ESTADÍSTICA, CURSO 2008 2009 1 PROBLEMAS DE ESTADISTICA 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2 1. Una urna contiene 6 bolas blancas, 4 rojas y 2 azules. Si se extraen 3 bolas sucesivamente sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que: a) Las tres bolas sean blancas. b) 2 sean rojas y 1 azul. c) Ninguna sea azul. d) Al menos una sea roja. e) Se extraiga una bola de cada color. f) Las bolas se extraigan en el orden: blanca, roja y azul. 2 2. En una población, el 62% tiene teléfono fijo, el 34% tiene teléfono móvil y el 28% tiene ambos tipos de teléfonos. Elegida una persona al azar, calcule: a) La probabilidad de que solo tenga teléfono móvil. b) Si tiene teléfono móvil, cuál es la probabilidad de que también tenga teléfono fijo? c) Si tiene teléfono fijo, cuál es la probabilidad de que no tenga teléfono móvil? 2 3. En cierto lugar se han obtenido los siguientes datos correspondientes al número de días de lluvia: N 0 días observados = 4920 N 0 días de lluvia = 2017 N 0 días de lluvia precedidos de día de lluvia = 1060 a) Calcular la probabilidad de un día de lluvia. b) Calcular la probabilidad de un día de lluvia dado que el día anterior ha llovido. c) Siendo seco el día de hoy, calcular la probabilidad de que los tres días siguientes sean lluviosos. d) Calcular la probabilidad de que llueva tres días seguidos.
ESTADÍSTICA, CURSO 2008 2009 2 2 4. Supongamos que se realiza un test para determinar si un conjunto de materiales son radiactivos. Se sabe de antemano que el 20% de los materiales son radiactivos. Respecto a la efectividad del test se sabe que: Si el material es radiactivo, el test será positivo el 95% de las veces. Si el material no es radiactivo, el test será negativo el 90% de las veces. a) Cuál es la probabilidad de que un material dé positivo al test? b) Cuál es la probabilidad de que un material que es positivo sea realmente radiactivo? c) Cuál es la probabilidad de que un material que da positivo en el test no sea realmente radiactivo? d) Si se examina una muestra de 200 materiales, cuáles serían las frecuencias esperadas en en cada una de las casillas de la tabla siguiente? Radiactivo No radiactivo TOTAL Positivo Negativo TOTAL 200 2 5. Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de dos dados, donde la variable aleatoria X es la diferencia, en valor absoluto, entre las puntuaciones obtenidas en ambos dados. a) Obtener y representar la distribución de probabilidad. b) Hallar la función de distribución. c) Calcular la probabilidad P (2 X 4). d) Calcular la esperanza y la desviación típica de X. 2 6. Muchos fenómenos de ciencias experimentales se expresan matemáticamente mediante una ley de probabilidad exponencial negativa: f(x) = { ke kx 0 x, k > 0 0 x < 0 a) Determinar para qué valores de k, f(x) es una función de densidad. b) Hallar la expresión para la función de distribución. c) Calcular la mediana. d) Calcular la media de X.
ESTADÍSTICA, CURSO 2008 2009 3 2 7. La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y viene dada por la siguiente expresión: f(x, y) = { x + y 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 en otro caso a) Comprobar que f(x, y) es una función de densidad. b) Hallar las funciones de densidad marginal f 1 (x) y f 2 (y). c) Calcular la probabilidad de que X < 1/2. d) Hallar la función de densidad condicionada de X. e) Calcular la probabilidad de que X < 1/2 en el caso de que Y = 1/4. f) Son las variables X e Y independientes? 2 8. Supongamos que se contesta sin pensar a un test de 10 preguntas, cada una con cinco respuestas alternativas, de las cuales solo una es correcta. Calcúlese la probabilidad de acertar al menos cinco preguntas. 2 9. En cierto lugar, la probabilidad de que la temperatura máxima anual supere el valor de 40 0 C es P = 0.15. Calcular la probabilidad de que en los próximos cinco años: a) Se supere dicho valor una vez. b) Se supere dicho valor al menos una vez. 2 10. En los últimos 600 aos se han producido 12 grandes terremotos en España. Determínese la probabilidad de que se produzcan dos en los próximos 25 años. Idem sabiendo que no se ha producido ninguno desde hace 100 aos. 2 11. En una estación de montaña se han observado 20 días con altura de nieve mayor que h durante un periodo de 10 años. Suponiendo que es aplicable la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de superar dicho valor h: a) Menos de cinco veces en los próximos dos años. b) Más de tres veces en el próximo año. c) Una vez en el año 2001. 2 12. En un estudio astronómico en el que se pretende encontrar galaxias de un cierto tipo especial se sabe que, en media, aparece una de estas galaxias por cada grado cuadrado de cielo Calcular el área de cielo que se debe explorar para encontrar, con una probabilidad de 0.75, más de 10 galaxias de este tipo? 2 13. Una variable se distribuye según una normal de parámetros N(2, 1). Calcular el valor del percentil 90.
ESTADÍSTICA, CURSO 2008 2009 4 2 14. Calcular las siguientes probabilidades: a) P ( Z < 1.6), siendo Z una variable N(0, 1). b) P ( X > 2), siendo X una variable N(3, 4). c) P (X < 2), siendo X una variable N(1, 2). d) P (X > 2), siendo X una variable N(1, 1). e) P ( X 3 > 2), siendo X una variable N(3, 2). 2 15. Una de las primeras aplicaciones de la curva normal fue debida al astrónomo F.W. Bessel en 1818, quien comprobó que los errores de medidas astronómicas coincidían con bastante aproximación con los previstos por Gauss con la curva normal. Suponiendo que la media de estos errores es cero y la desviación típica 4 grados, calcúlese: a) La probabilidad de que un error no sea mayor que 7 grados. b) El número esperado de errores grandes (mayores o iguales a 7 grados) en 300 observaciones. 2 16. Sea un sistema electrónico de 10 componentes que requiere para su funcionamiento que, al menos, 6 de sus componentes funcionen correctamente. a) Si la probabilidad de funcionamiento de un componente es de 0.35, calcular la probabilidad de que el sistema funcione correctamente. b) Responder a la misma pregunta en el caso de que el sistema conste de 20 componentes, con probabilidad de funcionamiento de cada uno de 0.40. c) Responder a la misma pregunta si el número de componentes es 100 y la probabilidad de cada uno es 0.03 2 17. La longitud aleatoria de una pieza se distribuye con función de densidad f(x) = 3 4 (x 1) (3 x) para 1 x 3. Si se considera que una pieza es correcta cuando su longitud está comprendida entre 2 y 3, a) Cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta? Si se empaquetan dichas piezas en lotes de cinco unidades, determínese b) La distribución de la variable aleatoria número de piezas defectuosas en un lote. c) Cuál es la probabilidad de que en un lote haya dos o más piezas defectuosas? d) Si el lote fuera de 5000 piezas, cuál sería la probabilidad de que en un lote haya más de 2575 piezas defectuosas?
ESTADÍSTICA, CURSO 2008 2009 5 2 18. El 45% de los condensadores de una cierta partida presenta deficiencias Cuál es la probabilidad de que, de diez condensadores examinados, la mitad presente dichas deficiencias? a) Calcular la respuesta utilizando la ecuación de la distribución binomial. b) Puede la distribución aproximarse a la distribución normal? En caso favorable, calcular la respuesta utilizando la distribución normal.