Laboratorio 1 Medición e incertidumbre La descripción de los fenómenos naturales comienza con la observación; el siguiente paso consiste en asignar a cada cantidad observada un número, es decir en medir esa cantidad. Pero realizar de forma correcta una medición exige conocer en qué consiste el proceso mismo de medir, cómo se informa a los demás el resultado de la medida y saber interpretar ese resultado. En este laboratorio usted se familiarizará con las nociones básicas sobre el proceso de medir y la forma de expresar correctamente el resultado de una medición Objetivos Cuando concluya satisfactoriamente este laboratorio usted podrá: Realizar medidas directas e indirectas en forma correcta Encontrar la incertidumbre de medidas directas e indirectas Expresar correctamente el resultado de una medición Lecturas previas Cuando llegue a su primera sesión de laboratorio debe haber estudiado el contenido de la lectura que aparece a continuación. Medición Lord Kelvin afirmó: Cuando uno puede medir aquello de lo que está hablando y expresarlo con números, sabe algo acerca de ello; pero cuando no puede medirlo, cuando no puede expresarlo con números, su conocimiento es escaso e insatisfactorio: podrá ser un principio de conocimiento, pero escasamente ha avanzado su conocimiento a la etapa de una ciencia Sabemos la importancia que tiene la medición en la vida diaria; por ejemplo, si queremos pintar una pared conviene que conozcamos el área de la misma para saber la cantidad de pintura que debemos comprar. Veamos qué significa medir Medir: Siempre que se mide algo, a lo que llamaremos variable o mesurando, lo que se hace es comparar su magnitud con un patrón - una cantidad física de la misma naturaleza que la variable a medir - aceptado como unidad de medida. La medición es, entonces, una operación humana de observación que implica comparar y leer en una escala. Pero una medición no es una verdad absoluta, al medir hacemos una interpretación personal de la lectura: dos personas obtendrán, muy probablemente, valores ligeramente diferentes al realizar la misma medición, diferencia que indica que existen límites dentro de los cuales se encuentra la medida. Medidas directas: son aquellas que se realizan cuando la medición consiste en comparar la cantidad a medir con otra de su misma especie. Veamos un ejemplo, la medición, aparentemente sencilla, de una longitud. Tomemos como unidad de medida el largo de una cinta cuya longitud es igual a le de un dedo pulgar. Aquí observamos que el tamaño de la unidad es arbitrario pero debe ser conveniente: si se trata de longitudes que caben en una mesa, la unidad definida parece apropiada, pero sería inmanejable si el problema fuera medir la distancia entre dos ciudades. El siguiente paso es la definición del procedimiento de medida. En nuestro caso éste consiste en colocar la cinta unitaria en un extremo del objeto cuya longitud deseamos medir y luego, a continuación, sucesivamente, hasta llegar al otro extremo del objeto. Como resultado de este procedimiento obtenemos un número que es igual al número de veces que cabe la unidad en la longitud que medimos. En general este número no es un entero, pues al llegar al final es muy probable que este no coincida con el extremo de la cinta unitaria, sino con una fracción de ella. Aquí aparece la conveniencia de dividir la unidad en fracciones.
Medias indirectas: Cuando una cantidad física que nos interesa no puede medirse directamente (podría ser el área de un triángulo) debe calcularse a partir de dos o más valores medidos, esto es realizar una medición indirecta. Bien sea que la medida sea directa o indirecta el resultado se expresa como un número seguido de las unidades correspondientes, pero como bien lo muestra el ejemplo de medición directa ese valor se encuentra dentro de ciertos límites y por lo tanto el resultado de una medición indirecta también lo estará. Es necesario entonces hablar sobre otros conceptos relacionados con la medición. Apreciación: es la cifra que resulta de realizar una operación para estimar la última cifra del resultado de una medición; esto puede deberse a que la unidad y el procedimiento de que se dispone no permiten la determinación sin lugar a dudas de esta cifra. Cifras significativas: son todas las cifras obtenidas directamente de un proceso de medida y sobre las cuales tenemos certeza; en el número de cifras significativas se incluye la última cifra obtenida por apreciación. Normalmente todas las cifras significativas, hasta la penúltima, se hallan determinadas sin duda alguna y la última se halla determinada por medio de una apreciación. Incertidumbre: dado que la última cifra significativa es generada por apreciación, no estamos seguros de ella y la medición tiene incertidumbre. Esta incertidumbre es el intervalo dentro del cual aceptaremos que es más probable que se encuentre el valor real del mesurando. No existen reglas para determinar el tamaño del intervalo porque dependerá de muchos factores del proceso de medición: la clase de medición, el tipo de escala, nuestra agudeza visual, las condiciones de iluminación, etc. El ancho o intervalo debe determinarse explícitamente cada vez que se haga una medición. Algunos criterios se han adoptado para determinar la incertidumbre en la lectura: cuando se hace una medición usando una escala graduada la incertidumbre en la lectura es automáticamente igual a la mitad de la división de la escala más pequeña. Esta puede ser una simplificación excesiva y errónea de la situación. Una escala con divisiones muy finas que se use para medir un objeto con bordes mal definidos, puede dar un intervalo de incertidumbre más grande que varias de las divisiones más pequeñas; por otro lado, un objeto con bordes bien definidos y con buenas condiciones visuales puede permitir la identificación de un intervalo de medición mucho menor que la mitad de división más pequeña de la escala. En este último caso con frecuencia se emplea el siguiente criterio: la incertidumbre es igual a la apreciación si ésta es menor que la mitad de la menor división del instrumento o, en caso contrario, igual a la diferencia entre la apreciación y la menor división del instrumento. Sin embargo, cada situación debe evaluarse en forma individual. Entonces, el resultado de la medición directa de una cantidad x se expresa: x ±, donde es la incertidumbre de la medición e indica que el valor de x está muy probablemente dentro del intervalo (x, x + ) En el caso de medidas indirectas se debe calcular la incertidumbre, el proceso se conoce como propagación de la incertidumbre o error, del cual hablaremos a continuación. Propagación de la incertidumbre o error: Cuando la cantidad física depende de una sola variable, por ejemplo el perímetro de una circunferencia, usamos el método que explica la gráfica 1, según la cual tan( θ), pero tan( θ) df dx df dx
10 Para el caso del perímetro P de una circunferencia de radio R, como resultado de la medida directa se tendría R ± R, entonces el valor del perímetro P de encontraría así Puesto que dp P πr P R dr Entonces P π R Por lo tanto el valor de P está en el intervalo (P - π R, P + π R) f(x) z 1 10 8 θ tanθ (df/dx) 6 b 4 4 6 8 10 1 Fig 1.- Incertidumbre en funciones de una sola variable. La función f(x) nos permite calcular el valor requerido z 0 f(x 0). Si x varía desde x 0 - hasta x 0 +, implica un intervalo de posibles valores de z entre z 0 - a z 0 +. Se ilustra la forma de calcular : tan (θ)., (df/dx tan (θ) asumiendo que en este pequeño intervalo la curva se aproxima a una recta). El valor de incertidumbre de una medida directa o indirecta, determinado como acaba de explicarse, se llama incertidumbre absoluta; pero con frecuencia resulta más útil, porque informa mejor sobre la calidad de la medida, determinar la incertidumbre relativa: si es la incertidumbre absoluta de la medición de una cantidad x, entonces la incertidumbre relativa o error relativo es r 100 x este valor es la expresión porcentual de la incertidumbre respecto al valor medido Cuando una cantidad física z que nos interesa debe calcularse a partir de dos o más valores medidos, x ±, y ± y, etc., la incertidumbre de la cantidad z (correspondiente, por ejemplo, al producto entre las variables x e y) se puede calcular de varias formas, a saber: El criterio pesimista: suponer que las desviaciones reales de x e y: y y, (que son las incertidumbres estimadas y tienen siempre valores positivos) ocurren combinándose de manera tal que desvíen el valor de z tan lejos como sea posible de su valor central. De esta manera calculamos el valor de como el ancho extremo del intervalo de posibles valores de z. Este enfoque, aunque pesimista, es seguro ya que si, y, etc., representan límites dentro de los cuales estamos casi seguros que se encuentran sus valores reales, entonces el valor calculado de x
dará los límites dentro de los cuales también estamos seguros que se encuentra el valor real de z. El criterio de derivadas parciales: Un método general para determinar la incertidumbre en funciones de dos o más variables requiere el empleo del cálculo diferencial. Si tenemos z f(x, y), la cantidad apropiada para calcular es la diferencial total dz, que está dada por (véase figura 1) z dx + dy (1) x y Si tratamos a esta diferencial como una diferencia finita, se puede calcular a partir de las incertidumbres y y: + x y y () El valor absoluto de la derivada parcial garantiza que las contribuciones a la suma sean positivas de acuerdo con nuestro criterio pesimista. Ejemplo: Producto de dos variables. Supongamos que z x y. Los valores de las derivadas parciales son: z x y z y x por consiguiente el valor de será: y x + y Si dividimos esta igualdad por z, obtenemos la incertidumbre relativa: z y + x y Entonces, cuando la cantidad medida es el producto de dos variables, la incertidumbre relativa es la suma de las incertidumbres relativas de las componentes. La ecuación () se aplica para el cálculo de la incertidumbre cuando ésta proviene de una única medida de la cantidad. Tercer criterio: la ecuación general, más adecuada para el cálculo de la incertidumbre o error cuando la medida se repite varias veces, se logra obtener mediante consideraciones estadísticas. En este caso se usa la siguiente expresión para hallar la incertidumbre absoluta z x z y ( ) + ( y) (3) Al comparar la incertidumbre relativa, calculada a partir de este criterio, con el resultado de la ecuación (), se observa que el valor de /z es menor. El valor calculado con la ecuación () es entonces un estimado del error máximo que se puede cometer y como tal también es aplicable en el caso de medidas repetidas.
Práctica 1.1 Realizar una medida indirecta Usted debe resolver un problema muy concreto: debe encontrar el área del triángulo que aparece dibujado en esta guía. CUÁL ES EL VALOR DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y CUÁL ES EL VALOR DE LA INCERTIDUMBRE EN SU MEDICIÓN? Preguntas 1. Qué es una medición directa?. Qué es una medición indirecta? 3. Qué se entiende por cifras significativas en una medición? 4. Qué es la incertidumbre de una medición? 5. Qué es incertidumbre absoluta? 6. Qué es incertidumbre relativa? 7. Por qué debe incluirse la incertidumbre cuando se expresa el resultado de una medición? Exploración Use como unidad de medida la longitud del pequeño rectángulo impreso al lado del triángulo que se va a medir. Asigne un nombre a la unidad de medida 1. Determine cuántas veces cabe la unidad de medida en una de las bases del triángulo.. Qué dificultades encuentra? Escríbalas en su cuaderno 3. Cómo puede solucionar esas dificultades? 4. Encuentre una forma conveniente de dividir la unidad de medida para que su resultado incluya fracciones de esta unidad. Compare su resultado con el de sus compañeros. Discútalos. 5. Teniendo en cuenta la definición dada de apreciación, estime de la mejor forma posible el valor de esta cifra y escriba el resultado de la medición de la longitud b de la línea que eligió como base del triángulo (no olvide las unidades de su medida) 6. Cuántas cifras significativas tiene el número que resulta de su medición? 7. Determine el valor de la incertidumbre b de su medición 8. Qué criterio utilizó para determinar su b? 9. Ahora usted puede decir que la longitud de la base del triángulo muy probablemente estará entre b - b y b + b.; esto se simboliza con la expresión b ± b. Escriba el valor de la longitud de la base del triángulo usando esta notación Medidas 1. Trace la altura h del triángulo sobre la base que midió antes. Mida h ± h siguiendo el mismo procedimiento que empleó para medir la longitud de la base.. Use la relación (b x h)/ para encontrar la superficie S del triángulo (no olvide incluir las unidades) 3. Ahora debe determinar la incertidumbre S en la medida del área por tres métodos diferentes, a saber: a. Método del máximo error posible: i. Calcule los valores máximo y mínimo de las longitudes de la base y la altura, ellos permitirán definir los límites de los intervalos de alta probabilidad de cada variable. Calcule ahora los valores máximo S max y mínimo S min del área S del triángulo
El valor del área puede expresarse mediante el promedio S (S max + S min) / y el valor de la incertidumbre como S S max - S ii.
ii. Escriba el valor del área y su incertidumbre utilizando todas las cifras que le da su calculadora. Discuta este resultado. Es correcto el número de cifras significativas? iii. En el método que acaba de emplear se utilizan los valores máximo y mínimo para determinar la incertidumbre. Este método es bastante pesimista. Dada su simplicidad se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre. Para hallarla, lea el valor de S de izquierda a derecha como siempre se hace- y encuentre el primer dígito diferente de cero. Este dígito es el único que se retiene y todos los demás que le siguen se desechan. Su posición se denomina la posición retenida. Redondee el valor de S y escriba el resultado a continuación. iv. El valor de S que acaba de encontrar determina el número de cifras significativas de S: ubique en S el dígito que ocupa el mismo lugar de la posición retenida que acaba de hallar en el S. Deseche todos los dígitos que siguen hacia la derecha. Redondee el resultado y escriba el valor final para el área en la forma S ± S b. Método de propagación de la incertidumbre usando derivadas parciales Utilice el método que emplea las derivadas parciales dado por la ecuación () propuesto para la propagación de la incertidumbre del área. Redondee el resultado y escriba el valor final. S ± S c. Método de propagación de incertidumbres utilizando consideraciones estadísticas Utilice el método dado por la ecuación (3) para encontrar la incertidumbre del área. Redondee el resultado y escriba el valor final. S ± S Análisis Compare los tres métodos y discútalos. Conclusión Escriba el resultado de la discusión que llevó acabo. Utilice el método de propagación de la incertidumbre usando derivadas parciales para encontrar la expresión de la incertidumbre relativa cuando se trata de una medida indirecta que se calcula dividiendo dos cantidades medidas directamente, por ejemplo la velocidad de un móvil determinada como el cociente cambio de posición X sobre intervalo de tiempo t