MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes mucha práctica - dijo la reina -." A través del espejo... Función Eponencial. Objetivos. a) Definir la función eponencial para bases diferentes. b) Graficar diferentes funciones eponenciales. c) Efectuar operaciones con funciones eponenciales. d) Resolver ecuaciones e inecuaciones en forma algebraica y gráfica Cuenta la leyenda que cuando el rey persa le preguntó al sabio lo que pedía por haber inventado el juego de ajedrez, él le contestó que quería dos granos de trigo por la primera casilla del tablero, 4 por la segunda, 8 por la tercera, 6 por la cuarta, y así sucesivamente, hasta agotar las 64 casillas del tablero. El rey se sonrió de tan etraña recompensa, pero en todo el reino no hubo el suficiente trigo para pagar al sabio. El sabio quería la cantidad de + 5 + + 4 +...+ 64 granos de trigo, cuyo resultado es un número muy grande. Observe que todos los sumandos tienen la misma base y lo que varía es el eponente, o sea que cada casilla del tablero se asocia con n donde n =,,, 4,..., 64. En este caso n es un entero positivo, pero también pueden calcularse los valores: 0 =, =, n =, =, cuando los eponentes son cero o enteros negativos. Se n emplea la calculadora para obtener los resultados de = =.44..., = =.599..., 5 5 = = 0.757858..., =.66544..., π = 8.84977..., que corresponden a potencias de con eponentes racionales o irracionales: valores de la función eponencial, o sea f : equivale a f() =, donde R : números reales.
9 Los diferentes valores de la función se representan en las gráficas siguientes: f(n) = n, si n N f(n) = n, si n Z f() =, si R Definición: Una función eponencial asigna a cada R la potencia de a elevada a la, es decir: f: a que equivale a f() = a, donde a > 0, a y R : números reales f() = a, a > f() = a, 0 < a < f() = a, a = Nota: La base a debe ser un número estrictamente positivo diferente de ; no eisten los valores para (- ) ó (- 5) π, cuando la base es negativa, la calculadora indica "error". Observe que para la función eponencial f() = a, si a > 0 y a, el D = R y R =]0, [. Asíntota Eje X. Propiedades de los Eponentes: Recuerde las definiciones y propiedades de los eponentes estudiadas en cursos anteriores, como: a 0 = a n = a@a@a @@@ a (n veces a) a n = /a n a = q a p ) a @ a y = a + y ) (a ) y = a y ) a a y = a y 4) (ab) = a b p q Ejemplo : Para ordenar en forma creciente los números dados, se emplea una calculadora, así: a) = 0... b) π = 0.4... = c) 0.6547... luego a) < b) < c) Ejemplo : Para escribir las epresiones dadas en la forma c a, donde c es un número real, se aplican las propiedades de los eponentes, así: a) + b) c) + = @ = 9 @ = @ = @ ( ) = (9 ) = @ = 7 @ ( ) = 7(/9)
94 Gráfica de la función Eponencial: Para graficar una función eponencial f() = a cuando a > 0, a, R, se calculan algunos valores de la función con valores "fáciles" de, se grafican esas parejas y se unen los puntos por medio de una curva continua. Entonces,. Cuando a >, la función es creciente,. Cuando 0 < a <, la función es decreciente, f() = a, a > o sea que si -, f() 0 +, y si +, f() +. El dominio esr y su rango el intervalo]0, [. Su asíntota horizontal es el Eje X. f() = a, 0 < a < o sea que si -, f() +, y si +, f() 0 +. El dominio esr y su rango el intervalo]0, [. Su asíntota horizontal es el Eje X. Las gráficas de las funciones eponenciales no cortan al Eje X, luego f() no tiene ceros, lo que equivale a que la ecuación a = 0 no tiene soluciones o raíces reales. Su asíntota horizontal es el Eje X. La intersección con el eje Y es siempre el punto (0, ). Ejemplo : Para graficar f() = y g() = en el mismo sistema de coordenadas cartesianas, se obtienen algunas parejas como: - - 0 f() /4 / 4 - - 0 g() /9 / 9 Ambas gráficas son crecientes en R porque la base a > y se cortan en el punto (0,). Las gráficas están arriba del Eje X, no hay ceros para las funciones y además, el Eje X es la asíntota horizontal. D = R y R =]0, [.
95 Ejemplo : Para graficar ( ) = = y g ( ) = = f en el mismo sistema de coordenadas cartesianas, se obtienen algunas parejas como: - - 0 f () 4 / /4 - - 0 g() 9 / /9 Ambas gráficas son decrecientes en R porque la base 0 < a < y se cortan en I Y (0,). Las gráficas están arriba del Eje X, no hay ceros para las funciones y además, el Eje X es su asíntota horizontal. D = R y R =]0, [. Ejemplo : Para graficar las funciones f() = - y g() = - () se toman los valores negativos (opuestos) de los respectivos valores de las funciones dadas en los ejemplos anteriores. f() = - opuesta a - f() = La gráfica de f() está debajo del Eje X. La función es decreciente en R. Su dominio es R y su rango es R =]-, 0 [. Su asíntota horizontal es el Eje X. g() = - () opuesta a - g() = () La gráfica de g() está debajo del Eje X. La función es creciente enr. Su dominio esr y su rango es R =]-, 0[.Su asíntota horizontal es el Eje X. Gráfica del Resultado de Operaciones con funciones. Se sabe que con dos funciones dadas y una operación algebraica de suma, resta, multiplicación o división, puede obtenerse una nueva función. Se ilustrará con ejemplos: También se estudió la composición de funciones o función de función (operación no algebraica).. Si se suma una función constante c a la función eponencial f() se tiene la función suma h() = f() + c, y su gráfica se desplaza (arriba o abajo) el valor de c en el Eje Y y se cambia la asíntota: Eje X por su recta paralela y = c.
96 Ejemplo: Para graficar h() = -, suma de las funciones f() = y g() = -, se obtienen - - 0 y - /4 - / 0 Segunda gráfica: Si -, y -, la asíntota horizontal es g() = -. La función es creciente en R. Su dominio es R y el rango es R =]-, [. f()=, g() = - h() = f() + g() h() = -. Si se multiplica la función eponencial f() por una función constante c, c f(), los valores de f() se etienden cuando c > y se reducen o contraen cuando c <. Si c es positiva la gráfica estará arriba (o bajo) del eje X y si c es negativa estará en su lado opuesto. Ejemplo: Para graficar h() = - ( ), producto de las funciones f() = y g() = -, se obtienen - - 0 y -/4 - / - - 6 - Segunda gráfica: Si -, y 0, la asíntota horizontal es el Eje X. La función es decreciente en R. Su dominio es R y su rango el intervalo]-, 0[. f()=, g() = - h() = g()f()) h() = -( ). Si la función eponencial f() = a se compone con una función cualquiera g(), g ( ) entonces (fo g)() = f[g()] = a. Ejemplo : Si f() = y g() = -, entonces g ( ) (fo g)() = f[g()] = = = @ = 9 / y se tiene - 0 y /7 / 7 4 Segunda gráfica: Si -, y 0 +, la asíntota horizontal es el Eje X. La función es creciente en R. Su dominio es R y su rango el intervalo ] 0, [. f() =, g()=- (fo g)()=
97 Ejemplo : Si h() = +, se tiene que h() tiene dos ramas, y algunos puntos son - - 0 y 5 5 Segunda gráfica: Si -, y +, y si +, y +, no hay asíntotas. La función es decreciente en]-, 0[ y creciente en]0, [.Su dominio es R y su rango el intervalo], [. h() es la compuesta de + y. h() = +, <0 +, 0 Método Gráfico de Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones. f () Si la ecuación es de la forma: a = b, se escribirá b, si es posible, como una potencia en base a, y luego se igualarán los eponentes para resolver en. Gráficamente, la solución será el o los valores de que correspondan a los puntos de intersección de las gráficas de ambos miembros. El método se emplea también para resolver inecuaciones con soluciones en el Eje X que verifiquen valores del primer miembro menores o mayores que los valores de la función del segundo miembro según el caso de desigualdad indicado. Ejemplo : a) Para resolver algebraicamente: = 8, se escribe 8 como potencia de. =, se igualan los eponentes de : = ˆ = /. S = {/} b) Para resolver gráficamente: 8 (ver figura de y =, y = 8). S = [/, [ a) S = {/} b) S = [/, [ Ejemplo : Para resolver gráficamente, a) = b) > Se trazan las gráficas de ambos lados ( y = y y = ), y se tantea con algunos valores de próimos a la intersección de las dos curvas, así:,,. 64 0. 64 0 a) S = { 0.64 } b) S = ]-, 0.64[
98 Ejercicios.. Calcule los siguientes números y ordénelos en forma creciente: a) π, π, π. b).7,.7,.7 π.. Escriba con un sólo eponente y luego calcule su valor: a) ( ) 8 b).5 + 8 + c) ( ) d) ( )( ). Escriba en la forma c a las epresiones: + a) @ b) 4 @8 @6 + 5 +4 c) 9 @ d) 5 @ 5 4. Dada f() = 4, halle y simplifique los valores de: a) f() b) f(- ) c) f(- /) d) f() - f() e) [f()] f) f(/)@f(/) g) f(f()) h) f() f() i) f( + ) 5.Grafique en el mismo sistema de coordenadas cartesianas para 0 a) y =, y = b) y =, y = () c) y =, y = d) y =, y =(/) 6. Dé dominio, contradominio o rango, intervalos de crecimiento o de decrecimiento y la gráfica de: a) y = - b) y = c) y = + d) y = e) y = + f) y = - + g) y = + h) y = + 7.Resuelva para en las siguientes ecuaciones: a) 5 = 5 6 b) 6 = 5 c) 7 = 9 4 d) 4 5 = 6 e) + = 4 + f) 5 + = 5 8. Resuelva gráfica y algebraicamente las siguientes inecuaciones: a) + 4 b) < c) + d) > 9. Si f() =, g() = + y h() =, entonces halle: a) fo g b) fo f c) ho f d) fo h.. Función Logarítmica. Objetivos. a) Definir la función logarítmica como función inversa de la eponencial. b) Obtener las propiedades de los logaritmos a partir de su definición c) Graficar diferentes funciones logarítmicas. d) Resolver ecuaciones e inecuaciones en forma algebraica y gráfica
99 La función eponencial y = a, a >, es una función estrictamente creciente y continua en R, por consiguiente es inyectiva (uno a uno), y entonces su inversa también es función: es la función logarítmica f - () = log a, que se lee "la inversa de f es el logaritmo de en base a". f - : = a y, a > equivale a y = log a La función inversa (f logarítmica) es también continua y estrictamente creciente, corta el eje X en =, o sea que log a = 0. Además, log a a =. Dominio de la función es ]0, [ y contradominio o rango es ] -, [. Su asíntota vertical es el Eje Y. Si f() = a, cuando 0 < a <, la función es estrictamente decreciente y continua en R, luego es inyectiva y por consiguiente su inversa es función: la función logarítmica, f - : = a y, 0 < a < que equivale a y = log a La función inversa (f logarítmica) es también continua y estrictamente decreciente, corta el eje X en =, o sea que log a = 0. Además, log a a =, 0 < a <. Dominio de la función es ]0, [ y contradominio o rango es ] -, [. Su asíntota vertical es el Eje Y. Si f() = a y f - () = log a son funciones inversas, entonces su composición es: (fo f )() = f [f - f ( ) loga ()] = a = a = (f o f)() = f - [f()] = log a [f()] = log a (a ) = Desde que una función logarítmica es la inversa de una función eponencial, el rango de la función eponencial se convierte en el dominio de la función logarítmica, y el dominio de la eponencial en el rango de la logarítmica. Además, se ecluye como base de ambas funciones
00 Definición: Para cualquier función f() = b con b > 0 pero b ; f - es denotada por log b, y se dice el logaritmo de en base b. La epresión y = b equivale a log b y = Nota: Observe que es el eponente en y = b también lo es en la forma equivalente = log b y. Entonces, log b y y son eponentes, por lo que tienen las siguientes propiedades: Propiedades: Para b > 0, b, R, y > 0 donde y = b, se cumple que: b y. b = b log = y. log y = log b Ejemplos: b b =. Si = 9 entonces log 9 =. Si log 8 = entonces = 8, =. Si log b 6 = luego b = 6, b = 4 4. Si log 5 y = luego 5 = y, y = 5 log 9 5. = 9 4 6. log 5 = 4 5 Mas propiedades: Para números estrictamente positivos u, v y b, con b, y para cualquier número real α, se cumple que:. log b u v = log b u + log b v 4. log b u v = log b u - log b v 5. log b u α = α log b u Se demostrará la propiedad. Sean u = b y v = b y, entonces por definición de logaritmo, se tiene = log b u y y = log b v Luego, log b u v = log b b b y, sustituyendo u, v = log b b + y, propiedad eponentes = + y, propiedad de logaritmos log b u v = log b u + log b v, sustituyendo, y. Ejemplos:. Para calcular log (7 @ 8), se aplican la propiedad y la definición de logaritmo: log (7 @ 8) = log 7 + log 8 = + 4 = 7 o bien, log (7 @ 8) = log ( @ 4 ) = log ( 7 ) = 7. Para calcular log (8 ) ), se aplican la propiedad 4 y la definición de logaritmo: log (8 ) ) = log 8 - log = 7-5 = o bien, log (8 ) ) = log ( 7 / 5 ) = log =
0 Resolución de ecuaciones empleando las formas equivalentes de las epresiones eponenciales y logarítmicas y sus propiedades. Como ilustración se dan los siguientes ejemplos:. Resolver para, log (/6) = 4. Entonces se escribe en su forma equivalente: 4 = /6 4 = () 4 Por lo tanto, las bases son iguales: = Comprobando: log / (/6) = 4 () 4 = /6 Por lo tanto, S = { / }. Resolver log + log ( - ) = Entonces se aplican propiedades: log ( - ) = ( - ) = = Para 5 - - = 0 =, - Comprobación: Si =, al sustituir en la ecuación se verifica: log + log ( - ) = + 0 = Pero = -, no es solución porque no eiste logaritmo de números negativos. (D = ]0, [ ). Por lo tanto, la solución sólo es S = { } Gráficas. Para graficar una función logarítmica f() = log b, se calculan algunas parejas con valores de del dominio ]0, [ y luego se traza la curva. Si la función es compuesta, es decir una función de función, f() = log b u(), donde u() es otra función, lo primero es determinar el dominio de f() mediante la solución de u() > 0. Sirvan de ejemplo las siguientes gráficas: f() = log b f() = log b ( + ) f() = log b ( + ) + c D = ]0, [ D = ]- /, [, D = ]- /, [ Asíntota: Eje Y Asíntota: = - / Asíntota: = - / Ejemplo : Para graficar f() = log, se determina su dominio como > 0 y se calculan parejas valorando con potencias eactas de : / 9 7 f() - 0 es una función creciente e inyectiva, su inversa es y = y su rango ]-, [ f() = log, > 0 f () = Asíntota vertical = 0 Asíntota horizontal y = 0
0 Ejemplo Para graficar f() = log 5 ( - ), se calcula el dominio con - > 0 > entonces D = ], [ con asíntota =, y R = R. Algunas parejas para trazar f son:. 7 7 7 f() - 0 f() = log 5 ( - ) Ejemplo : Para notar la diferencia entre las funciones a) f() = log 5 b) f() = log y c) f() = log, se trazan sus respectivas gráficas a partir de sus tablas de valores, así: a) f() = log 5 b) f() = log c) f() = log D = R - {0} D = ]0, [ D = R - {0} a) "/ " " " b) / c) "/ " " " f() - 0 f() - 0 f() - 0 Método Grafico de Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones: La solución o raíz de la ecuación estándar o cero de la función f() es el valor de donde la gráfica corta el Eje X. Las soluciones de la inecuación "mayor que 0" son las abscisas correspondientes a los puntos de la gráfica que están por arriba del Eje X, y las soluciones de la inecuación "menor que 0" son los valores de de los puntos de la gráfica que están por debajo del Eje X. El método se emplea también para resolver relaciones entre dos funciones con el intervalo en el Eje X que verifique que los valores del primer miembro sean iguales, menores o mayores que los valores del segundo miembro según la relación indicada. f() = 0 S = {a} a es el intercepto de f() con el Eje X f() > 0 S = ]a, [ f() < 0 S = ]c, a[, donde = c es la asíntota vertical
0 Ejemplo Para resolver log ( - ) = 0 se epresa: log ( - ) = log = 0, entonces - = Para graficar f() = log ( - ), se halla su dominio con - > 0, D = ] -, - [ ], [ con asíntotas = -, =, y se traza la curva o escrito en forma eponencial equivalente: - = 0 = Resolviendo para, =, -. La solución es S = {, - } Ejemplo : La solución gráfica para: a) log ( - ) > 0, b) log ( - ) < 0, a partir de la figura: Se resuelve con las intersecciones del Eje X (según ecuación del Ejemplo anterior) que ocurren en =, -. Entonces, a) S = ]-, - [ ], [ b) S = ]-, - [ ], [ Ejemplo : La solución gráfica para: a) log ( - ) y b) log ( - ) Se obtiene trazando ambos lados funcionales: f() = log ( - ) y g() =, con intersecciones en los puntos (-, ) y (, ). Planteando la ecuación: - = =, se deduce: =, = -. a) S = ]-, - [ c ], [ b) S = ]-, - [ c ], [
04 Ejercicios.. Calcule los siguientes logaritmos comprobando con su forma eponencial equivalente. a) log (/9) b) log (/8) c) log d) log 5 0. e) log / 9 f) log 5 0.04 g) log 0.4.5 h) log 4 0.5. Simplifique, aplicando las propiedades necesarias: log 0.7 a) 5 5 5 b) log 4 c) log 9 d) log 6 5 4 e) log6 4 + log6 54 f) log 6540 log 6 5. Halle el valor de en la ecuación: a) log = b) log 8 = 7 c) log 5= d) log 0.5 = e) log = 5 f) log = 4. Compruebe que: a) log 0 8 + log 0 = log 0 4 4 b) 4 log 5 log 5 + = log 5 45 c) log 8 [log (log 5 5)] = 0 log a logb d) a + b = 7 5. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) log + log ( - ) = b) log 4 ( + ) - log 4 ( + ) = 6. Si log n = a, log n = b, log n 5 = c, entonces eprese el logaritmo de un número, en función de a, b y c. Por ejemplo: log n 50 = log n 5@ = log n 55 + log n = log n 5 + log n = c + a a) log n 0 b) log n 8 c) log n 0 d) log n 0.66... e) log n 5 f) log n 0.6 7. Grafique las siguientes funciones: a) y = log 4 5 b) y = log 4 c) y = log (9) d) y = log ( + ) + 4 8. Resuelva gráficamente las siguientes inecuaciones: a) log ( + ) 0 b) log (5 + ) 0 c) log ( + ) d) log ( - ).. Aplicaciones de Eponenciales y Logarítmicas. Objetivos. a) Calcular eponenciales y logarítmicas con base 0 y el número e. b) Aplicar a problemas de la química y física.
05 Base Decimal: 0 La base de una función eponencial o de una función logarítmica es un número estrictamente positivo distinto de uno. El número 0 es muy usado como base para ambas funciones como consecuencia de que nuestro sistema de numeración es decimal; este logaritmo decimal también se llama logaritmo común o de Briggs. El cálculo de 0 o de log 0 se utilizaba antes de la popularización de las "calculadoras" con tablas para ciertos valores de. Actualmente es suficiente presionar en la calculadora, la tecla log (escrito sin indicar la base se entiende que la base es 0) para obtener el log 0 cuando > 0. Así, por ejemplo: Para las potencias de 0, se tiene log = log 0 0 = 0 log 0 = log 0 = log 00 = log 0 = log 000 = log 0 =... log 0 n = n log 0 = n log 0. = log 0 = - log 0.0 = log 0 = - log 0.00 = log 0 = - log 0.000 = log 0 4 = - 4... log 0 n = - n log 0 = - n Ejemplos con otros números: Para calcular el log 0.75, con la calculadora, se obtiene log.75 =.55 porque 0. 55 =.7499 Pero, si log.75 =.55 Se puede obtener los resultados de: a) log 75 = log (.75 @ 00)= log.75 + log00 =.55 + =.55 b)log(0.75)= log(.75 0.0) = log.75+log0.0 =.55 = - 0.484789 Tiempos antes de la calculadora, para operaciones "difíciles" se empleaban logaritmos: Por ejemplo, para calcular 5.75 78, se supone que el resultado es N, luego N = 5.75 78 Se toma logaritmo decimal a ambos lados y luego se aplican las propiedades de los logaritmos, así: log N = (/5)[log.75 - log 78] = (/5)[.55 -.8564] = - 0.688 N = anti log (- 0.688) = 0-0.688 = 0.5984 El resultado, efectuado con la calculadora, de 5.75 78 es 0.59878
06 El logaritmo decimal se emplea también para resolver ecuaciones y para calcular logaritmos en cualquier base. Ejemplo. Para resolver la ecuación 5 = 4. Se calcula log a ambos lados de la ecuación y se aplican las propiedades correspondientes. log 5 = log 4. log 5 = log 4. = log 4. log 5 =.664 0.69897 =.6766 Comprobación: 5.6766 = 4.999 Ejemplo. Para calcular log 7 6 Se plantea la ecuación log 7 6 =, se escribe en la forma eponencial equivalente y se resuelve la ecuación eponencial: log 7 6 = 7 = 6 log 7 = log 6 = log 6 log 7 =.57 0.845098 =.978 Luego, log 7 6 =.978 Comprobación: 7.978 = 5.95 Ejemplo del ph: En el campo de la Química, se define el ph (potencial de Hidrógeno) de una solución por: ph = log + [ H ] = log log [H + ] = - log [H + ] donde el símbolo [H + ] denota un valor numérico de la concentración de los iones de Hidrógeno en una solución.. Para hallar el ph de una solución en la que la concentración de iones de Hidrógeno [H + ] es 4.0 H 0-5, se sustituye en la fórmula: ph = - log(4.0 H 0-5 ) ph = 5 - log 4 = 4.4. Para hallar la concentración de iones de Hidrógeno [H + ] de una solución con ph = 5.6, se sustituye en la fórmula y se tiene: 5.6 = - log [H + ] - 5.6 = log [H + ] [H + ] = 0-5.6 =.5 H 0-6 Base natural: e En los cálculos científicos la base más usada es el número irracional trascendente e.7, base de los logaritmos naturales o de Napier. En la calculadora aparecen las teclas para el cálculo del logaritmo en base e denotado por ln, y para la eponencial por e. Puede comprobar que e =.7888..., e = 7.8905609..., e -.6 = 0.09440. O bien, ln = 0, ln e =, ln 4 = 4.808,... Teóricamente, el número e se obtiene al hacer crecer n en la epresión n, o sea que cuando n, + e. n n + n
07 Aparentemente, se puede creer que: cuando n es grande + tiende a + 0 +, prácticamente a. Y que n n + es, o sea. Pero no es así: se demuestra (en Matemática) que esa potencia (de eponente n) tiende al número e. Intuitivamente haremos el cálculo para algunos valores de n, como: n + + + 4 + 5 4 5 =.5 =. =.5 =. 5 =.5 4 =.709 =.444 =.488... 00 00 + =.0 00 =.7048... 000 000 + =.00 000 =.769 n + n e cuando n. Otro ejemplo que ilustra el proceso de generación del número e, es el interés continuo que devenga, por ejemplo, un Lempira en cierto tiempo. Para tener un tiempo continuo, se calcula en unidades pequeñas de tiempo: horas, minutos, segundos..., así se tiene un n "grande" que hace que el resultado tienda a e. Por ejemplo, el interés corriente de L.00 al 0% anual lo convertiría en L.0 al cabo de un año, y si se reinvierte al final de dos años se tendría L l.69. Pero si se trata del interés continuo es diferente, así: 65 L al 0% en un día es 0. 0 + y en año será 0.0 0. + 65 65 65 4 L al 0% en una hora es 0.0 + y en año será 0.0 0. + 65 4 65 4 Si se calcula por minuto habrá que dividir 0. por n = 65 H 4 H 60 = 55 600, y si se calcula por n 0. segundo el número es mayor. Al final se tiene 0.0 +, cuando n es grande. Cualquier tasa de n interés es insignificante porque su cociente tiende a cero, que sumado a resulta casi. Y esa suma elevada a un número también grande, se espera que su potencia tienda al número e. Para calcular el monto que producen L 000 al 0% de interés continuo durante 5 años, se emplea la fórmula M = c e r t, donde M es monto (o suma) a recibir después de 5 años, c es el capital invertido, r la tasa de interés anual y t el número de periodos de tiempo; entonces sustituyendo en la fórmula, resulta: M = c e r t = 000 e 0.H5 = 000 e. 5 = 000(4.48689) = 448.69 0. Nota: El interés continuo de L.00 al 0% anual, lo convertiría en e =. 5
08 Las aplicaciones a ecuaciones y cálculo de logaritmos en cualquier base, que antes se hizo con los logaritmos decimales, también pueden hacerse con logaritmos naturales o de base e (resulta igual), así: Ejemplo. Para resolver la ecuación 5 = 4. Se calcula ln a ambos lados y se aplican las propiedades correspondientes. ln 5 = ln 4. ln 5 = ln 4. = ln 4. ln 5 =.744787.60947 =.6768 Comprobación: 5.6768 = 4.00 Ejemplo. Para calcular log 7 6 Se plantea la ecuación log 7 6 =, se escribe en la forma eponencial equivalente y se resuelve la ecuación eponencial: log 7 6 = 7 = 6 ln 7 = ln 6 = ln 6 ln 7 = 5.786897.94590 =.97877 Luego, log 7 6 =.97877 Comprobación: 7.97877 = 6.00 El decaimiento radioactivo de un elemento se calcula con una eponencial de base e. Ejemplo: La cantidad residual de un cierto elemento radioactivo en cualquier momento t está dada por Q = Q 0 e - 0.4t, donde Q 0 es la cantidad inicial y t el tiempo dado en segundos. )Cuánto queda del elemento después de segundos, si la cantidad inicial es 40 gramos? Solución: Sustituyendo los datos en la fórmula dada, se tiene Ejercicios. Q = 40 e - 0.4H = 40e -. =.048 g. Empleando la calculadora obtenga a) log 0.476 b) ln 0.476 c) log 4. 5 d) ln 4. 5 e) log. - log f) ln. - ln g) log. ) log h) ln. ) ln. Si anti log b = b, entonces calcule: a) anti log 0.68 b) anti ln 0.68 c) antilog (8.8075-0) d) anti ln (8.8075-0) e) anti log (-4.86) f) anti ln (-4.86). Efectúe el calculo aplicando: i) log ii) ln y iii) directamente operando en la calculadora: a) El periodo T de un péndulo simple cumple la fórmula T = π L, donde T es el tiempo en g segundos, L es la longitud del péndulo medido en pies, y g = pies/seg.5. Halle el periodo de un péndulo de pulgadas de largo. b) El área de un triángulo según las medidas de sus lados es A = [s(s - a)(s - b)(s - c)] /, donde a, b, c son las longitudes de los lados y s la mitad del perímetro. Halle el área de un triángulo que tiene a =4.7, b =.55 y c = 6. m
09 4. Resuelva para, usando la calculadora: primero con log y después con ln, para a) - = 0 b) 7 + = c) 4 - = d) = log 4 4.5 5. Resolver para, aplicando propiedades: a) ln ( + ) - ln 4 = b) log ( + ) + log = 6. Empleando log primero, y ln después, halle: a) log 5 68.7 b) log 0. c) log 0.5 5.7 7. Calcule el ph de una solución si la concentración de iones de Hidrógeno [H + ] es: a) 6.H0-7 b) 4.H0-5 c) 5.4H0-6 8. Calcule la concentración de iones de Hidrógeno [H + ] de una solución con ph igual a: a).5 b) 4.6 c) 8. 9. Compruebe las siguientes igualdades: a) (log 4 - log ) log 0 = b) ( log )(log 9 + log 9 4) = 0. Si L 000 son invertidos al 5% de interés continuo capitalizable cada 4 meses )Cuál será el monto al cabo de 0 años?. Un cierto material radioactivo decae a un promedio dado por Q = Q 0 e - kt, donde Q está en gramos y t en años. Si Q 0 = 500 g, halle k si Q = 450 g cuando t = 000 años.. Un sustancia radioactiva decae de acuerdo a la fórmula Q = Q 0 e - 0.064t, donde t está en horas. Halle la vida media de la sustancia. Esto es, halle t cuando Q = Q 0.. Si la vida media de una sustancia que decae de acuerdo a la ecuación Q = Q 0 e - kt es horas, entonces halle el valor para k. 4. Compruebe que log e H ln 0 =
0 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS UNIDAD. Funciones Eponenciales Y Funciones Logarítmicas Ejercicios... a) π 0.466, π 5.568, π = 9.8696. b).7 π,.7,.7.. a) 4 = 8 b).5 48.7884 c) = 0.5 d) 6.609.. a) 8 (4 ) b) = 8 c) 6 (/) d) 5. 4. a) 6 b) /6 c) /8 d) 48 e) 4 4 f) 4 g) 6 h) 8 i) (4 ). 5. La f (en rojo) es la función eponencial: 5 a) 5 b) 5 c) 5 d) 6. Todas son funciones eponenciales: 6 a) 6 b) 6 c) 6 d) 6 e) 6 f) 6 g) 6 h) 7. a) b) 5/4 c) /8 d), 5 e) =, =, pero = -, sin solución f) 4/. 8. 8 a) S = ]-,] 8 b) S = ]-, [ 8 c) S = [-, [ 8 d) S = ]-, [
9. a) + b) c) / d). Ejercicios... a) b) c) ½ d) e) f) g) h) ½.. a) 0.7 b) 5 c) 8 d) 0 e) f).. a) b) c) 5 d) 0.5 e) f) 7. 4. Se verifican. 5. a) = 4, no es solución = -, no está en el dominio de log b) = 0. 6. a) a + c b) b + a c) a + b + c d) a b e) (b + c)/ f) b c. 7. 7 a) D =R - {0} 7 b) D = ]0, [ 7 c) D =]0, [ 7 d) D =]-, [ Asíntota = 0 Asíntota = 0 Asíntota = 0 Asíntota = - 8. 8 a) S = ]-, -[ 8 b) S = R 8 c) S = [0, [ 8 d) S = ]/, ] Ejercicios... a) 0.9 b) 0.74 c) 0.894 d).8868 e) 0.678 f).4098 g).84 h).84.. a) 4.005 b).84559 c) 0.0649 d) 0.046 e) 7.47 0 f) 0.0605.. a).84765 b) 8.986. 4. a).09590 b) 0.77 c) 0.884 d).5546. 5. a) 8.556 b) 6. a).65 b) 0.985 c).509 7. a) 6.00659 b) 4.7675 c) 5.67606 8. a).6 0 b).5 0 c).5 0 9. Si se verifican 0. 80 04.6..056 0. 0.8. 0.465 4. Es correcto.