Bloque 1: Función de producción neoclásica y tasas de crecimiento

Hoja de ejercicios 1. Grupo 88 Macroeconomía IV: Crecimiento Económico Febrero 2012 Prof. Fernando García-Belenguer Campos Bloque 1: Función de producción neoclásica y tasas de crecimiento 1. Compruebe si las siguientes funciones de producción cumplen las propiedades de la función de producción neoclásica: a) f(0, 0) = 0, b) Productos marginales del capital y del trabajo positivos, c) productos marginales decrecientes del capital y del trabajo, d) condiciones de inada e) Rendimientos constantes a escala. a) F (K t, ) = Kt 0.5 L 0.7 t b) F (K t, ) = 2K t + 3 c) F (K t, ) = Kt α L 1 α t donde 0 < α < 1 d) F (K t, ) = min{αk t, β } e) F (K t, ) = A{αK ρ t + (1 α)l ρ t } 1/ρ 2. Considere la función de producción del apartado e) del ejercicio anterior. Calcule la participación del capital en la renta para esta función. 3. Considere la función de producción neoclásica F (K t, ) con rendimientos constantes a escala. Considere además la siguiente función de beneficios de una empresa representativa, π t = F (K t, ) w t r t K t donde w t y r t son los pagos al trabajo y al capital en el periodo t. Si asumimos competencia perfecta demuestre que los beneficios de la empresa son cero en todos los periodos. (Pista: utilice el teorema de Euler para funciones homogéneas de grado 1.) 4. Considere el caso de una función de una variable. Defina cuando dicha función es cóncava y/o estrictamente cóncava. Qué propiedades tienen la primera y segunda derivada de las funciones cóncavas? Realice el mismo ejercicio para una función de dos variables. 5. Demuestre que con la siguiente funcion de producción Cobb Douglas F (K, L) = K β L α y si asumimos competencia perfecta en todos los mercados, la participación del trabajo en el PIB es α, y la participación del capital en el PIB es β. Cuál es la elasticidad de la producción con respecto al capital? 6. En 1900 el PIB per cápita en Japón, medido en dólares de 2000, fue de 1.433 $ y en 2000 fue de 26.375 $. a) Calcule la tasa de crecimiento de la renta per cápita de Japón a lo largo de este periodo. b) Suponga ahora que Japón sigue creciendo a esta tasa durante el próximo siglo. Cuál será la renta per cápita de Japón en 2100? 7. El PIB per cápita, en dólares del año 2000, fue en 1980 en Estados Unidos 22.606 $ y en China 749 $. En el año 2000 fueron 34.365 $ en Estados Unidos y 4002 $ en China. a) Calcule las tasas de crecimiento del PIB per cápita de ambos países entre 1980 y 2000. 1

b) Cuándo tendran ambos paises el mismo PIB per cápita si las tasas de crecimiento se mantuvieran constantes en los valores que ha calculado en el apartado anterior? Bloque 2: Modelo de Solow básico 1. En clase hemos estudiado el modelo de Solow sin crecimiento poblacional en tiempo continuo. Suponga ahora que en vez de utilizar este supuesto asumimos que el tiempo es discreto. En este caso la ley de movimiento del stock de capital físico es, k t+1 = γf(k t ) + (1 δ)k t. Donde γ es la tasa de ahorro y δ es la tasa de depreciacion. Suponga, como en clase, que la función de producción es Cobb-Douglas. a) Calcule el valor del capital per capita en el estado estacionario en función de los parámetros del modelo. Para ello debe considerar que en este caso la condición de estado estacionario es k t+1 = k t, en lugar de k t = 0 que suponíamos en clase. b) Suponga que la tasa de ahorro es del 20 por ciento, la tasa de depreciación es del 10 por ciento, α = 1/3 y A = 1. Calcule el valor del capital, el consumo y la renta per capita en el estado estacionario. c) Suponga que una economía posee un tercio del capital per capita del estado estacionario calculado en el apartado b). Calcule cuantos periodos tardará dicha economía en recorrer la mitad del camino que le separa del estado estacionario. Para ello deberá utilizar la ley de movimiento del capital per capita expuesta más arriba. 2. Para las funciones de producción f(k t ) = Ak 1/4 t, f(k t ) = Ak t y f(k t ) = Akt 2, discuta si: a) Existe estado estacionario. b) En caso de existir, si es estable y explique la dinámica de transición. b) En caso de no existir, explique la dinámica de transición. 3. Existen dos países cuyo ratio de rentas per capita es 40, es decir, y = 40. La tasa j de ahorro en el país i es tres veces la tasa de ahorro en j. La tasa de depreciación y α son iguales. Calcule la diferencia que debería haber en los parámetros A i y A j para poder explicar estas diferencias de renta si utilizamos el modelo de Solow sin crecimiento tecnológico y sin crecimiento poblacional. 4. En el modelo de Solow sin crecimiento poblacional calcule el valor de la tasa de ahorro γ g correspondiente a la regla de oro en función del resto de los parámetros del modelo (A, α y δ). Dibuje además gráficamente la condición de la regla de oro que iguala la productividad marginal del capital a la tasa de depreciación. Haga lo mismo para el modelo de Solow con crecimiento poblacional. 5. Dos países tienen el mismo nivel de producción, la misma tasa de depreciación y nivel de la teconología A. En el país 1 la producción por trabajador está aumentando, mientras que en el 2 disminuye. De a cuerdo al modelo de Solow estudiado en clase qué puede decir sobre las tasas de inversión de ambos países? Suponga ahora que las tasas de inversión son iguales pero las tasas de depreciación son distintas. Qué podemos decir sobre las tasas de depreciación? y i 2

6. Considere un país en el que hay dos sectores. Las funciones de producción de los dos sectores son Y 1 = L 1/2 1 y Y 2 = L 1/2 2, donde L 1 es el número de trabajadores empleados en el sector 1 y L 2 es el número de trabajadores empleados en el sector 2. La única diferencia entre los dos sectores es que el sector 1 los trabajadores reciben su producto marginal, mientras que en el 2 perciben su producto medio. Los trabajadores se desplazan libremente de un sector a otro, por lo que los salarios son iguales. Calcule cuántos trabajadores trabajarán en cada sector. 7. Considere la siguiente afirmación: Dedicar una proporción mayor del PIB a la inversión ayudaría a incrementar el ritmo de crecimiento de la producción y a aumentar el bienestar social. Bajo qué condiciones es esta afirmación correcta? 8. Considere y discuta la siguiente afirmación: El modelo de Solow predice que todos los paises tienden a tener la misma renta por trabajador y la misma tasa de crecimiento en el largo plazo 9. Existencia de mercados de trabajo y de capital competitivos. Asuma que tanto el trabajo como el capital son retribuidos en sus mercados correspondientes a sus productos marginales. Es decir, w t = y que r t = L a) Demuestre que w t = f(k) kf (k). K. b) Demuestre que si se cumple w t = L y r t = K, entonces los rendimientos constantes a escala implican que la cantidad total pagada a los factores productivos es igual al total de producción. Es decir, wl + rk = F (K, L) c) Kaldor (1961) demostró dos hechos estilizados: a) el retorno del capital (es decir, r) es aproximadamente constante y que las proporciones de producción que van al capital (esto es r K Y ) y al trabajo (w L Y ) son constantes. Que dice el modelo de Solow sobre los valores de w y r en el equilibrio estacionario? Son constantes? d) Imagine que la economía está en una k inferior al k. Imagine que k se mueve hacia el estado estacionario, qué ocurre con w t? w t está creciendo más, menos o igual al crecimiento que se dá en el estado estacionario? Y r t? 10. Céntrese en el parámetro de la función de producción Cobb-Douglas. a) Demuestre que este parámetro puede interpretarse como la participación del capital en el PIB. b) Demuestre que puede interpretarse también como la elasticidad del PIB con respecto al stock de capital. c) Discuta cómo afectará un incremento en el valor de dicho parámetro a los niveles del capital por trabajador y de la renta por trabajador correspondientes al estado estacionario. Interprete su respuesta. 11. En un país, la función de producción es y = k 1/2, se invierte un 25% de la renta y la tasa de depreciacin es de un 5%. a) Cuáles son los niveles de estado estacionario del capital por trabajador y de la renta por trabajador? b) Suponga que en al año 1, el capital por trabajador es 16. En una tabla como la siguiente, muestre la evolución a lo largo del tiempo de las variables indicadas (como ilustración se ha completado la primera línea). 3

Ańo k y = k 1/2 γy δk γy δk 1 16 4 1 0.8 0.2 2 16.2 c) Calcule la tasa de crecimiento de la producción por trabajador entre el primer y segundo año y entre el séptimo y el octavo año. d) A la vista de sus respuestas en c) y d), qué puede concluir con respecto a la velocidad de crecimiento de la producción por trabajador a medida que el país se acerca a su estado estacionario? Bloque 3: Modelo de Solow: Crecimiento tecnológico y de población 1. Según el modelo de Solow, uno debería esperar que, tras un desastre natural que sólo destruye una parte del capital físico de la economía, la tasa de crecimiento de la renta por trabajador evolucionara de forma diferente a como lo haría tras un desastre que sólo destruyera una parte de la población de la misma. Está usted conforme? Justifique su respuesta. 2. Considere el modelo de Solow con crecimiento de la población pero sin progreso tecnológico y suponga que la población puede crecer a dos tasas diferentes, n 1 > n 2. La tasa de crecimiento de la población depende del nivel de renta por trabajador (y por lo tanto, del nivel del capital por trabajador). Concretamente, la población crece a una tasa n 1 cuando k < k y a una tasa (inferior) n 2 cuando k k (donde k es un valor arbitrario) a) Represente gráficamente este modelo suponiendo que (n 1 + δ)k > f(k) y (n 2 + δ)k f(k) b) Interprete el gráfico resultante. Determine el estado estacionario del modelo. 3. Considere el modelo de Solow sin progreso tecnológico visto en clase y analice la situación especial en que δ = n =0. Podría darse en estas condiciones un crecimiento económico sostenido a largo plazo? Argumente bien su respuesta. 4. El modelo de Harrod-Domar. Imagine una función de producción de Leontief donde A hay progreso tecnológico y t A t = g, y la función de producción es de la forma Y t = min{c K K t, c L A t }, donde c K, c L y g son parámetros exógenos todos positivos. Además = n y K t+1 = K t δk t + sy t. a) Bajo qué condiciones se cumple que c K K t = c L A t para todo t? Dado que los parámetros K, c L, g, n, s son exógenos Hay alguna razón para que se dé esa condición? b) Imagine que c L A t está creciendo más rápidamente que c K K t. Qué ocurre con el desempleo a largo plazo, y con el stock de capital por unidades de trabajo eficiente? c) Que courre a largo plazo si c K K t. está creciendo más rápidamente que c L A t? 5. Solow sin progreso tecnológico. Considere el modelo de Solow en el estado estacionario. Asuma por simplicidad que no hay progreso tecnológico, y que la tasa de la población cae de forma permanente. Qué le ocurre en el estado estacionario al ratio K/L, Y/L y C/L? Y a la tasa de crecimiento de la producción total? Haga un dibujo de estas variables como función del tiempo. Es decir n, k, y, c e Y como función del tiempo. Haga un dibujo de las tasas de crecimiento como función del tiempo de k, y, c e Y. 4

6. Solow con progreso tecnológico+regla de oro. Imagine la función de producción neoclásica del tipo.y t = k α t. a) Calcule el valor de k, c, y como función de los parámentros exógenos α, s, n, δ, g (es la tasa de crecimiento de la tecnología). Nota k = ( K AL ), c = ( C AL ), y = ( Y AL ). b) Cuál es el valor de valor de k en la regla de oro? c) Qué tasa de ahorro es necesaria para que el stock de capital por unidad eficiente sea exactamente el stock de capital de la regla de oro calculado en el aparatado b? 7. Suponga el modelo de Solow con progreso tecnológico en el que la función de producción viene dada por F (K t, ) = AK α t (e t ) 1 α donde e t representa el progreso tecnológico exógeno que crece a una tasa g. a) Suponga los datos del problema 1 y calcule el valor del capital, el consumo y la renta per capita en el estado estacionario. Para ello asuma que g = 0, 02. b) Resuelva el modelo para valores de los parámetros genéricos y halle la solución analítica del modelo. c) Calcule la tasa de crecimiento en el estado estacionario del capital per capita ( Kt ) y de la renta per capita ( Yt ). 8. Considere una economía que se describe aceptablemente por el modelo de Solow y en la que el crecimiento (pero no el nivel) del progreso tecnológico depende del nivel de capital humano medio de la sociedad, de forma que la función de producción se puede representar como Y t = A t (h t )K α t ( h t ) 1 α. Asuma que inicialmente la economía se encuentra en una situación de estado estacionario. Suponga que en esta economía la remuneración del capital supone el 40% del PIB y que la rentabilidad de un año adicional de educación es del 10%. Se pretende acometer políticas estructurales para elevar el nivel del PIB por trabajador de estado estacionario. Estime, para cada uno de los siguientes casos, en que proporción aumentará el PIB por trabajador de estado estacionario. a) Se dobla permanentemente el nivel inicial de A. b) Se dobla permanentemente la tasa de inversión. c) El número medio de años de estudios de la fuerza de trabajo aumenta permanentemente en 5 años. d) Cuál de las políticas anteriores permitirá alcanzar a corto plazo una mayor tasa de crecimiento del PIB por trabajador? Por qué? Y a largo plazo? Por qué? 5

Bloque 4: Modelo de Solow: Capital humano 1. Capital Humano con factor que crece exógenamente. Dada la función de producción Y t = K α t H β t (A t ) 1 α β con α > 0, β > 0 y α + β < 1, donde H t es el stock de capital humano, es el número de trabajadores (trabajadores cualificados que ofertan una unidad de y algunas unidades de H t ). a) Encuentra el varlor del stock de capital físico, humano y el producto por unidad eficiente en el equilibrio estacionario (es decir h t = Ht A t, k t = Kt A t, ỹ t = Yt A t en el equilibrio estacionario). b) Imagina que β = s K = 0, qué modelo tendríamos? c) Qué valores toman la productividad marginal del capital físico y humano en equilibrio estacionario? d) Imagina que hay dos economías un menos desarrollada que otra y en la que todos los parámetros exógenos coinciden salvo en dos: En la menos desarrollada, la tasa de crecimiento de la población es el doble que en la más desarrollada y las tasas de ahorro son la mitad que el valor que toma en el país más desarrollado. En qué país el producto marginal de ambos factores productivos sería superior? Qué esperarías que ocurriese con los flujos de capitales según el modelo? Y en la realidad, qué es lo que ocurre? A qué crees que puede ser debido? 2. Rendimientos del capital físico y humano constantes. Imagina que la función de producción es de la forma y que H t Y t = K α t H 1 α t con 0 < α < 1, y K t evolucionan según las siguientes ecuaciones: K t = s K Y t, H t = s H Y. a) Muestra que independientemente de los valores iniciales de H t y K (siempre que estos sean positivos), el ratio H K converge a un equilibrio. b) Cuáles son las tasas de crecimiento de de K, H e Y en equilibrio? c) Imagina un aumento permanente de s H. Tenemos un efecto crecimiento o un efecto nivel? Razona tu respuesta. d) Imagina que H K está fuera del equilibrio y que de hecho es más pequeño que el valor ( H K ). Es la tasa de crecimiento de Y mayor, menor o igual que en equilibrio? 3. Modelo de dos sectores: bienes finales y educación. Considera las siguientes ecuaciones: Y t = [(1 a K )K t ] α [(1 a H )H t ] 1 α con 1 > α > 0, 0 < a K < 1 y 0 < a H < 1, K t = sy t δ K K t, (1) H t = B[a K K] γ t [a H H t ] φ [A t ] 1 γ φ δ H H t con γ > 0, φ > 0 y γ + φ < 1, (2) 6

= n, A t = ga t, donde a K y a H son fracciones exógenas del stock de capital físico y humano utilizado en educación, mientras que (1 a K ), (1 a H ) son las fracciones exógenas del stock de capital físico y humano utilizado en el sector de bienes finales. Este modelo asume que el capital humano es producido en su propio sector con su propia función de producción. La población L es útil cuando los agentes se educan. La tecnología es útil como algo que ayuda a los estudiantes, no como factor productivo del bien final. a) Define k = K/AL, h = H/AL. Deriva las ecuaciones 1 y 2 a la forma intensiva, es decir kt, ht. b) Dibuja el diagrama de fase de de abcisas. kt y ht.por ejemplo en los ejes k eje de ordenadas y h eje c) Calcula el equilibrio, k, h Es estable? Cúales son las tasas de crecimiento de la producción por trabajador, capital físico y humano por trabajador? d) Imagina que la economía está incialmente en su equilibrio estacionario y que hay un aumento permanente de s. Como se ve afectada la producción por trabajador a lo largo del tiempo? 7