1. NOMBRES ENTERS * El conjunt dels nombres enters està format pel conjunt dels nombres naturals N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} i els negatius { 1, 2, 3, 4, 5...}. Es representa amb el símbol Z. Per tant Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} * Para representar gràficament els nombres enters es dibuixa una recta, i en ella, un punt que és el zero. A la seua dreta i a la mateixa distància es representen els nombres positius, i a la seua esquerra, els nombres negatius. * El nombre "a" és menor que el nombre "b" si, al fer la representació gràfica, "a" està a l esquerra de "b". * El valor absolut d un nombre "a" és el mateix nombre prescindint del signe i s escriu. * als 6 operadors relacionals són: Operador = < > Es llig Igual a Diferent de Menor que Menor o igual que Major que Major o igual que Ex. 1.- Escriu el signe < o > segons escaigui: a) 2-6 b) 2 +4 c) +5 +12 d) +4-8 a) 2 > -6 b) 2 < +4 c) +5 < +12 d) +4>-8 Ex. 2.- Ordena del més petit al més gran: a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4 a) 10<-5<+6<+12 b) 20<-7<-4<+4 2. OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS 2.1. Suma i resta de NOMBRES ENTERS * Para sumar (restar) dos nombres: - Si tenen el mateix signe, se sumen els seus valors absoluts i es posa el signe que tenien els sumands. - Si tenen distint signe, es resten els valors absoluts i es posa el signe de què té major valor absolut. * Al suprimir un parèntesi precedit del signe més, els signes interiors no varien. * Al suprimir un parèntesi precedit del signe menys, es canvien els signes interiors: més per menys i menys per més. * Para sumar més de dos nombres positius i negatius, primer se sumen els positius per un costat i els negatius per un altre i després es resten els resultats i es posa el signe de què té major valor absolut. Ex 3.- Calcula: (+3) + (-5) = +3 5 = -2 (-2) + (+4) = -2 + 4 = +2 (+1) - (+7) = +1 7 = -6 (+2) - (-6) = +2 + 6 = +8 (-2) - (+6) = -2-6 = -8 Ex. 4.- Efectua les següents sumes i diferències de nombres enters a) +(+3) + (-5) = b) (+4) (+6) = c) (-5) + (+7) = d) -(+3) + (+1) (-4) = e) -(+2) - (+1) (+5) = f) -(+2) + (-1) + (-4) (-5)= g) -(+1) - (+3) - (-4) (-5)= Sol. Ex. 4.-: a) +3-5=-2 b)-4-6=-10 c) +5+7 = +12 d) 3+1+4=+2 e)-2-1-5 = -8 f) 2-1-4+5 = -2 g) 1-3+4+5 = 5 1
2.2. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE NOMBRES ENTERS * La regla dels signes diu que al multiplicar i al dividir dos nombres, si ambdós tenen el mateix signe, el resultat és positiu, i si tenen distint signe, el resultat és negatiu. * Para trobar el signe del producte o divisió de diversos nombres enters, es compte el nombre de signes menys. Si és parell, el resultat és positiu, i si és imparell, negatiu. Ex. 5.- Efectua els següents productes i divisions de nombres enters a) (+4) (+3)= b) (+5) (-2)= c) (-4) (-5)= d) (-3) (+7)= e) (+24):(+3)= f) (+15):(-3)= g) (-14):(-2)= h) (-30):(+6)= a) +12 b) 10 c) +20 d) 21 e) +8 f) 5 g) +7 h) 5 2.3. JERARQUIA DE LES OPERACIONS I ÚS DEL PARÈNTESI * La jerarquia de les operacions i ús del parèntesi diu que quan es tenen distintes operacions combinades s ha de seguir l orde: a) Parèntesi. b) Multiplicacions i divisions. c) Sumes i restes. d) Si les operacions tenen el mateix nivell, es comença per l esquerra. Ex. 6.- Efectua les operacions següents: a) +7 + (-9) (+5) = b) 5 + (-6):(+6) = c) +1-(-36):(-9-9) = d) +1 +(+6) (+5-6) = e) 6 [+3 -(-5): (+5)] = f) +8+ [+4 +(-7) (-9)] = a) +7 + (-45) = +7 45 = -38 b) 5+(-1) = -5-1 = -6 c) +1-(-36) : (-18) = +1 (+2) = +1-2 = -1 d) +1+(+6) (-1) = +1+(-6) = +1 6 = -5 e) 6 [ +3 (-1) ] = -6 - (+3+1) = -6-(+4) = -6 4 = -10 f) +8+[+4+(+63)] = +8+(+4+63) = +8 +(+67) = +8 +67 = +75 2.4. Propietats de les operacions amb nombres ENTERS * Propietat commutativa de la suma: a + b = b + a i del producte a b = b a * Propietat associativa de la suma: ( a + b) + c = a + ( b + c) i del producte ( a b) c = a ( b c) * Propietat distributiva del producte respecte de la suma: a ( b + c) = a b + a c Ex. 7.- Aplica la propietat distributiva i escriu cadasquna de les següents multiplicacions com la suma de products. Després calcula el resultat: a) 7 ( 5 + 8) b) 4 [2 + ( 8)] Solució: a) 7 ( 5) + ( 7) 8 = 35 + ( 56) = 21 b) 4 2 + ( 4) ( 8) = 8 + 32 = 24 2
3. PROBLEMES DE LA VIDA REAL EN QUÈ UTILITZEM NOMBRES ENTERS * Vegem exercicis en què és necessari operar amb nombres negatius: a) Temperatures: positives sobre zero i negatives sota zero. b) Posicions positives sobre el nivell del mar i negatives davall el nivell del mar. c) Diners positius quan es té i negatiu quan es deu. d) Anys positius després de Crist i negatius abans de Crist. Ex 8.- Una persona va néixer l any 17 abans de Crist i es va casar l any 24 després de Crist. A quina edates va casar? Sol. 8.- Tenia 41 anys Ex 9- El termòmetre marca ara 7ºC,després d haver pujat 15ºC. Quina era la temperatura inicial? Sol. 9. 8º C. (8º sota zero) Ex 10.- Ahir, l Helena tenia 234 euros a la seva llibreta i avui té 72 euros. Des d ahir, ha ingressat o ha gastat diners?quants? Ex 11- L ascensor d un edifici és al soterrani 1 i puja 5 pisosfins a aturar-se. A quina planta ha arribat? Sol. 10.- Ha ingressat 306 Sol. 11.- Ha arribat a la planta 4 Exercicis : Tema 3: Els nombres enters 1. a) Quins són els nombres enters? Per què són necessaris? b) Representa gràficament els següents nombres enters i ordena ls de menor a major: 5, 3, 0, 1, 2 c) Què tres operadors relacionals diferents pots escriure entre els nombres enters 3 i 4. d) Troba tots els nombres enters x que verifiquen la doble desigualtat: 3 < x 5. e) Escriu els quatre nombres enters negatius de menor valor absolut. f) Troba i representa tots els nombres enters x que verifiquen x 3 2. Calcula: a) ( + 12) + ( + 3) b) ( + 12) + ( 3) c) ( 12) + ( + 3) d) ( 12) + ( 3) e) ( + 12) ( + 3) f) ( + 12) ( 3) g) ( 12) ( + 3) h) ( 12) ( 3) i) ( + 12) ( + 3) j) ( + 12) ( 3) k) ( 12) ( + 3) l) ( 12) ( 3) m) ( + 12) ( + 3) n) ( + 12) ( 3) ñ) ( 12) ( + 3) o) ( 12) ( 3) p) ( + 12) : ( + 3) q) ( + 12) : ( 3) r) ( 12) : ( + 3) s) ( 12) : ( 3) t) ( + 12) ( + 3) u) ( + 12) ( 3) v) ( 12) ( + 3) w) ( 12) ( 3) 3. Calcula: a) ( + 12) + ( 3) + ( + 2) + ( 4) b) ( 12) ( 3) ( + 2) + ( 4) + c) ( + 12) (( 3) ( + 2) + ( 4) ) d) ( 2 10) ( 5 (8 + 2) ) e) ( 1 + (6 9) ) (8 12) f) 4 ( 5 ( 3 ( 2) ( 5 + 2) )) 4. Calcula: a) ( + 12) ( 3) ( + 6) b) ( + 12) : ( + 3) : ( 2) c) ( + 12) ( 3) : ( + 6) d) ( 12) : ( 3) e) ( 12) : (( 2) ) f) (( + 3) ( 12) ): (( 2) ) g) ( + 3) (( 12) : ( 2) ) 5. Calcula: a) 5 + 20 5 b) ( 5 + 20) 5 c) 20: 5 5 + d) ( 20) : 5 5 + e) 5 + 20 ( 5) f) 5 + ( 20) ( 5) g) 5 20 ( 5) 3
6. Calcula: a) 2 + 5 3 + 14 : ( 2) b) 7 2 (3 8) + 24 : ( 8) c) ( 7 2) (3 8) + 24 : ( 8) d) (( 7 2) (3 8) + 23) : 2 + 1 e) 4 (6 + 5 12) ((4 7) : (12 15) ) f) 230 (34 + 45) 5 ( 243 ( 315 45) ) 7. Calcula: 4 2 5 2 3 4 10 5 + 3 3 + b) ( 4 2) ( 5 ( 2) 3 4 10 5 + 3) : ( 35 11 3) a) ( ( ) ( ) ) 5 8. Calcula amb wiris i comprova el resultat de les següents operacions. Planteja tu mateix altres exercicis semblants 9. La temperatura més alta mesura en un congelador ha sigut de 4 C sota zero i la més baixa, de 26 C sota zero. Quina és la diferència entre les temperatures? 10. Un avió vola a 8 000 m d altura. Puja 1 000 m per a evitar una tempestat i després descendix 2 600 m. A quina altura vola ara? 11. En un magatzem van tindre 3400 de benefici en el primer mes, van perdre 837 en el segon mes i van guanyar 2800 en el tercer mes. Van tindre guanys o pèrdues durant el trimestre? A quant van ascendir? 12. Hem comprat 100 accions d una empresa a un preu de 24. Passats tres mesos, el valor de cada acció és de 19. A quant ascendix la pèrdua? 13. Quants anys van transcórrer des de 234 a. C. a 1967 d. C? 14. Vaig eixir del meu pis i vaig baixar 3 plantes per a buscar el meu amic Juan. Pugem 4 pisos fins a la casa d Inés, que viu en el 9. En quin pis viu? 15. Aristòtil va nàixer l any 384 a. C. i va viure 64 anys. En quin any va morir? 16. Entre un nombre enter positiu i un altre negatiu, hi ha tres nombres enters. Quins són els números? Busca totes les solucions. 17. Hem comprat un camió congelador que estava, al posar-ho en marxa, a 25 C. Al cap de 4 hores estava a 7 C. Quants graus va abaixar cada hora? 18. Un termòmetre marca 12 C després d haver pujat 7 C i baixat 3 C. Quina era la temperatura inicial? 4
19. En la següent taula s indiquen les temperatures que s han registrat en algunes ciutats. Ciutat Praga Amsterdam Frankfur t Madrid Sevilla ºC 8 5 0 6 12 a) En quina ciutat va fer més fred? b) En quina ciutat va fer menys fred? c) Quina és la diferència de temperatura entre eixes dos ciutats? SOLUCIONS DELS EXERCICIS: VEURE VIDEO www.josejaime.com/videosdematematicas 5