1 1 Datos Agrupados Las características de los elementos de una población pueden ser de tipo cualitativo o de tipo cuantitativo. En el primero caso se trata de cualidades que distinguen un elemento de otro y lo ubican en clases independientes y separadas. Las propiedades de tipo cuantitativo son aquellas que pueden medirse o contarse. Ejercicio 1 Clasi ca las siguientes variables de una población en cualitativas y cuantitativas. Familia de un árbol Color favorito Tipo de hojas Máximo grosor de un tronco Número de hojas de un libro Peso Estatura Promedio de goles Sueldo mensual Estrato Número de hermanos Deporte favorito Nombre Tiempo que tardo en hacr una tarea Sexo Una característica cuantitativa que toma datos aislados de modo que no acepta valores intermedios entre dos consecutivos, se llama Cuantitativa Discreta. Si se trata de una característica que puede tomar valores consecutivos, se dice que es una variable Cuantitativa Continua. Las diferentes características de los elementos de una población pueden representarse de diversas maneras: tablas, diagramas de barras o diagramas circulares. 1.1 Agrupación voluntaria La representación de una variable continua puede hacerse mediante tablas, en donde la variable se presenta agrupada en clases o intervalos numéricos, por medio de diagramas de barras unidas, llamadas histogramas o usando diagramas lineales. Ejemplo 2 En la clase de educación física el profesor tomó la medida de la estatura de los alumnos del grado octavo; él apuntó los datos aproximando en centímetros, así: si medía entre 154.1 cm. y 154.4 cm. anotaba 154 cm.; pero si medía entre 154.5 cm. y 154.9 cm. anotaba 155 cm. En una primera presentación el profesor agrupó los datos como se dan en la siguiente tabla: Estatura en cm. 146 148 150 152 153 155 157 161 163 166 168 170 N o de alumnos 1 2 2 3 5 9 7 4 3 2 1 1
2 Como la estatura es una variable continua ( por qué?), es posible agrupar los datos, considerar intervalos de cinco cm. y reunir, en cada uno, los alumnos cuya estatura está en ese intervalo, así Ejemplo 3 Como el rango de la estatura está entre 146 cm. y 170 cm. podemos agrupar en cinco intervalos de 5 cm. cada uno. El profesor agrupa asi: en el primer intervalo incluye a los alumnos con 145.5 cm. o más hasta 150.4 cm. y así sucesivamente. Qué estudiantes están en el cuarto intervalo? Estatura (f i ) [145, 150) 5 [150, 155) 17 [155, 160) 7 [160, 165) 7 [165, 170) 4 De acuerdo con la tabla el maestro observa que 17 de sus estudiantes tienen una estatura superior a 150 cm. hasta 155 cm., y que los alumnos con estatura inferior son apenas 4. La grá ca correspondiente a la tabla anterior se muestra en la gura 1. Figure 1: Histograma correspondiente a la distribución de frecuencias para las estaturas. Si una característica o variable es continua, los datos pueden aproximarse y agruparse en intervalos llamados Intervalos de clase o simplemente clases. Para conocer la longitud de un intervalo se encuentra la diferencia entre los valores extremos superiores (o inferiores) de dos intervalos consecutivos. La representación grá ca
3 llamada histograma Se realiza mediante barras unidas, con base proporsional a la longitud del intervalo y altura proporsional a la frecuencia del intervalo. El diagrama lineal se obtiene uniendo con segmentos los puntos medios de las bases superiores de las barras del histograma, éstos puntos se llaman marcas de clase. Las marcas de clase se calculan mediante la fórmula: y i = L s + L i 2 Ejercicio 4 En una ciudad costera, un sábado de agosto, se midió con radar la velocidad, en kilometros por hora, de 50 motocicletas que pasaron frente a un paso de nivel ( qué es un paso de nivel?). Los datos se encuentran en la siguiente tabla: 90 85 110 80 75 120 105 100 103 98 96 89 135 108 125 130 120 102 97 86 132 128 115 142 106 102 95 89 96 107 121 132 126 128 134 138 139 110 123 108 102 98 92 90 128 135 138 143 109 133 i. Agrupa los datos en 10 intervalos de clase de igual longitud. Elabora la tabla y el histograma correspondientes. ii. Agrupa los datos en intervalos de clase de longitud 10. Elabora la tabla y el histograma correspondientes. Solución 5 (i.) El menor dato es 75 y el mayor es 143, por lo tanto podemos considerar que los datos varían entre 70 y 150, es decir que están todos en el intervalo (70; 150). Para encontrar la longitud de cada intervalo de clase aplicamos la siguiente fórmula: l = L s m l : longitud del intervalo de clase (la que debemos determinar). L i : límite inferior del intervalo de variación de los datos. L s : límite superior del intervalo de variación de los datos. m : número de intervalos que se desea construir. Teniendo en cuenta la fórmula anterior es fácil ver que L i = 70, L s = 150 y además el ejercicio plantea agrupar en 10 intervalos, por lo tanto m = 10. Se tiene entonces: L i l = 150 70 10 ) l = 8
4 Es decir que los intervalos de clase tendrán una longitud igual a 8. La tabla queda entonces de la siguiente manera: Intervalo de clase Frecuencia [70; 78) 1 [78; 86) 2 [86; 94) 6 [94; 102) 7 [102; 110) 10 [110; 118) 3 [118; 126) 5 [126; 134) 8 [134; 142) 6 [142; 150) 2 Con esta tabla ya es posible contruir el histograma, el cual se verá como el de la gura 2. Figure 2: Histograma correspondiente a la distribución de frecuencias para la velocidad 1.2 Frecuencia En un par de ocasiones hemos mensionado el término frecuencia aunque no hemos dado una de nición precisa. Entendemos por frecuencia el número de veces que se repite cierta acción,
5 como por ejemplo en la expresión: Con qué frecuencia vas al odontólogo? En estadística las cosas no son diferentes, dada una variable que toma diferentes valores, cada uno de éstos valores puede presentarse cierto número de veces, esa en la frecuencia, el número de veces que se presenta (o se repite) un dato. Diferenciaremos los siguientes tipos de frecuencia, los cuales explicaremos usando un ejemplo: Ejemplo 6 Treinta estudiantes se presentaron a un concurso de Biología y estos fueron sus resultados: Intervalos de clase f i F i h i H i y i 70 74 4 4 13; 3% 13; 3% 72 75 79 5 9 16; 7% 30% 77 80 84 6 15 20% 50% 82 85 89 7 22 23; 3% 73; 3% 87 90 94 8 30 26; 7% 100% 92 donde f i es la frecuencia absoluta, es decir, el número de estudiantes que hay en el intervalo i, por ejemplo en el intervalo 4, la frecuencia es f 4 = 7. F i representa la frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo i, por ejemplo, para encontrar la frecuencia acumulada correspondiente al intervalo 4, se hace F 4 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 Por otro lado, h i corresponde al porcentaje de estudiantes que hay en el intervalo de clase i (o frecuencia relativa) se calcula mediante la fórmula: h i = 100 f i n por ejemplo el porcentaje de estudiantes que hay en la clase 3 es: h 3 = 100 f 3 n = 100 6 30 = 100 (0; 2) = 20 por lo tanto el valor es h 3 = 20% La frecuencia relativa acumulada es H i y se calcula igual que la F i solo que usando ls frecuencias relativas. Por ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de la clase 3 es: H 3 = h 1 + h 2 + h 3 = 13; 3 + 16; 7 + 20 = 50
6 y, nalmente y i es la marce de clase de cada intervalo. Ejercicio 7 La velocidad de 50 vehículos esta agrupada en la siguiente tabla. Intervalo de clase f i F i h i H i y i [70; 78) 1 [78; 86) 2 [86; 94) 6 [94; 102) 7 [102; 110) 10 [110; 118) 3 [118; 126) 5 [126; 134) 8 [134; 142) 6 [142; 150) 2 Total 50 Completa la tabla y responde la siguientes preguntas: i. Cuántos vehículos llevan una velocidad menor a 110 km/h? ii. Qué porcentaje se encuentra por debajo de 120 km/h? 1. Qué porcentaje supera los 110 km/h? 2. Si se estableciera una velocidad máxima de 120 km/h, cuántos vehículos serían sancionados? A que porcentaje corresponde? 3. Si se estableciera una velocidad mínima de 94 km/h, cuántos vehículos serían sancionados? A que porcentaje corresponde? 1.3 Notación Sigma La notación sigma se utiliza para escribir de forma abreviada sumas que involucran muchos sumandos. Considere por ejemplo que se quieren sumar las edades de 100 personas, de manera que x 1 es la edad de la primera persona, x 2 es la edad de la segunda persona y asi sucesivamente hasta que x 100 es la edad de la última persona.
7 Usemos la variable n para contar estas personas, entonces n = 1; : : : ; 100, de esta forma, n se llama un contador o un índice. Tenemos entonces que x n es la edad de la n ésima persona. La suma la podemos escribir de la siguiente forma: X100 x 1 + x 2 + + x 100 = El símbolo P se es la letra griega sigma mayúscula, y representa la operacion de suma. Debe interpretarse como la repetición del proceso de sumar, es decir, n toma el primer valor, 1, luego 2, luego 3 y así sucesivamente hasta llegar al último: 100. En cada uno de estos pasos se obtiene un resultado, y lo que hace P es sumar todos estos resultados. Ejemplo 8 Sea n = 1; : : : ; 10, de manera que x n son los primeros 10 Calcular la suma P 10 n=1 x n. n=1 x n números primos. Solución 9 Si x n son los primeros 10 números primos, entonces: x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 5, x 4 = 7, x 5 = 11, x 6 = 13, x 7 = 17, x 8 = 19, x 9 = 23, x 10 = 29. Se tiene entonces, X10 n=1 x n = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129 Considere ahora que se quieren sumar los números del 1 al 100. En ese caso se tiene, X100 n=1 n = 1 + 2 + 3 + + 100 De forma similar si se quieren sumar los múltiplos de 3 expresión queda: X100 n=1 3n = 1 + 2 + 3 + + 300 Ejercicio 10 Calcula las siguientes sumas, considerando que x n son los primeros 10 múltiplos de 3 1. P 10 n=1 x n 2. P 10 n=1 (x2 n + 3) 3. P 10 n=1 (3x2 n + x n ) 4. P 10 n=1 p (x 3 n x n )
8 2 Grá cos en datos agrupados Una forma alternativa a las tablas, para resumir los datos de una variable es la utilización de un dibujo o grá ca que permita interpretar mejor algunas de sus características principales. Es importante tener en cuenta que las representaciones grá cas ayudan a comprender mejor como se comportan los datos, pero de ninguna manera reemplazan el análisis cuantitativo de la información. Son sólo ayudas visuales. 2.1 Diagrama circular Los diagramas circulares resaltan el porcentaje en que aparece una característica o atributo respecto al total. Este tipo de grá ca es útil para representar variables que tienen pocas categorías, ya que en el caso de una variable con muchas categorías hay un exceso de sectores Ejemplo 11 Durante el mes de abril se tomó la temperatura registrada al medio día. La información fue organizada en la siguiente tabla. Temperatura 10 o C 11 o C 12 o C 13 o C 14 o C 15 o C 16 o C 17 o C 18 o C 19 o C f i 5 7 4 1 1 3 0 0 18 19 Representemos en un diagrama circular la temperatura del mes de abril. Solución 12 Son en total 30 días y un circulo tiene en total 360 o, por tanto a cada temperatura que se presentó le corresponde un sector de 360o 30 f i = 12 o f i : En general, cuando se tienen n datos y se desea hacer un diagrama circular se divide 360 o entre n para determinar el número de grados correspondientes a cada parte; nalmente se multiplica ese valor por las frecuencias absolutas y eso nos da al ángulo de cada sector del círculo. Se colorea el diagrama según el número de datos de cada especie. Ejercicio 13 Representa en un diagrama circular las edades de 20 estudiantes de grado octavo. Edad 13 14 15 f i 7 11 2 Ejercicio 14 A continuación se presenta la información sobre la categoría en es escalafón docente de un grupo de profesores universitarios y para simpli car la escritura se adopta la
9 Figure 3: Diagrama circular correspondiente al la temperatura observada durante el mes de abril siguiente codo cación: 1: Auxiliar, 2: Asistente, 3: Asociado y 4: Titular. Los valores de la variable "Categoría del escalafón docente" para 40 profesores es el siguiente. 1 3 4 1 1 4 2 2 3 1 1 3 1 1 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 4 2 3 2 2 3 1 1 3 4 2 2 2 4 4 1 a. Determina la distribución de frecuencias (f i ; F i ; h i ; H i ). b. Elabora el diagrama circular correspondiente a f i 2.2 Ojiva La ojiva es la grá ca de la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada. Usualmente se utiliza la frecuencia relativa expresada en términos de porcentaje. El intervalo (o el límite superior del intervalo) aparece en el eje horizontal y la frecuencia absoluta o relativa en el eje vertical. La ojiva indica la frecuencia acumulada en y por debajo de un intervalo dado. Esta grá ca facilita la comparación dos grupos de datos de forma visual y de manera mucho más efectiva
10 que el polígono de frecuencia, puesto que permite comparar los porcentajes acumulados de dos distribuciones con respecto al mismo intervalo. Construcción: a. En el límite superior de cada clase se traza el punto que corresponda en altura a la frecuencia absoluta o relativa acumulada. b. Se conectan estos puntos con segmentos. Ejemplo 15 Treinta estudiantes se presentaron a un concurso de Biología y estos fueron sus resultados: La ojiva correspondiente es Intervalos de clase f i F i h i H i x i [70; 75) 4 4 13; 3% 13; 3% 72 [75; 80) 5 9 16; 7% 30% 77 [80; 85) 6 15 20% 50% 82 [85; 90) 7 22 23; 3% 73; 3% 87 [90; 95) 8 30 26; 7% 100% 92 Figure 4: scanear para trazar ojiva
11 Ejemplo 16 Un concesionario de autos realizó una prueba para vehículos de gama media, con el propósito de medir el rendimiento de combustible. Para esto seleccionó 20 automóviles al azar y realizó con cada uno de ellos el mismo viaje. Los resultados de su investigación son los siguientes: Km/gal f i F i h i H i y i [15; 25) 5 [25; 35) 9 [35; 45) 4 [45; 55) 2 a. Cuál es la longitud de los intervalos de clase? b. Cuál es la marca de clase de cada intervalo de clase? c. Un automóvil adicional presentó un rendimiento e 36,5 kilómetros por galón. en que intervalo de clase lo ubicarías? Cuál es ahora la frecuencia para este intervalo de clase? Elabora la nueva tabla. d. Elabora el histograma para la distribución de frecuencias de la tabla que construiste en el literal c. e. Completa la tabla y traza la ojiva y el diagrama circular correspondientes.