Capítulo nálisis vectorial.. Sistemas de coordenadas En este curso se hace un uso intenso de tres sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas. Naturalmente estos sistemas serán de utilidad en situaciones físicas con simetrías rectangular, cilíndrica y esférica. Veremos en esta sección su definición y algunos resultados de interés que siguen de estas definiciones.... Coordenadas cartesianas z ^ z^ ^ y y y el vector unitario asociado: ˆ y ŷ z ẑ En este sistema entonces un vector cualquiera se escribe: ˆ y ŷ z ẑ y su norma, definida como la raiz cuadrada del producto punto del vector consigo mismo (ver nota ), es 2 2 y 2 z Un caso particular es el del vector de posición r asociado a un punto: la posición de un punto en este sistema está definida por la triada de coordenadas y z y en consecuencia, el vector de posición queda dado por: En este caso se tiene: r ˆ yŷ zẑ r r ˆ r y r ŷ y r z r ẑ z Figura.: Sistema de coordenadas cartesianas. y su norma es: r r r 2 y2 z2 Para describir vectores en este sistema de coordenadas se introduce la triada de vectores unitarios ˆ ŷ ẑ a lo largo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vector cualquiera tiene proyecciones a lo largo de las direcciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estas proyecciones o componentes se denotan: y y z y ellas se obtienen mediante el producto punto entre el vector..2. Coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas está basado en la geometría del cilíndro. Se ubica un cilíndro imaginario con su eje aial concéntrico al eje z de un sistema de coordenadas cartesiano. El producto punto entre dos vectores y B es B B y B y z B z )
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 2 tanto tiene sólo componentes a lo largo del plano definido por ˆρ y ẑ) Figura.2: Sistema de coordenadas cilíndricas. ^ ^ ^ r Un punto se define sobre este cilindro por una coordenada de altura z (la altura del cilíndro), una coordenada de distancia radial ρ (el radio del cilindro) y una coordenada de posición angular φ (el ángulo que substiende el punto respecto del eje, medido a lo largo de la superficie del cilindro). lo largo de las direcciones en que crecen ρ, φ y z se definen vectores unitarios ˆρ, ˆφ y ẑ. Este sistema está definido entonces por la triada de coordenadas ρ φ z, y por los correspondientes vectores unitarios asociados ˆρ ˆφ ẑ (ver Fig.??). En estas coordenadas las variables ρ, φ y z varían entre: ρ : φ : 2π z : Un vector cualquiera tendrá proyecciones sobre las direcciones definidas por dichos vectores unitarios. Los valores de dichas proyecciones (las componentes del vector) se denotan correspondientemente por ρ, φ y z (ver Fig??). Ellos se obtienen de la manera usual: ρ ˆρ φ ˆφ z ẑ se tiene: ρ r ρ ˆρ zẑ r y su norma es: ρ 2 z 2. Destacamos nuevamente que el vector de posición r no tiene componente o proyección sobre el vector unitario ˆφ (esto es r ˆφ ), pero un vector cualquiera si podría tenerla (esto es ˆφ ). Proyectando ρ ρ ˆρ sobre los ejes O y O del sistema de coordenadas cartesiano asociado se obtiene la transformación de coordenadas que nos lleva de las coordenadas cilíndricas a las cartesianas: ρ cosφ y ρ sinφ z z Un vector cualquiera se escribe en consecuencia: ρ ˆρ φ ˆφ z ẑ y su norma es 2 ρ 2 φ 2 z. En el caso particular del vector de posición (que naturalmente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 3 ^ r r ^ ^ φ ρ r ^ Figura.3: Sistema de coordenadas esféricas. y usando que tan φ y y que ρ 2 2 y 2 sigue que, para el primer cuadrante, la transformación inversa en el caso del I cuadrante es: φ arctan y ρ 2 y 2 z z Hay que tener cierto cuidado para otros cuadrantes, pues por ejemplo en el caso del tercer cuadrante, donde ambos e y son negativos, el cociente y da el mismo valor que para el primer cuadrante y la transformación anterior no resulta válida. En este caso se tiene: φ arctan y π ρ 2 y 2 z z..3. Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas es muy similar al sistema de coordenadas que permiten ubicar un punto geográfico sobre la superficie de la Tierra. Se define una superficie esférica imaginaria de radio r, concéntrica al origen de un sistema de coordenadas cartesiano. La distancia de un punto en la superficie al origen es la coordenada r. La ubicación del meridiano que contiene el punto se realiza mediante un ángulo φ medido, en el plano de las, a lo largo de la intersección de la superficie esférica con el meridiano. Finalmente la ubicación del paralelo que determina la ubicación del punto se realiza mediante un ángulo azimutal medido desde el eje z hasta el punto mismo a lo largo del meridiano que lo contiene (ver Fig.??). Para describir vectores en este sistema de coordenadas se asigna una triada de vectores unitarios ˆr ˆφ ˆθ a lo largo de las direcciones en que crecen r, φ y θ. Un vector cualquiera tiene proyecciones sobre dichos ejes que se denotan r φ y θ respectivamente. r ˆr θ ˆθ φ ˆφ De modo que dicho vector se escribe: r ˆr φ ˆφ θ ˆθ y su norma es: 2 r 2 φ 2 θ. Un punto en dicho sistema de coordenadas queda determinado por las coordenadas de posición r φ θ. Si embargo el vector de posición mismo queda dado simplemente por la epresión: r rˆr ya que dicho vector no tiene componentes a lo largo de las direcciones ˆφ ni ˆθ. La norma del vector posición es simplemente: r r 2 r. En estas coordenadas las variables r, φ y θ varían entre: r : φ : 2π θ : π
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 4 La transformación que nos lleva de las coordenadas esféricas a las cartesianas es: r sinθ cosφ (.) y r sinθ sinφ (.2) z r cosθ (.3) como sigue del hecho que la proyección del vector de posición r sobre el plano de las es r sinθ (ver figura). d ds= d d d d r sin r cos r sin sin r r sin cos Elemento de superficie sobre el manto de un cilindro. Como se aprecia en la figura ds alto ancho dz ρ dφ ρ dφ dz. Figura.4: componentes cartesianas en funcion de las variables esféricas. Dependiendo del signo de y y z, hay ocho sectores denominados octantes. En el primer octante ( t, y, ) la transformación inversa es: φ arctan y d d ds= d d r 2 y 2 z 2 z 2 y 2 z 2 θ arc cos y al igual que en el caso cilíndrico hay que tener los correspondientes cuidados de diferencia ángular al calcular φ en otros octantes. d..4. Elementos infinitesimales de área partir de los resultados epuestos es posible deducir elementos de superficie ds para algunas situaciones geometricas y que serán de utilidad en este curso: Elemento de superficie sobre la superficie curva de una esféra. Como se aprecia en la figura ds r sinθdφ r dθ r 2 sinθ dθ dφ. Elemento de superficie sobre un disco plano. Como se aprecia en la figura ds largo ancho dρ ρ dφ ρ dρ dφ.
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 5 r sin d r r d 2 ds = r sin d d d ds= d d d..5. Elementos infinitesimales de volumen partir de los elementos infinitesimales de superficie (ver figuras previas) se pueden obtener elementos infinitesimales de volumen para cada sistema de coordenadas. Estos son: dv = ds dl = d d dz Figura.6: Elemento de volumen en cilíndricas dv d dy dz cartesianas dv ρ dρ dφ dz cilíndricas dv r 2 sinθ dr dφ dθ esféricas d z dz y dv = d dy dz dy dr r d r sin d Figura.7: Elemento de volumen en esféricas Figura.5: Elemento de volumen en cartesianas
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 6 Ejemplo:. Cálculo del volumen de un cilindro de radio R y altura h. ρ dρ dφ dz Vol dv z h z z h z z h z φ 2π φ φ 2π h R2 2π dz 2 πr 2 h φ R 2 2π dz 2 ρ R ρ dρ dφ dz ρ R 2 dφ dz 2 es decir es el área de un circulo de radio R por la altura h. 2. Cálculo del volumen de una esféra de radio R. r 2 sinθ dr dφ dθ Vol dv r R r φ 2π φ θ π θ r 2 sinθ dr dφ dθ r R φ 2π r φ 2r 2 dr dφ r R r 4πr 2 dr 4 3 πr3 que efectivamente es el volumen de una esféra. 3. Ejercicio propuesto. Calcule el volumen de un cascarón esférico de radio interior R y de grosor R. Demuestre, a partir de su resultado obtenido vía integracion, que para R muy pequeño, dicho volumen es aproimadamente: 4πR 2 R. Deduzca a partir de este resultado (considerando que dicho volumen es aproimadamente superficie por grosor) cuál sería la superficie de una esféra de radio R...6. Elementos diferenciales de camino Por ultimo a cada elemento de volumen se le puede asociar un vector desplazamiento infinitesimal d r. Este elemento de camino es el que interviene en (i) el cálculo del trabajo que realiza una fuerza para mover un punto material desde un lugar a otro (ver nota 2 ) así como en (b) 2 NOT: Ejemplo de cálculo de trabajo: Considere la fuerza F F 2 y y L ˆ 3 F L 2 ŷ que actúa sobre una partícula que se mueve sobre el cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos (materia que Ud. vió en el curso Física I). En esos cálculos aparecen integrales de camino de la forma (ver nota 3 ): F d r En estas integrales figura el elemento vectorial de camino d r (o vector desplazamiento infinitesimal). Revisemos como se escriben los elementos de camino en los tres sistemas de coordenadas descritos anteriormente: Elemento de camino en coordenadas cartesianas: la Fig.?? es directo apreciar que: d r d ˆ dyŷ dzẑ d dy dz De Figura.8: Elemento de camino en coordenadas cartesianas. una trayectoria parabólica dada por y K 2, partiendo desde el origen hasta una posición final B L KL 2. Determine el trabajo que realiza ésta fuerza sobre la partícula. Solución: Como y K 2 sigue que dy 2Kd. Luego dr d ˆ dyŷ d ˆ 2Kdŷ. La fuerza evaluada sobre la trayectoria es: El trabajo resulta: F 2 K 2 K F ˆ 2 L 3 F L 2 F K ˆ L 3 4 L 2 3 ŷ W B F dr F K ˆ L 3 4 L 2 3 ŷ d ˆ 2Kdŷ F K L L 3 4 d L L 2 2K 4 d F KL 2 2KL 5 3 NOT: También aparecen integrales de camino en el cálculo de otras cantidades de interés para este curso tales como la diferencia de potencial eléctrico, y la fuerza electromotriz o f.e.m. debida a campos de inducción magnética variables generados por cables que llevan corriente ŷ
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 7 Elemento de camino en coordenadas cilíndricas: la Fig.?? es directo apreciar que: d r dρ ˆρ ρdφ ˆφ dzẑ De Ejercicios:. Cálculo de trabajo: Considere una partícula que se mueve en círculo bajo la fuerza tangencial F F φ 2π ˆφ (una especie de fuerza elástica en que la deformación es proporcional al ángulo). Calcule el trabajo para mover la partícula desde φ, hasta φ φ B. Indicación: Introduzca el elemento de camino en coordenadas cilíndricas y calcule la integral de trabajo. dz d d Figura.9: Elemento de camino en coordenadas cilíndricas. Elemento de camino en coordenadas esféricas Fig.?? es directo apreciar que: d r dr ˆr r sinθ dφ ˆφ r dθ ˆθ r d dr r sin d De la Figura.: Elemento de camino en coordenadas esférias. 2. Calculo de trabajo: Una partícula se mueve sobre una curva espiral descrita por Rcosφ y Rsinφ h z 2π φ en que φ es el ángulo de giro en coordenadas cilíndricas, y ρ R el radio de cilindro en estas mismas coordenadas. La curva sube en h en una vuelta (como se puede ver a partir de la transformación de coordenadas cuando φ cambia en 2π.) Sobre la partícula actúa una fuerza: F F sin 2π h z ŷ. Calcule el trabajo que realiza esta fuerza sobre la partícula al cabo de n vueltas. Indicación: Use coordenadas cartesianas (ya que la fuerza está en cartesianas) pero introduzca que d r d ˆ dyŷ dzẑ h Rsinφ ˆ Rcosφŷ 2π dzẑ como sigue de diferenciar las ecuaciones que describen la curva espiral, esto es: d Rsinφ dφ dy Rcosφ dφ h dz 2π dφ y reemplaze en la epresión para el trabajo. Calcule eplícitamente la integral. Indicación: Si ud opta por usar coordenadas cilíndricas (ya que la curva está descrita en coordenadas cilíndricas), entonces haga uso de que ŷ sinφ ˆρ cosφ ˆφ, e introduzca esto en su epresión para la fuerza, y luego realize los productos punto e integre. Por entregar el producto punto un valor escalar su resultado no debe depender de que sistema de coordenadas utiliza para evaluarlo.
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 8.2. Repaso: Resultados importantes de algebra vectorial En este curso se requiere ciertos conocimientos previos del algebra vectorial, que normalmente se revisan en un curso de Fisica I (alias Mecánica de la partícula). En esta sección y como repaso recordarmos como se definen estos productos cuando los vectores se escriben en sistemas de coordenadas cartesianas, y algunas propiedades (que Ud. debe preocuparse de saber demostrar) que siguen de estas definiciones..2.. Producto escalar o producto punto: B Se mezclan dos vectores para obtener un escalar. Se define mediante: B B y B y z B z (.4) Este producto es conmutativo: B B El módulo del producto punto se relaciona con los módulos de cada uno de los vectores que intervienen y el coseno del ángulo θ que substienden entre ellos: B B cosθ.2.2. Producto vectorial o producto cruz: B quí se mezclan dos vectores para obtener un nuevo vector. Una receta mnemotécnica práctica que da un resultado equivalente a la definición formal es la que hace uso del determinante de una matriz de 3 3 en que las filas son construida con los vectores unitarios ˆ ŷ ẑ, las componentes cartesianas del vector y las componentes cartesianas del vector B: det B Propiedades ˆ ŷ ẑ y z B B y B z (.5) y B z B y z ˆ B z B z ŷ B y B y ẑ El producto cruz es anti-conmutativo B B El módulo de vec B se relaciona con los módulos de cada uno de los vectores que intervienen y el seno del ángulo θ que substienden entre ellos: B B sinθ Una propiedad que sigue de lo anterior es: Lo mismo ocurre para el producto cruz de dos vectores paralelos..2.3. Ejercicios Demuestre, usando las definiciones?? y?? del producto escalar y producto vectorial, que: B B (.6) B B (.7) (.8) B C B C (.9) B C C B B C (.).3. Nociones de Campo Escalar y Campo Vectorial.3.. Campo Escalar Entenderemos por un campo escalar a una aplicación de 3. Es decir una aplicación que combina 3 valores reales para dar valor real. Para los efectos prácticos de este curso un campo escalar es una función real cuyo valor depende del punto r y z del espacio de coordenadas que se considere: f r f y z coordenadas cartesianas o f r f ρ φ z f r f r θ φ coordenadas cilíndricas coordenadas esféricas Ejemplos familiares de campo escalar son la temperatura sobre la superficie del globo terráqueo T T r θ φ, de la cual nos informamos diariamente en los programas sobre el clima en televisión. En esos mismos programas se habla de zonas de presión alta y baja. sociado a ellos están el campo de presión p p r θ φ que también es un escalar. En estos ejemplos las coordenada r toma el valor de radio terrestre y las coordenadas θ y φ son
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 9 la localización geográfica de un punto sobre la superficie terrestre. Otros campos escalares importantes son: la densidad de número n n r definida como la cantidad de partículas dn que hay por unidad de volumen dv del espacio: n n y z N lím dn V V dv oscuros y las densidades más altas en colores más claros: f y.8.6.4.2.2.4.6.8 Figura.: Densidad de masa. Elemento de masa y de volumen. Campo escalar que varía tanto con como con y. Un campo que varía lo largo de planos inclinados en 45 o respecto del eje y: f y y.8 la densidad de masa ρ m, definida como la cantidad de masa que hay por unidad de volumen dv del espacio: ρ m ρ m y z M lím dm V V dv un campo escalar importante en este curso es la densidad de carga eléctrica, definida como la cantidad de carga dq que hay por unidad de volumen dv del espacio: ρ q ρ q y z lím V Q dq V dv Que estas funciones son campos se aprecia porque ellas toman distinto valor dependiendo de la posición r del espacio que se considere. Ejemplos y ejercicios Campo que varía uniformemente con la dirección. Considere un campo escalar f cuya dependencia en y sólo se da a través de la variable. Veamos una gráfica de dicho campo escalar. En la gráfica las densidades más bajas se representan en colores más.6.4.2.2.4.6.8 La densidad del aire que rodea la tierra puede describirse en coordenadas esféricas aproimadamente por una epresión de la forma: ρ m r θ φ ρ e r R T L en que R T 64 [km] es el radio terrestre, y L es una distancia característica en que varia la densidad. Considere que L [km] y evalue cuanto disminuye la densidad a una distancia de radio terrestre sobre la superficie del suelo. El campo de temperatura en torno a un cable caliente recto, ubicado a lo largo del eje z y sometido a temperatura T, calienta el espacio en torno de él. Este calentamiento está dado aproimadamente por
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad la siguiente epresión evaluada en un cierto instante de tiempo: T r ρ T e 2 L 2 2 y 2 T e L 2 La longitud L es una función del tiempo que mide la distancia característica que ha alcanzado a calentar el cable en torno de él. Un gráfico de la distribución de temperatura en torno al cable corresponde a la siguiente figura, para el caso L :.5.5 -.5 r y z del espacio que se considere. Por ejemplo en coordeandas cartesianas: f r f y z f y z ˆ f y y z ŷ f z y z ẑ Note que a partir de la definición anterior queda claro que un campo vectorial tiene por componentes 3 campos escalares (en este caso los campos f f y y f z ). Similarmente si el campo vectorial está descrito en coordenadas cilíndricas: f r f ρ φ z f ρ ρ φ z ˆρ f φ ρ φ z ˆφ f z ρ φ z ẑ y similamente si está descrito en coordenadas esféricas: f r f r φ θ f r r φ θ ˆr f φ r φ θ ˆφ f θ r φ θ ˆθ - -.5 -.5 - -.5.5.5 La figura siguiente corresponde a un las curvas de iso-temperatura (misma temperatura) en coordenadas cilíndricas:.5.5 -.5 Ejemplos Un ejemplo familiar de campo vectorial es el campo de velocidades de un fluído. La figura de a continuación muestra el caso del llamado flujo de Poiseuille, o flujo en un canal de sección uniforme:.8.6.4.2.5.5 2 Figura.2: Representación gráfica del campo vectorial asociado al flujo de Poiseuille (flujo a lo largo de un canal). - -.5 -.5 - -.5.5.5.3.2. Campos vectoriales Entenderemos por campo vectorial a una función de 3 3. Es decir una aplicación que combina 3 valores reales para dar 3 valor reales. Para los efectos prácticos de este curso un campo vectorial es una función vectorial cuyo valor depende del punto Este flujo está descrito por la epresión f 4 v L 2 y y L ˆ en que v es la rapidez del fluido al centro del canal y L la separación entre las paredes del canal. En este caso las paredes del canal corresponden a los bordes superior e inferior del dibujo. Otras situaciones posibles y que ehiben el tipo de campos que serán de interés en este curso son:
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad Un sumidero: f r r ρ ˆρ ˆ yŷ 3 2 - -2-3 -3-2 - 2 3 Figura.3: Representación gráfica del campo vectorial asociado a un sumidero de fluido..3.3. Elementos de masa y carga Elemento de masa dm. partir de la densidad de masa y los elementos de volúmen en los diferentes sistemas de coordenadas se obtiene: dm ρ m dv ρ m ddydz (cartesianas) ρ m ρ dρ dφ dz (cilíndricas) ρ m r 2 sinθ dr dθ dφ (esféricas) Elemento de carga dq. partir de la densidad de carga y los elementos de volúmen en los diferentes sistemas de coordenadas se obtiene: Una fuente: f r r ρ ˆρ ˆ yŷ 3 2 dq ρ q dv ρ q ddydz (cartesianas) ρ q ρ dρ dφ dz (cilindricas) ρ q r 2 sinθ dr dθ dφ (esféricas) - -2-3 -3-2 - 2 3 Figura.4: Representación gráfica del campo vectorial correspondiente a una fuente de flujido centrada en el origen Un vórtice: f ẑ r y ˆ ŷ Ejercicios Suponga que la masa M de un cilindro maciso de radio a y altura h está distribuida uniformemente sobre el volumen de éste, de modo que la densidad de masa es uniforme. Use que en este caso, por ser la densidad uniforme, se cumple ρ m dv V dm M, donde V es el volumen del cílindro, para determinar una epresión para la densidad de éste. Repita su ejercicio anterior pero considerando una esféra de radio a y masa M. Considere un cilindro de radio a y altura h, con masa total M, cuya masa esta distribuída de acuerdo a la densidad ρ m z z h.5 -.5 - - -.5.5 (i) Determine la constante integrando la densidad de masa e imponiendo que ésta integral debe ser igual a la masa total M del cilindro. Es decir imponiendo M ρ m dv. (ii) partir de su resultado y usando la epresión para la densidad determine cuanto vale la densidad de masa en la parte superior del cilindro (z h). Figura.5: Representación gráfica del campo vectorial correspondiente a un vórtice de fluido
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 2.3.4. Derivadas parciales de campos escalares pesar de que este curso tiene como requisito inscribir paralelamente el Cálculo III conviene enfatizar aquí la notación que se usará en cuanto a derivación parcial. Cartesianas: Entendemos por derivada parcíal, en el punto y z, respecto a la variable de una función escalar f y z a: f f y z f y z lím Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable y sería: f f y y z f y z lím y y y Sigue en forma natural una relación similar para la derivación respecto de la variable z. Cilíndricas: f z lím z f y z z f y z z La derivación respecto de la variable ρ (coordenadas cilíndricas) de una función escalar f ρ φ z está definida como: f ρ lím ρ f ρ ρ φ z f ρ φ z ρ Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable φ sería: f f ρ φ φ z f ρ φ z lím φ φ φ La derivación respecto de la variable z no cambia respecto de la definición en cartesianas. Esféricas: La derivación respecto de la variable r (coordenadas esféricas) de una función escalar f r φ θ está definida como: f r lím r f r r θ φ f r θ φ r Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable θ sería: f f r θ θ φ f r θ φ lím θ θ θ La derivación respecto de la variable φ toma la misma forma que en cilindricas: f φ lím φ f r θ φ φ f r θ φ φ Ejemplos y Ejercicios: Cálculo de la derivada de f y z y 2 respecto de la coordenada : f y2 y2 y2 y 2 y 2 Cálculo de la derivada de f y z 2 y 2 z 2 respecto de z: f z Calcule la derivadas: 2 2 y 2 z 2 z 2 y 2 z 2 2 2 y 2 2z z 2 z 2 y 2 z 2? y? ρ θ? (cilíndricas) φ z? (cilíndricas) φ θ? (esféricas) r θ? (esféricas) En el caso que se mezcla coordenadas hay que tener cierto cuidado. Por ejemplo vea lo que pasa cuando se desea calcular r. quí usamos que r 2 y 2 z 2 y se hace: r 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 r Calcule las derivadas (usando que r r r
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 3 2 y 2 z 2 ) de: r? y r? z? y r z r2? lnr?.3.5. Derivadas parciales de campos vectoriales La derivada parcial respecto de una variable de una función vectorial f f y z ˆ f y y z ŷ f z y z ẑ es: f f ˆ f y ŷ f z ẑ f ˆ f yŷ f ˆ f y ŷ f z ẑ Idem si se deriva f respecto de y: y f f y ˆ f y y ŷ f z y ẑ f zẑ Notar que al hacer estas derivadas los vectores unitarios se consideraron como constantes. Hay que tener un cierto cuidado cuando se hace derivadas de este tipo para otros sistemas de coordenadas, por ejemplo al derivar el vector r respecto de la variable φ en coordenadas cilindricas: r φ ρ ˆρ zẑ φ φ ρ ˆρ ρ ˆρ ˆρ ρ zẑ φ φ φ ˆρ ρ ˆρ φ ẑ φ zẑ Notar que aqui se ha usado la regla del producto aplicada a la combinación ρ ˆρ, y se ha usado que ρ φ por ser r y φ variables independientes en el sistema de coordenadas cilindrico. Idem para z φ. Por último en este ejercicio falta calcular eplícitamente como varía el vector unitario ˆρ cuando se varía la coordenada φ; lo más adecuado aquí es escribir las componentes cartesianas del vector ˆρ eplícitamente en coordenadas cílindricas, usando como vectores unitarios los cartesianos ˆ ŷ ẑ : ˆρ cosφ ˆ sinφ ŷ Puesto que los vectores ˆ ŷ y ẑ son constantes, la derivada es simplemente: ˆρ φ ˆρ φ de modo que finalmente: Ejercicios: cosφ ˆ φ cosφ ˆ φ sinφ ˆ cosφ ŷ ˆφ ρ ρ ˆφ φ sinφ ŷ φ sinφ φ ŷ Calcule (escribiendo adecuadamente las componentes cartesianas) las derivadas de los siguientes vectores unitarios: ˆφ φ? (cilindricas) ˆr φ? (esféricas) ˆr θ? (esféricas).4. Diferencial y Gradiente de un campo escalar El diferencial de un campo escalar se define como la diferencia de valor de la función entre dos puntos separados infinitesimalmente en d r: d f f r d r f r Coordenadas cartesianas. En el caso de una sóla variable (por ejemplo ) el diferencial es simplemente d f d f d d, sin embargo cuando hay más de una variable se debe derivar con respecto a cada una de ellas. El diferencial de un campo escalar en coordenadas cartesianas es: d f f d f dy f y z dz f ˆ f ŷ f y z f d r ẑ d ˆ dyŷ dzẑ
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 4 En que hemos introducido la siguiente notación vectorial f f ˆ f ŷ f y z ẑ Coordenadas cilíndricas De la misma manera se puede proceder en el caso de coordenadas cilíndricas. El diferencial de un campo escalar es: d f f ρ dρ f φ dφ f z dz f ρ dρ f ρ φ ρ dφ f z dz f ρ ˆρ f ρ φ ˆφ f f d r z ẑ dρ ˆρ ρ dφ ˆφ dzẑ En que luego de identificar el diferencial de camino en coordenadas cilíndricas hemos introducido la siguiente notación vectorial: f f ρ ˆρ f ρ φ ˆφ f z ẑ Coordenadas esféricas Para el caso de coordenadas esféricas se tiene: f d f dr f r θ dθ f φ dφ f dr f r r f ˆr r r θ r dθ f θ ˆθ r sinθ dr ˆr r dθ ˆθ r sinθ ˆφ f d r f r sinθ dφ r sinθ φ f φ ẑ En que luego de identificar el diferencial de camino en coordenadas esféricas hemos introducido la siguiente notación vectorial: f f ˆr f r r θ ˆθ f r sinθ φ ˆφ.4.. Operador gradiente Con el objeto de resumir conviene introducir un nuevo operador vectorial que se construye con las derivadas parciales. Este es el operador gradiente o nabla: ˆ ŷ y ẑ z ˆρ ρ ˆφ ρ ˆr r ˆθ r θ φ ẑ z con esto el diferencial d f queda: ˆφ r sinθ φ d f f d r (cartesianas) (cilndricas (es f ricas Significado del operador o gradiente aplicado a un campo escalar El operador gradiente o recién introducido, cuando es aplicado a un campo escalar, permite obtener un vector que apunta (localmente, es decir en cada posición r) en la dirección que crece más rapidamente el campo escalar. Para el ejemplo f r, propuesto en la sección??, el gradiente vale: f ˆ ˆ de modo que el campo escalar crece en la dirección ˆ de manera uniforme. Para el ejemplo f r y propuesto en esa misma sección el gradiente vale: f ˆ y ŷ y ˆ ŷ y indicando que el campo tambien crece en forma uniforme, pero en dirección 45 o respecto del eje de las. En el caso de la fórmula aproimada para la densidad del aire con la altura, que vimos en la seccion??, encontramos: ρ m ˆr r ρ e r R T L ˆr ρ L e r R T L indicando que el aumento de densidad ocurre contra la dirección radial ˆr y la tasa a lo cual ocurre esto depende de la coordenada radial r. Por último en el ejemplo del calentamiento en torno a un cable delgado orientado a lo largo del eje z (que también vimos en esa misma sección), el gradiente de la temperatura obedece: T ˆρ ρ T e ρ 2 L 2 T 2ρ L 2 e ρ 2 L 2 ˆρ mostrando que el aumento de temperatura ocurre radialmente hacia el cable, y este aumento depende de la distancia radial ρ al cable..4.2. Ejercicios hallar Φ (usando coordenadas cartesianas y coordenadas esféricas) para:. Φ lnr ln r 2. Φ r n r n Demuestre que ΨΦ Ψ Φ Ψ Φ
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 5 Considere que Φ Φ r, es decir el campo escalar depende eclusivamente de la coordenada radial r (esféricas). Muestre que en este caso: Φ f r ˆr Calcule Φ, usando coordenadas cartesianas, para los siguientes campos escalares:. Φ r r 2. Φ 4. Φ r r 3. Φ ln r r r r n.4.3. Un primer teorema La integral sobre un camino cualquiera del gradiente de una función escalar, es igual a la diferencia de la función evaluada entre los etremos de dicho camino (ver nota 4 ). B f B f f d r Que el teorema se cumple se verifica directamente pues d f f d r, luego: B f d r B d f f B f B plicación: Obtención del trabajo para fuerzas conservativas. Si un fuerza es conservativa entonces eiste una función escalar U tal que F U, en que U es el llamado potencial asociado a dicha fuerza. El potencial U U r es un campo escalar que tiene dimensiones de energía. Se tiene: W B Ejemplo B F d r B B U d r Considere el potencial U F asociada a este potencial es B du U B U B U 2 2y. La fuerza F U U ˆ U y ŷ F 2 2y ˆ 2F ŷ U z ẑ 4 NOT: Por supuesto la validez de este teorema depende de cuan derivable sea la función y cuan suave sea el camino de integración. Cálculo III Evalúe el trabajo de esta fuerza al ser aplicada sobre un objeto qeu se mueve desde un punto 3 2 hasta un punto B 2 (en metros). Considere 2 [m] y F 2 [N]. Solución: Haciendo la integral en forma directa: Usamos que el camino se caracteriza por y 2, y que luego dy W B F d r F 2 4 ˆ 2F d ˆ B F 2 B F 2d F 2 B F 3 6 N 2 4 d Evaluándo el negativo de la diferencia de energía potencial U: W B U B U F 2 2 2 2 F 3 2 2 2 3 2 5F 3F 8F 6[N] Que efectivamente es el valor obtenido por integración directa..4.4. Trabajo sobre un camino cerrado de una fuerza conservativa Una consecuencia interesante del teorema es que la integral de trabajo sobre un camino cerrado de una fuerza conservativa es automáticamente nula: F d r U d r U U ya que al ser la integral sobre un camino cerrado el punto final B coincide con el punto inicial..4.5. Circulación de un campo vectorial Es importante observar que esto no es cierto para todas las fuerzas, esto ocurre sólo en el caso de las conservativas. Cuando las fuerzas son NO CONSERVTIVS, la integral resultante es no nula. Llamaremos a esta integral la circulación del campo de fuerzas o
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 6 circulación Γ de un campo vectorial f Γ f d r En lo que sigue deduciremos un importante teorema asociado a este tipo de integrales: el Teorema de Stokes, pero previamente conviene revisar los conceptos asociados a las integrales de superficie: superficie no es cerrada (en cuyo caso no es posible distinguir que es eterior e interior). La regla es darse el sentido en que es recorrido el camino que delimita el borde de la superficie. La dirección de ˆn es definida de acuerdo a la regla de la mano derecha al recorrer dicho camino (ver figura).4.6. Integrales de superficie Flujo de un campo vectorial Una tipo de integración importante de un campo vectorial f f r es el llamado flujo Φ f del campo vectorial. Esta integración está definida como: Φ f f r ds donde ds ds ˆn es un vector que está construido como un elemento infinitesimal de área multiplicando a un vector unitario orientado en forma eterior al volumen definido por la superficie y perpendicularmente a la superficie (vector normal a la superficie). La figura siguiente muestra distintos elementos de superficie de una superficie cubica de acuerdo a sus distintas caras. Figura.7: Trayectoria cerrada que delimita una superficie. La orientación de ds es eterior de acuerdo a la regla de la mano derecha respecto al sentido en que se recorre dicho camino. ún no se ha resuelto la ambiguedad de la dirección de ˆn, pero en cambio se ha especificado una regla para elegirlo cuando el borde de la superficie esta delimitado por un camino que es recorrido en un sentido dado..4.7. Circulación de un campo vectorial y teorema de Stokes Consideremos primero la circulación del campo f sobre el camino que describe la figura siguiente: f f f Figura.6: Superficies de integración infinitesimales sobre las caras de un cubo Orientación del vector unitario ˆn Un aspecto importante a considerar (y que tendrá importancia posterior) es como definir la orientación del vector unitario ˆn cuando la Figura.8: Circulación de un campo vectorial
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 7 Es claro que dicha circulación se puede escribir como la circulación de dos caminos que tienen parte de su trayectoria en común, pero en que el segmento común es recorrido en direcciones opuestas (y por lo tanto la contribución de dicho segmento por ambas integrales se cancela): Figura.2: El camino eterior ha sido reemplazado por N caminos rectangulares. B Figura.9: El camino cerrado se construye con dos caminos que delimitan la misma trayectoria Se cumple: f r f d r 2 f d r Este argumento se puede eternder al particionar finamente una superficie de forma arbitraria en N elementos de superficie f d r N i f d r i 2 f d r N f d r f d r (.) es decir la integral de camino sobre el circuito eterior se puede escribir como una suma sobre pequeños caminos cuadrados distribuidos en toda la superficie que delimita el camino eterior En lo que sigue veremos que estas integrales sobre pequeños caminos cuadrados al interior de la superficie se pueden reescribir en término de: (a) la superficie de los cuadrados y (b) derivadas del campo f. La integral total de circulación se reescribira a su vez como una integral de superficie (el llamado Teorema de Stokes ). Para motivar este resultado veamos qué es la integral de camino sobre un camino cerrado cuadrado pequeño cuando éste está contenido en el plano de las. Se tiene que la integral sobre el circuito cerrado se puede descomponer en cuatro integrales de línea sobre los segmentos rectos que forman el camino. ( +, y, z ) (, y, z ) (,y+ y, z ) Figura.2: Trayectoria rectangular paralela al plano Llamemos a estos segmentos rectos a, b, c y d. La integración se puede escribir f d r a f d r c f d r b f d r d f d r
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 8 Haciendo uso de que en los segmentos a y c se tiene se tiene d r d ˆ, y que que en los segmentos b y d d r dyŷ, las integrales quedan: a b c d f d r f y d f y y y f d r f y y dy f y y y f d r f y y d f y y y f d r f y y dy y y f y y y La integral total queda: f d r f y f y y y f y y f y y y f y y f y y y f y y f y f y y f y y f y y f y y y f y f y y f y f y S z en que hemos definido la superficie S z y. (, y, z ) (, y, z + z ) (,y+ y, z ) Figura.22: Trayectoria rectangular paralela al plano Un cálculo análogo para el camino propuesto en la Fig.?? entrega: f f d r z z y f y y z f z z y f y S en que hemos definido la superficie S y z. ( +, y, z ) (, y, z + z ) (, y, z ) Figura.23: Trayectoria rectangular paralela al plano Si se considera el cámino propuesto en la Fig.?? se obtiene: f f d r z f z z f z f z S y en que hemos definido la superficie S y z. Definiendo un vector de superficie S con componentes vectoriales: S y z S y z S z y la integración en un camino rectangular con dirección ˆn arbitraria para el vector S, queda: f f d r z z y f y S f z f z S y f y f y S z f S
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 9 en que en la última línea, para simplificar la notación, hemos hecho uso del producto vectorial (producto cruz) que repasamos en?? y del operador (gradiente) recientemente introducido. Volviendo al resultado obtenido en la epresión (??) y usando el resultado recien obtenido podemos escribir para un camino arbitrario: f d r N i N i f d r i (.2) f S i (.3) i epresión que en el límite de un reticulado muy fino (N ) se reduce a una integración de superficie, lo que se conoce como Teorema de Stokes: f d r f ds (.4) la epresión f se conoce como el rotor del campo vectorial f. Notación práctica para el rotor en coordenadas cartesianas: Una manera cómoda y util de anotar el rotor en coordenadas cartesianas es: f det f z y f z f y ˆ ŷ ẑ y z f f y f z ˆ f f z z y ŷ y ẑ f Notación práctica para el rotor en coordenadas cilíndricas: f ρ det ˆρ ρ ˆφ ẑ ρ φ y f ρ ρ f φ f z Notación práctica para el rotor en coordenadas esféricas: f r 2 sinθ det ˆr r ˆθ r sinθ ˆφ r θ φ f r r f θ r sinθ f φ Consecuencia importante: El rotor de una fuerza conservativa es nulo. Si se considera una fuerza conservativa F, sabemos que se tiene F d r sobre cualquier camino. Usando el Teorema de Stokes se concluye que F d r F ds puesto que el camino es arbitrario y también la forma de la superficie de integración, sique que, para una fuerza conservativa, el integrando debe ser nulo. Esto es F (.5) si la fuerza F es conservativa. Un ejemplo de esto es la fuerza elástica que eperimenta una partícula ubicada en r debido a un resorte muy blando que está fijo en r (ejercicio propuesto, verificar que F, para esta fuerza): F k r r y la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas M y m F GMm r 2 ˆr (esféricas) en que en este último caso hemos supuesto la masa M ubicada en el origen del sistema de coordenadas. Un resultado similar seguirá para la fuerza eléctrica entre 2 cargas q y q 2 (nuevamente hemos supuesto una de las cargas ubicada en el origen del sistema de coordenadas): F Ejercicios y Ejemplos Kq q 2 r 2 ˆr esféricas. Considere f r r. Calcule f. Es decir r. Usando f ˆ yŷ zẑ se tiene: ˆ ŷ ẑ f det y z z y z z y y ˆ z z ŷ y y ẑ 2. Para el campo anterior determine eplícitamente la circulación sobre un camino cuadrado de lado contenido en el plano y que tiene un vértice en el punto y el vértice opuesto en el punto a a.
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 2 3. Considere el campo que describe el siguiente sumidero: f ˆ yŷ. Verifique que dicho campo tiene rotor nulo. 4. Considere el campo que describe la siguiente fuente: f ˆ yŷ. Verifique que dicho campo tiene rotor nulo. 5. Verifique que las fuerzas el;astica, gravitacional y eléctrica, descritas mas arriba son conservativas (es decir tienen rotor nulo). Para el caso de la eléctrica verifique que la siguiente funcion potencial U r Kq q 2 r permite obtener dicha fuerza al calcular su gradiente (F U). 6. Considere ahora el vórtice: f y ˆ ŷ. Verifique que el rotor de dicho campo no es nulo. 7. Considere el campo descrito por el flujo de 4v Poiseuille: f y L y ˆ. Verifique que el rotor L de este no es nulo. 2 8. Considere un campo de la forma f f ρ ˆρ, muestre que el rotor de este campo es nulo para cualquier dependencia de f con ρ. 9. Considere un campo de la forma f f ρ ˆφ. Estudie en que condiciones podria el rotor no ser nulo.. El campo magnético de un cable recto, orientado a lo largo del eje z y que lleva corriente I, está dado por: B r µ I 2πρ ˆφ Determine el rotor de este campo y muestre que es nulo en todas partes ecepto en el origen (donde la derivadas no estan definidas pues el campo diverge para ρ ).. Demuestre las siguientes identidades: a) ΨΦ Ψ Φ Φ Ψ b) Ψf Ψ f Ψ f c) Ψ d) f g f g g f f g g f.4.8. Integración sobre superficies cerradas y el Teorema de la Divergencia Un teorema que tendrá mucho interés en este curso es el llamado teorema de la divergencia que relaciona integrales de superficie (de campos vectoriales) sobre superficies cerradas, con integraciones sobre el volumen encerrado por las superficies en cuestión (de derivadas de dichos campos vectoriales): f ds f dv donde f f f y f z y z (epresado aquí en coordenadas cartesianas) se conoce como la divergencia del campo f. rgumentemos sobre la validez de este teorema. Primero veamos que ocurre con la integración de f ds sobre la superficie que delimita un vólumen con forma de paralelepípedo recto. ds ds ds ds ds S ds Es claro que dicha integración puede separarse en dos volumenes disjuntos, haciendo uso de que en la cara en común se tiene f ds f ds 2 f f ds ds 2 S S 2
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 2 ya que los vectores normales eteriores ˆn y ˆn 2 asociados a la superficie en comun son opuestos ( ˆn ˆn 2 ). Como consecuencia la integral sobre el paralelepípedo se puede separar en una integración sobre dos paralelepípedos con una superficie de contácto en común. f ds S f ds S 2 f ds 2 Etendiendo esta idea una superficie que encierra un volúmen se puede subdividir entonces en muchos pequeños paralelepípedos que llenan ese volúmen. Se tiene: f ds i S i f ds i Lo importante ahora es ver que ocurre para cada uno de los parapelepípedos: La integral de superficie se puede separar en seis integrales sobre las superficies rectangulares de cada área plana asociada al paralelepípedo de la figura: s 3 (, y, z ) (, y, z ) s s 6 s ( +, y, z ) (,y+ y, z ) s 2 (, y, z ) s 4 (,y+ y, z ) Figura.24: Superficies de integración para un paralelepípedo elemental Los campos y las superficies elementales satisfacen: S y z ˆ f f y z S 2 y z ˆ f 2 f y z S 3 z ˆ f 3 f y z S 4 z ˆ f 4 f y y z S 5 y ˆ f 5 f y z S 6 y ˆ f 6 f y z z de modo que la integral de superficie se puede trabajar para obtener una epresión más reducida: f ds f y z ˆ f y z ˆ y z f y y y z ŷ f y z ŷ z f y z z ẑ f y z ẑ y f y z f y z y z f y y y y z f y y z z f z y z z f z y z y f y z f y z f y y z f y z y f y z z f y z f dv f y dv f z y f f y z f z dv y f dv z dv y z y z y z en esta epresión reducida (la última línea) hemos introducido la siguiente notación f f f y f z y z resultado escalar llamado la divergencia de f. Como el resultado anterior se repite en cada paralelepípedo al interior del volúmen resulta: S de donde sigue: f ds lím S n N i N lím N i f ds i S i f dv f ds f dv Que establece el teorema de la divergencia: La integral de superficie del flujo de un campo vectorial f sobre una superficie cerrada, es igual a la integral de la divergencia de dicho campo ( f ) sobre el volúmen encerrado por dicha superficie (ver nota 5 ). 5 Nota: para las condiciones de validez del teorema vea su curso de Cálculo III
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 22 Ejercicios y ejemplos. Considere el campo f r r. Calcule f Solución r y y z z 3 2. Calcule, para el campo anterior, f dv sobre un volumen esférico de radio R centrado en el orígen Solución: f dv 3dv 3 4 3 πr3 4πR 3 Ψ det ˆ ŷ ẑ Ψ 2 Ψ yz 2 Ψ z 2 Ψ y y z Ψ Ψ zy y z 2 Ψ ˆ z 2 Ψ ŷ y 2 Ψ ẑ en que se ha supuesto que el campo escalar Ψ es diferenciable tal que las derivadas parciales son simétricas ( 2 y 2 y ). 3. Calcule, para este mismo campo f r la integral sobre la superficie de una esféra de radio R arbitrario centrada en el origen. Solución: f ds rˆr ds ˆn Identidad f. Esta es la que sigue de integrar un camino cerrado (muy pequeño) que delimita una superficie (ver figura). R ˆn ds ˆn R ds R 4πR 2 4πR 3 4. Considere el campo vectorial f yŷ. Calcule f. Calcule también la integral d f dv sobre un cubo de lado L con 3 de sus caras apoyadas en las superficies,, de un sistema de coordenadas cartesiano. Verifique el teorema de la divergencia calculando eplícitamente f ds sobre las caras de dicho cubo. lgunos resultados importantes Identidad Ψ. Si se aplica el teorema de Stokes a un campo que satisface f Ψ (con rotor nulo f ) se obtiene que, para cualquier superficie: Ψ d r Ψ ds de modo que sigue la identidad: Ψ Identidad que se puede chequear formalmente: En el límite que el camino tiende a cero en tamaño, la f ds integral f d r tiende a cero, de modo que se tiene: f d r f d r f ds por el teorema de Stokes. Pero por el teorema de la divergencia sigue que tambien: f ds f dv de donde, comparando los lados derechos de estas últimas epresiones, se obtiene la identidad: f. Esta identidad se puede chequear directamente con el método algebraico como en el ejemplo anterior. Haga esto como ejercicio.
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 23 Conclusiones importantes:. Si un campo vectorial satisface f, entonces eiste Ψ tal que f Ψ. Por ejemplo esto ocurre en el caso de una fuerza conservativa, como la fuerza eléctrica entre cargas, en que F, y luego eiste una energía potencial U tal que F Ψ U, con U Ψ. 2. Si un campo vectorial satisface f, entonces eiste tal que f (ya que ). En el caso del campo de inducción magnética B, este satisface B, de modo que esite una función, llamada el vector potencial magnético que permite calcular B mediante B. El campo está relacionado con las corrientes de carga que hay distribuidas en el espacio en que interesa conocer B. Más ejercicios Calcule r Calcule ˆr Calcule f, para f nulo para el caso n 3. Calcule r J r r n. El vector J es un vector con- Calcule ˆr Calcule stante. Calcule r r r r n. Verifique que resulta r r J r r n, para los casos n 2 3. El vector J es un vector constante. de las fun- Derivación parcial Calcule las derivadas parciales f ciones: f y z kyz f y z f y z q 4πε, f, f 2 y 2 z 2 q 4πε 2 y y 2 z z 2 Calcule las derivadas parciales (coordenadas cilñdricas) f ρ, f φ, f z de las funciones: f ρ φ z f ρ φ z f ρ φ z λ ln ρ 2πε ρ q 4πε ρ 2 z 2 λa cosφ 2πε ρ 2 Calcule las derivadas parciales (coordenadas esféricas) f r, f φ, f θ de las funciones: f r φ θ f r φ θ E f r φ θ f r φ θ q 4πε r a 3 r 2 Qa cosθ 4πε r 2 Rotor de un campo vectorial r cosθ Qa 4πε d 2 r 2 2dr cosθ. Demuestre las siguientes identidades: Φ ΦF Φ F Φ F F G F G G F F G G F 2. Evalúe los rotores de los siguientes campos (se indica las coordenadas para que ud. determine el sistema de coordenadas a utilizar): F y z k ˆ F y z kŷ F y z kẑ B ρ φ z µ I 2πρ ˆφ F r φ θ GMm r 2 ˆr m r 4πr 3 donde para el último ejemplo el vector m es un vector constante. Divergencia de un campo vectorial. Demuestre que ΦF Φ F Φ F B B B F F 2 F 2. Hallar (usando coordenadas cartesianas, cilindricoas y/o esféricas) para los siguientes
237 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 24 campos vectoriales: r r r 2 µ I 2πρ ˆφ