eficiente que son claramente superiores al que se obtuvo con la diversificación aleatoria.

26 Se puede observar que el portafolio obtenido mediante la diversificación aleatoria, es decir, invirtiendo la misma proporción de fondos en cada uno de los activos que la componen, tiene un riesgo del 17.29% y un rendimiento del 13.85%, mientras que los diez portafolios obtenidos con la diversificación eficiente tienen un riesgo menor (14.71% a 17.22%) y un rendimiento mayor (14.71% a 15.37%). VER ANEXO 4 Conclusiones. Es mediante la aplicación de modelos tales como la diversificación eficiente y la diversificación aleatoria, como se puede adquirir conocimientos de procesos tan complejos, debido a la simplificación de análisis de los mismos. A través de una prueba empírica con acciones en la bolsa mexicana de valores, se ha probado que con la diversificación eficiente que considera de manera explícita el riesgo y la covarianza entre los rendimientos de las acciones de cualquier muestra, se pueden encontrar mejores combinaciones de riesgo y rendimiento que las que resultan de la diversificación aleatoria que consiste en asignar partes proporcionales de la inversión al número de activos que conforman la cartera, sin considerar de manera explícita ni el riesgo, ni la covarianza de los activos.

27 Por tanto, se concluye que existe una superioridad de la diversificación eficiente de Harry Markowitz sobre la diversificación aleatoria de John Evans y Stephen Archer. Así mismo se establecen las siguientes implicaciones generales: Los métodos establecido por Markowitz y por Evans y Archer, tienen una idea en común: ofrecer al inversionista una propuesta para disminuir riesgo sin que esto implique necesariamente una disminución en los rendimientos de su inversión, pero el modelo de Evans y Archer apuestan al equilibrio de las carteras, mientras la teoría moderna de Markowitz, prioriza la eficiencia en la diversificación. El uso, análisis e interpretación de modelos que clarifiquen la comprensión para los estudios de la administración de negocios y permitan el conocimiento de elementos financieros es de fundamental importancia. En mercados de valores no tan desarrollado, tales como en de México, sería recomendable comenzar a trabajar con estas bases y directrices metodológicas.

28 BIBLIOGRAFÍA. Alexander, Gordon; Sharpe, William; Bailey, Jeffery, Fundamentos de inversiones. Teoría y práctica, Prentice Hall, México, Tercera edición, 2003. Bolsa Mexicana de Valores, Indicadores bursátiles de la BMV, México, Varios números, 2001-2008. Evans, John y Archer, Stephen, Diversification and the reduction of dispersion: an empirical analysis, The Journal of Finance, 23, número 5, December 1968, pp: 761-767. Gitman, Lawrence, Administración financiera, Pearson, México, Décima primera edición, 2007. Hernández, Roberto et al., Metodología de la investigación, Cuarta edición, Mc Graw- Hill, México, 2008. Kolb, Robert, Inversiones, Editorial Limusa- Noriega, México, Tercera reimpresión, 1998. Markowitz, Harry, Portfolio selection, The Journal of Finance, Vol. III, march 1952, pp: 77-91. Medina, Guillermo, Nuevo esquema clasificación sectorial para empresas listadas en la BMV, Veritas Colegio de Contadores Públicos de México, LIII No. 1653, México, Mayo 2009, pp: 6-7. Messuti, Domingo; Alvarez, Víctor; Graffi, Hugo, Selección de inversiones. Introducción a teoría de la cartera (Portfolio Theory), Ediciones MACCHI, Argentina, Primera edición, 1992.

29 ANEXO 1 Representación gráfica de los tres principios de dominación. 4. Si un valor (D) ofrece rendimientos esperados más altos que un segundo valor (E) y ambos tienen el mismo nivel de riesgo, el primer valor domina al segundo (D domina a E). 5. Si dos valores tienen el mismo rendimiento esperado (D y E), pero el nivel de riesgo del primero (D) es inferior al del segundo valor, el primer valor domina al segundo (D domina E). Fuente: Elaboración propia

30 6. Si un valor (D) tiene al mismo tiempo un rendimiento esperado más alto y un nivel de riesgo inferior que un segundo valor (E), el primero domina al segundo (D domina a E).

31 ANEXO 2 Marco muestral. Marco muestral de acciones listadas en la BMV. Emisora/ Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 1 ALFA A -21.5 54.72 93.73 72.94 4.96 16.46-4.54-60.54 2 ALSEA * -41.39 100.96 25.62 138.38 12.23 104.39 0.16-60.89 3 AMX A -12.42-21.03 98.16 81.46 53.09 51.61 31.64-40.26 4 AMX L -12.51-19.54 98.78 79.06 55.03 50.95 32.35-40.05 5 ARA * 35.44-9.7 73.24 14.06 30.02 56.51-36.98-57.63 6 ARCA * -2.43-15.36 3.39 0.81 8.15 66.25-18.41-37.82 7 ASUR B -15.73-13.19 64.75 45.78 9.84 28.65 40.74-27.14 8 BAFAR B -13.84 30.49 17.57 36.86-1.03 44.41 54.21-4.23 9 BEVIDES B -20.1-70.18-7.3 58.44 1.61 26.08 104.15-14.8 10 BIMBO A 29.1-18.84 31.8 26.93 27.29 40.36 16.1-15.24 11 C * -1.81-25.98 43.21-6.33-6.75 12.51-48.49-72.35 12 CEMEX CPO 31.16-7.57 25.73 31.44 50.59 11.54-25.52-57.53 13 CIE B -48.61-21.95 19.05 56.95-35.47 37.6-12.25-70.71 14 COMERCI UBC -24.84-27.03 101.26 5.16 26.04 65.58-5.75-89.71 15 CONTAL * 27.39 24.36 7.49 7.07-20.18 25.46 8.28-16.22 16 CYDSASA A -30.33-38.3 47.96 39.43-29.62 49.23 64.97-7.39 17 FEMSA UBD 4.37 17.53 5.18 34.1 27.49 56.34-3.67-6.21 18 FRAGUA B 13.91-0.93 50.27 73.23 18.02 42.49 52.38-20.82 19 GCARSO A1 21.96-14.32 48.4 44.4 25.27 48.75-0.54-13.52 20 GEO B 104.83 23.34 188.38 85.08 63.09 38.88-44.33-53.32 21 GEUPEC B 31 56.9 3.3 59.48 1.45 40.45 52.54 22.84 22 GFINBUR O -15.29-24.7 34.42 60.34 11.6 12.85 28.69 7.84 23 GFNORTE O 39.68 26.3 47.09 70.97 22.96 82.57 2.84-47.82 24 GMEXICO B -69.74 20.9 159.22 85.38 28.07 53.65 66.9-63.3 25 GMODELO C -22.86 18.5 2.28 8.07 21.52 50.01-17.26-19.64 26 GNP * 4.4-17.1 16.35 59.36 26.81-17.64-3.89 15.58 27 GRUMA B 3.65 16.2 45.69 64.53 26.09 9.87-11.11-81.54 28 HILASAL A -42.6 97.7-37.77 10.19-10.82 35.2 5.87-28.93 29 HOGAR B -31.24-43.2 164.13 4.1-25.38 71.39 33.07-76.02 30 ICA * 109.2-60.2 94.9 57.22-3.19 52 70.58-70 31 IXEGF O 10.84 30-25.44 15.93 16.13 35.5 123.81-32.03 32 KIMBER A 3.91-15.4 15.41 27.08-4.48 25.87-7.17-10.01 33 KOF L -16.24-3.52 24.77 4.81 6.43 35.75 26.02 6.11 34 LIVEPOL 1-25.93-8.03-2.98 43.24 22.24 57.01 50.21-39.56 35 LIVEPOL C-1-19.24-9.31-5.33 43.35 24.79 53.81 47.99-38.65 36 PEÑOLES * 40.55 99.9 153.85 12.26-4.85 61.74 123.66-30.64 37 SAB * -31.07 71.3 17.24 23.29 13.68 37.25 48.73-39.18 38 SIMEC B -56.57-18.4 252.89 141.47-53.12 247.45-28.46-44.74 39 SORIANA B -4.15-24.1 20.26 53.13 16.55 42.04 16.81-5.33 40 TELECOM A1 3.06-14 30.12 20.35 33.78 39.05 24.3 2.47 41 TELMEX A 16.39-2.14 7.15 9.67 18.48 11.71 28.65 7.84 42 TELMEX L 13.03 0.49 7.44 9.48 18.82 12.16 26.96 9.57

32 43 TLEVISA CPO -14.61-30 49.36 42.7 22.92 31.81-14.18-25.9 44 TMM A -1.23-41.6-18.87-20.76-3.25-29.96-17.2-58.67 45 TVAZTCA CPO -38.33-23.3 124.02 16.07 0.51 16.86-6.57-16.39 46 VALUEGF O 53.04 7.51-3.82 24.64 52.54 53.21 13.83 4.16 47 VITRO A 0.41 3.17 32.75-0.21 9.1 49.19 13.95-68.49 48 WALMEX V 26.37-9.72 30.47 13.73 49.14 55.19-23.62-7.19 Fuente: Elaboración propia con datos de la Bolsa Mexicana de Valores, 2001-2008. ANEXO 3 Portafolios generados con la diversificación eficiente. Las aproximaciones de diversificación que se consideraron para este estudio, es a razón de 10 centavos por cada peso invertido. Debido a la cantidad de portafolios generados solo se presentaran 10 de ellos en tablas (los 5 primeros y los 5 últimos), con el fin de identificar el procedimiento aplicado. Tres activos (66 portafolios). Riesgo y rendimiento del portafolio de riesgo con tres activos mediante el método de la teoría moderna. PORTAFOLIO W GMEXICO B W HOGAR B W WALMEX V Riesgo Rendimiento 1 1 0 0 0.7090 0.3513 2 0 1 0 0.7180 0.1210 3 0 0 1 0.2674 0.1680 4 0 0.9 0.1 0.6562 0.1257 5 0 0.8 0.2 0.5956 0.1304.................. 62 0.2 0.2 0.6 0.3533 0.1952 63 0.1 0.3 0.6 0.3625 0.1722 64 0.2 0.1 0.7 0.3095 0.1999 65 0.1 0.2 0.7 0.3185 0.1769 66 0.1 0.1 0.8 0.2837 0.1816

33 Cuatro activos (244 portafolios). Riesgo y rendimiento del portafolio de riesgo con cuatro activos mediante el método de la teoría moderna. PORTAFOLIO W AMX A W CYDSASA A W PEÑOLES * W VALUEGF O Riesgo Rendimiento 1 1 0 0 0 0.4695 0.3028 2 0 1 0 0 0.3979 0.1199 3 0 0 1 0 0.6069 0.5706 4 0 0 0 1 0.2245 0.2564 5 0 0 0.9 0.1 0.5374 0.5392..................... 240 0.5 0.1 0.1 0.3 0.2927 0.2974 241 0.4 0.1 0.1 0.4 0.2522 0.2927 242 0.3 0.1 0.1 0.5 0.2162 0.2881 243 0.2 0.1 0.1 0.6 0.1874 0.2835 244 0.1 0.1 0.1 0.7 0.1694 0.2788 Cinco activos (721 portafolios) Riesgo y rendimiento del portafolio de riesgo con cinco activos mediante el métodode la teoría moderna. PORTAFOLIO W ALFA A W CONTAL * W FEMSA UBD W KOF L W SORIANA B Riesgo Rendimiento 1 1 0 0 0 0 0.4808 0.1953 2 0 1 0 0 0 0.1707 0.0796 3 0 0 1 0 0 0.2005 0.1689 4 0 0 0 1 0 0.1605 0.1052 5 0 0 0 0 1 0.2379 0.1440........................ 717 0.2 0.1 0.1 0.1 0.5 0.2021 0.1464 718 0.1 0.2 0.1 0.1 0.5 0.1722 0.1348 719 0.1 0.1 0.2 0.1 0.5 0.1828 0.1438 720 0.1 0.1 0.1 0.2 0.5 0.1780 0.1374 721 0.1 0.1 0.1 0.1 0.6 0.1905 0.1413