Curso de Predicción Económica y Empresarial www.uam.es/predysim Edición 24 UNIDAD 4: TÉCNICAS AVANZADAS DE PREDICCIÓN Ejercicio 2: Contraste de cointegración y estimación de un modelo VEC en EViews Solución A) ESTACIONARIEDAD DE LA SERIE Para aplicar el análisis de cointegración se han tomado dos series de frecuencia mensual, con un horizonte temporal desde 198 (Enero) hasta noviembre de 1998. Las series en cuestión son la oferta monetaria (M1) y los créditos internos concedidos a las familias y empresas (CRED), obtenidas del Banco de España. En primer lugar, hay que comprobar que las series son no estacionarias, es decir, que presentan una raíz unitaria. Para comprobar esta condición, utilizamos el test de Dickey- Fuller aumentado disponible en EViews, al que accedemos de dos formas diferentes: en el menú principal QUICK / SERIES STATISTICS / UNIT ROOT TEST, o bien en la ventana de la serie (abierta con SHOW o con dos pulsaciones del botón izquierdo del ratón sobre el nombre de la serie) seleccionamos VIEW / UNIT ROOT TEST: En este menú de selección, elegimos, en primer lugar, el test de Dickey-Fuller aumentado. En segundo lugar hay que indicar si queremos realizar el test sobre la variable en niveles, primeras o segundas diferencias. Podemos utilizar esta opción para determinar el número de raíces unitarias que contiene la serie. Si el test aplicado sobre la serie en niveles acepta la hipótesis nula (existe una raíz unitaria en la serie) pero la rechaza trabajando con los datos en primeras diferencias, entonces la serie presenta una raíz unitaria y es integrada de orden 1: I(1). Por el contrario, si el test acepta la hipótesis nula aplicado sobre la serie en niveles y también en primeras diferencias, pero la rechaza en segundas diferencias, entonces la serie contiene dos raíces unitarias y es integrada de orden 2: I(2). En tercer lugar, especificamos si queremos incluir una constante o término independiente (intercept), una constante y una tendencia lineal o, simplemente, nada. La elección es importante en el sentido en que la distribución estadística del test, bajo la hipótesis nula, es diferente en cada uno de los tres casos. Por último, seleccionamos el orden de la correlación serial o número de retardos a incluir en la especificación. Para el test de Dickey-Fuller (ADF), se trata de especificar el número de retardos de las Página 1 de 1
primeras diferencias de la serie que se incluirán en la regresión. En este caso, EViews incluye, por defecto, cuatro retardos, opción que aceptamos. Obtenemos, en primer término, el estadístico ADF para la variable CRED y, a continuación, para la variable M1. Para el test ADF, el valor que presenta (1,525537 en CRED y,822889 en M1) es el correspondiente al estadístico t-student para la variable dependiente retardada en la regresión que aparece en cada cuadro (CRED(-1)) y M1(-1)). La hipótesis nula de existencia de una raíz unitaria se acepta si el valor del estadístico ADF (o de la t- Statistic de la variable dependiente retardada) es menor, en términos absolutos, que el valor crítico (Critical Value of MacKinnon). En nuestro ejemplo, se acepta la hipótesis nula de una raíz unitaria en las series CRED y M1 en todos los niveles de significación. B) CONTRASTE DE COINTEGRACIÓN Para modelizar conjuntamente el efecto de estas dos series utilizamos un modelo VEC (vector de corrección del error) pues ya sabemos que un modelo VAR sin restricción no supone la presencia de cointegración. Como la especificación de un modelo VEC sólo se aplica sobre series cointegradas, debemos previamente chequear el test de cointegración de Johansen. Este test nos permitirá confirmar que las variables están Página 2 de 2
cointegradas y el número de ecuaciones de cointegración. Para acceder a él, abrimos un grupo de series, con SHOW de las series CRED y M1 y seleccionamos VIEW / COINTEGRATION TEST, o bien, en el menú principal QUICK / GROUP STATISTICS / COINTEGRATION TEST. El primer paso es seleccionar una de las opciones que especifican el tipo de tendencia presente en los datos. Las cinco primeras opciones proporcionan alternativas particulares acerca de la inclusión de una constante y un término de tendencia en la especificación de las ecuaciones de cointegración Hay que considerar, pues, que las series objeto de estudio pueden tener medias distintas de cero, es decir, pueden tener tendencia o no. Similarmente, las ecuaciones de cointegración pueden tener término independiente y tendencia. La distribución asintótica del test estadístico LR (Likelihood 2 ratio) para el test de orden reducido no presenta la distribución usual de la χ y depende de las hipótesis respecto a las tendencias deterministas. EViews proporciona el test de cointegración para las siguientes cinco posibilidades consideradas por Johansen: 1) Las series y no presentan tendencia y las ecuaciones de cointegración no tienen término independiente: H 2 ( r) : Πyt 1 + Bxt = αβ ' yt 1 2) Las series y no presentan tendencia y las ecuaciones de cointegración incluyen término independiente: * H 1 ( r) : Πyt 1 + Bxt = α ( β ' yt 1 + ρ ) 3) Las series y tienen tendencia y las ecuaciones de cointegración sólo incluyen término independiente: H 1 ( r) : Πyt 1 + Bxt = α( β ' yt 1 + ρ ) + α γ 4) Tanto las series y como las ecuaciones de cointegración tienen tendencia lineal: * H ( r) : Πyt 1 + Bxt = α( β ' yt 1 + ρ + ρ1t) + α γ 5) Las series y tienen tendencias cuadráticas y las ecuaciones de cointegración tienen tendencia lineal: H ( r) : Πyt 1 + Bxt = α ( β ' yt 1 + ρ + ρ1t) + α ( γ + γ 1t) donde α es la matriz (no única) k*(k-r) tal que α ' α = y el orden ([ α / α ]) = k Estos cinco casos se clasifican desde el más hasta el menos restrictivo, dado un particular orden de cointegración r: * * H ( r) H ( r) H ( r) H ( r) H ( ) 2 1 1 r Página 3 de 3
Para cada caso, EViews tabula los valores críticos para el test de orden reducido de Osterwald-Lenum, no los tabulados por Johansen y Juselius. De estas cinco opciones descritas, EViews utiliza, por defecto, la tercera. Esta selección se basa en que las condiciones de equilibrio a largo plazo (como la relación que exponíamos al principio entre el consumo y la renta) probablemente no tengan tendencia. Para elegir el modelo más apropiado habrá que guiarse tanto por la interpretación económica implícita en el mismo como por los criterios estadísticos. Adicionalmente, podemos incluir variables exógenas, como por ejemplo ficticias estacionales, sin considerar aquí ni el término independiente ni la tendencia. También hay que indicar el número de retardos del modelo VAR como pares de intervalos. Los retardos se especifican como retardos de las primeras diferencias de las series no como retardos para los datos en niveles. Por ejemplo, si señalamos 1 4, el test VAR hace la regresión de yt sobre y t 1, y t 2, y t 3, y t 4, y sobre otras variables exógenas que especifiquemos. La salida que proporciona EViews después de aplicar el test nos informa sobre el número de observaciones utilizadas, las series incluidas, el número de retardos especificados y la hipótesis asumida sobre la tendencia. Seguidamente, aparecen dos filas de resultados. La primera fila de la tabla analiza la hipótesis de no cointegración y la segunda fila chequea la hipótesis de una relación de cointegración frente a la hipótesis alternativa de orden completo, es decir, todas las series en el VAR son estacionarias. Los valores de contraste o autovalores (eigenvalues) aparecen en la primera columna, y en la siguiente columna se proporciona el estadístico LR (Likelihood ratio), que se calcula como: Q r = T k i= r + 1 log( 1 λ ) para r =,1,...k-1, donde λ i es el i-ésimo eigenvalue mayor. Q r se denomina estadístico traza (trace statistic) y es el test de la hipótesis H 1 (r) frente a H 1 (k). El estadístico Q r rechaza la primera hipótesis (no cointegración) tanto al nivel de significación del 5% como al 1% si el valor calculado es superior al de los valores críticos. Por su parte, la segunda hipótesis (al menos una relación de cointegración) se aceptará si el valor calculado para el ratio de verosimilitud (Likelihood ratio) es inferior a los valores críticos fijados para los niveles de significación del 5% y del 1%. La primera fila de la tabla analiza la hipótesis de no cointegración y la segunda fila chequea la hipótesis de una relación de cointegración frente a la hipótesis alternativa de orden completo, es decir, todas las series en el VAR son estacionarias. i Página 4 de 4
Para realizar el contraste, EViews proporciona los valores críticos recogidos por Osterwald-Lenum, no los tabulados en Johansen y Juselius. El estadístico Q r rechaza la primera hipótesis (no cointegración) tanto al nivel de significación del 5% como al 1%. Sin embargo, no rechaza la segunda hipótesis (al menos una relación de cointegración) ni al 5% ni al 1% de significación. Debajo de los resultados de los test de orden de cointegración, EViews proporciona las estimaciones de los vectores o relaciones de cointegración. El vector de cointegración no es identificado a menos que impongamos algún criterio arbitrario de normalización. EViews resuelve este problema adoptando una normalización tal que la primera r serie en el vector y t se normaliza a una matriz identidad. La relación de cointegración normalizada asume una relación de cointegración r = 1, que puede ser escrita como: CRED 9,188926 M1 14.166,62 El número entre paréntesis debajo del coeficiente estimado para M1 es la desviación típica asintótica. Los coeficientes que son normalizados al valor 1 aparecen sin el valor de la desviación típica, como CRED, y también los que no son identificados. La presentación de las relaciones normalizadas de cointegración dependen del orden especificado para las variables en el VAR. Por ejemplo, si queremos una relación con un coeficiente unitario en M1, tendremos que especificar esta variable como la primera en el modelo VAR. Por supuesto, este cambio no afecta a la esencia de las relaciones dado que cualquier combinación lineal de las relaciones de cointegración es también una relación de cointegración. Podemos hacer un gráfico de la relación de cointegración generando una serie calculada a partir de la expresión que hemos definido para la relación de cointegración: Página 5 de 5
C) ESTIMACIÓN DEL MODELO VEC Una vez comprobado que las series están cointegradas de orden 1, podemos estimar un modelo de corrección del error. Seleccionamos en el menú principal de EViews: QUICK / ESTIMATE VAR. En la ventana de opciones marcamos Vector Error Correction, las variables endógenas (CRED y M1), con retardos comprendidos entre 1 y 4. También hay que especificar el número de ecuaciones de cointegración en el modelo VEC. Este número debe ser determinado por el test de cointegración realizado previamente. El máximo número de ecuaciones de cointegración es uno menos que el número de variables endógenas en el modelo VAR. En nuestro ejemplo, el número de ecuaciones de cointegración es 1 y así lo especificamos en la parte inferior de esta ventana (Number of CE s): La estimación del modelo VEC comienza, en primer lugar, determinando una o más ecuaciones de cointegración utilizando el método de Johansen. Se estiman regresiones de la primera diferencia de cada variable endógena sobre la ecuación de cointegración y las primeras diferencias retardadas de todas las variables endógenas en el sistema. Página 6 de 6
Naturalmente, el coeficiente,9588 que afecta a CointEq1 debe interpretarse a partir de los resultados de la ecuación de cointegración, que en nuestro caso es CRED(-1) 9,188926 M1(-1) 14.166,62 Al final de esta tabla de resultados se muestran los resultados de la regresión para cada ecuación, computando los resultados por separado para cada variable: En la primera ecuación (la que define como variable dependiente a CRED) se alcanza una bondad del ajuste del,65%, siendo inferior (,46%) en la ecuación que explica a la oferta monetaria (M1). En la parte inferior de esta salida de resultados, aparecen los estadísticos del modelo VEC en su conjunto, que se utilizan para elegir entre modelos VEC alternativos. Así, podríamos repetir el proceso especificando ahora un modelo VEC con retardos de 1 a 2 y comparar los resultados hasta seleccionar aquel que parezca más apropiado. D) PREDICCIÓN CON MODELO VEC Una vez especificado el modelo VEC podemos trabajar con él en forma análoga a un modelo VAR, aunque en este caso no disponemos de las funciones de respuesta de impulso ni del análisis de la descomposición de la varianza. Para ver las ecuaciones que constituyen nuestro modelo VEC, seleccionamos en el menú de la ventana del modelo las opciones VIEW / REPRESENTATIONS: Página 7 de 7
El primer número que acompaña al coeficiente A es el número de la ecuación del VEC, mientras que el segundo hace referencia al número de la ecuación de cointegración. Por ejemplo, A(2,1) es el coeficiente ajustado de la primera ecuación de cointegración (y única) en la segunda ecuación del modelo VEC. El primer número que sigue al coeficiente B es el número de la ecuación de cointegración, y el segundo es el número de la variable en la ecuación de cointegración. Por ejemplo, B(1,2) es el coeficiente de la segunda variable en la primera ecuación de cointegración. En el caso de C, el primer número es el número de la ecuación del VEC, y el segundo término es el número de la variable del primer regresor diferenciado en el modelo VEC. Por ejemplo, C(2,1) es el coeficiente de la primera diferencia del primer regresor en la segunda ecuación del VEC. Al igual que con un modelo VAR, podemos realizar predicciones con el modelo VEC estimado. Para ello, dentro del menú de la ventana del modelo VEC seleccionamos PROCS / MAKE MODEL y aparece la siguiente ventana en la que pulsamos SOLVE: Página 8 de 8
Indicamos el periodo de predicción, desde el mes de diciembre de 1998 hasta el mes de junio de 1999, y automáticamente tendremos predicciones con el modelo VEC para las variables CRED y M1.. En el cuadro siguiente mostramos los resultados obtenidos, en tasas de variación intermensual: PREDICCIÓN CON UN MODELO VEC Tasas de crecimiento respecto al mes anterior (%) Periodo CREDF M1F 1998:12 1.854 -.761 1999:1 1.88-4.13 1999:2.79 3.82 1999:3 1.426 1.312 1999:4 1.421.334 1999:5 1.69 2.568 1999:6 1.135 -.346 En el gráfico siguiente mostramos la evolución de las series Créditos internos concedidos a las empresas y familias (CRED) y oferta monetaria (M1), incluyendo el periodo histórico (desde enero de 198 hasta noviembre de 1998) y el de predicción (desde diciembre de 1998 hasta junio de 1999) con los datos en niveles. Se aprecia la evolución paralela que siguen ambas series en el tiempo, lo que nos ha hecho suponer la presencia de una cointegración de orden 1 entre ambas y que hemos corroborado en este ejercicio. Página 9 de 9
Todas las operaciones recogidas en este ejemplo pueden realizarse utilizando el fichero VEC.wf1. Al abrir el fichero en el programa Econometric Views nos encontramos con las siguientes ventanas guardadas con un nombre: NOMBRE CONTENIDO CRED Crédito interno a empresas y familias. M1 Oferta monetaria. CREDF Predicciones de la serie Crédito interno a empresas y familias. M1F Predicciones de la serie Oferta monetaria. GRÁFICO1 Representación gráfica de la ecuación de cointegración. GRÁFICO2 Evolución temporal de las series CRED y M1. TABLA1 Test de Dickey-Fuller para la serie CRED. TABLA2 Test de Dickey-Fuller para la serie M1. TABLA3 Test de cointegración de Johansen para CRED y M1. TABLA4 Resultados del modelo VEC para CRED y M1. TABLA5 Ecuaciones del modelo VEC para CRED y M1. COINTEGRACIÓN Serie obtenida a partir de la ecuación de cointegración. VEC Estimación del modelo VEC. MODELO Modelo VEC de las series CRED y M1. Página 1 de 1