Práctica 1: Introducción a matlab

Modelado matemático de los sistemas ecológicos Facultad de Biología Universidad de Oviedo Curso 2007-2008 1. Qué es Matlab? Práctica 1: Introducción a matlab La primera versión de matlab data de los años 70, y fue diseñada como herramienta de apoyo para los cursos de Teoría de Matrices, Álgebra Lineal y Análisis Numérico. El nombre matlab es un acrónimo: MATrix LABoratory. Hoy en día, matlab es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluye herramientas de cálculo científico y técnico y de visualización gráfica, así como un lenguaje de programación de alto nivel. Figura 1: La ventana de matlab (versión 7) 2. Operaciones elementales y variables La forma de representar números y de operar de matlab es la misma que la de las calculadoras de bolsillo. Por ejemplo: 3-99.001 9.63 1.62e-020 Observa que se usa el punto como separador decimal, en lugar de la coma. Las operaciones usuales se realizan con los mismos símbolos y en la misma secuencia que en las calculadoras. suma resta multiplicación división potencia a+b a-b a b a/b a b 1

2 Práctica 1: Introducción a matlab Para que matlab ejecute una orden, es preciso pulsar la tecla Intro. Por ejemplo, para calcular el valor de 3 + 5 2 + 1, se ejecuta la instrucción >> 3 + 5*2 + 1 y se obtiene como respuesta ans = 14 Esto quiere decir que el resultado se ha almacenado en la variable ans. En cambio, >> s = (3+5)*2 + 1 indica a matlab que el resultado de esa operación ha de guardarse en la variable s. Compruébalo y observa la diferencia con el caso anterior. Ejercicio Realizar las operaciones siguientes y guardar el resultado en la variable que se indica: 1. s = 3 2 5 6 2. 3 (Sol: s = 0.) 2. t = 3 2 5 6. 3 2 (Sol: t = 3.) 3. s + t + 1. (Sol:..... =.....) 2.1. Reglas para nombrar variables - El nombre de una variable puede tener como máximo 63 caracteres (31 en versiones anteriores), que pueden ser letras, números y el guión de subrayar - El primer carácter tiene que ser una letra. lado2 es un nombre válido, pero no lo es 2lado. - Las mayúsculas y las minúsculas tienen valor distintivo. La variable Base es distinta de la variable base. - Dentro de un nombre de variable no puede haber espacios en blanco. lado1 es válido, pero no lado 1. - Existen nombres que deben evitarse, porque tienen significado propio en Matlab: ans, pi, Inf,... 2.2. Signos de puntuación y movimientos del cursor - Se pueden definir varias variables en una misma línea si se separan por comas. Por ejemplo: >> base = 2, altura = 3, area = base * altura - También se pueden separar mediante punto y coma. En ese caso se inhibe el eco que sigue a la definición de una variable: >> base = 5; altura = 2; area = base * altura - Las teclas y permiten recuperar líneas anteriores y posteriores a la actual. - Las teclas y permiten moverse a derecha e izquierda en una línea para hacer modificaciones. 2.3. Ejercicio Para x = 0, x = 1 2, x = 21 2 y x = 1, calcula el valor del cociente x x 2 1. 2

Práctica 1: Introducción a matlab 3 3. El escritorio La ventana de Matlab muestra un escritorio dividido en varias partes: Las órdenes se escriben en la Command Window. La ventana Workspace proporciona diversa información sobre las variables utilizadas. Todas las órdenes quedan registradas en el Command History. Si queremos borrar la ventana de órdenes (Command Window) podemos hacerlo utilizando la orden clc; hay que tener en cuenta que esto no afecta a las variables que ya estén en uso. 4. Cómo encontrar ayuda (Help) La orden helpwin sirve para obtener información sobre un tema concreto. Por ejemplo, >> helpwin ans proporciona información sobre ans. Muy similar a helpwin es la orden doc. Si no se conoce la orden exacta sobre la que deseamos ampliar la información, se puede escribir simplemente helpwin para abrir una ventana de ayuda Help en la que aparecerá, entre otras cosas, una lista de temas, un índice de términos y un buscador de palabras. Figura 2: Un aspecto del menú de ayuda de Matlab 7.1 que proporciona helpwin c 2007 Pablo Pérez

4 Práctica 1: Introducción a matlab 5. Formatos Cuando matlab presenta los resultados, elige por defecto un formato con 3 dígitos como máximo para la parte entera y 4 como máximo para la parte decimal; si el número que se quiere mostrar necesita más dígitos, se utiliza la notación exponencial. Esta es la opción short de la orden format. Por ejemplo: >> format short >> pi ans = 3.1416 Prueba con >> 10*pi >> 100*pi >> 1000*pi format short format long 3 dígitos como máximo para la parte entera y 4 como máximo para la parte decimal; si el número es mayor se pasa a la notación exponencial. 2 dígitos para la parte entera y 14 para la decimal; si el número es mayor se pasa a la notación exponencial. Independientemente del formato con el que se muestra un cálculo en pantalla, el ordenador realiza todos los cálculos con 16 cifras significativas. 6. Algunas funciones matemáticas matlab dispone de una gama muy completa de funciones con la orden help elfun se puede obtener la lista completa que se corresponden con las funciones matemáticas más utilizadas. Algunos ejemplos de estas funciones son: Notación científica Nombre en matlab Significado x abs(x) valor absoluto de x sen x sin(x) seno de x cos x cos(x) coseno de x tan x tan(x) tangente de x arc sen x asin(x) arcoseno de x arc cos x acos(x) arcocoseno de x arctan x atan(x) arcotangente de x e x exp(x) exponencial de x lnx log(x) logaritmo en base e de x x sqrt(x) raíz cuadrada de x En las funciones trigonométricas, el ángulo siempre se expresa en radianes. 7. Vectores y matrices Uno de los aspectos más notables de matlab lo constituye la forma en que permite manipular y operar con vectores y matrices. 4

Práctica 1: Introducción a matlab 5 7.1. Vectores fila En general, se introducen escribiendo entre corchetes cada una de sus componentes separadas por un espacio o una coma. Por ejemplo: >> v=[4-6 5] >> v=[4,-6,5] También se pueden introducir especificando el valor de cada componente en el orden que se desee: >> w(2)=-6, w(1)=4, w(3)=5 Otras órdenes para casos particulares: v=[a:h:b] v=[a:b] v=linspace(a,b,n) Define un vector fila cuyo primer elemento es a y los demás elementos aumentan de h en h sin superar b. Define un vector fila cuyo primer elemento es a y los demás elementos aumentan de 1 en 1 sin superar b. Define un vector fila de n componentes, cuyo primer elemento es a y cuyo último elemento es b, con diferencia constante entre componentes consecutivas. Ejemplos: >> u=linspace(-4,7,6) >> v=[-4:2:7], w=[-4:7] >> v=-4:2:7, w=-4:7 % se puede escribir sin los corchetes 7.2. Vectores columna y matrices En general, se introducen como los vectores fila, separando las filas por un punto y coma: >> b=[0;1;-5] >> a=[-2 4;5-1;7 1] También se pueden introducir especificando cada uno de sus elementos en el orden que se desee; por ejemplo: >> m(2,2) = -1, m(3,1) = 7, m(2,1) = 5, m(1,1) = -2, m(1,2) = 4, m(3,2) = 1 Se pueden definir por cajas que estén construidas previamente y cuyas dimensiones sean adecuadas: >> c = [a b] 7.3. Elementos de vectores y matrices Hemos visto que es posible definir vectores y matrices especificando sus elementos. Una vez definida una matriz a o un vector v, también podemos acceder a sus elementos o submatrices con las órdenes siguientes: v(i) componente de v que ocupa la posición i. v(i:j) componentes de v situadas entre la posición i y la posición j. a(i,j) elemento de la matriz a que está en la fila i y la columna j. a(i:j,k:l) submatriz de a que contiene las filas i hasta j y columnas k hasta l. a(i,:) fila i de la matriz a. a(:,j) columna j de la matriz a. a(u,w) submatriz de a que contiene las filas indicadas en el vector u y las columnas indicadas en el vector w. c 2007 Pablo Pérez

6 Práctica 1: Introducción a matlab Ejemplos: >> a(1,:) >> a(:,2) >> a([1,3],2) 7.4. Algunas matrices especiales zeros(m,n) genera una matriz de ceros de dimensión m n. ones(m,n) genera una matriz de unos de dimensión m n. eye(m,n) genera una matriz de dimensión m n, cuya diagonal principal son unos, y el resto de los elementos ceros. Cuando las matrices son cuadradas de orden n, se puede sustituir el argumento (m,n) por (n). Ejemplos: >> zeros(2,3) >> zeros(2) >> eye(2,3) >> eye(3) 7.5. Ejercicio Definir los vectores siguientes: 1. v = ( 2, π,e). 2. x = (0.15, 0.30, 0.45,..., 1.65, 1.80). 3. y = (3, 4, 5,...,46, 47). 4. z = (100, 100, 1, 2, 3,...,99, 100). 7.6. Tamaño de vectores y matrices length(v) muestra el número de componentes del vector v. size(a) muestra el número de filas y columnas de la matriz a. 7.7. Ejercicio 1. Construir una partición P del intervalo [ 2, 3] formada por 9 puntos igualmente espaciados. 2. Construir un vector q cuya primera componente sea 2 y las siguientes se obtengan realizando un incremento de 3/5, sin sobrepasar el valor 3. Calcular el número de componentes de q. 7.8. Operaciones con vectores y matrices 7.8.1. Operaciones algebraicas con matrices Si a y b son matrices (o vectores) de tamaños adecuados y r es un escalar, pueden realizarse las operaciones algebraicas habituales: suma resta producto por un escalar r producto de matrices potencia n-ésima (n N) a+b a-b r * a a*b a n 6

Práctica 1: Introducción a matlab 7 7.8.2. Operaciones elemento a elemento En general, las funciones internas de matlab admiten argumento matricial, es decir, la función se aplica sobre cada elemento de la matriz. Ejemplo: >> a=[1 2; 3 4], sqrt(a) Si a y b son matrices (o vectores) del mismo tamaño y r es un escalar, se pueden realizar las operaciones siguientes: Operación Descripción Elemento (i, j) r + a suma el escalar r a cada elemento de la matriz a r + a ij a.*b multiplica cada elemento de a por el correspondiente de b a ij b ij a./b divide cada elemento de a por el correspondiente de b a ij / b ij a. r eleva cada elemento de a al escalar r a r ij r. a eleva el escalar r a cada elemento de a r a ij a. b eleva cada elemento de a al correspondiente de b a b ij ij Ejemplo: >> v=[1 2 3 4] >> 1+v >> v.^2 7.9. Ejercicio Para x = 0, x = 1 2, x = 21 2 y x = 1, calcula el valor del cociente elemento. x x 2 1 utilizando operaciones elemento a 8. Expresiones simbólicas y cadenas de caracteres Las capacidades de Matlab se pueden ampliar instalando diversos módulos (toolboxes). Uno de ellos, denominado Symbolic Math Toolbox, permite realizar cálculo simbólico, es decir, permite manipular las variables sin necesidad de utilizar sus aproximaciones numéricas. Para utilizar el módulo de cálculo simbólico Symbolic Math Toolbox es necesario crear unos objetos simbólicos que representan a las variables simbólicas. Por abuso del lenguaje, a los objetos simbólicos de Matlab también se les llama variables simbólicas. Otro tipo de variables de Matlab son las cadenas de caracteres. Una cadena de caracteres es una colección de caracteres ascii enecerrados entre apóstrofos. Por ejemplo: >> Ecu2 = a^2 = b^2 + c^2 Entre otras, el módulo Symbolic Math Toolbox permite realizar las tareas siguientes: c 2007 Pablo Pérez

8 Práctica 1: Introducción a matlab syms x y z Crea las variables simbólicas x, y, z. solve(expr) Calcula ceros de Expr (expresión simbólica o cadena de caracteres). solve(expr,z) Calcula los valores de z que anulan a Expr. solve( eq1=eq2, z ) Resuelve la ecuación eq1=eq2 con respecto a la variable z. subs(s,x,a) Sustituye en la expresión simbólica S la variable x por a. pretty(s) Presenta de forma elegante la expresión S. double(s) Calcula el valor numérico en una expresión simbólica. simplify(s) Simplifica una expresión simbólica. 8.1. Ejercicio Resolver la ecuación x 3 + 3x 2 4 = 0. Solución: Se puede hacer de dos formas: escribiendo la ecuación mediante una cadena de caracteres y resolviendo con solve >> solve( x^3+3*x^2-4=0 ) o definiendo una variable simbólica x para usar solve de manera más simple: >> syms x >> solve(x^3+3*x^2-4) 8.2. Ejercicio En cierto cultivo de bacterias (cuyo crecimiento es constantemente proporcional a los efectivos de población) el número de individuos se ha multiplicado por 6 en 10 horas. Cuánto tiempo tardó la población en duplicar su número inicial? La población sigue la Ley de Malthus N(t) = N 0 e r t. Si el número de individuos se multiplica por 6 en 10 horas, entonces 6 N 0 = N 0 e r 10, es decir e r 10 = 6. Calculamos r resolviendo esta ecuación, escrita en forma homogénea equivalente es decir, >> syms t r >> r=solve(exp(r*10)-6) r = 1/10*log(6) >> double(r) ans = 0.1792 r = ln6 10 0,1792 Para calcular ahora el tiempo que tardó la población en duplicar su número, resolveremos 2 N 0 = N 0 e r t, 8

Práctica 1: Introducción a matlab 9 esto es >> t=solve(exp(r*t)-2) y debe obtenerse t 3,8685 horas (= 3h 52m 6,7s). 8.3. Ejercicio Una población de bacterias crece en función del tiempo, medido en horas, siguiendo la Ley Logística dn = r (1 N dt K )N, t t 0, N(t 0 ) = N 0, de modo que N(t) = N 0 K N 0 + (K N 0 )e r (t t 0) donde K es la capacidad de carga o población límite de la especie. Es sabido que, inicialmente, el número de individuos es 100, que el máximo que puede soportar el medio es 10 5 individuos y que al final de la primera hora la población es de 120 individuos. Se desea conocer el tamaño de la población al cabo de 4 horas y cuánto tendrá que transcurrir para que se alcance la mitad del número de individuos que forman la capacidad máxima. Sol: r = 0,1825. N(4) = 207,3032. t = 37,8407. 8.4. Ejercicio En 1845 el demógrafo belga Pierre Francois Verhulst (1804-1849) usó los datos de la población norteamericana de 1790 a 1840 para predecir la población americana hasta el año 1930, bajo la hipótesis de que seguía la Ley Logística. Tomando N 0 = 3,9 y K = 197,3 (ambas en millones de habitantes) y r = 0,03135, complétese la siguiente tabla Año Población real Población calculada Error absoluto Error relativo ( %) 1790 3,9 1800 5,3 1810 7,2 1820 9,6 1830 12,9 1840 17,1 1850 23,2 1860 31,4 1870 38,6 1880 50,2 1890 62,9 1900 76,0 1910 92,0 1920 106,5 1930 123,2 La población de Estados Unidos en 1980 era de 226,505 millones con lo que la población límite supuesta por Verhulst ha sido rebasada. c 2007 Pablo Pérez

10 Práctica 1: Introducción a matlab 9. M-archivos Las órdenes de matlab se pueden introducir y ejecutar directamente a través de la ventana de comandos, pero también es posible escribir un archivo de texto que contenga las órdenes y ejecutarlas todas en bloque. Un archivo que contiene órdenes de matlab se denomina un M-archivo. Para que matlab reconozca como tal un M-archivo, este debe tener además la extensión.m. Los M-archivos se pueden escribir utilizando el editor incluido en la instalación de matlab, al que se accede a través del menú File. Para ejecutar las órdenes contenidas en el M-archivo nombre.m, basta teclear su nombre desde la ventana de comandos. Por ejemplo op1.m a = 2; b = 5; s = a+b p = a*b Un caso especial de M-archivos son los archivos de función. Son aquellos cuya primera línea ejecutable (no de comentario) comienza con la palabra function. Una función se define con un m-fichero, cuyo nombre coincide con el de la función. La primera línea ejecutable es: function argumentos_salida=nombre_función (argumentos_entrada) seguida de las instrucciones necesarias. Cuando hay más de un argumento de salida, éstos deben ir entre corchetes y separados por comas. Por ejemplo: function y=f(x) function [a,b,c]=g(x,y) Es conveniente comenzar las primeras líneas del fichero con un comentario (iniciándolas con el símbolo%), explicando cómo debe usarse la función y sus argumentos (tanto de entrada como de salida). De esta manera, dicha explicación será visible mediante la instrucción help nombre_función. La función puede finalizarse en cualquier momento utilizando la instrucción return. Por ejemplo op2.m function [s,p] = op2(a,b) s = a+b; p = a*b; 10. Representaciones gráficas 10.1. Representación de funciones con la orden ezplot La orden ezplot permite representar gráficamente expresiones simbólicas en el plano. Cada vez que se utiliza esta orden, matlab crea y activa una ventana gráfica a la que le asigna el nombre Figure No. 1. Algunos usos de la orden ezplot son: ezplot(f) Representa la expresión simbólica f (= f(x)) en el dominio 2π x 2π. ezplot(f,[a b]) Representa la expresión simbólica f (= f(x)) en el intervalo [a, b]. 10

Práctica 1: Introducción a matlab 11 Por ejemplo: >> syms x % x es una variable simbolica >> ezplot(sin(x)/x) % abre una ventana grafica produce el resultado que se observa en la Figura3(a). (a) Ventana generada con ezplot(sin(x)/x) (b) Ventana generada con ezplot(sin(x)/x,[-20 20]) Figura 3: Dos usos de la orden ezplot Si a continuación se ejecuta la orden >> ezplot(sin(x)/x,[-20 20]) entonces matlab elimina la ventana anterior y genera otra con igual nombre (véase la Figura 3(b)). Conviene advertir que matlab elige de forma automática el rango de valores para el eje OY, y que esa elección puede no coincidir con la que deseamos. Veremos más adelante cómo modificar el aspecto de una gáfica. 10.2. Representación de funciones con la orden fplot Esta es una orden similar a ezplot, pero se utiliza para representar funciones definidas mediante M-archivos o introducidas como cadena de caracteres. fplot(f,[a b]) Representa la función f (= f(x)) en el intervalo [a, b]. fplot(f,[a b],m) Representa la función f en el intervalo [a,b], con el tipo de trazo y color especificado en el argumento M. Por ejemplo: >> fplot( cos(x),[-1 1], g ) permite dibujar la gráfica de f(x) = cos x en [ 1, 1], con trazo verde (g=green). No es necesario que la variable x sea simbólica. Si una función está definida en un M-archivo mifuncion.m, se puede representar escribiendo >> fplot( mifuncion,[-1 1], g ) c 2007 Pablo Pérez

12 Práctica 1: Introducción a matlab 10.3. Representación de datos con la orden plot Si t = [t1,t2,...,tn] y y=[y1,y2,...,yn] son dos vectores, entonces es posible representar gráficamente los puntos de coordenadas (t1,y1), (t2,y2),...(tn,yn) mediante la orden plot(t,y). plot(t,y) plot(t,y,m) construye la poligonal que pasa por los puntos (t1,y1), (t2,y2),...(tn,yn). Permite elegir colores, trazos y marcas, según sea el valor que se asigne al parámetro M. Las opciones de colores, trazos y marcas pueden consultarse en el menú de ayuda. 10.4. Ejercicio Representar gráficamente los datos del censo de la población de Estados Unidos del Ejercicio 8.4. 10.5. Modificación del aspecto de una figura Conviene advertir que Matlab elige de forma automática diversos aspectos de la gráfica (intervalos, marcas, textos, colores, tipos de línea, rejilla,... ) y que esa elección puede no coincidir con la que deseamos. Por ejemplo, los rangos de ordenadas de las Figuras 3(a) y 3(b) son diferentes; de hecho, la elección del rango de ordenadas en la Figura 3(b) no parece la más adecuada. Los aspectos de la gráfica se pueden editar y modificar usando el botón Show Plot Tools de la barra de iconos de la ventana (véase la Figura 4): Figura 4: El botón Show Plot Tools de la barra de iconos de la ventana gráfica De esa forma se accede a diversos cuadros de menús (véase la Figura 5) que permiten modificar numerosos aspectos de la ventana gráfica: intervalos, marcas, textos, colores, tipos de línea, rejilla,... Con el botón Hide Plot Tools de la barra de iconos se cierran los cuadros de menús. 10.6. Ejercicio Representar la función siguiente en el intervalo [0, 10] u(t) = 5 1 + 5e 0,6 t. Otras órdenes de interés Cada vez que se ejecuta una orden como ezplot, fplot o plot, matlab crea una ventana gráfica y elimina cualquier ventana anterior. A veces es interesante representar dos funciones diferentes sobre la misma ventana. Esto puede hacerse activando la orden hold: 12

Práctica 1: Introducción a matlab 13 Figura 5: El editor de propiedades (Property Editor) de la ventana gráfica Figura 6: El botón Hide Plot Tools de la barra de iconos de la ventana gráfica hold on hold off Activa la orden hold, y a partir de ese momento todos los nuevos gráficos se añaden a la última ventana abierta Desactiva la orden hold. También son muy útiles las órdenes siguientes: figure(n) subplot(m,n,p) Selecciona la ventana gráfica Figure No. n como ventana activa; si no existiese, la crea. Divide la ventana gráfica en una tabla de m n subventanas y coloca el gráfico en la ventana p-ésima contando de izquierda a derecha y de arriba a abajo. 10.7. Ejercicio Consideremos la función del ejercicio anterior Representarla en el intervalo [0, 10]. u(t) = 5 1 + 5e 0,6 t. c 2007 Pablo Pérez

14 Práctica 1: Introducción a matlab En una ventana distinta, representar primero la función u en [0, 5] y después y sobre esa misma ventana en [5, 10]; a continuación, utilizar el editor de propiedades para modificar su aspecto. 10.8. Ejercicio Repetir el ejercicio anterior, pero usando la orden subplot para dividir la ventana gráfica en dos subventanas. 14