Series y Transformada de Fourier

Series y Transformada de Fourier Series de Fourier Transformada de Fourier

Series de Fourier Las series de Fourier describen señales periódicas como una combinación de señales armónicas (sinusoides). Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro. Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio frecuencial. Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretende describir una función periódica x p (t) de periodo T (frecuencia fundamental f =/T, ω =2π f ). x p ( t) = = a 2 a 2 + a cos + k = a k ( ω t) + + a cos( kω t) + + b sin( ω t) + + b sin( kω t) cos ( kω t) + b sin( kω t) k k k + 2

Series de Fourier xp( t) = Xs[] k exp( jkω t) k= ± jα Se ha empleado la ecuación de Euler : e = cosα ± jsenα Se demuestra que Xs[] k = ( ak jbk) 2 XS[] k = xp() t jk t dt T exp( ω ) En forma exponencial: Cálculo de los coeficientes Relación de Parseval Px = xp() t dt = Xs[] k T T k= La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de los coeficientes de su correspondiente serie de Fourier. 2 2 T 3

Series de Fourier Espectro de señales periódicas : Los coeficientes X s [k] son los coeficientes espectrales de la señal x p (t). La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónico k ó de las frecuencias kω, se denomina espectro. Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes X s [k] y otro de la fase de X s [k]. La función X s [k] así como la fase de X s [k] son funciones discretas de la frecuencia. Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios para reconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relación de Parseval. 4

Series de Fourier Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidad a la cual los coeficientes de Fourier tienden a. Superposicion αxp () t + βyp () t αxs[] k + βys [] k Propiedades Derivada S[] [] S[] [] * [ ] [ ] Escalado x ( αt) X k (armonicos en f = kf α) x x () t jk2πf X k ( k ) p t Xk Integral x p() t dt + C (k ) jk2πf Retraso x ( t α) X k exp( jk2πf α) p p S ( t) X k = X k p S S Modulacion cos( m2πft) x p( t) XS k m + XS k + m 2 2 2 x p( t + α) + x p( t α) cos( π f α) X S k Convolucion x () t y () t X k Y k p x p { [ ] [ ]} { } [] [] [] [] [] p S S () t y () t X k Y k p S S 5

Series de Fourier Respuesta de un sistema a entradas periódicas Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemos esta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t) será la convolución de h(t) con x(t): { } yt ( ) = h( λ)exp jω( t λ) dλ = exp( jωt) h( λ)exp( jωλ) dλ = xth ( ) ( ω) Como toda señal x p (t) puede ser expresada como una suma infinita de armónicos y aplicando el principio de superposición: xp( t) = XS k exp( jkω t) yp( t) = XS k H kω exp( jkω t) k= [] [] [ ] k= La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señal periódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero con diferentes magnitudes y fases. La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuesta estacionaria del sistema. 6

Series de Fourier Efecto Gibbs Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series de Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se da incluso cuando se emplea un número grande de armómicos para la reconstrucción. Si queremos aproximar una función periódica con discontinuidades que tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hasta el armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs. Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la función. Veremos más acerca de estas ventanas en capítulos próximos. 7

Transformada de Fourier Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica como una señal continua de periodo infinito : El espaciado entre frecuencias se aproxima a y es por tanto una función continua. La señal pasa a ser de potencia a señal de energía. Los coeficientes X s [k] son. Ya no es un indicador del contenido espectral de la señal. Se define la Transformada de Fourier de x(t) como X( f ) = lim T XS[ k] = x( t) exp( j2πft) dt Relación entre las Series y la Transformada de Fourier: T X(ω) es la función envolvente de X s [k]. Si muestreamos X(ω) a intervalos f, la función resultante es el espectro de una señal periódica de periodo T =/f. 8

Transformada de Fourier Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con señales periódicas en el dominio temporal. ( f) = T X S [] k kf f X = X S [] k = X T ( f ) f = k f Transformada Inversa de Fourier para una función X(ω) : x ( t) = X ( f ) exp( j2πft) df 9

Transformada de Fourier Propiedades de la Transformada de Fourier { } { } = ω Superposicion F ax() t + by() t = ax( ω) + by( ω) Derivada F x () t j X( ω) F n { } x () t = ( jω) X( ω) { } t F j2πtx() t = 2πX ( ω) F { } n n n ( j2πt) x( t) = ( 2π) X ( ω) Integral t F x( t) dt = X( ) + X( ) ( w) jω δ Escalado F{ x( t) } = X ω α α α n jωα Desplazamiento F { x( t α) } = e X ( ω) j2παt F { e x() t } = X( f α) Convolucion F { x() t y() t } = X ( ω) Y( ω) F { xt () yt ()} = X( ω) Y( ω) 2π [ ] 2 2 Parseval x () t dt = X ( ω) dω π Teorema del valorinicial ( ) = lim[ jωx ( ω) ] x + ω

Transformada de Fourier Podemos utilizar la Transformada de Fourier para analizar la respuesta a sistemas LTI, valiéndonos del hecho de que convolución en el tiempo equivale al producto en el dominio frecuencial. Si la respuesta y(t) a un sistema con una respuesta a impulso h(t) y entrada x(t) con condiciones iniciales cero es yt () = xt () ht () Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros, Yw ( ) = X( ω) H( ω) H(ω)=Y(ω)/X(ω) es la función de Transferencia del sistema. Esta nos permite analizar la respuesta frecuencial del sistema. Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesta en el estado estacionario del sistema a partir de H(ω).

Transformada de Fourier Limitaciones de la Transformada de Fourier El sistema debe tener condiciones iniciales cero. Entradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos. Por ello se extiende el concepto de la Transformada de Fourier a la Transformada de Laplace. 2

Espectro de la señal x(t) = rect(t).9.8.7.6.5.4.3.2. -5 - -5 5 5 Frecuencia (Hz) 3

Reconstrucción de x(t) (5 armónicos) a partir de muestreos en el espectro Muestreos cada.25 Hz.2 x(t).8.6.4.2 2 3 4 5 t (s) 4

Reconstrucción de x(t) (5 armónicos) a partir de muestreos en el espectro Muestreos cada.5 Hz.2.8 x(t).6.4.2 -.2 2 3 4 5 t (s) 5

.5 Magnitud vs índice k.4.3.2. 5 5 2 25 6

phase vs k Fase vs k 5 5-5 - -5 5 5 2 25 7

power(o) & cumulative power(*) vs k.25.2.5..5 5 5 2 25 8

.2 Reconstrucciones de un periodo de x(t).8.6.4.2 -.2 -.4 2 3 4 9

.2 Reconstrucción con 25 armónicos.8.6.4.2 -.2 2 3 4 2

Reconstrucción real (--) y suavizada (--) con 25 armónicos.2.8.6.4.2 -.2 2 3 4 2