PRODUCTO CRUZ EN ESPACIOS EUCLÍDEOS

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL IPN Escuela Superior de Física y Matemáticas ESFM ESFM PRODUCTO CRUZ EN ESPACIOS EUCLÍDEOS Tesis que para obtener el Título de: Licenciado en Física y Matemáticas Presenta: Ignacio Linarez Garcia Asesor: M. en C. Marco Antonio Rodríguez Andrade Diciembre de 2009

Agradecimientos A Dios: Por haberme permitido alcanzar esta meta y sin el cual no lo hubiera logrado. A mis padres: Ignacio Linares y Maria Aida García F. Por toda la ayuda que me brindaron en la medida de sus posibilidades. A mis hermanos: Lorenzo, Luis Felipe y Adriana Por el apoyo que me brindaron en cada momento que lo necesité A mis amigos: Por sus palabras de aliento y su ayuda dentro y fuera de las aulas.

Índice general Introducción 1 1. El producto interno y vectorial en R 3 7 1.1. El producto interno α β......................... 7 1.2. El producto cruz vectorial α 1 α 2.................... 11 1.3. El producto vectorial mixto....................... 15 1.4. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial................ 19 1.4.1. Obtener una base de R 3 dados dos vectores l. i......... 19 1.4.2. Base dual en R 3......................... 19 1.4.3. Matriz de cambio de base.................... 25 1.4.4. Base ortogonal de R 3...................... 26 1.4.5. La ecuación α β = γ...................... 27 1.4.6. Reflexión de un vector arbitrario ϕ............... 28 1.4.7. Rotación de un vector arbitrario ϕ............... 29 2. Cuaternios y Octonios 31 2.1. Los cuaternios H............................. 31 2.1.1. Los cuaternios de Hamilton................... 32 2.1.2. Aritmética en H......................... 35 2.1.3. Los cuaternios y el producto cruz................ 38 2.2. Los octonios O.............................. 41 2.2.1. Los octonios de Cayley & Graves................ 42 2.2.2. El plano de Fano......................... 43 2.2.3. Aritmética en O......................... 44 2.2.4. Los octonios y el producto cruz................. 47 3. El problema de Hurwitz 57 3.1. El problema de Hurwitz......................... 59 3.2. Las álgebras composición......................... 60 4. El producto cruz vectorial en R n 85 4.1. Funciones determinante y los productos interno y vectorial...... 85 4.2. El producto cruz vectorial α 1 α 2... α n 1 en R n n 3..... 87

ÍNDICE GENERAL i 4.3. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial............... 94 4.3.1. Obtener una base de R n dados n 1 vectores l. i........ 94 4.3.2. Base dual en R n......................... 94 4.3.3. Matriz de cambio de base.................... 98 4.3.4. Base ortogonal.......................... 101 4.3.5. La ecuación vectorial α 1... α n 2 β = γ......... 103 CONCLUSIONES 103 Bibliografía 107 Índice alfabético 109

Resumen Esta tesis trata acerca del producto cruz vectorial generalizado a R n y las propiedades que cumple, además de dar algunas aplicaciones de este producto cruz a la solución de problemas de álgebra lineal, tales como: dados n 1 vectores linealmente independientes, extenderlos a una base; dada una base ordenada, obtener su base dual; dadas dos bases ordenadas, obtener la matriz de cambio de base; dada una base ordenada, obtener una base ortogonal; dados los vectores α 1, α 2,..., α n 2, γ, linealmente independientes, resolver para β la ecuación α 1... α n 2 β = γ. Todo esto se resuelve primero en R 3 y después se generaliza a R n. En el caso particular de R 3, también se deducen las ecuaciones para calcular la reflexión y la rotación de un vector arbitrario. También se dedica un capítulo entero a los cuaternios octonios de Hamilton de Cayley-Graves y se muestra que se puede realizar un producto cruz con dos cuaternios octonios puros, un producto cruz con tres cuaternios y dos productos cruz con tres octonios. Debido a que los cuaternios y los octonios son álgebras composición, se hace referencia al problema de Hurwitz y se realiza la construcción de algebras composición tales como los complejos, los cuaternios y los octonios, mediante el proceso de duplicación de Dickson, a partir del álgebra de los números reales. El aspecto más importante de resaltar es, que se generaliza a R n un algoritmo alternativo, que permite calcular la base dual de manera muy rápida y sencilla, mediante el producto cruz generalizado, evitando así el tener que resolver n sistemas de n ecuaciones lineales, con n incógnitas cada uno. 1

INTRODUCCIÓN El trabajo de Galois sobre la solución de ecuaciones mediante procesos algebraicos cerró un capítulo en el álgebra, pero tuvo que esperar otros desarrollos para que rindiera fruto completamente. El principal descubrimiento algebraico, ocurrido después de lo hecho por Galois, fue iniciado por William Rowan Hamilton, el cual abrió un panorama totalmente nuevo acerca de cómo debían ser vistos los números. Para apreciar la originalidad del trabajo de Hamilton, debemos examinar la lógica del álgebra ordinaria como era generalmente entendida en la primera mitad del siglo XIX. Alrededor del año 1800 los matemáticos empleaban diferentes tipos de números, entre los cuales estaban los reales y los complejos, pero no se tenían las definiciones precisas de estos números, ni tampoco ninguna justificación lógica de las operaciones con ellos. Este problema fue considerado primero por George Peacock 1791-1858; los términos Ley Conmutativa y Ley Distributiva fueron introducidos por Francois- Joseph Servois 1767-1847; Augustus De Demorgan le llamó doble álgebra al álgebra de los números complejos en 1849. A mediados del siglo XIX, los axiomas del álgebra generalmente aceptados eran: cantidades iguales sumadas a una tercera, da cantidades iguales; a + b+c = a+b + c; a+b = b+a; cantidades iguales sumadas a cantidades iguales, da cantidades iguales; cantidades iguales sumadas a cantidades desiguales, da cantidades desiguales; a bc = ab c; ab = ba; a b + c = ab + ac. Surgió entonces la pregunta: por qué los distintos tipos de números poseen las mismas propiedades? El trabajo de estos y de otros matemáticos, fue la justificación para suponer que las mismas propiedades fundamentales se cumplían para todos los tipos de números. Hamilton estableció la lógica de los números complejos en base a las propiedades de los números reales, ya que, cerca de 1830, éstos estaban intuitivamente bien fundamentados sólo mediante su representación como puntos en el plano o como segmentos de recta dirigidos; [20]. Cardano fue el primero en presentar los números complejos 5 + 15 y 5 15 como soluciones de su problema: Dividir 10 en dos partes tales que su producto sea 40. En 1629, Albert Girard llama a los números a ± b soluciones imposibles. El término números imaginarios fue introducido por Descartes. Euler conocía la representación geométrica de los números complejos como puntos en un plano, pero no

2 Introducción representación geométrica de los números complejos como puntos en un plano, pero no dio una definición satisfactoria de número complejo. Definiciones geométricas claras de la adición y multiplicación de números complejos, vistos como segmentos de recta dirigidos en un plano, fueron dadas por Caspar Wessel en 1797, Jean Robert Argand en 1806, John Warren en 1828 y por Carl Friedrich Gauss en 1831. Al parecer, la expresión números complejos se debe a Gauss. Hamilton definió en 1843 los números complejos como pares de números reales a, b, sujetos a reglas convencionales de adición y multiplicación. El uso de números complejos para representar vectores en un plano era bien conocido cerca de 1830, sin embargo, la utilidad de los números complejos era limitada. Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, no necesariamente van a estar en un mismo plano. Para tratar estas fuerzas algebraicamente, se necesita un análogo tridimensional de los números complejos. Se podrían utilizar las coordenadas cartesianas de un punto x, y, z para representar un vector, pero no hay operaciones con las tripletas de números para representar las operaciones entre vectores. Estas operaciones, como en el caso de los números complejos, tendrían que incluir adición, sustracción, multiplicación y división, además de cumplir las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, de manera que las operaciones algebraicas pudieran ser aplicadas de una manera libre y efectiva. Fue entonces que Hamilton se planteó a sí mismo el siguiente problema: Averiguar cómo, las tripletas de números a, b, c tienen que ser multiplicadas en analogía a las parejas a, b. Hamilton escribió sus tripletas como a+bi+cj y visualizó sus unidades básicas 1, i, j como segmentos dirigidos en el espacio, mutuamente perpendiculares, de longitud unitaria. Más tarde, él mismo usó la palabra vector. Buscó representar productos en la forma a + bi + cj x + yi + zj como vectores en el mismo espacio. Pidió, en primer lugar, que fuera posible multiplicar término a término, y en segundo lugar, que la longitud del vector producto fuera igual al producto de las longitudes de los factores, y le llamó a esta regla: la ley del módulo. Hoy se sabe que estos dos requerimientos sólo pueden cumplirse en espacios de dimensiones 1, 2, 4 y 8, lo cual fue probado por Adolf Hurwitz como veremos; por lo tanto, el intento de Hamilton en tres dimensiones estaba destinado a fracasar. Para cumplir la ley del módulo, Hamilton estableció ii = 1 como en los números complejos, y también jj = 1 pero, qué era ij? y qué era ji? Al principio decidió suponer ij = ji, y calculó a + bi + cj x + yi + zj = ax by cz + ay + bx i + az + cx j + bz + cy ij. Ahora se preguntaba, qué se debe hacer con ij? Deberá tener la forma p + qi + rj? Primer intento. En una carta que Hamilton escribió a John Graves se lee: El cuadrado de ij parece ser igual a uno, ya que i 2 = j 2 = 1, y esto pude invitarnos a tomar ij = 1 o ij = 1; pero sin ninguna suposición, debemos tener que, la suma de los cuadrados de los coeficientes en el producto es igual al producto de las correspondientes sumas de cuadrados en los factores.

Introducción 3 Segundo intento. Hamilton consideró el caso más simple a + bi + cj 2 = a 2 b 2 c 2 + 2abi + 2acj + 2bcij. Calculó la suma de los cuadrados de los coeficientes de 1, i, j en el lado derecho y obtuvo a 2 b 2 c 2 2 + 2ab 2 + 2ac 2 = a 2 + b 2 + c 2 2, por lo cual dijo, la condición del módulo se cumple, si eliminamos el término que involucra a ij. Tercer intento. Hamilton reporta que la suposición ij = 0, no está del todo bien y escribe en su carta a Graves: Parece que la suposición que hice anteriormente no estaba bien, lo que me lleva a suponer algo que hasta ahora no consideraba adecuado: ji = ij. He hecho, por lo tanto: ij = k, ji = k. Aún tengo que averiguar si k = 0 o no. Cuarto intento. En una manera más general, Hamilton multiplicó a + bi + cj y x + bi + cj. En su carta a Graves, Hamilton concluye: El coeficiente de k aún se anula, y se confirma que ij = ji, pero todavía no he obtenido información acerca del valor de k. También pude verificar geométricamente la condición del módulo. Hamilton se dio nuevamente a la tarea de multiplicar tripletas en general: a + bi + cj x + yi + zj = ax by cz + ay + bx i + az + cx j + bz cy k. Tomó k = 0 y se preguntó, se satisface la ley del módulo? En otras palabras, se cumple la identidad a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 = ax by cz 2 + ay + bx 2 + az + cx 2? La respuesta es: No, el lado izquierdo de la igualdad excede al lado derecho por bz cy 2. Pero precisamente bz cy 2 es el cuadrado del coeficiente de k en el desarrollo del producto a + bi + cj x + yi + zj si tomamos ij = k, ji = k. Y es aquí, donde un destello de luz le da una nueva dirección al problema. En su carta a Graves, Hamilton escribe: Y fue entonces que se me ocurrió la idea que debía admitir desde el principio: considerar una cuarta dimensión del espacio para poder multiplicar tripletas...; debemos admitir un tercer símbolo imaginario k, que no debe ser confundido ni con i ni con j, pero que debe ser igual al producto de estos últimos dos, con lo cual estamos listos para introducir los cuaternios, de dos formas: a + bi + cj + dk o a, b, c, d. A continuación, Hamilton muestra los resultados a los que llegó el lunes 16 de octubre de 1847, mediante las consideraciones anteriores, ik = iij = j, kj = ijj = i, ki = j, jk = i, y finalmente, lo que lo llevó a la solución del problema: k 2 = ijij = iijj = 1, i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1.

4 Introducción Desde el punto de vista puramente algebraico, los cuaternios son interesantes, ya que constituyen un ejemplo de un álgebra que tiene las propiedades de los números reales y de los complejos, excepto la conmutatividad de la multiplicación; [23]. Unaño después de que Hamilton anunciara su descubrimiento de los cuaternios, el matemático Hermann Gunther Grassmann 1809-1877 publicó un tratado de álgebra acerca de hipernúmeros con n componentes y geometría n-dimensional, llamado El Cálculo de Extensiones; por su parte, el matemático William Kingdon Clifford 1845-79 creó otro tipo de hipernúmeros y de álgebra, llamada álgebra de Clifford en su honor. Aunque los cuaternios recibieron gran atención al principio, no era lo que los físicos de la época querían. Buscaban un concepto más asociado con las coordenadas cartesianas, de lo que lo estaban los cuaternios. El primer paso en esa dirección fue dado por James Clerk Maxwell 1831-79, el fundador de la teoría electromagnética. Maxwell separó las partes escalar y vectorial del cuaternio, e hizo énfasis tratando cada concepto por separado. El rompimiento formal con los cuaternios y la inauguración de un tema nuevo e independiente, llamado análisis vectorial tridimensional, fue hecho independientemente por Josiah Willard Gibbs 1839-1903 y Oliver Heaviside 1850-1925 a principios de 1880. Como lo formularon Gibbs y Heaviside, un vector no es mas que la parte vectorial de un cuaternio, pero considerado independientemente de los cuaternios. Se definieron dos tipos de multiplicación entre vectores, ambos útiles en la física: el producto escalar, que da como resultado un número real, y el producto cruz vectorial, que da como resultado un vector, perpendicular a los vectores dados. Los objetivos de esta tesis son: Investigar la posibilidad de obtener un producto cruz binario en R n, para n > 3. Generalizar el producto cruz a R n. Obtener un algoritmo para calcular la base dual mediante el producto cruz. Resolver problemas de álgebra lineal por medio del producto cruz generalizado. En el presente trabajo veremos que el producto cruz se puede generalizar a R n de manera natural, además de que se darán algunas aplicaciones de este producto cruz a la solución de problemas del álgebra lineal. Veremos también que se pueden definir productos cruz binarios en los cuaternios puros y en los octonios puros, además de productos cruz con tres elementos tanto en los cuaternios como en los octonios. En el capítulo uno se trabaja únicamente con R 3. Se definen: el producto interno α β, el producto cruz vectorial α β, las propiedades que cumplen, así como los diferentes tipos de productos que se pueden obtener mediante la combinación de ambos productos. Al final del capítulo se dan algunas aplicaciones del producto cruz vectorial a la solución de problemas de álgebra lineal: Dada una base ordenada de R 3, obtener su base dual.

Introducción 5 Dadas dos bases de R 3, obtener la matriz de cambio de base. Dados dos vectores de R 3 l. i., extenderlos a una base de R 3. Dados dos vectores de R 3 l. i., obtener una base ortogonal de R 3. Se resuelve la ecuación vectorial α β = γ para β, dados α, γ R 3. Obtener la reflexión de un vector arbitrario ϕ, respecto de un plano. Obtener la rotación de un vector arbitrario ϕ. En el capítulo dos se presenta la historia del descubrimiento de los cuaternios octonios, sus propiedades aritméticas, algunas propiedades adicionales, así como el producto cruz de dos cuaternios octonios puros y el producto cruz de tres cuaternios octonios. En el capítulo tres se plantea la pregunta: existen otros productos cruz de dos elementos en R q con q > 3? Para dar respuesta a tal cuestionamiento se aborda el problema de Hurwitz, [5], mediante álgebras composición, ágebras no-asociativas y álgebras alternativas. Al final del capítulo se construye el álgebra de los números reales R, los complejos C, los cuaternios H y los octonios O. En el capítulo cuatro se generaliza a R n el producto cruz vectorial de R 3, además de listar y probar las propiedades que cumple. En la segunda parte del capítulo, se da solución a algunos problemas de álgebra lineal mediante este producto cruz generalizado: Dada una base ordenada de R n, obtener su base dual. Dadas dos bases ordenadas de R n, obtener las matrices de cambio de base. Dados n 1 vectores de R n l. i., extenderlos a una base de R n. Dados n 1 vectores de R n l. i, obtener una base ortogonal de R n. Se resuelve la ecuación α 1... α n 2 β = γ para β, dados α 1,..., α n 2, γ R n.

Capítulo 1 EL PRODUCTO INTERNO Y VECTORIAL EN R 3 A lo largo de este capítulo únicamente consideraremos el espacio vectorial euclidiano R 3, sobre el campo de los números reales, en el cual tiene sentido hablar de longitud de un vector y de ángulo entre dos vectores. Para esto haremos uso de cierto tipo de función de valor real sobre parejas de vectores, conocida como producto interno. Introduciremos además el producto cruz vectorial y el producto vectorial mixto, cuyas interpretaciones geométricas serán descritas.finalmente, se dan aplicaciones de este producto cruz a la resolución de problemas de álgebra lineal. 1.1. El producto interno α β Comenzamos introduciendo un tipo de multiplicación entre dos vectores de R 3, llamada producto interno canónico, y que a menudo recibe el nombre de producto escalar. Definición 1 Sean α = a 1, a 2, a 3 y β = b 1, b 2, b 3 dos vectores de R 3. Se define el producto interno canónico entre α y β, denotado por α β, como el escalar α β = 3 a i b i. 1.1 i=1 El producto interno posee las siguientes propiedades. Teorema 2 Para todo α, β, γ R 3 y para todo k R se cumple: 1. α β = β α Conmutatividad, 2. α β + γ = α β + α γ Distributividad, 3. kα β = α kβ = k α β Homogeneidad, 4. α α > 0 si y sólo si α 0, 0, 0 Definido positivo, 5. α α = 0 si y sólo si α = 0, 0, 0.

8 El producto interno y vectorial en R 3 Demostración Sean α = a 1, a 2, a 3, β = b 1, b 2, b 3 y γ = c 1, c 2, c 3. 1. α β = 3 a i b i = 3 b i a i = β α. i=1 i=1 2. α β + γ = 3 a i b i + c i = 3 a i b i + a i c i = 3 a i b i + 3 a i c i i=1 = α β + α γ. i=1 3. kα β = 3 ka i b i = 3 a i kb i = α kβ. i=1 i=1 α kβ = 3 a i kb i = k 3 a i b i = k α β. i=1 i=1 4. Sea α 0, 0, 0, es decir a i 0 para alguna i {1, 2, 3}. Entonces α α = 3 a 2 i, y como a 2 i > 0 para alguna i {1, 2, 3}, la suma es no i=1 negativa. Por lo tanto α α > 0. 5. α α = 3 a 2 i = 0 si y sólo si cada término de la suma es cero, y esto sólo puede i=1 ocurrir si α = 0, 0, 0. Ahora, utilizando el producto interno, enunciamos una desigualdad muy importante. Teorema 3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo α, β R 3 se tiene i=1 α β 2 α α β β. 1.2 La igualdad es válida si y sólo si los vectores son linealmente dependientes. Demostración Si α ó β es el vector cero, la demostración es trivial, por lo que supondremos que α y β son ambos no nulos. Sea ψ el vector ψ = xα yβ, donde x = β β y y = α β. Por las propiedades 4 y 5 del teorema anterior, se tiene que ψ ψ 0. Sustituyendo ψ en la expresión anterior: ψ ψ = xα yβ xα yβ = x 2 α α 2xy α β + y 2 β β 1.3 i=1 = α α β β 2 2 α β 2 β β + α β 2 β β = α α β β 2 α β 2 β β 0.

El producto interno α β 9 Como β β > 0, al dividir entre β β se obtiene la desigualdad deseada: α α β β α β 2 0. La igualdad es válida en 1.2 si y sólo si ψ = 0. Pero ψ = 0 si y sólo si xα = yβ, es decir, si α y β son linealmente dependientes. Por lo tanto, la desigualdad estricta ocurre cuando los vectores son linealmente independientes. Ahora definimos la longitud o norma de un vector, que asocia a cada vector de R 3 con un número real. Definición 4 Si α R 3, su longitud o norma se designa por α y se define como α = α α, 1.4 o alternativamente α 2 = α α. 1.5 La norma tiene las siguientes propiedades. Teorema 5 Si α R 3 y c R se cumple 1. α > 0 si y sólo si α 0, 2. α = 0 si y sólo si α = 0, 3. cα = c α, 4. α + β α + β Desigualdad triangular. Demostración Estas propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades del producto interno y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Expresamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en función de la norma como: α β 2 α 2 β 2. 1.6 Tomando la raíz cuadrada positiva de cada miembro en la expresión anterior: α β α β. 1.7 Ahora daremos una definición del ángulo entre dos vectores mediante el producto interno.

10 El producto interno y vectorial en R 3 Definición 6 Sean α, β R 3 distintos de cero. Se define el ángulo entre α y β como cos θ = α β α β, 1.8 donde 0 θ π. Geométricamente, el producto interno es el producto de la longitud de α, la longitud de β y el coseno del ángulo entre α y β; [9]. Esto nos permite escribir el producto interno en la forma α β = α β cos θ, lo que nos conduce a la siguiente: Definición 7 Dos vectores α, β R 3 distintos de cero, se dice que son ortogonales si α β = 0. Una consecuencia de las propiedades del producto interno y de la norma es la ley de los cosenos. Teorema 8 Sean α, β y γ las longitudes de los lados de un triángulo y sea θ el ángulo opuesto al lado de longitud γ. Entonces Demostración Sea γ = β α, entonces γ 2 = α 2 + β 2 2 α β cos θ. 1.9 γ γ = β α β α = β α β β α α 1.10 = β β α β β α + α α. Por la definición de norma y la definición alternativa de producto interno se llega a γ 2 = α 2 + β 2 2 α β cos θ.

El producto cruz vectorial α 1 α 2 11 Dado que R 3 es un espacio con producto interno, podemos hablar del complemento ortogonal de un subconjunto de R 3. Definición 9 Sea S R 3. El complemento ortogonal de S, denotado por S, consiste en aquellos vectores de R 3 que son ortogonales a todo vector α S: S = { β R 3 β α = 0 para todo α S }. 1.11 En particular, dado un vector α R 3 tendremos α = { β R 3 β α = 0 }, 1.12 es decir, α consiste en todos los vectores que son ortogonales al vector dado α. El complemento ortogonal de R 3 es el subespacio cero, y, de manera recíproca, 0 = R 3. Supongamos que α es un vector no nulo en R 3. En este caso la interpretación geométrica de α es el plano en R 3 que pasa por el origen y es perpendicular al vector α; [8]. 1.2. El producto cruz vectorial α 1 α 2 En varios problemas de geometría y de la física, es necesario obtener un vector que sea perpendicular a dos vectores dados. Estos problemas se resuelven fácilmente con el producto cruz vectorial, definido de la siguiente manera: Definición 10 Sean α 1 = a 11, a 12, a 13, α 2 = a 21, a 22, a 23 R 3. Se define el producto cruz vectorial entre α 1 y α 2 como el vector α 1 α 2 = a 12 a 23 a 13 a 22, a 13 a 21 a 11 a 23, a 11 a 22 a 12 a 21. 1.13

12 El producto interno y vectorial en R 3 El producto cruz vectorial cumple con las siguientes propiedades. Teorema 11 Para todo α, β, γ R 3 y para todo k R se cumple: 1. α β = β α Simetría alternada, 2. k α β = kα β = α kβ Homogeneidad, 3. α β + γ = α β + α γ Distributividad, 4. α α β = 0 = β α β Ortogonalidad respecto a α y β, 5. α β 2 = α 2 β 2 α β 2 Identidad de Lagrange, 6. α β = 0 si y sólo si α y β son linealmente dependientes. Demostración Sean α = a 1, a 2, a 3, β = b 1, b 2, b 3 y γ = c 1, c 2, c 3. 1 Al intercambiar α y β en la definición de producto cruz, resulta β α = a 3 b 2 a 2 b 3, a 1 b 3 a 3 b 1, a 2 b 1 a 1 b 2 = α β, 1.14 y así, multiplicando 1.14 por 1 se obtiene el resultado deseado. Esto nos muestra que el producto cruz no es conmutativo. 2 k α β = k a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 = k a 2 b 3 a 3 b 2, k a 3 b 1 a 1 b 3, k a 1 b 2 a 2 b 1 = ka 2 b 3 ka 3 b 2, ka 3 b 1 ka 1 b 3, ka 1 b 2 ka 2 b 1 = kα β. kα β = ka 2 b 3 ka 3 b 2, ka 3 b 1 ka 1 b 3, ka 1 b 2 ka 2 b 1 3 = a 2 kb 3 a 3 kb 2, a 3 kb 1 a 1 kb 3, a 1 kb 2 a 2 kb 1 = α kβ. α β + γ = a 1, a 2, a 3 b 1 + c 1, b 2 + c 2, b 3 + c 3 T a 2 b 3 + c 3 a 3 b 2 + c 2 = a 3 b 1 + c 1 a 1 b 3 + c 3 a 1 b 2 + c 2 a 2 b 1 + c 1 = a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 + a 2 c 3 a 3 c 2, a 3 c 1 a 1 c 3, a 1 c 2 a 2 c 1 = α β + α γ.

El producto cruz vectorial α 1 α 2 13 4 α α β = a 1 a 2 b 3 a 3 b 2 + a 2 a 3 b 1 a 1 b 3 + a 3 a 1 b 2 a 2 b 1 = a 1 a 2 b 3 a 1 a 3 b 2 + a 2 a 3 b 1 a 1 a 2 b 3 + a 1 a 3 b 2 a 2 a 3 b 1 = 0. β α β = b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 + b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 + b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 5 Por otra parte = a 2 b 1 b 3 a 3 b 1 b 2 + a 3 b 1 b 2 a 1 b 2 b 3 + a 1 b 2 b 3 a 2 b 1 b 3 = 0. α β 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 2 + a 3 b 1 a 1 b 3 2 + a 1 b 2 a 2 b 1 2 = { a 2 2b 2 3 2a 2 a 3 b 2 b 3 + a 2 3b 2 2 + a 2 3b 2 1 2a 1 a 3 b 1 b 3 +a 2 1b 2 3 + a 2 1b 2 2 2a 1 a 2 b 1 b 2 + a 2 2b 2 1}. α 2 β 2 α β 2 = a 2 1 + a 2 2 + a3 2 b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 2 = { a 2 1b 2 1 + a 2 1b 2 2 + a 2 1b 2 3 + a 2 2b 2 1 + a 2 2b 2 2 + a 2 2b 2 3 +a 2 3b 2 1 + a 2 3b 2 2 + a 2 3b 2 3 a 2 1b 2 1 a 2 2b 2 2 a 2 3b 2 3 2a 1 a 2 b 1 b 2 2a 1 a 3 b 1 b 3 2a 2 a 3 b 2 b 3 } = { a 2 1b 2 2 + a 2 1b 2 3 + a 2 2b 2 1 + a 2 2b 2 3 + a 2 3b 2 1 + a 2 3b 2 2 2a 1 a 2 b 1 b 2 2a 1 a 3 b 1 b 3 2a 2 a 3 b 2 b 3 }, por lo tanto α β 2 = α 2 β 2 α β 2. La propiedad 5 muestra que α β = 0 si y sólo si α β 2 = α 2 β 2, y esto ocurre si y sólo si α y β son linealmente dependientes. La dirección de α 1 α 2 está determinada por la regla de la mano derecha; esto es, cuando α 1 gira hacia α 2 de modo que los dedos de la mano derecha señalen el sentido de la rotación, entonces el pulgar indica la dirección de α 1 α 2 suponiendo que el pulgar está perpendicular a los otros dedos. La norma de α 1 α 2 tiene una interpretación geométrica interesante. Si α 1 y α 2 son vectores no nulos que forman un ángulo θ, al sustituir α 1 α 2 = α 1 α 2 cos θ en la propiedad 5 del teorema 10, obtenemos α 1 α 2 2 = α 1 2 α 2 2 1 cos 2 θ = α 1 2 α 2 2 sin 2 θ, 1.15 de lo que resulta α 1 α 2 = α 1 α 2 sin θ. 1.16

14 El producto interno y vectorial en R 3 Puesto que α 2 sin θ es la altura del paralelogramo determinado por los vectores α 1 y α 2, la norma α 1 α 2 representa el área de ese paralelogramo, [9]; además, α 1 α 2 es perpendicular a α 1 y α 2. Definición 12 Alternativamente, el producto cruz entre α 1 y α 2 está dado por α 1 α 2 = 3 A 1i e i, 1.17 i=1 donde los A 1i son los cofactores de la matriz 1 1 1 a 11 a 12 a 13, 1.18 a 21 a 22 a 23 es decir, α 1 α 2 = a 12 a 13 a 22 a 23 e 1 a 11 a 13 a 21 a 23 e 2 + a 11 a 12 a 21 a 22 e 3, 1.19 siendo e 1 = 1, 0, 0, e 2 = 0, 1, 0 y e 3 = 0, 0, 1 los vectores de la base canónica de R 3. De manera informal, la expresión 1.19 también se expresa como e 1 e 2 e 3 α 1 α 2 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23. 1.20

El producto vectorial mixto 15 1.3. El producto vectorial mixto El producto interno y el producto cruz pueden combinarse para formar el producto mixto α 1 α 2 α 3, cuya interpretación es α 1 α 2 α 3 ; primero se realiza el producto cruz y luego el producto interno. También recibe el nombre de triple producto escalar por estar involucrados tres vectores y porque el resultado es precisamente un escalar. Proposición 13 Sean α 1, α 2, α 3 R 3. El triple producto escalar α 1 α 2 α 3 está dado por a 11 a 12 a 13 α 1 α 2 α 3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, 1.21 donde α 1 = a 11, a 12, a 13, α 2 = a 21, a 22, a 23 y α 3 = a 31, a 32, a 33. También podemos escribir α 1 α 2 α 3 en la forma a α 1 α 2 α 3 = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32. 1.22 Por simplicidad, la expresión 1.22 suele denotarse como detα 1, α 2, α 3. Por propiedades de los determinantes se sabe que al intercambiar dos filas adyacentes, el signo del determinante cambia. Haremos uso de esta propiedad para demostrar la siguiente proposición. Proposición 14 Sean α 1, α 2, α 3 R 3. Los productos interno y cruz se pueden intercambiar, es decir: α 1 α 2 α 3 = α 1 α 2 α 3. 1.23 Demostración Sean α 1, α 2 y α 3 las filas del determinante que se forma al realizar el producto mixto α 1 α 2 α 3, entonces α 1 α 2 α 3 = det α 1, α 2, α 3 = det α 1, α 3, α 2 = det α 3, α 1, α 2 = α 3 α 1 α 2 = α 1 α 2 α 3. Proposición 15 Sean α 1, α 2, α 3 R 3. El triple producto escalar cumple α 1 α 2 α 3 = α 2 α 3 α 1 = α 3 α 1 α 2. 1.24

16 El producto interno y vectorial en R 3 Demostración α 1 α 2 α 3 = det α 1, α 2, α 3 = det α 2, α 1, α 3 = det α 2, α 3, α 1 = α 2 α 3 α 1. α 2 α 3 α 1 = det α 2, α 3, α 1 = det α 3, α 2, α 1 = det α 3, α 1, α 2 = α 3 α 1 α 2. Lo que nos dice la proposición anterior es que el producto vectorial mixto permanece invariable cuando se realiza una permutación cíclica de los vectores α 1, α 2 y α 3. El triple producto escalar tiene una interpretación geométrica. La figura muestra un paralelepípedo determinado por los vectores geométricos α 1, α 2 y α 3. Su altura es α 1 cos φ, siendo φ el ángulo que forman α 1 y α 2 α 3, con 0 φ π. El volumen del paralelepípedo 2 es V = α 2 α 3 α 1 cos φ = α 1 α 2 α 3. 1.25 Cuando π < φ π, cos φ < 0, y el producto α 2 1 α 2 α 3 es el negativo del volumen. Cuando φ = π, los tres vectores están en un mismo plano que pasa por 2 el origen, por lo que son linealmente dependientes y su producto mixto es nulo, es decir: α 1 α 2 α 3 = 0.

El producto vectorial mixto 17 Por la proposición anterior, el volumen del paralelepípedo también se puede obtener de la siguiente manera: V = α 2 α 3 α 1 = α 3 α 1 α 2. 1.26 En ocasiones es necesario realizar otros tipos de combinaciones de productos entre vectores, por lo que se dan algunos a continuación. Proposición 16 Sean α, β, γ R 3. Entonces α β γ = α γ β α β γ. 1.27 Demostración Sea θ el ángulo entre α y β. Si α y β son linealmente dependientes, la demostración es trivial, por lo que supondremos que son linealmente independientes; [15]. Primero obtendremos una fórmula para α α β. Observe que el vector α α β es perpendicular a α y a α β, por lo que está en el plano generado por α y β. Entonces el vector α α β es un múltiplo escalar de β decir [ α α β = k β β α α 2 α, es ] β α α 2 α. 1.28 Calculando el producto interno de β con 1.28 y resolviendo para k tenemos: β α α β = [ ] β α k β β α 2 β α [ ] β α α β = k β 2 β α2 α 2 [ ] α β α β = k β 2 α 2 β 2 cos 2 θ α 2 1.29 α β 2 = k β 2 1 cos 2 θ Sustituyendo k en 1.28: α 2 β 2 sin 2 θ = k β 2 sin 2 θ k = α 2. α α β = α 2 [β ] α β α 2 α = α β α α 2 β. 1.30 Ahora consideremos α β γ para vectores arbitrarios α, β y γ. Sea α = z 1 β γ + z 2 β + z 3 γ. 1.31

18 El producto interno y vectorial en R 3 Efectuando el producto interno de 1.31 con β: α β = z 1 β γ β + z 2 β β + z 3 γ β Tomando el producto interno de 1.31 con γ: = z 2 β 2 + z 3 γ β. 1.32 α γ = z 1 β γ γ + z 2 β γ + z 3 γ γ Calculando el producto cruz de 1.31 con β γ: = z 2 β γ + z 3 γ 2. 1.33 α β γ = z 1 β γ β γ + z 2 β β γ + z 3 γ β γ = z 2 [ β γ β β 2 γ ] z 3 γ γ β = z 2 β γ β z 2 β 2 γ z 3 [ γ β γ γ 2 β ] = [ z 2 β γ + z 3 γ 2] β [ z 2 β 2 + z 3 γ β ] γ. 1.34 Sustituyendo 1.32 y 1.33 en 1.34 se obtiene α β γ = α γ β α β γ. Corolario 17 Dados α 1, α 2, α 3 R 3 se cumple α 1 α 2 α 3 = α 1 α 3 α 2 α 2 α 3 α 1. 1.35 Demostración α 1 α 2 α 3 = α 3 α 1 α 2 = [α 3 α 2 α 1 α 3 α 1 α 2 ] = α 1 α 3 α 2 α 2 α 3 α 1. De la proposición y del corolario anterior se concluye que α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3. 1.36 Corolario 18 Sean α 1, α 2, α 3, α 4 R 3. Entonces α 1 α 2 α 3 α 4 = α 1 α 3 α 2 α 4 α 1 α 4 α 2 α 3. 1.37

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 19 Demostración α 1 α 2 α 3 α 4 = α 1 α 2 α 3 α 4 = α 1 [α 2 α 4 α 3 α 2 α 3 α 4 ] = α 2 α 4 α 1 α 3 α 2 α 3 α 1 α 4. También [21], podemos escribir la expresión anterior por medio de un determinante en la forma: α 1 α 2 α 3 α 4 = α 1 α 3 α 1 α 4 α 2 α 3 α 2 α 4. 1.38 1.4. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 1.4.1. Obtener una base de R 3 dados dos vectores l. i. Sean α 1, α 2 R 3 dos vectores linealmente independientes. Se verifica fácilmente que A = {α 1, α 2, α 1 α 2 } 1.39 es una base de R 3. 1.4.2. Base dual en R 3 Dada una base ordenada de R 3 se puede encontrar su base dual resolviendo tres sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cada uno. En esta sección se propone un algoritmo alternativo para encontrar la base dual en R 3 ; [25]. Comenzaremos exponiendo el material de álgebra lineal necesario para establecer un lenguaje básico que se usará a lo largo del presente trabajo; [4]. Definición 19 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Una transformación lineal f : V F se denomina funcional lineal o forma lineal. Si V es un espacio vectorial, el conjunto de todos los funcionales lineales sobre V es así mismo un espacio vectorial, denotado por L V, F. Se designa este espacio por V y recibe el nombre de espacio dual de V, denotado por que posee la siguiente característica: V = LV, F, dim V = dim V. Suponga que V es un espacio vectorial de dimensión n sobre F y sea A = {α 1,..., α n } una base de V. Entonces, para cada i existe un funcional lineal f i único, tal que f i α j = δ ij, 1.40

20 El producto interno y vectorial en R 3 con i, j {1, 2,..., n}. Estos funcionales son linealmente independientes, y en tal caso {f 1,..., f n } constituye la única base dual A, respecto de la base A. Para cada funcional lineal f sobre V se tiene f = n f α i f i, 1.41 i=1 y para cada vector α de V se tiene α = n f i α α i. 1.42 i=1 Sea V = R 3 y F = R. Sean α, β R 3, con α = x, y, z y β = u 1, u 2, u 3. Un funcional lineal en R 3 está dado en la forma f β α = u 1 x + u 2 y + u 3 z, 1.43 = β α. 1.44 A continuación se propone el algoritmo alternativo para obtener la base dual, dada una base ordenada de R 3. En este algoritmo se emplea el producto interno y el producto cruz vectorial definidos en las secciones anteriores. Sea A = {α 1, α 2, α 3 } una base ordenada de R 3 y α R 3 arbitrario. Sean β 1 = α 2 α 3, β 2 = α 1 α 3, β 3 = α 1 α 2. Se definen funcionales lineales en la forma f γi α = γ i α, 1.45 con 1 γ i = β α i β i, para i = 1, 2, 3. 1.46 i Los vectores γ 1, γ 2 y γ 3 se denominan vectores inversos o recíprocos de los vectores α 1, α 2 y α 3. Su producto interno satisface: α i γ j = δ ij = { 0 i j, 1 i = j. para i, j = 1, 2, 3. 1.47

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 21 Utilizando la ecuación 1.27 se obtiene β1 β2 β3 γ 1 γ 2 γ 3 = α 1 β 1 α 2 β 2 α 3 β 3 α2 α 3 α1 α 3 α1 α 2 = α 1 α 2 α 3 α 2 α 1 α 3 α 3 α 1 α 2 = α 2 α 3 [α 3 α 1 α 1 α 2 ] α 1 α 2 α 3 3 = α 2 α 3 [α 3 α 1 α 2 α 1 ] α 1 α 2 α 3 3 1.48 = α 3 α 1 α 2 α 2 α 3 α 1 α 1 α 2 α 3 3 = α 1 α 2 α 3 2 α 1 α 2 α 3 3 1 =, α 1 α 2 α 3 es por esta razón que se les da el nombre de vectores recíprocos. Finalmente llegamos a los funcionales lineales f γi α = γ i α 1 = β α i β i α 1.49 i = α β i α i β i, Cabe mencionar que α i β i 0 siempre, porque α 1,α 2 y α 3 son linealmente independientes. Por ejemplo, α 1 β 1 = α 1 α 2 α 3 = det α 1, α 2, α 3 0. 1.50 En efecto, veamos que la expresión 1.49 cumple 1.40 para i = 1: f γ1 α 1 = α 1 β 1 α 1 β 1 = 1, De la misma manera se puede ver que f γ1 α 2 = α 2 β 1 α 1 β 1 = α 2 α 2 α 3 α 1 β 1 = 0, 1.51 f γ1 α 3 = α 3 β 1 α 1 β 1 = α 3 α 2 α 3 α 1 β 1 = 0. f γ2 α 1 = 0, f γ2 α 2 = 1, f γ2 α 3 = 0, f γ3 α 1 = 0, f γ3 α 2 = 0, f γ3 α 3 = 1. 1.52

22 El producto interno y vectorial en R 3 Por lo tanto, A = { f γ1 α, f γ2 α, f γ3 α } es la base dual de la base A. Ahora se da un ejemplo de cómo encontrar la base dual, primero resolviéndolo de la manera usual, es decir, resolviendo tres sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cada uno, y después por medio del producto cruz, para finalmente comparar ambos algoritmos. Algoritmo 1: Sea A = {α 1 = 1, 0, 1, α 2 = 1, 1, 2, α 3 = 1, 2, 4} una base ordenada de R 3. Encontrar su base dual. Buscamos funcionales lineales tales que φ 1 x, y, z = a 11 x + a 12 y + a 13 z, φ 2 x, y, z = a 21 x + a 22 y + a 23 z, 1.53 φ 3 x, y, z = a 31 x + a 32 y + a 33 z, φ 1 α 1 = 1, φ 1 α 2 = 0, φ 1 α 3 = 0, φ 2 α 1 = 0, φ 2 α 2 = 1, φ 2 α 3 = 0, 1.54 φ 3 α 1 = 0, φ 3 α 2 = 0, φ 3 α 3 = 1. Por lo tanto, se deben resolver tres sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cada uno. A continuación se plantea cada sistema y se dan los resultados correspondientes a cada uno: φ 1 α 1 = φ 1 1, 0, 1 = 1a 11 + 0a 12 + 1a 13 = 1 φ 1 α 2 = φ 1 1, 1, 2 = 1a 11 + 1a 12 + 2a 13 = 0 φ 1 α 3 = φ 1 1, 2, 4 = 1a 11 + 2a 12 + 4a 13 = 0 para obtener a 11 = 0, a 12 = 2, a 13 = 1. φ 2 α 1 = φ 2 1, 0, 1 = 1a 21 + 0a 22 + 1a 23 = 0 φ 2 α 2 = φ 2 1, 1, 2 = 1a 21 + 1a 22 + 2a 23 = 1 1.55 φ 2 α 3 = φ 2 1, 2, 4 = 1a 21 + 2a 22 + 4a 23 = 0 para obtener a 21 = 2, a 22 = 3, a 23 = 2. φ 3 α 1 = φ 3 1, 0, 1 = 1a 31 + 0a 32 + 1a 33 = 0 φ 3 α 2 = φ 3 1, 1, 2 = 1a 31 + 1a 32 + 2a 33 = 0 φ 3 α 3 = φ 3 1, 2, 4 = 1a 31 + 2a 32 + 4a 33 = 1 para obtener a 31 = 1, a 32 = 1, a 33 = 1.

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 23 Sustituyendo el valor de cada a ij en los funcionales lineales de 1.53 se tiene que la base dual de A es: φ 1 x, y, z = 2y + z, A = φ 2 x, y, z = 2x + 3y 2z,. φ 3 x, y, z = x y + z Algoritmo 2: Sea A = {α 1 = 1, 0, 1, α 2 = 1, 1, 2, α 3 = 1, 2, 4} una base de R 3. Obtener la base dual por medio del algoritmo del producto cruz vectorial se reduce a lo siguiente: 1. Resolver tres productos cruz para calcular los β is. 2. Calcular el producto interno de α 1 β 1. 3. Para obtener α 2 β 2 y α 3 β 3 no es necesario ni siquiera calcular los productos internos, ya que su valor numérico va a ser el mismo que el de α 1 β 1, excepto por un signo, que dependerá de la permutación de los subíndices de los vectores: si la permutación es par, el signo será +; si la permutación es impar, el signo será. Esto se puede ver fácilmente de la siguiente manera α 2 β 2 = α 2 α 1 α 3 = det α 2, α 1, α 3 = det α 1, α 2, α 3 = 1, 1.56 α 3 β 3 = α 3 α 1 α 2 = det α 3, α 1, α 2 = det α 1, α 3, α 2 = det α 1, α 2, α 3 = 1. 1 4. Calcular los vectores recíprocos γ i = α i β β i i. 5. Finalmente, obtener los funcionales lineales que constituyen la base dual con α = x, y, z R 3 arbitrario. f γi α = γ i α, Calculemos primero los β is: β 1 = α 2 α 3 = 1 2 2 4 e 1 1 2 1 4 = 2e 2 + e 3 = 0, 2, 1, e 2 + 1 1 1 2 e 3 β 2 = α 1 α 3 = 0 1 2 4 e 1 1 1 1 4 e 2 + 1 0 1 2 e 3 = 2e 1 3e 2 + 2e 3 = 2, 3, 2, 1.57

24 El producto interno y vectorial en R 3 β 3 = α 1 α 2 = 0 1 1 2 e 1 1 1 1 2 e 2 + 1 0 1 1 e 3 = e 1 e 2 + e 3 = 1, 1, 1. Ahora α 1 β 1 = det α 1, α 2, α 3 = 1, 0, 1 0, 2, 1 = 1, α 2 β 2 = α 2 α 1 α 3 = det α 2, α 1, α 3 = 1, 1.58 α 3 β 3 = α 3 α 1 α 2 = det α 3, α 1, α 2 = 1, lo que nos permite obtener los vectores recíprocos γ 1 = γ 2 = γ 3 = 1 β α 1 β 1 = 0, 2, 1, 1 1 β α 2 β 2 = 2, 3, 2, 1.59 2 1 β α 3 β 3 = 1, 1, 1. 3 Sea α R 3, con α = x, y, z. Los funcionales lineales que se obtienen son f γ1 α = γ 1 α = 0, 2, 1 x, y, z = 2y + z, f γ2 α = γ 2 α = 2, 3, 2 x, y, z = 2x + 3y 2z, 1.60 f γ3 α = γ 3 α = 1, 1, 1 x, y, z = x y + z. Por lo tanto, la base dual de A es: A = f γ1 x, y, z = 2y + z, f γ2 x, y, z = 2x + 3y 2z, f γ3 x, y, z = x y + z Como se puede ver, la cantidad de operaciones a realizar para obtener la base dual mediante el algoritmo del producto cruz vectorial, es mucho menor que las que se realizarían empleando el algoritmo uno; esto nos permite resolver el problema en menos tiempo y emplear menos espacio a la hora de escribir el desarrollo del problema. Otra ventaja que nos ofrece el algoritmo dos, es que no se requiere saber resolver sistemas de ecuaciones lineales para poder emplearlo. Además, como se verá en el capítulo cuatro, este algoritmo se puede generalizar a R n, y en la medida en que aumenta la dimensión del espacio, al comparar los dos algoritmos, sucede lo siguiente:. número de operaciones algoritmo 2 < número de operaciones algoritmo 1. En resumen, los conocimientos necesarios para poder calcular la base dual empleando el algoritmo dos son:

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 25 Determinantes, Producto interno, Producto cruz. 1.4.3. Matriz de cambio de base Otra aplicación del producto cruz vectorial consiste en obtener la matriz de cambio de base de B a A, dadas dos bases ordenadas A = {α 1, α 2, α 3 }, B = {ω 1, ω 2, ω 3 }, en R 3, para lo cual es necesario calcular los vectores recíprocos de la base A. Veamos como es esto. Sea A = { f γ1 α, f γ2 α, f γ3 α } la base dual de A, donde f γi α = γ i α α R 3, con γ i como en 1.46 e i = 1, 2, 3. Por ser A una base ordenada, cada ω i B puede ser expresado como combinación lineal de la siguiente manera ó mediante la base dual es decir ω i = a i1 α 1 + a i2 α 2 + a i3 α 3, 1.61 ω i = f γ1 ω i α 1 + f γ2 ω i α 2 + f γ3 ω i α 3 = γ 1 ω i α 1 + γ 2 ω i α 2 + γ 3 ω i α 3, 1.62 ω 1 = γ 1 ω 1 α 1 + γ 2 ω 1 α 2 + γ 3 ω 1 α 3, ω 2 = γ 1 ω 2 α 1 + γ 2 ω 2 α 2 + γ 3 ω 2 α 3, 1.63 ω 3 = γ 1 ω 3 α 1 + γ 2 ω 3 α 2 + γ 3 ω 3 α 3. Tomando la transpuesta de la matriz de coeficientes del arreglo anterior obtenemos la matriz de cambio de base de B a A γ 1 ω 1 γ 1 ω 2 γ 1 ω 3 A = γ 2 ω 1 γ 2 ω 2 γ 2 ω 3. 1.64 γ 3 ω 1 γ 3 ω 2 γ 3 ω 3 Entonces, se tiene que A [ω] B = [α] A, 1.65 donde [α] A y [ω] B son vectores coordenados en términos de las bases A y B respectivamente.

26 El producto interno y vectorial en R 3 Ejemplo: Sean A = {α 1 = 1, 0, 1, α 2 = 1, 1, 2, α 3 = 1, 2, 4}, B = {ω 1 = 1, 0, 0, ω 2 = 2, 1, 0, ω 3 = 1, 1, 1}, dos bases ordenadas de R 3. Hallar la matriz de cambio de base de B a A. Los vectores recíprocos γ i de la base A ya se calcularon en el ejercicio de base dual: γ 1 = γ 2 = γ 3 = 1 β α 1 β 1 = 0, 2, 1, 1 1 β α 2 β 2 = 2, 3, 2, 1.66 2 1 β α 3 β 3 = 1, 1, 1. 3 Además γ 1 ω 1 = 0, γ 2 ω 1 = 2, γ 3 ω 1 = 1, γ 1 ω 2 = 2, γ 2 ω 2 = 7, γ 3 ω 2 = 3, 1.67 γ 1 ω 3 = 3, γ 2 ω 3 = 3, γ 3 ω 3 = 1. Por lo tanto, la matriz de cambio de base de B a A es: 0 2 3 A = 2 7 3. 1 3 1 1.4.4. Base ortogonal de R 3 Sean α 1, α 2 R 3 dos vectores linealmente independientes y sea S = {α 1, α 2 }. Mediante el uso del producto cruz, se puede obtener a partir de S una base ortogonal ordenada de R 3, de la siguiente manera: Proposición 20 Sean α 1, α 2 R 3 dos vectores linealmente independientes. Sean β 1 = α 1, β 2 = α 1 α 2, 1.68 β 3 = β 1 β 2. Entonces B = {β 1, β 2, β 3 } es una base ortogonal de R 3.

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 27 Demostración Por las propiedades del producto cruz se tiene que los vectores β 1, β 2, β 3 son mutuamente ortogonales y por consiguiente linealmente independientes, por lo tanto constituyen una base ortogonal de R 3. A continuación se da un ejemplo de como encontrar una base ortogonal mediante la proposición anterior. Ejemplo: Sea S = {α 1 = 1, 0, 1, α 2 = 1, 1, 2} un conjunto linealmente independiente. Entonces β 1 = 1, 0, 1, β 2 = 0 1 1 2 e 1 1 1 1 2 e 2 + 1 0 1 1 e 3 = 1, 1, 1, 1.69 β 3 = 0 1 1 1 Verificando, tenemos que e 1 1 1 1 1 e 2 + 1 0 1 1 e 3 = 1, 2, 1. β i β j = 0 para i j, y det β 1,β 2,β 3 0, 1.70 es decir, los vectores son mutuamente ortogonales y linealmente independientes, como se quería. Por lo tanto B = {β 1 = 1, 0, 1, β 2 = 1, 1, 1, β 3 = 1, 2, 1} es una base ortogonal de R 3. 1.4.5. La ecuación α β = γ Dados dos vectores α, γ R 3 con α 0, considere la ecuación α β = γ. 1.71 A continuación demostraremos que esta ecuación tiene una solución β R 3 si y sólo si α γ = 0, y que cuando esto ocurre, todas las soluciones de 1.71 son de la forma β = β 0 + kα, 1.72 con k R arbitrario y β 0 = α 2 α γ. 1.73 La demostración se realiza de la siguiente manera: Sean α, γ R 3 con α 0 y α γ = 0. Queremos encontrar β R 3 tal que α β = γ. Para esto, vamos a obtener primero una solución particular β 0 R 3 suponiendo α β 0 = 0, es decir, vamos a resolver la ecuación α β 0 = γ. 1.74

28 El producto interno y vectorial en R 3 Tomando el producto cruz por la derecha, de 1.74 con α tenemos α β 0 α = γ α, α α α β 0 α β 0 = γ α, α 2 β 0 β 0 αα = γ α, 1.75 α 2 β 0 = γ α, β 0 = α 2 α γ. Ahora vamos a encontrar todas las soluciones. Como α y β 0 son linealmente independientes y perpendiculares a γ, cualquier solución β de 1.71 es combinación lineal de β 0 y α, y se puede expresar en la forma 1.72 con k R arbitrario. 1.4.6. Reflexión de un vector arbitrario ϕ Sea N un plano fijo con un vector normal unitario N. Encontrar la reflexión espejo de un vector arbitrario ϕ a través del plano N. Sea ϕ e la reflexión espejo del vector ϕ a través del plano N. Se deduce fácilmente que N ϕ e = N ϕ, 1.76 y N ϕ e = N ϕ. 1.77 Ahora, tomando α unitario en la ecuación α β = γ, la solución de esta ecuación se puede expresar en la forma β = γ α + kα. 1.78

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 29 Finalmente, podemos encontrar la reflexión de un vector arbitrario ϕ por medio de la ecuación 1.78 tomando β = ϕ e, α = N, k = N ϕ y γ = N ϕ: ϕ e = N ϕ N N ϕ N = ϕ 2 N ϕ N. 1.79 Para más detalles véase [22]. La segunda igualdad se sigue de 1.35. 1.4.7. Rotación de un vector arbitrario ϕ Sea w una línea fija en la dirección del vector unitario ω. y sea θ un ángulo fijo. Encuentre la rotación ϕ R de un vector arbitrario ϕ alrededor de la línea w, después de girar un ángulo θ. Se deducen fácilmente las siguientes ecuaciones ω ϕ R = ω ϕ, 1.80 y ω ϕ R = ω [ϕ cos θ + ω ϕ sin θ]. 1.81 Se utilizará el hecho de que ϕ = ϕ + ϕ, 1.82 donde ϕ es la proyección perpendicular de ϕ respecto de ω, y ϕ es la proyección paralela de ϕ respecto de ω para más detalles de este hecho ver [22]. La segunda ecuación se puede deducir de la siguiente figura, que es una vista de la rotación, en el plano perpendicular al eje de rotación. Para cada vector, sólo se muestran las componentes que son perpendiculares a ω.

30 El producto interno y vectorial en R 3 y se puede ver que ϕ R = ϕ cos θ + ω ϕ sin θ, 1.83 lo que implica Pero por lo tanto ω ϕ R = ω [ ϕ cos θ + ω ϕ sin θ ]. 1.84 ω ϕ R = ω ϕ R y ω ϕ = ω ϕ, 1.85 ω ϕ R = ω [ϕ cos θ + ω ϕ sin θ]. 1.86 Finalmente, podemos encontrar la rotación de un vector arbitrario ϕ alrededor de una línea w, después de girarlo un ángulo θ mediante la ecuación 1.78 haciendo β = ϕ R, α = ω, k = ω ϕ y γ = ω [ϕ cos θ + ω ϕ sin θ]: ϕ R = {ω [ϕ cos θ + ω ϕ sin θ]} ω + ω ϕ ω = cos θ ϕ + [1 cos θ ω ϕ] ω + sin θ ω ϕ. 1.87 Para más detalles véase [22]. La segunda igualdad se sigue de 1.35 y del hecho de que ω ω ϕ = 0 ya que ω ϕ ω. Esta fórmula para la rotación es conocida como la Fórmula de Rodrigues. Generalizar la mayoría de estos métodos a R n requiere que el producto cruz esté definido en R n. La pregunta que surge es: se puede dar una generalización del producto cruz a R n?, y si esto es posible, qué propiedades tiene? La respuesta a estas preguntas se dará en los siguientes capítulos.

2.1. Los cuaternios H Capítulo 2 CUATERNIOS Y OCTONIOS Hasta 1871 al menos cinco matemáticos habían descubierto o publicado, independientemente unos de otros, la representación geométrica de los números complejos. Estos autores eran Wessel, Gauss, Argand, Warren y Mourey. Fue gracias al prestigio y a la autoridad de Gauss que esta representación fue ampliamente difundida y cada vez más aceptada. Sin embargo, ninguno de ellos había llegado a extender esta representación al espacio de tres dimensiones, y entre los que intentaron encontrar una representación adecuada para ello, después de 1831, figura Sir William Rowan Hamilton. Sin embargo, si la historia de la representación geométrica de los números complejos constituye una línea de desarrollo que desemboca en los cuaternios, existe otra que fue establecida por el mismo Hamilton en su largo e importante ensayo publicado en 1837 con el título: Theory of conjugate functions, or algebraic couples; with a preliminary and elementary essay on algebra as the science of pure time Teoría de las funciones conjugadas o parejas algebraicas; con un ensayo preliminar y elemental sobre el álgebra como ciencia del tiempo puro. En la tercera sección de su obra, Hamilton desarrolla los números complejos en términos de parejas ordenadas de números reales de una manera casi idéntica a la que se utiliza en las matemáticas modernas. Como Hamilton creía que la representación geométrica era útil para la intuición pero no satisfactoria para la justificación lógica de esos números, buscó otra manera de representarlos. Así, introdujo el par ordenado de números reales a, b y definió operaciones sobre este par. Todas esas operaciones se efectúan teniendo en cuenta reglas que son válidas para los números reales: a 0, a 1 + b 0, b 1 = a 0 + b 0, a 1 + b 1, a 0, a 1 b 0, b 1 = a 0 b 0, a 1 b 1, a 0, a 1 b 0, b 1 = a 0 b 0 a 1 b 1, a 0 b 1 + a 1 b 0, 2.1 a 0, a 1 a0 b 0 + a 1 b 1 =, a 1b 0 a 0 b 1. b 0, b 1 b 2 0 + b 2 1 b 2 0 + b 2 1 Hamilton se cuida de añadir, inmediatamente después de estas reglas, lo siguiente: Estas definiciones, aunque arbitrarias, no son contradictorias una con respecto a otra, ni con respecto a los primeros principios del álgebra, y es posible extraer

32 Cuaternios y Octonios conclusiones legítimas, mediante un razonamiento matemático riguroso, a partir de las premisas aceptadas arbitrariamente de este modo; pero las personas que han leído con atención las observaciones precedentes de esta teoría, y las han comparado con el ensayo preliminar, verán que esas definiciones no están escogidas arbitrariamente, en realidad, y a pesar de que otras podrían haber sido propuestas, ninguna otra sería igualmente apropiada. Al final de esta sección, afirma con determinación que el par así considerado es equivalente al número complejo a + bi de la manera siguiente: En la teoría de los números simples reales, el símbolo 1 es absurdo, y designa una raíz imposible, o un número imaginario simple; pero en la teoría de las parejas, el mismo símbolo 1 es significativo, y designa una raíz posible, o una pareja real, la raíz cuadrada principal de la pareja 1, 0. Además, en esta última teoría, no en la primera, el símbolo 1 puede ser propiamente utilizado, y podemos escribir para toda pareja a 0, a 1, a 0, a 1 = a 0 + a 1 1. 2.2 Con esta teoría de las parejas, Hamilton estaba bien preparado para descubrir y aceptar como legítimos los números complejos de cuatro dimensiones, incluso aunque no se dispusiera de ninguna justificación geométrica. Por otro lado, al final de su ensayo de 1837, Hamilton dice que está investigando ternas de números reales; [3]. 2.1.1. Los cuaternios de Hamilton Hamilton, después de su teoría de las parejas, se fijó la tarea de extender la teoría de los números complejos al espacio de tres dimensiones. En una primera etapa, intentó probablemente elaborar un álgebra de tres unidades para establecer una correspondencia con las tres dimensiones espaciales, pero actualmente se sabe que tal álgebra no puede existir. Hamilton no lo sabía, y debió de tardar mucho tiempo en convencerse de que no llegaría nunca a alcanzar su objetivo. Cómo llegó más tarde a buscar un álgebra con cuatro unidades que respondiera a sus expectativas? Suponiendo que se hubiera convencido de la pertinencia de esta investigación, Hamilton debía, por otra parte, transgredir la ley de la conmutatividad de la multiplicación para alcanzar su objetivo: los cuaternios. Como había hecho Cardano con la existencia de las raíces complejas, Hamilton decide aceptar lo que era comúnmente inaceptable en aquella época, que la multiplicación de los cuádruplos no es conmutativa. El 16 de octubre de 1843, Hamilton se paseaba a la orilla del Canal Real cuando de pronto, después de largos meses, e incluso de largos años de espera, emerge el resultado que había esperado tanto tiempo: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1. Él grabó esta relación fundamental en la madera del Puente Brougham. Presentó la forma definitiva de su teoría de los cuaternios en sus Lectures on quaternions Lecciones sobre los cuaternios en 1853, y en una obra en dos volúmenes