EXAMEN DE ESTADÍSTICA Junio 2011 Apellidos: Nombre: DNI: GRUPO: 1. Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la función p(x) { k/x x 1, 2, 3, 4 0 en otro caso sea una función de probabilidad de X. Determine P (1 < X 3). Podemos calcular primero el valor de k imponiendo que la suma de todas las probabilidad debe ser uno: 4 p(x) 1 k x1 1 + k 2 + k 3 + k 4 12k + 6k + 4k + 3k 12 25 12 k 1 k 12 25 Ahora ya podemos responder fácilmente a la pregunta del enunciado: P (1 < X 3) P (2) + P (3) 12 ( 1 25 2 + 1 ) 12 3 25 5 6 60 150 0.4 1
2. Sea una caja que contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras. Se selecciona una bola al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Esta actividad se repite 100 veces. Encuentre la probabilidad de observar una bola roja 60 veces o más. La caja contiene 4R y 2N. Por tanto P (R) 4 6 2 3 El experimento seguirá una distribución binomial con p 2/3 y n 100. La pregunta es entonces calcular P (X 60). Como el valor de n es muy grande, no aparece tabulada en las tablas repartidas en clase. Sin embargo, podemos aproximar la binomial por una distribución normal, dado que se verifica np > 5 y nq > 5. La normal tendrá de media µ np 66.67 y como desviación típica σ npq 4.71. Finalmente: P (X 60) P (X 59.5) P (Z > 1.52) 1 P (Z > 1.52) 1 0.0643 0.9357 donde hemos aplicado la corrección de continuidad al pasar de X a X, y siendo Z (X µ)/σ la variable tipificada. 2
3. En un examen de Física consistente en resolver un único problema existe una probabilidad de 0.3 de que el problema sea de Matemáticas, de 0.5 de que sea de Electromagnetismo y de 0.2 de que sea de Termodinámica. Un alumno tiene probabilidades de aprobar de 0.8, 0.1 y 0.4 si el problema es de Matemáticas, Electromagnetismo y Termodinámica, respectivamente. a) Qué probabilidad tiene el alumno de aprobar el examen? b) Sabiendo que el alumno finalmente ha aprobado, cuál es la probabilidad de que el problema haya sido de Termodinámica? P (Matemáticas) 0.3; P (aprobar Matemáticas) 0.8 P (Electromagnetismo) 0.5; P (aprobar Electromagnetismo) 0.1 P (Termodinámica) 0.2 ; P (aprobar Termodinámica)0.4 a) Teorema de la probabilidad total: P (aprobar) b) Teorema de Bayes: 3 P (aprobar A i ) P (A i ) 0.3 0.8 + 0.5 0.1 + 0.2 0.4 0.37 (37%) i1 P (Termodinámica aprobado) P (Termodinámica) P (aprobar Termodinámica) P (aprobar) 0.4 0.2 0.216 (22%) 0.37 3
4. Un médico ha medido la tasa de hipotiroidismo congénito en una muestra de la población infantil española, obteniendo un valor de 1 caso por cada 2800 recién nacidos. Determinar el tamaño mínimo de dicha muestra para que el error relativo en la estimación sea inferior al 10% con un nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza para una proporción viene dado por I p ± z α/2 p(1 p) n, y queremos imponer que el semi-intervalo del error relativo sea inferior a 0.1, es decir, z α/2 p(1 p) n p < 0.1 Elevando al cuadrado, podemos despejar el tamaño de la muestra, con lo que se obtiene n > (1 p) z2 α/2 p 0.1 2. Sustituyendo p 1/2800, y recordando que z α/2 1.96, se obtiene finalmente n > 1075264 4
5. Se extrae una muestra de n elementos de una población con función de densidad: f(x, θ) { θ x θ 1 θ > 0, 0 < x < 1 0 en caso contrario Hallar el estimador de máxima verosimilitud de θ. La función de máxima verosimilitud puede escribirse como L θ n (x 1 x 2... x n ) (θ 1) Tomando logaritmos Derivando con respecto a θ ln L n ln θ + (θ 1) ln(x 1 x 2... x n ) d ln L dθ n 1 θ + ln(x 1 x 2... x n ) 0 Finalmente, despejando θ θ n ln(x 1 x 2... x n ) n n ln(x i ) i1 5
6. Se quiere saber si la temperatura de la superficie del mar en el Atlántico y en el Pacífico tropical ha variado desde 1970 a 2006, en comparación con el período entre 1950 y 1969. Se toman dos series temporales características de la temperatura en el Atlántico y en el Pacífico, llamadas respectivamente ATL-3 y NIÑO-3. En la siguiente tabla aparecen los datos correspondientes a ambos índices de temperatura. Se trata de datos mensuales, con un total de 240 datos en el primer período, y 444 en el segundo. ATL-3 NIÑO-3 1950 1969 x 26.0066 o C x 25.8661 o C s 0.3387 o C s 0.7341 o C 1970 2006 x 26.2236 o C x 25.9876 o C s 0.3488 o C s 0.9594 o C a) Para cada cuenca, establezca un intervalo para la diferencia de medias entre ambos períodos (con un nivel de confianza del 95%). b) Analice, con un nivel de confianza del 95%, en cuál de las dos cuencas se ha producido un cambio significativo en la media, si es que lo ha habido. c) En las cuencas en las que no se haya producido un cambio en la media, analice si los dos periodos temporales pertenecen a la misma población. (2.5 puntos) a) Como el número de datos es grande, el intervalo de confianza para la diferencia de medias puede calcularse como (distribuciones normales con varianzas desconocidas) S 2 I (X 1 X 2 ) ± z 1 α/2 + S2 2, n 1 n 2 que con los datos del enunciado conduce a I ATL-3 (26.0066 26.2236) ± 1.96 0.3387 2 240 + 0.34882 444 [ 0.2170 ± 0.0537] ( 0.2707, 0.1633) 0.7341 I NI ÑO-3 2 (25.8661 25.9876) ± 1.96 240 + 0.95942 444 [ 0.1215 ± 0.1288] ( 0.2503, +0.0073) b) Planteamos las siguientes hipótesis { H0 : µ 1 µ 2 (no ha habido cambio significativo de temperatura) H 1 : µ 1 µ 2 Se acepta H 0 si z x 1 x 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 z α/2. 6
En nuestro caso, como α 0.05 y z α/2 1.960, tenemos z ATL-3 0.2170 0.0274 7.92 se rechaza H 0 z NI ÑO-3 0.1215 0.0657 1.85 se acepta H 0 c) La única cuenca en la que no puede demostrarse que se haya producido un cambio de temperatura es en la del Pacífico. Por tanto, es en ella en la que realizamos el contraste de igualdad de varianzas { H0 : σ 2 1 σ 2 2 Se acepta H 0 si H 1 : σ 2 1 σ 2 2 F s2 1 [ F s 2 1 α/2,n1 1,n 2 1, F α/2,n1 1,n 2 1]. 2 Con los datos de la tabla podemos calcular F 0.73412 0.9594 2 0.5855, mientras que de la consulta de las tablas se obtiene F 0.975,239,443 1 F 0.025,443,239 1 1 F 0.025,, 1.1 0.909 F 0.025,239,443 F 0.025,, 1.1 Como el valor de F no está contenido en el intervalo [0.909, 1.100], rechazamos H 0. 7
7. El espesor de una muestra de 150 láminas de acero obtenidas en cierto proceso de fabricación se ha clasificado en cinco intervalos con los siguientes resultados (en µm): a) Dibujar el histograma de frecuencias. Longitud Frecuencia 10.00 10.05 26 10.05 10.10 32 10.10 10.15 35 10.15 10.20 29 10.20 10.25 28 b) Calcular la media y la desviación típica. c) Sabiendo que los espesores mínimo y máximo son 10.00 y 10.25 µm, comprobar si el espesor se distribuye uniformemente. Tomar un nivel de significación α 0.05. a) Histograma b) (2.5 puntos) Longitud Marcas de clase Frecuencia n i c i n i c 2 i 10.00 10.05 10.025 26 260.650 2613.02 10.05 10.10 10.075 32 322.400 3248.18 10.10 10.15 10.125 35 354.375 3588.05 10.15 10.20 10.175 29 295.075 3002.39 10.20 10.25 10.225 28 286.300 2927.42 Sumas: 150 1518.800 15379.05 x 5 i1 n i c i N 1518.8 150 10.125 µm 5i1 s 2 n i c 2 i 1 N ( 5 i1 n i c i ) 2 15379.05 1518.82 /150 N 1 149 s 0.068 µm c) H 0 : el espesor de las láminas se distribuye uniformemente. 4.66 10 3 Longitud Frecuencia observada Frecuencia esperada 10.00 10.05 26 30 10.05 10.10 32 30 10.10 10.15 35 30 10.15 10.20 29 30 10.20 10.25 28 30 5 χ 2 (o i e i ) 2 1.67 i1 e i χ 2 α,k 1 χ 2 0.05,4 9.448 > 1.67 No podemos rechazar la hipótesis nula de que el espesor de las láminas se distribuye uniformemente. 8