MA1 Matemàtiques 1 2n lliurament: Els nombres enters Aquesta unitat aborda el treball amb nombres enters. El conjunt dels nombres enters, és una ampliació dels nombres naturals N estudiats a la quinzena anterior. Inclou els nombres positius,,el nombre 0 i els nombres negatius:..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Una gran part de les propietats dels nombres enters són una ampliació de les ja comentades al lliurament anterior. Al conjunt de nombres enters se l anomena amb la lletra Z Índex 1. Ordenació d'enters. Representació gràfica. 2. Valor absolut d un nombre enter 3. Suma, resta, producte i divisió de nombres enters 4. Múltiples i divisors d un nombre. Nombres primers 5. Divisibilitat. Criteris de divisibilitat 6. Descomposició d un nombre en producte de factors primers 7. Divisors comuns. El màxim comú divisor 8. Múltiples comuns. El mínim comú múltiple de dos nombres 9. Propietats de les operacions amb nombres enters 10 Annex: solucionari 1. Ordenació de nombres enters. Representació gràfica Si tenim dos nombres enters sempre es poden comparar: un dels dos és més petit que l'altre ( i l'altre més gran que el primer). Qualsevol nombre negatiu és sempre menor que qualsevol nombre positiu. Els nombres enters es poden representar sobre una línia recta. Si fixem un punt com a origen, una determinada longitud com a unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada nombre enter una representació sobre la recta. 2. Valor absolut d'un nombre enter El valor absolut d'un nombre enter és el mateix nombre, si és positiu, i el valor oposat, si és negatiu. Es representa amb el nombre entre dues barres verticals n. 6 = 6 ; -4 = 4 ; 0 = 0 ; -8 = 8 ; 10 = 10 Exercicis 1: 1.1 Calcula els següents valors absoluts: a) 25 b) -4 c) -32 d) 0 e) 41 f) -11 MA1 Matemàtiques 1 -- 1 --
3. Suma, resta, producte i divisió de nombres enters 3.1 Suma de nombres enters La suma de dos nombres enters és un nombre enter. Les propietats de la suma d'enters són una ampliació de les propietats de la suma de naturals. A nivell operatiu distingirem diferents situacions. 3.1.1 Suma de dos nombres enters que tenen igual signe Per sumar dos nombres enters que tenen igual signe: 1r - Sumem els valors absoluts dels nombres. 2n - Posem al resultat el mateix signe dels nombres. (+3) + (+6)= +9 (-3) + (-6)= -9 3.1.2 Suma de dos nombres enters que tenen diferent signe Per sumar dos nombres enters que tenen diferent signe: 1r - Restem els valors absoluts dels nombres. 2n - Posem al resultat el signe del nombre que té major valor absolut. (-3) + (+6) = +3 (+2) + (-9) = -7 3.1.3 Suma de tres o més nombres enters Tenim dues maneres de resoldre aquestes sumes: a) resolem les operacions en l ordre en què apareixen o b) sumem els nombres positius, desprès els negatius i, finalment, realitzant la suma dels resultats anteriors. a) (-3) + (+5) + (-8) + (-6) + (+2) = (+2) + (-8) + (-6) + (+2) = (-6) + (-6) + (+2) = (-12) + (+2) = -10 b) (-3) + (+5) + (-8) + (-6) + (+2) = (+7) + (-17) = -10 El podem posar amb notació més senzilla deixen només els parèntesi i signes necessaris ja que fixa t que en els enters positius no és necessari posar el signe +. Així els dos exemples anteriors els podem escriure ls així: a) -3 + 5 + (-8) + (-6) + 2 = 2 + (-8) + (-6) + 2 = -6 + (-6) + 2 = -12 + 2 = -10 b) -3 + 5 + (-8) + (-6) + 2 = 7 + (-17) = -10 Exercicis 2 2.1 Calcula les següents operacions a) (+8) + ( -3) b) 5 + (-8) c) 7 + (-7) d) 3 + (-5) + 7 e) 4 + (-7) + (-3) f) (-3) + (-15) + (-21) g) 12 + (-4) + (-2) h) 34 + (-215) + (-6) MA1 Matemàtiques 1 -- 2 --
3.2 Resta de nombres enters Restar dos nombres enters consisteix en sumar al primer d ells el segon canviat de signe. (+5) - (+9) = (+5) + (-9) = - 4 (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2 O bé més senzill (fixa t quins parèntesi i signes són necessaris): 5-9 = - 4 (-5) - (-3) = -5 + 3 = -2 Exercicis 3 3.1 Calcula les següents operacions: a) (+2) - (+8) b) 14-6 c) 12 21 - (-5) d) 4-8 - (-12) 3.3 Multiplicació de nombres enters 3.3.1 Multiplicació de dos nombres enters Per a multiplicar dos nombres enters: 1r - Multipliquem els seus valors absoluts. 2n - Posem el signe + al resultat obtingut si els dos factors són del mateix signe, i el signe si els factors tenen signes contraris. 3.3.2 Regla dels signes La següent taula recull les diferents possibilitats del signe del producte de dos nombres Enters. És el que anomenem regla dels signes. (+4) x (+3) = +12 (-5) x (-8) = +40 (+60) x (-1) = -60 (-2) x (+8) = -16 Factor 1 Factor 2 Producte + + + - - + + - - - + - o més senzill (fixa t quins parèntesis i signes són necessaris): 4 x 3 = 12 o bé 4 3 =12 (-5) x (-8) = 40 (-5) (-8) = 40 60 x (-1) = -60 60 (-1) = -60 (-2) x 8 = -16 (-2) 8 = -16 MA1 Matemàtiques 1 -- 3 --
3.3.3 Producte de més de dos enters Quan en una multiplicació hi ha més de dos factors: 1r - Multipliquem els valors absoluts dels factors. 2n - Afegim al resultat el signe + o segons que el nombre de factors negatius sigui parell o imparell. Si el nombre de factors negatius és parell afegim el signe + i si és imparell, afegim el signe -. 3.4 Divisió exacta de nombres enters Per a calcular la divisió exacta de dos nombres enters: 1r - Es divideixen els seus valors absoluts. 2n - Es posa al resultat el signe que li correspon segons la regla dels signes:. Dividend Divisor quocient + + + - - + + - - - + - (+8) : (+2) = +4 (-8) : (-2) = +4 (+8) : (-2) = -4 (-8) : (+2) = -4 o més senzill (fixa t quins parèntesis i signes són necessaris): 8 : 2 = 4 (-8) : (-2) = 4 8 : (-2) = -4 (-8) : 2 = -4 Exercicis 4 4.1 Calcula les següents operacions: a) (+4) (-12) b) (-14) (+3) c) (-8) (-3) (-5) d) (+16) : (-4) e) (-24) : (-3) f) (+4) (-12) : (-3) g) (+84) : (-4) : (-3) h) (-15) (-4) (+4) MA1 Matemàtiques 1 -- 4 --
3.5 Operacions combinades. Prioritat dels operadors Les regles que determinen l ordre de les operacions són les mateixes que les exposades en el treball amb nombres naturals. Les regles que determinen l ordre en el que cal realitzar les operacions són les següents: Els parèntesis tenen la màxima prioritat. Això vol dir que és prioritari efectuar en primer lloc les operacions que estan indicades entre parèntesis. En l expressió 4 x (3 + 5) caldrà realitzar primer la suma ja que està entre parèntesis i posteriorment el producte. En una expressió, els productes i les divisions tenen més prioritat que les sumes i les restes. En la expressió 5 3 x 6 caldrà realitzar primer el producte i desprès la resta. Fixa t molt bé en aquest exemples (intenta fer-los tu i desprès comprova el resultat): a) 2 + 3 (-2) = 2 + (-6) = -4 b) 4 2 3 = 4 6 = -2 c) 3 4 (5 2) = 12 3 = 9 d) 3 (-2) - (-5) (-3) = (-6) (+15) = -6-15 = -21 e) 7 (3 5) 2 6:2 = 7 (-2) 2 3 = 7 + 4 3 = 11 3 = 8 f) 7 3 (7 3 4) = 7 3 (7 12) = 7 3 (-5) = 7 + 15 = 22 g) 5 2 (-3) 5 2 + 4 2 + (-2) (-3) (-5) = 5 + 6 10 + 8 30 = 19 40 = -21 4. Múltiples i divisors d'un nombre enter. Nombres primers. 4.1 Múltiples d'un nombre enter Donat un nombre enter a, els seus múltiples s'obtenen com a producte d'aquest nombre per qualsevol enter. Així els múltiples de 5 són el mateix 5, 10, 15, 20, 25,. I també els seus múltiples negatius -5, -10, -15, -20, Primers múltiples de 3: 3, 6, 9, 12,.-3, -6, -9, -12 Primers múltiples de 7: 7, 14, 21, 28,., -7, -14, -21, -28, 4.2 Divisors d'un nombre enter De l'exemple anterior tenim que 15 és un múltiple de 5. Podem enunciar, de forma inversa, que 5 és un divisor de 15. Són divisors d'un nombre a, tots aquells valors enters x que fan que la divisió entre a i x sigui exacta. MA1 Matemàtiques 1 -- 5 --
Divisors de 35: 1, 5, 7 i 35 Divisors de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 i 42 4.3 Nombres primers i nombres compostos Nombres primers son aquells que només son divisibles per 1 i per si mateix. El 2, el 3, el 5 i el 7 són alguns exemples de nombres primers. Nombres compostos són aquells que no són primers, és a dir que tenen més divisors que l'1 i el mateix nombre. El 4 (=2 2), el 6 (=3 2), el 8 (=2 2 2) i el 10 (=2 5) són exemples de nombres compostos. Exercicis 5 5.1 Indiqueu els 5 primers múltiples positius de: a) 2 b) 5 c) 4 d) 11 5.2 Indiqueu els divisors positius de: a) 24 b) 36 c)125 d) 32 5.3 Indiqueu tots els nombres primers mes grans de 10 i mes petits de 20 5. Divisibilitat. Criteris de divisibilitat En la pràctica és molt útil conèixer amb agilitat si un nombre és divisible pels nombres primers més elementals com són el 2, el 3, el 5 i, amb menor freqüència, el 7 i el 11 entre altres. Els propers apartats estan dedicats a descriure com conèixer si un nombre és divisible per algun dels nombres esmentats. 5.1 Divisibilitat per 2 Els nombres parells són els múltiples de 2. Un nombre és múltiple de 2 (o el 2 és un divisor d'aquest nombre) si acaba en 2, 4, 6, 8 o 0. Els nombres 234, 18 i 6.542 són múltiples de 2 ja que l'últim dígit és un dels nombres 2,4,6,8 o 0. Els nombres 345, 43 i 353 no ho són ja que l'últim dígit és 3 o 5. 5.2 Divisibilitat per 3 El criteri per conèixer si un nombre és múltiple de 3 és menys simple. La mecànica a seguir és sumar totes les xifres del nombre obtenint un nombre més petit. Si aquest número és múltiple de 3 el nombre inicial també ho serà. Repetint el procés anterior el nombre de vegades necessari s'obté un nombre suficientment petit per tal de concloure amb facilitat si és o no múltiple de 3. Volem conèixer si el nombre 53 és o no múltiple de 3. La suma de les seves xifres és 5 + 3 = 8. 8 no és múltiple de 3 i, conseqüentment 53 no serà múltiple de 3. MA1 Matemàtiques 1 -- 6 --
Un segon cas: el nombre 852. La suma de les seves xifres és 8 + 5 + 2 = 15. Podem determinar ja que si que és múltiple de 3 (el 15 ho és) o reiterar novament el procés i suma les xifres del 15: 1+ 5 = 6. 6 és múltiple de 3 i 852 és múltiple de 3 Un tercer cas: el nombre 23.648. La primera suma ens dóna 2 + 3 + 6 + 4 + 8 = 23. Una segona suma ens dóna 2 + 3 = 5. 5 no és múltiple de 3 i 23.648 no serà múltiple de 3. 5.3 Divisibilitat per 5 La divisibilitat per 5 és també molt senzilla. Un nombre és múltiple de 5 si la última xifra és un 0 o un 5. El 45, el 235 i el 340 són múltiples de 5. El 32, el 564 i el 3.436 no són múltiples de 5. 5.4 Divisibilitat per 7 (opcional) El criteri té una certa complexitat i s'incorpora aquí només a títol il lustratiu. El mecanisme és similar al de 3 en el sentit de que es va obtenint en cada cas un nombre més petit que l'inicial i que manté la mateixa propietat de ser, o no, múltiple de 7. Explicarem el criteri basant-nos en un cas concret: el número 1.645. La transformació, més complexa, és separar l'última xifra (el 5) i restar, de la part inicial del nombre (164), el doble del nombre segregat: 164-5 2 = 154. Podem repetir el procés: 15-4 2 = 7 que és múltiple del 7 i el nombre inicial 1645, també ho serà. El nombre 794 transformat ens dona 79-4 2 = 71. Una nova transformació: 7-2 1 = 5 que no és múltiple de 7 i 794 no serà múltiple de 3 5.5 Divisibilitat per 11 (opcional) Novament en aquest cas s'utilitza un sistema de transformar el nombre inicial en un de més petit amb la mateixa propietat de l'inicial de ser o no múltiple d'11. Aplicarem el criteri a 8.162. La primera transformació és sumar les xifres dels llocs parells 8 + 6 i restar la suma dels llocs imparells 1 + 2. La diferència és 14-3 = 11 que és múltiple d'11 a l'igual que 8.162 El nombre 23.145 transformat ens dona 2+1+5 menys 3+4, es a dir 1 que no és múltiple de 11 i 23.145 tampoc ho serà. Exercicis 6 6.1 Indicar si són divisibles per 5 els nombres a) 145 b) 552 c) 75 d) 26 6.2 Indicar si són divisibles per 3 els nombres a) 234 b) 345 c) - 127 d) 231 MA1 Matemàtiques 1 -- 7 --
6. Descomposició d un nombre en producte de factors primers Un important enunciat matemàtic diu que tot nombre o és un nombre primer o es pot descomposar com a producte de nombres primers. Per treballar amb nombres enters i per treballar amb fraccions, com farem a la propera quinzena, és important conèixer com es pot descomposar un nombre com a producte de factors primers. El mecanisme de fer-ho, de tipus reiteratiu, consisteix en anar eliminant poc a poc els factors primers que inclou el nombre. Estudiarem aquest mecanisme amb un exemple on cerquem els possibles divisors de 420 començant pels nombres primers més petits 2, 3, i cercant posteriorment amb els nombres primers més grans. 420 2 Analitzarem si és múltiple de 2. Si, ja que acaba en 0 que és parell. Fem la primera descomposició 420 = 2 210 210 2 Novament 210 és múltiple de 2. 210 = 2 105 105 3 105 no és múltiple de 2 (acaba en xifra imparella) però és múltiple de 3 (1 + 0 + 5 = 6 que és múltiple de 3). 105 = 3 35 35 5 35 no és múltiple de 2, ni de 3 (3 + 5 = 8) però si de 5. Tindrem 35 = 5 7 7 7 7 ja és un nombre primer 7 = 7 1 1 Resultat: 420 = 2 2 3 5 7 Un segon exemple: la descomposició en factors del nombre 270 270 2 Analitzarem si és múltiple de 2. Si, per que acaba en 0 que és parell. Fem la primera descomposició 270 = 2 135 135 3 No és múltiple de 2 però si de 3 (1 + 3 + 5 = 9 és múltiple de 3). Tindrem 135 = 3 45 45 3 Intentem novament el 3 (4 + 5 = 9 és múltiple de 3). Tindrem 45 = 3 15 15 3 Novament el 3 (1 + 5 = 6 és múltiple de 3). Tindrem 15 = 3 5 5 5 5 ja és un nombre primer 5 = 5 1 1 Resultat: 270 = 2 3 3 3 5 = 2 3 3 5 Un tercer exemple (opcional): la descomposició en factors del nombre 12.870 12.870 2 Analitzarem si és múltiple de 2. Si, per que acaba en 0 que és parell. Fem la primera descomposició 12.870 = 2 6.435 6.435 3 No és múltiple de 2 però si de 3 (6 + 4 + 3 + 5 = 18; 1 + 8 = 9 és múltiple de 3). Tindrem 6.435 = 3 2.145 2.145 3 Intentem novament el 3 (2 + 1 + 4 + 5 = 12; 1 + 2 = 3 és múltiple de 3). Tindrem 2.145 = 3 715 715 5 Ja no és múltiple de 3 (7 + 1 + 5 = 13; 1 + 3 = 4) però si de 5. Tindrem 715 = 5 143 143 11 Ja tampoc és múltiple de 5, ni de 7 (14-2 3 = 8 no és múltiple de 7) però si d'11 (1 + 3-4 = 0). Tindrem 143 = 11 13 13 13 13 és un nombre primer 1 Resultat: 12.870 = 2 3 3 5 11 13 = 2 3 2 5 11 13 MA1 Matemàtiques 1 -- 8 --
Exercicis 7 7.1 Descomposar en factors primers a) 21 b) 36 c) 42 d) 98 e) 128 f) 125 g) 70 h) 162 7. Divisors comuns. El màxim comú divisor En molts càlculs, i especialment en el càlcul amb fraccions, cal utilitzar el que es coneix com el màxim comú divisor de dos nombres enters o en forma abreujada mcd o m.c.d. Estudiarem el mcd sobre un exemple; calcularem el màxim comú divisor de 30 i 42 que expressarem com mcd(30,42). Analitzarem: tots els divisors de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30 tots els divisors de 42: 1, 2, 3, 7, 6, 14, 21 i 42 els divisors comuns: 1, 2, 3 i 6 el màxim dels divisors comuns: el 6. 6 és el màxim comú divisor de 30 i 42. mcd(30,42)=6 El mecanisme per realitzar el càlcul amb rapidesa del mcd(a,b) és: Descomposar en factors primers a Descomposar en factors primers b El mcd són els factors repetits, els factors comuns, de les dues descomposicions. Exemple: si a=2 5 7 i b=3 5 11 serà mcd(a,b)=5 que és l'únic factor repetit. Comentari especial es mereix el cas de que un mateix factor estigui repetit varies vegades en a i en b. Imaginem que a = 2 3 4 5 7 i b = 2 2 3 2 5 caldrà agafar els factors comuns que apareixen repetits amb l'exponent més petit (que és la part comuna o repetida). Serà mcd(a,b) = 2 3 2 5 Quan dos nombres no tenen cap factor en comú a excepció de l'1, es diuen primers entre ells. Així 15 i 8 son primers entre ells i 14 i 9 també son primers entre ells. 8. Múltiples comuns. El mínim comú múltiple de dos nombres Un concepte proper al màxim comú divisor i també utilitzat amb molta freqüència és el de mínim comú múltiple (mcm o m.c.m.). En aquest cas es tracta d'analitzar els nombres múltiples dels dos nombres i seleccionar el més petit de tots. Estudiarem el mcm sobre un exemple; calcularem el mínim comú múltiple de 10 i 14 que expressarem com mcm(10,14). Analitzarem: els primers múltiples de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, els primers múltiples de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, el primer múltiple comú és 70, és el mínim comú múltiple de 10 i 14. mcm(10,14)=70 El mecanisme per realitzar el càlcul amb rapidesa del mcm(a,b) és: Descomposar en factors primers a Descomposar en factors primers b El mcm és la unió de tots els factors d'a i de b eliminant els que estiguin repetits. Exemple: si a = 2 5 i b = 2 7 serà mcm(a,b)=2 5 7 és a dir són tots els factors però el 2 només s'incorpora una vegada. MA1 Matemàtiques 1 -- 9 --
Al igual que en el mcd, podem analitzar un cas de més complexitat en que els factors es repeteixen més d'una vegada en a o en b. Imaginem que a = 2 3 4 5 7 i b = 2 2 3 2 5 caldrà agafar tots els factors que apareixen en a o en b i els factors repetits amb l'exponent més gran. Serà mcm(a,b) = 2 2 3 4 5 7 Exercicis 8 8.1 Calculeu els següents mcd: a) mcd(54, 42) b) mcd (48, 80) c) mcd(70, 84) d) mcd(15, 25, 35) 8.2 Calculeu els següents mcm: a) mcm (8, 3) b) mcm(45,27) c) mcm(56, 40) d) mcm (98, 147) 9. Propietats de les operacions amb nombres enters Revisem, a continuació, les propietats algebraiques del conjunt de nombres enters Z amb les dues operacions bàsiques, suma i producte, descrites en els apartats anteriors. 9.1 Propietats de la suma d'enters Propietat commutativa a + b = b + a Propietat associativa (a + b) + c = a + ( b + c) Element neutre: 0 Element invers a + 0 = a 0 + a = a Per qualsevol nombre enter a, existeix l'oposat -a tal que a + (-a) = 0 (-a) + a = 0 9.2 Propietats del producte d'enters Propietat commutativa a x b = b x a Propietat associativa (a x b) x c = a x ( b x c) Element neutre: 1 Propietat distributiva a x 1 = a 1 x a = a a x (b + c) = a x b + a x c MA1 Matemàtiques 1 -- 10 --
10 Annex: solucionari 1.1 a) 25 = 25 b) -4 = 4 c) -32 = 32 d) 0 = 0 e) 41 = 41 f) -11 = 11 2.1 a) 5 b) -3 c) 0 d) 5 e) -6 f) -39 g) 6 h) -187 3.1 a) -6 b) 8 c) -4 d) 8 4.1 a) -48 b) -42 c) -120 d) -4 e) 8 f) 16 g) 7 h) 240 5.1 a) 2, 4, 6, 8, 10 b) 5, 10, 15, 20, 25 c) 4, 8, 12, 16, 20 d) 11, 22, 33, 44, 55 5.2 a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 c) 1, 5, 25, 125 d) 1, 2, 4, 8, 16, 32 5.3 11, 13, 17 i 19 6.1 a) 145: Si b) 552: No c) 75: Si d) 26: No 6.2 a) 234: Si b) 345: Si c) - 127: No d) 231: Si 7.1 a) 21 = 3 7 b) 36 = 2 2 3 2 c) 42 = 2 3 7 d) 98 = 2 7 7 e) 128 = 2 7 f) 125 = 5 3 g) 70 = 2 5 7 h) 162 = 2 3 4 8.1 a) mcd(54, 42) = 6 b) mcd (48, 80) = 16 c) mcd(70, 84) = 14 d) mcd(15, 25, 35) = 5 8.2 a) mcm (8, 3) = 24 b) mcm(45,27) =135 c) mcm(56, 40) = 280 d) mcm (98, 147) = 294 MA1 Matemàtiques 1 -- 11 --