Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria

Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria Dr. Enrique Villa Diharce CIMAT, Guanajuato, México Verano de probabilidad y estadística CIMAT Guanajuato,Gto. Julio 2010

Contenido: 1.- Introducción Introducción Capacidad de procesos 2.- Capacidad de procesos Métricas Herramientas estadísticas 3.- Procesos de medición Estudios de repetibilidad y reproducibilidad 4.- Monitoreo de procesos Monitoreo de procesos Cartas de control. 6.- Conclusiones Pensamiento estadístico

Cuál es el interés en la industria? Mejorar de la calidad

Introducción Rev. industrial (Maquinas en la manufactura) Linea de ensamble (Ford) Producción Lean (Toyota) 1800 1900 1950 1980 2000 Supermercados aplicas JIT Wall-Mart desarrolla conceptos Lean en la gestión de cadenas de proveedores Algunos métodos de gestión en el tiempo

ANOVA, DDE (Fisher) ANOVA, DDE (Fisher) Control estadístico (Shewhart) Deming en Japón DDE en manufactura (Box y Taguchi) Introducción Difusión del uso de métodos formales en la toma de decisiones (Six sigma, M. Harry) 1800 1900 1950 1980 2000 Mínimos cuadrados (Laplace) Regresión (Galton) FDA sugiere la necesidad de ocupar estadísticos Aplicaciones de la estadística en el sector de servicios (Hoerl) Algunos métodos estadísticos en el tiempo

Introducción Procesos Entradas Proceso Salidas El término proceso representa acciones ( de manufactura y no manufactura) que transforma entradas en una salida o producto terminal.

Introducción SIPOC Proveedores Entradas Proceso Salidas Clientes Los Proveedores aportan las Entradas que son transformadas por el Proceso en Salidas que llegan finalmente a los Clientes. Los proveedores y clientes son parte fundamental de una empresa

Introducción Mano de obra Materiales Maquinaria x x x x x x Producto y x x x x x x Medio ambiente Métodos Mediciones Diagrama de causas y efectos. Causas de variación

Introducción La variabilidad del producto final tiene un gran número de contribuyentes. Por el Teorema Central del Límite, la distribución de la característica de interés es Normal El término proceso representa acciones ( de manufactura y no manufactura) que transforma entradas en una salida o producto terminal.

El Teorema Central del Límite Sea X,,... 1 X 2 una sucesión de variables aleatorias independientes 2 con E ( X i ) = µ, y,. i V ( X i ) = i =1,2,... i Sea Y n = X1 + X 2 +... + X n. Luego bajo ciertas condiciones generales, Z n = Y n n n i= 1 i= 1 Tiene una distribución asintóticamente N(0,1). µ 2 i i

Ejemplo Una máquina produce piezas de mica. Se toman 50 piezas consecutivas y se mide el grosor (en mm): 8.0 12.5 12.5 14.0 13.5 12.0 14.0 12.0 10.0 14.5 10.0 10.5 8.0 15.0 9.0 13.0 11.0 10.0 14.0 11.0 12.0 10.5 13.5 11.5 12.0 15.5 14.0 7.5 11.5 11.0 12.0 12.5 15.5 13.5 12.5 17.0 8.0 11.0 11.5 17.0 11.5 9.0 9.5 11.5 12.5 14.0 11.5 13.0 13.0 15.0 Estos datos tienen distribución normal?

Áreas Bajo la Curva Normal 68.27% 95.45% 99.73% 14 µ 3 µ µ+3 0.00135 0.02275 0.15865

ESPECIFICACIONES Y ANCHO DEL PROCESO LIE µ LSE El ancho del proceso, suponiendo normalidad, se define como 6. El ancho de las especificaciones puede medir cualquier cantidad de sigmas. 15

ESPECIFICACIONES Y ANCHO DEL PROCESO EI ES La curva representa lo OBSERVADO y las especificaciones representan lo DESEADO. 16

17 TRES TIPOS DE LÍMITES

Capacidad de Procesos Proceso con capacidad potencial y real Proceso con capacidad potencial, pero SIN capacidad real 18

Índices de Capacidad C p = ancho de especificaciones ancho del proceso = LES LEI 6 Cp<1 es inaceptable, 1<Cp<1.33 marginal y Cp>1.33 es capacidad potencial adecuada. CR = 1 C p = 6 ES EI proporción de la tolerancia que ocuparía el proceso 19

Índice Cp 20 No toma en cuenta la localización!

21 LEI LES µ PK PL PU L U C C C Z Z,,,, Indices µ µ LEI Z LES Z L U = = 3 3 3 3 L U Z EI CPL Z ES CPU = = = = µ µ { } CPU CPL LES LIE C PK, min 3, 3 min = = µ µ µ LES µ LEI

Índice C PK Pero, el Cpk no puede distinguir entre los tres procesos representados en la figura, los cuales son bastante diferentes. Note que Cpk=Cp si el proceso está centrado. 22

Índice de Cpm C pm = ES EI 2 6 + ( µ T ) 2 Coincide con el Cp y el Cpk cuando el proceso está centrado en el valor nominal (T). El índice Cpm sí distingue entre los tres procesos de la figura. Se cumple que: C pm ES EI < 6 µ T Cpm = 1 Esta relación implica que para que Cpm sea Cpm = 0.63 igual a 1, se debe cumplir Cpm = 0.44 ES EI µ T < 6 Es decir, la media del proceso no se puede alejar del valor objetivo más allá de un sexto de la tolerancia. 23

24 Comparación de Índices

k = 1 2 T µ Este es el índice k que mide el grado en que el proceso se desvía del valor nominal (T) expresado en unidades de ½ de la tolerancia. ( ES EI ) Relación entre Cpk y Cp Si EI µ ES Cpk = ( 1 k) Cp se cumple que 0 k 1 25

PROCESO SEIS SIGMA ESTATICO 6.002ppm.002ppm EI ES Un proceso centrado en la tolerancia media 26

PROCESO SEIS SIGMA DINAMICO 7.5 4.5 0ppm 3.4ppm EI ES Un proceso con un corrimiento superior de 1.5 1.5 en la media del proceso 27

PROCESO CUATRO SIGMA ESTATICO 4 32ppm 32ppm EI ES Un proceso centrado en la tolerancia media 28

PROCESO CUATRO SIGMA DINAMICO 5.5 2.5.02ppm 6210ppm EI 1.5 ES Un proceso con un corrimiento superior de 1.5 en la media del proceso 29

Métricas para procesos estáticos y dinámicos Proceso estático Proceso dinámico Cp Zmin Zmax ppm Zmin Zmax ppm 1.00 3.0 3.0 2700 1.5 4.5 66,813 1.33 4.0 4.0 63 2.5 5.5 6210 1.5 4.5 4.5 6.9 3.0 6.0 1,350 1.67 5.0 5.0.6 3.5 6.5 233 1.83 5.5 5.5.0 4.0 7.0 32 2.00 6.0 6.0.0 4.5 7.5 3.4

El significado de Seis Sigma 1. Como Metodología. Es una estrategia de negocios y de mejora continua que busca encontrar y eliminar causas de errores o defectos en los procesos enfocándose a las variables de importancia crítica para los clientes. 2. Como Métrica. Es una medida de la calidad. Mientras más grande es el valor de sigma de un proceso, producto o servicio, su calidad es mejor. En particular, calidad 6 sigma significa sólo 3.4 defectos por millón de oportunidades. 3. Como Meta. Es un nivel de calidad que implica casi cero defectos, al producir 99.9997% bueno.

Seis Sigma Como Método Definir Definir problema (VCC) y señalar cómo afecta al cliente e precisar los beneficios esperados del proyecto. Controlar Diseñar un sistema para que mantenga las mejoras logradas (controlar las X vitales), y cerrar el proyecto Medir Medir las VCC, verificar que pueden medir bien, y determinar situación actual Mejorar Evaluar e implementar soluciones, asegurándose que se reducen los defectos Analizar Identificar causas raíz, cómo se genera el problema y confirmar las causas con datos

Seis Sigma: Herramientas y Técnicas 1.0 DEFINIR OPORTUNIDADES 2.0 MEDIR DESEMPEÑO 3.0 ANALIZAR OPORTUNIDAD 4.0 MEJORAR DESEMPEÑO 5.0 CONTROLAR DESEMPEÑO Herramientas y técnicas (pueden ser utilizadas a través el proceso de mejoramiento Seis Sigma) Diagrama de afinidad Benchmarking Causa y efecto Análisis costo beneficio FMEA Tormenta de ideas Investigación al cliente Gráficas de Gantt Team Charter Análisis cualitativo de procesos Mapeo de procesos QFD Hojas de chequeo Gráficas de Control Gráficas de datos Gage R&R Histogramas Indicadores Gráfica de corridas Muestreo Cálculo Sigma Estratificación Variación Correlación Diseño de Experimentos Arbol de fallas Prueba de Hipótesis Pareto Simulación de proceso Análisis del Proceso Cuantitativo Regresión Estratificación Estructura de árbol Matriz de Correlación Análisis de fuerza de campo Mapeo mental Seis sombreros para pensar Carta de la historia Mapeo de solución Diseño de Experimentos Optimización Sistema de control de procesos Planeación del Trabajo Cartas de control Análisis de evaluación

Procesos de medición Impacto del sistema de medición en los estudios de riesgo y capacidad de proceso

Se requieren mediciones para: Monitorear procesos Clasificar componentes Determinar la variabilidad de los procesos La incertidumbre del proceso de medición debe ser adecuada a la aplicación que se hace. Es conveniente hacer inicialmente un estudio RyR para verificar que el proceso de medición tiene la incertidumbre adecuada. 35

Modelo de medición donde, ε ijk Estudios RyR yi N(0, 2 = µ + ε ) i es el error de medición. ε i Mensurando (desconocido) µ y i Medición 36

Estudios R&R Modelo de medición para un estudio R&R yijk = µ + α + β + αβ + ε i j ij ijk donde, α β αβ ε i j ijk ij N(0, N(0, 2 α 2 β N(0, N(0, ) 2 ) 2 αβ ) ) Efecto piezas Efecto operadores Interacción piezas-operadores Error Nota: Los efectos y el termino de error se consideran independientes. 37

Estimamos con algún método estadístico los parámetros 2 2 2 2 del modelo de medición, µ,,, y. α β αβ Variabilidad del instrumento de medición: ˆ = ˆ, (repetibilidad). 2 2 repet. Variabilidad debida al operador: ˆ = ˆ + ˆ, (reproducibilidad). 2 2 2 repro. β αβ Variabilidad del sistema de medición: ˆ = ˆ + ˆ. 2 2 RyR repet. repro. 38

Indices Calidad del instrumento de medición δ = piezas R& R Cociente Repetibilidad-Tolerancia: ˆ RyR P/ T = k, ( LSE LIE ) Cociente Error de Medición-Variabilidad Total: EM / VT ˆ ˆ RyR = = ˆ + ˆ ˆ 2 2 RyR piezas RyR total 39

(LIE, LSE) son los límites de especificación del proceso de medición. Algunas veces k=5.15, ya que representa el rango de la normal estándar que comprende una probabilidad de 99%. K=6 corresponde a una probabilidad de 99.73%. Clasificación de sistemas de medición, de acuerdo a la magnitud de la métrica P/T. P/T Interpretación P/T < 10% Desempeño excelente 10% < P/T < 20% Desempeño adecuado 20% < P/T < 30% Desempeño marginal 30% < P/T Desempeño inadecuado 40

Impacto de la incertidumbre de medición sobre la estimación de la capacidad del proceso. Consideramos un proceso centrado y con una capacidad Cpk igual a uno. Relación entre los índices Cpk y P/T, EM/VT y δ: Cpk = 1 1 + ( P/ T) Cpk = 2 1 1 ( EM / VT ) Cpk 2 =. 1. 1+ 1/ δ Observación: La capacidad del proceso se subestima 41

Relación entre Cpk y los índices P/T y EM/VT P/T EM VarTot P/T; EM/VarTot ( / ) R&R total 42

Relación entre el índice Cpk y el índice δ. Cpk 0.70 0.80 0.90 1.00 C pk 1 = 1+ 1/ δ 0 10 20 30 40 50 delta 43

Ejemplo 1. En un estudio de capacidad de medición de un instrumento, se hicieron tres mediciones a dos piezas de parte de cinco operadores elegidos aleatoriamente. Las mediciones obtenidas son las siguientes: Pieza Op. 1 Op. 2 Op. 3 Op. 4 Op.5 1 3.481 3.448 3.485 3.475 3.472 3.477 3.472 3.464 3.472 3.470 3.470 3.470 3.477 3.473 3.474 2 3.258 3.254 3.256 3.249 3.241 3.254 3.247 3.257 3.238 3.250 3.258 3.239 3.245 3.240 3.254 44

Salida gráfica de Minitab

Componentes de variabilidad del sistema de medición Cantidad Estimación Variación Porciento repet. repro. R&R. piezas total.006497.038981 4.07%.001967.011800 1.23%.006788.040728 4.26%.159326.955955 99.91%.159470.956823 100.00% piezas R & R = 23.47 repet R & R =.9571 Variación = 6

Análisis de Riesgos Unidad conforme Unidad no conforme (dentro de especificación) (fuera de especificación) La clasificación de una unidad se hace después de medir la característica de interés. Debido a la incertidumbre del instrumento de medición, es posible que se cometa alguno de los dos siguientes errores: Clasificar como no conforme a una unidad que es conforme. Declarar como conforme a una unidad que no lo es. 47

A = la unidad es conforme B = La unidad se clasifica como no conforme después de la medición. Riesgo del productor: α = PB ( A) = PA ( B)/ PA ( ) Riesgo del consumidor: C C C C C β = PB ( A) = PA ( B)/ PA ( ) Como modelamos la variabilidad pieza a pieza y la variabilidad del instrumento de medición? 48

X = valor real de la característica de interés Y = valor de medición Y = X + ε = error de medición ε Se tiene que: X 2 N( µ, ) y ε p p N(0, 2 RyR ) EY ( ) = EX ( + ε) = EX ( ) + E( ε ) = µ V Y V X V X V 2 2 ( ) = ( + ε) = ( ) + ( ε) = p + RyR La covarianza entre X y independientes. { } 2 µ µ Cov( X, Y ) = E ( X )( Y ) = ε p p p es cero, debido a que son 49

+ = = 2 2 2 2 2 2 2,, RyR p p p p p p Y XY XY X Y X N N Y X µ µ µ µ Distribución conjunta del valor real (X) de la característica de calidad y su medición (Y)

Probabilidades conjuntas de conformidad y clasificación Clasificada dentro de especificaciones Clasificada fuera de especificaciones Realmente dentro de especificaciones C PA ( B) Realmente fuera de especificaciones C C PA ( B) PA ( B) C PA ( B) 51

Estado real de la pieza Clasificación de la pieza LEI LES X 52

Ejemplo 2. Un dispositivo de detección óptica tiene una lámpara donde el parámetro de desempeño es la luminosidad (cd/m 2 ). De un estudio RyR se ha encontrado que (P/T)%=38.73% y además que la luminosidad se distribuye normalmente, con una media de 35.20 cd/m 2 y una desviación estándar de 4.100 cd/m 2. Los límites de especificación inferior y superior son 30.00 y 42.00 cd/m 2. Variabilidad RyR del instrumento? RyR ( P / T )( LES LEI) (.3873)(42 30) = = = k 6.0.7746 53

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Distribución de X y Y? 2 2 X µ X p p 35.2 16.81 16.81 N, N, 2 2 2 = Y µ Y p p + RyR 35.2 16.81 17.41 Análisis de Riesgos Realidad Clasificación Clasificada dentro de especificaciones Clasificada fuera de especificaciones Realmente dentro de especificaciones Realmente fuera de especificaciones =.8234 C C =.0178 C PA ( B) PA ( B) =.0248 C =.1331 PA ( B) PA ( B) PA ( ) = P(35.2 < X< 42) =.8491 C PA ( ) = 1 PA ( ) =.1509 57

Riesgos: α =.0248.8491 =.0292 β =.0178.1509 =.1180 (R. del fabricante) (R. del consumidor) Comentarios: 58

Ejemplo 3. Consideramos el proceso del primer ejemplo. Tomamos como valores de los parámetros a las estimaciones de la variabilidad del proceso y del equipo de medición, así como del tamaño medio de las piezas. Recordamos además que (LIE, LSE) = (3.00, 4.00) Distribución de X y Y? 59 = +.02543.02538.02538.02538, 3.60 3.60, 2 2 2 2 2 N N Y X RyR p p p p Y X µ µ 3.60.00004608.006788.02538.159326 2 2 & 2 2 = = = = = µ R R piezas

PA ( ) = P(3 < X< 4) =.994291, PA ( C ) =.005709 Realidad Clasificación Clasificada dentro de especificaciones Clasificada fuera de especificaciones R. del fabricante R. del consumidor Realmente dentro de especificaciones Realmente fuera de especificaciones C PA ( B) ( C C PA B) =.9939334 =.0003036 C PA ( B) PA ( B) =.0003566 =.0054064 Riesgos α =.0003566 /.994291 =.0003586 β =.00030360 /.005709 =.053179 60

Comentarios Indicadores de desempeño de los sistemas de medición de los ejemplos 2 y 3. Indice Ejemplo 2 Ejemplo 3 δ 5.293 23.47 P/T.3873.04073 α.0292.000359 β.1180.053179 El proceso de medición del Ejemplo 3 es globalmente mejor que el del Ejemplo 2, comparados con los respectivos procesos que generan las piezas que se miden y clasifican. 61

Fin de la primera parte