INTEREST RATE TERM STRUCTURE MODELING USING FREE-KNOT SPLINES Journal of Business 79 (6), 2006 Fernando Fernández Rodríguez ffernandez@dmc.ulpgc.es Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
INTRODUCCIÓN La ETTI (curva de tipos cupón cero) es la relación entre el conjunto de rendimientos los bonos cupón cero y sus respectivos vencimientos Los precios de los bonos son observados con errores ideosincráticos debido a la falta de liquidez, bid-ask spread, efectos de impuestos, etc. Son necesarios procedimientos de suavizado de los datos sesgados y ruidosos que proporciona el mercado. Suponer que el descuento δ () t = e Rt t = d(, t a1, a2,..) es función del tiempo de maduración por medio de un pequeño número de parámetros. Criterios buen modelo: suavidad, flexibilidad y estabilidad
Métodos de estimación de la ETTI Splines McCulloch (1971, 1975) Estima la función de descuento a + at+ a t + a t 0 t n δ () t = b + bt+ b t + bt n t n 2 3 c0 + ct 1 + c2t + c3t n2 t T 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 1 2 t δ () t = e R t δ() t = α + α t+ α t + α t + β ( t n ) + β ( t n ) 2 3 3 3 0 1 2 3 1 1 + 2 2 + Funciones truncadas 3 3 ( t n), si t n ( t n) + = 0, si t < n
Problema de elección de nudos de McCulloch Número de nudos interiores k n 2 DEMASIADOS NUDOS: sobreparametrización, la ETTI puede presentar formas muy curvadas en las maduraciones muy largas. POCOS NUDOS: se pierde flexibilidad. Problemas de elección óptima de la posición de los nudos : La función de descuento es muy sensible a colocación de los nudos. McCulloch: cada intervalo contienen igual número de vencimientos observados Los cambios en la elección de los nudos implican cambios significativos en el nivel de la curva forward. Los modelos de splines pueden conducir a estimaciones inestables de los tipos forward que fluctúan tomando incluso valores negativos. Los tipos forward no convergen asintóticamente.
Métodos paramétricos de estimación de la ETTI NELSON Y SIEGEL (1987): las tasas instantáneas forward convergen asintóticamente Los tipos spot cupón cero consistentes con los anteriores tipos forward son Svensson (1994, 1995) t f () t = β + β e + β e β t/ τ t/ τ 0 1 2 τ yt () = β + ( β + β ) (1 e ) β e t t / τ t/ τ 0 1 2 2 t t f() t = β + β e + β e + β e t/ τ1 t/ τ1 t/ τ2 0 1 2 3 τ1 τ2
Críticas a Nelson y Siegel y Svenson Falta de estabilidad: cambiado una sola observación en el tramo largo, puede cambiar dramáticamente toda la ETTI, particularmente en las maduraciones cortas. Los splines son más flexibles pues en los segmentos individuales pueden moverse casi de forma independiente unos de otros. Los splines producen mejores ajustes.
ROBUSTEZ DEL MODELO DE SVENSSON
REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA: SPLINE SUAVIZADORES Fisher, Nychka y Zervos (1995): controla el nivel de oscilación de la curva forward K i= 1 ( P Pˆ ( h)) + ( f ( t)) dt i i t 2 K 2 λ 0 Waggoner (1997): distinto grado de penalización para variabilidad de la curva forward según la maduración bonos K 0.1 0 t 1 t 2 K 2 ( P ˆ i Pi( f)) + λ( t)( f ( t)) dt 0 λ() t = 100 1 t 10 i= 1 1000 10 t Anderson y Sleath (1999): K i= 1 P ˆ ( ) t 2 K i Pi f 2 ( ) + λ( t)( f ( t)) dt DM 0 i
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA ETTI EN DIFERENTES PAISES BANCO CENTRAL Bélgica Canadá Finlandia Francia Alemania Italia Noruega PROCEDIMIENTO DE AJUSTE Y ERROR MINIMIZADO Nelson y Siegel, Svensson (Precios ponderados) Svensson (Precios ponderados) Nelson y Siegel (Precios ponderados) Nelson y Siegel, Svensson (Precios ponderados) Svensson (TIR) Nelson y Siegel (Precios ponderados) Svensson (TIR) España Nelson y Siegel (antes de 1995), Svensson (Precios ponderados) Japón Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos) (Precios) Suecia UK Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos). Antes Svensson. (TIR) Smoothing splines (Anderson y Sleath), antes Svensson. (TIR) USA Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos). (Bills: Precios ponderados, Bonos: precios)
ESTIMACION DE LA ETTI CON SPLINES DE NUDOS LIBRES La colocación óptima de los nudos mejoraría los ajustes de la ETTI con el mismo número de parámetros. PROBLEMA DEL LETARGO en la selección automatica de los nudos de spline: Los nudos consecutivos tienden a confundirse con el algoritmo de Gauss-Newton α, β, n i j k n ( ) 2 r r r δ( i) α1 α2... αr β1( 1) +... βk( k) + Min t t t t n t n i = 1
ALGORITMO GENÉTICO DE SELECCIÓN AUTOMÁTICA DE LOS NUDOS DE SPLINE 1) Formar población inicial de cromosomas k n= ( n,..., n ) [ a, b] 1 k a< n1 <... < nk < b 2) Estimamos coeficientes y por MCO en la función de pérdida n ( ) 2 r r r Min δ( ti) α1 α2t... αrt β1( t n1) +... βk( t nk) + αi, βj i= 1 3) Formamos un ranking de cromosomas. 4) Se selecciona la mitad de los cromosomas mejor adaptados. 5) Se recombinan los cromosomas.
ALGORITMO GENÉTICO DE SELECCIÓN AUTOMÁTICA DE LOS NUDOS DE SPLINE 6) Se mutan, aleatoriamente, los genes de algunos cromosomas 7) Se reordenan, de nuevo, los genes dentro de los cromosomas 8) Se eliminan aquellos cromosomas que junten nudos n n ε j j 1 9) Se reponen los cromosomas eliminados. 10) Tras la reposición se ordenan nuevamente los cromosomas. 11) Se vuelve al paso (2) y se repite el proceso.
RESULTADOS EMPÍRICOS Bonos Cupón Cero Del Euromercado de 40 vencimientos entre 1 día y 10 años (7-4-97 al 28-5-99) 541 días 1 day, 1 week, 1, 2, 3, 6 and 9 months, 1 year, 1 year and 3, 6 and 9 months, 2 year, 2 year and 3, 6 and 9 months, 3 year, 3 year and 3, 6 and 9 months, 4 year, 4 year and 3, 6 and 9 months, 5 year, 5 year and 3, 6 and 9 months, 6 year, 6 year and 3, 6 and 9 months, 7 year, 7 year and 3, 6 and 9 months, 8 year, 8 year and 6 months, 9 year, 9 year and 6 months, 10 year. Nº nudos de McCulloch k 40 2 4
Estimación curva spot por splines cuadráticos con 4 nudos interiores. Fecha 27-3-98
Estimación curva spot por splines cúbicos con 4 nudos interiores. Fecha 27-3-98
Suma cuadrática media de residuos en los 541 días (desde 7-4-97 hasta 28-5-99) estimando las curvas spot. Número de nudos Splines cuadráticos ( r = 2 ) Splines cúbicos ( r = 3 ) Splines de nudos libres con GA Splines de McCulloch Splines de nudos libres con GA k=1 0.0380 0.0761 0.0312 0.0499 k=2 0.0198 0.0479 0.0177 0.0355 k=3 0.0118 0.0338 0.0117 0.0301 k=4 0.0085 0.0301 0.0081 0.0248 k=5 0.0066 0.0249 0.0065 0.0221 k=6 0.0051 0.0225 0.0057 0.0159 k=7 0.0045 0.0160 0.0052 0.0123 k=8 0.0039 0.0120 0.0048 0.0113 k=9 0.0035 0.0116 0.0047 0.0083 k=10 0.0032 0.0091 0.0047 0.0079 Splines de McCulloch
Suma cuadrática media de residuos en los 541 días (desde 7-4-97 hasta 28-5-99) estimando las funciones de descuento Número de nudos Splines cuadráticos ( r = 2 ) Splines cúbicos ( r = 3) Splines de nudos libres con GA Splines de McCulloch Splines de nudos libres con GA k=1 0.1361 e-4 0.3173 e-4 1.317 e-5 1.637 e-5 k=2 0.0681 e-4 0.1525 e-4 5.238 e-6 1.030 e-5 k=3 0.0227 e-4 0.0912 e-4 2.7175 e-6 8.919 e-6 k=4 0.0099 e-4 0.0936 e-4 9.951 e-7 5.226 e-6 k=5 0.0053 e-4 0.0549 e-4 4.845 e-7 5.045 e-6 k=6 0.0033 e-4 0.0469 e-4 3.212 e-7 3.068 e-6 k=7 0.0024 e-4 0.0194 e-4 2.030 e-7 3.000 e-6 k=8 0.0017 e-4 0.0229 e-4 1.446 e-7 1.7116 e-6 k=9 0.0014 e-4 0.0143 e-4 1.132 e-7 1.050 e-5 k=10 0.0012 e-4 0.0087 e-4 9.833 e-8 4.025 e-3 Splines de McCulloch
Extensiones del Trabajo I: NUDOS OPTIMOS Y LA CURVATURA DE LAS TASAS INSTANTANEAS FORWARD Determinación de la posición óptima de los nudos en el modelo de Fisher, Nychka y Zervos (1995) Los modelos de splines para modelizar la estructura temporal conduce a estimaciones inestables de los tipos forward La nueva función de pérdida n ( ) 2 T ˆ '' 2 i i Sλ ( δ, f ) = δ( t ) δ( t ) + λ ( f ( t)) dt n i= 1 0 2 3 N ( ˆ N 2 ) 3 ( ˆ i i k ) S ( ˆ, ˆ λ δ f ) = δ( t ) δ( t ) + λ f ( t ) T i= 1 k= 1
Ajuste de la función de descuento y curvatura de la tasa instantánea forward Tabla 8: Las tasas instantáneas forward se estimaron con splines cúbicos el 27/3/98 Ajuste de la curva de descuento ˆ δ ( t ) y curvatura de la tasa instantánea forward f ˆ( t ). Para λ [ 0.001, 0.017] AG mejora McCulloch tanto en bondad del ajuste como en curvatura. λ 0 0.001 0.005 0.01 0.015 0.017 0.020 0.025 0.05 0.1 0.5 Mc AG AG AG AG AG AG AG AG AG AG AG SCR 25.97 e-6 1.32 e-6 1.97 e-6 5.46 e-6 10.5 e-6 19.92 e-6 20.47 e-6 29.70 e-6 30.2 e-6 32. 26 e-6 34.67 e-6 77.4 e-6 GOOD 0.787 e-6 4 e-8 5.98 e-8 0.165 e-6 0.317 e-6 0.603 e-6 0.620 e-6 0.9 e-6 0.915 e-6 0.9777 e- 1.051 e-6 2.346 e-6 6 EUBANK 0.954 e-6 4.85 e-8 7.25 e-8 0.200 e-6 0.384 e-6 0.731 e-6 0.752 e-6 1.091 e-6 1.109 e-6 1.185 e-6 1.273 e-6 2.843 e-6 Curvatura 4.049 e-6 5.19 e-6 3.536 e-6 2.127 e-6 1.45 e-6 1.003 e-6 0.855 e-6 0.357 e-6 0.333 e-6 0.269 e-6 0.218 e-6 0.075 e-6 Cromos 0.8000 2.8500 2.0880 3.1045 1.9058 3.0968 1.8012 3.0267 1.7526 3.0464 1.8896 2.7786 1.6390 3.1634 3.2369 4.3340 3.2047 4.4048 3.0295 4.5324 2.9296 3.8455 6.0975 7.6870 4.9000 4.0949 4.1095 4.2406 4.3305 4.7874 4.7527 6.4154 6.4505 6.4909 4.7460 7.9878 6.9500 4.7855 5.0912 5.6613 6.2818 6.8012 6.3250 8.2760 8.2537 8.3177 6.7003 8.8495
Figura 7: Curvas forward obtenidas por el modelo de nudos libres 27/3/98. (1), (2) y (3) corresponden a varios valores del parámetro de suavizado λ = 0, λ = 0.017, y λ = 0.5
Comparación de curvaturas con el modelo de McCulloch Tabla 10 Las diez peores fechas de la curvatura del modelo de McCulloch son mejoradas en ajuste y curvatura por el AG con λ = 0. 01 Dates: 173 226 246 248 249 251 280 318 384 396 RSS AG 116.5 e-6 141.5 e-6 2.87 e-6 0.99 e-6 5.00 e-6 20.18 e-6 12.61 e-6 72.48 e-6 5.52 e-6 129.0 e-6 McCulloch 378.4e-6 346.8e-6 8.03 e-6 22.44 e-6 17.11 e-6 49.04 e-6 43.46 e-6 147.5e-6 31.69 e-6 371.5e-6 Goodness AG 3.53 e-6 4.29 e-6 0.08 e-6 0.30 e-6 0.15 e-6 0.61 e-6 0.38 e-6 2.20 e-6 0.17 e-6 3.91 e-6 McCulloch 11.47 e-6 10.51 e-6 0.24 e-6 0.68 e-6 0.52 e-6 1.48 e-6 2.83 e-6 4.47 e-6 0.96 e-6 11.26 e-6 Eubank AG 4.28 e-6 5.20 e-6 0.11 e-6 0.04 e-6 0.04 e-6 0.74 e-6 0.46 e-6 2.66 e-6 0.20 e-6 4.74 e-6 McCulloch 13.90 e-6 12.74 e-6 0.29 e-6 0.82 e-6 0.63 e-6 1.80 e-6 3.43 e-6 5.42 e-6 1.16 e-6 13.65 e-6 Curvatura AG 11.1 e-6 13.60 e-6 0.71 e-6 0.55 e-6 0.51 e-6 2.35 e-6 3.65 e-6 4.55 e-6 1.11 e-6 16.22 e-6 McCulloch 56.3 e-6 18.8 e-6 4.51 e-6 2.40 e-6 2.89 e-6 8.38 e-6 6.05 e-6 5.46 e-6 4.67 e-6 25.74 e-6
Extensiones del Trabajo II: Splines exponenciales de Vasicek y Fong (1982) con Algoritmos Genéticos Un spline exponencial es una función exponencial a trozos dt () a ae ae ae αt 2αt 3αt 3 ( t n) = 0 + 1 + 2 + 3 ( e 1) α + Objetivos: Consigue tasas forward con comportamiento asintótico Alfa es el valor límite de las tasas forward d'( t) lim f( t) = lim = α t t dt () αt αn ( e e ) 3 Captan muy bien la forma de los factores de descuento + Problemas: Sensibilidad a la colocación de los nudos. Requiere complejas técnicas no lineales de estimación.
Extensiones del Trabajo III: Predicción de la ETTI Se puede predecir el comportamiento futuro de la ETTI prediciendo los parámetros de un modelo suyo. Cuál es el modelo más adecuado desde el punto de vista predictivo? Splines McCulloch (1971, 1975) δ() t = α + α t+ α t + β ( t n ) + β ( t n ) Nelson y Siegel (1987): 3 3 3 1 2 3 1 1 + 2 2 + t f () t = β + β e + β e β t/ τ t/ τ 0 1 2 Svensson (1994, 1995) f() t = β + β e t + β e + β t e t/ τ1 t/ τ1 t/ τ2 0 1 2 3 τ1 τ2
Predicción de la ETTI: Gestión de carteras de renta fija Gestión activa de carteras de renta fija: Apuestas sobre no cambios en la curva de tipos. Apuestas sobre el nivel de los tipos de interés. Apuestas basadas en la pendiente y movimientos de la curva de tipos. Tomar posiciones sobre predicciones sobre los tipos de interés: Tomar posiciones sobre las ineficiencias del mercado (Bond picking). Estas estrategias buscan identificar activos infravalorados o sobre valorados.
Predicción de la ETTI: Modelo de Nelson y Siegel t f () t = β + β e + β e β t/ τ t/ τ 0 1 2