Estructura de Tasas de Interés

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Alfonso Murillo Mendoza
hace 6 años
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1 MODULO 2 ESTRUCTURA DE TASAS DE INTERES CLASE 3 MODELOS DE ESTRUCTURAS DE TASAS Estructura de Tasas de Interés Un modelo paramétrico de la estructura de tasas de interés se puede representar como: donde θ RT ( ) = RTθ ( ; ) es un vector de parámetros 1

2 Estructura de Tasas de Interés Básicamente, en un modelo parámetrico la estructura de tasas R(T) se representa por una forma funcional que relaciona cada las tasas cero para cada plazo A diferencia de la tarea 1, se trata de encontrar una función suave que me permita calcular las tasas cero cupón Modelos Paramétricos de Tasas Nelson y Siegel (1987) Las tasas se representan por una suma de exponenciales Svensson (1994) Extiende la forma funcional de Nelson y Siegel agregando nuevos términos Diament (1993) Propone una forma funcional alternativa de las tasas cero cupón 2

3 Main Entry: par si mo ny Function: noun Parsimonious Etymology: Middle English parcimony, from Latin parsimonia, from parsus, past participle of parcere to spare 1 a : the quality of being careful with money or resources : THRIFT b : the quality or state of being stingy 2 : economy in the use of means to an end; especially : economy of explanation in conformity with Occam's razor La Navaja de Occam Pluralitas non est ponenda sine neccesitate La pluralidad no se debe postular sin necesidad Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem Las entidades no deben ser multiplicadas más allá de lo necesario La navaja de Occam se puede repostular de la siguiente manera: De 2 teorías o explicaciones en competencia, uno debiera escoger la más simple (ceteris paribus) 3

La Navaja de Occam La versión de de Isaac Newton puede ser menos ambigua: Uno no debiera admitir más causas de los fenómenos naturales que las que son verdaderas y suficientes para explicarlos

4 La Navaja de Occam La versión de de Isaac Newton puede ser menos ambigua: Uno no debiera admitir más causas de los fenómenos naturales que las que son verdaderas y suficientes para explicarlos También se aplica en finanzas y economía Uno debiera tratar de explicar un fenómeno económico con la teoría más simple Por ejemplo, si 2 modelos de estructura de tasas me explican los precios observados de la misma manera, debiera escoger el con menos parámetros La Navaja de Occam 4

5 Nelson y Siegel (1987) Después de ver lo que significa parsimonioso, se puede entender mejor lo que buscan Nelson y Siegel en su artículo Buscan representar de una manera simple una estructura de tasas compleja Nelson y Siegel (1987) Buscan su solución en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden a coeficientes constantes: Ecuación y '' ( a + b) y ' + aby = ( ) y'' 2 by' + a + b y = 0 y ay a y 2 '' 2 ' + = 0 y = ce + c e Solución at bt 1 2 bt y = ce cos( at) + c e sin( at) bt 1 2 ( ) y = c + c t e 1 2 at 5

6 Nelson y Siegel (1987) Supone que la tasa forward instantánea para T tiene la siguiente forma: T τ T f ( T) = β + β e + β e τ 1 1 La tasa cero para un plazo T se obtiene: 1 T τ T T T T τ τ τ τ τ β0 β1 β2 0 1 RT ( ) = f( sds ) = + (1 e ) + ((1 e ) e ) T T T Nelson y Siegel (1987) Se cumplen los siguientes límites matemáticos: lim f( T) = β + β lim f( T) = β0 T 0 T T lim RT ( ) = β + β lim RT ( ) = β0 T 6

7 Nelson y Siegel (1987) Método de Nelson y Siegel 10% 8% Tasa 6% 4% 2% 0% Tasa Forward Tasa Cero Método de Nelson y Siegel 10% 8% Tasa 6% 4% 2% 0% Tasa Forward Tasa Cero Nelson y Siegel (1987) Método de Nelson y Siegel 1 Hump Tasa 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Tasa Forward Tasa Cero 7

8 Ejemplo Ejemplo 8

9 Svensson (1994) Supone que la tasa forward instantánea para un plazo T tiene la siguiente forma funcional: T T T T T τ1 τ1 τ τ1 τ2 f ( T) = β + β e + β e + β e La tasa cero para un plazo T es la siguiente: T T T τ τ 1 1 τ τ 1 1 τ RT ( ) = β + β (1 e ) + β ((1 e ) e ) T T T T τ τ 2 2 τ2 3((1 e ) e ) + β T Término Adicional Término Adicional Svensson (1994) Ventajas de Svensson: Más flexibilidad para ajustarse a estructuras de tasas complicadas Tiene la posibilidad de tener 2 montes o jorobas (humps) Desventajas Es más inestable numéricamente La volatilidad de las tasas cero puede estar muy perturbada por errores de medición o falta de datos 9

10 Svensson (1994) Método de Svensson 2 Humps Tasa 10% 8% 6% 4% 2% 0% Tasa Forward Tasa Cero Método de Splines Básicamente, es aproximar una función con pedazos de polinomios que cumplen ciertas condiciones de suavidad La función obtenida debe ser continua, y diferenciable en primer y segundo orden (splines cúbicos) Es principalmente un método de interpolación No permite deducir la estructura de tasas para los vencimientos que no se tienen transacciones 10

11 Método de Splines Por ejemplo, un spline simple es el estudiado en el tarea 1 Curva cero constante por tramos Sin embargo, no es una función continua La curva forward en los puntos de discontinuidad es infinita Uno podría hacer una interpolación lineal en curva cero Función continua Sin embargo, no calzan las primeras derivadas, o sea, la función no es diferenciable Método de Splines 11

12 Método de Splines Ventajas de utilizar Splines: Mejor ajuste a los precios observados Se puede mejorar el ajuste tanto como uno quiera Desventajas Es más inestable numéricamente que los métodos parámetricos No se puede realizar la extrapolación de tasas fuera del intervalo para el cual se tienen precios Las curvas forward pueden no tener una interpretación económica sustentable Método de Splines La estabilidad del método se puede mejorar si se penaliza la curvatura Trade-off entre ajuste y suavidad Smoothing Splines Se tiene que minimizar la siguiente función objetivo: 2 2 Min ( y f ( x)) λ ( f ''( x)) dx + 12

13 Método de Splines La pregunta es cómo elegir el parámetro λ Cuánta curvatura estoy dispuesto a aceptar como normal? Estructuras de Tasas El método de Nelson y Siegel se utiliza en países como Finlandia e Italia para calcular las estructuras de tasas. El método de Svensson se utiliza en muchos países que incluyen Canada, Alemania, Francia y el Reino Unido. El método de Splines se utiliza en Estados Unidos y Japón, entre otros. 13

14 Estructuras de Tasas En general se puede analizar un método de ajuste de tasas de acuerdo a 3 dimensiones: Estabilidad: Qué tan estable es el modelo frente a la eliminación de ciertos datos y en el largo plazo Suavidad: Qué tan suaves son las estructuras de tasas, en particular las curvas de tasas forward Ajuste: Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos Dependiendo de la importancia de cada dimensión en la aplicación que se requiera la estructura de tasas se puede elegir entre uno u otro modelo Estimación de Estructuras de Tasas Modelo Curva cero Tasas Teóricas Tasas Mercado Comparación Modificación Curva Cero Es bueno el ajuste? Fin SI NO 14

15 Estimación de Estructuras de Tasas En general uno busca minimizar una función del tipo: N Obs Teo ( ) 2 i i θ MSE( θ) = Bono Bono ( ) i= 1 donde θ es un vector de parámetros que se quieren estimar Estimación de Estructuras de Tasas Si se minimiza el MSE en precio, se está dando una mayor importancia a los bonos de largo plazo que son más sensibles a los cambios de tasa Un bono de muy corto plazo casi no es sensible a un cambio de tasa, y por lo tanto aún cuando el error cometido en un bono de corto como de largo plazo sean similares, las diferencias de tasas pueden ser mucho mayores en el bono de corto plazo 15

16 Estimación de Estructuras de Tasas Si uno quiere ajustar las tasas de corto como las de largo plazo, entonces se puede minimizar el error en TIR: N Obs Teo ( ) 2 i i θ MSE( θ) = TIR TIR ( ) i= 1 Estimación de Estructuras de Tasas Sin embargo, la TIR de un bono puede ser computacionalmente costoso de calcular, en especial cuando se tiene que hacer muchas veces En tal caso, se puede utilizar la siguiente aproximación: N Obs Teo Bonoi Bonoi ( θ) MSE( θ) = Obs i= 1 Bonoi Di 2 donde D i es la duración del bono i-ésimo. 16

17 Mercado Chileno Mercado Chileno 17

18 Mercado Chileno Mercado Chileno 18

19 Mercado Chileno Mercado Chileno Pueden haber problemas con la volatilidad de las tasas de los modelos estáticos, en especial en el largo plazo Sin embargo, estos modelos valorizan bastante bien los instrumentos observados 19

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