1 DISEÑO DE BOBINAS Constantino Pérez Vega y José Mª Zamanio Sáinz de a Maza 1. Cácuo de a Inductancia de bobinas de una soa capa. Iniciamente, se dan as principaes fórmuas para cacuar a inductancia de bobinas de una soa capa. Este puede considerarse como e probema de anáisis, es decir, dada una bobina de geometría conocida, determinar su inductancia. E probema de diseño, sin embargo, es un probema de síntesis en e que o que se da es a inductancia deseada y es necesario determinar su geometría. Aquí se tratarán únicamente bobinas de sección circuar. En a figura 1 se muestra esquemáticamente una bobina o soenoide de una soa capa, sin núceo, es decir con núceo de aire o de cuaquier otro materia con permeabiidad reativa (µ r ) igua a uno. a Fig. 1. Bobina de una capa con núceo de aire a bobina tiene N espiras o vuetas, es de ongitud y de radio a. Es muy importante hacer notar que e cácuo de bobinas se basa en fórmuas empíricas y, por consecuencia, os vaores que se obtienen son aproximados. Aquí se darán agunas de dichas fórmuas. En e caso idea de una bobina compuesta por una cinta muy degada, en que as espiras están separadas una distancia infinitesima, a inductancia es a misma que a de una peícua de corriente y está dada por: donde a y están dados en cm..395a N = µ henrys (1) Para bobinas cortas, de ongitud ta que a reación a/ es mayor que 1, es necesario apicar una corrección a causa de os efectos en os extremos, ta que:.395 a N = K µ henrys ()
E factor K fue cacuado por Nagaoka y se designa habituamente como constante de Nagaoka. a fórmua () también se conoce como fórmua de Nagaoka. K es función de a reación a/ y se puede obtener de as gráfica 1 de a figura. En a gráfica anterior as escaas de a izquierda e inferior corresponden a a curva inferior, en tanto que as escaas derecha y superior corresponden a a curva superior. a/ K K a/ Fig.. Constante de Nagaoka para diversos vaores de a/. E concepto de inductancia de una peícua de corriente es teórico y as fórmuas prácticas pueden obtenerse a partir de os resutados que se obtienen con ese concepto, mediante aproximaciones que tienen en cuenta as desviaciones de caso idea. Hay que hacer notar que as inductancias cacuadas por estos métodos son inductancias en régimen de baja frecuencia, es decir, en e rango de frecuencias en que no son apreciabes efectos capacitivos en a bobina ni tampoco inductancias parásitas debidas a a ongitud de os cabes de conexión. E cácuo de a inductancia de una bobina rea, con aambre de sección circuar se obtiene de a inductancia de a peícua de corriente equivaente, introduciendo dos términos de corrección, A y B, mediante a fórmua siguiente: = s.156 a N ( A + B) µ henrys (3) 1 F. angford-smith. Radiotron Designer s Handbook. 4 th. Ed. Radio Corporation of America, Harrison, N.J. 195. De hecho estas curvas fueron ya pubicadas en e Boetín (Buetin) de Bureau of Standards de os Estados Unidos en e número 8, pág. 4 de año 191 y continúan siendo de apicación.
3 Donde s es a inductancia de a peícua de corriente equivaente dada por (), a es e radio de a bobina en cm, medida de centro de a bobina a centro de aambre como se indica en a figura 1. A es una constante que toma en cuenta a diferencia entre a inductancia propia entre una espira de aambre de sección circuar y a de una espira de a peícua de corriente y B es otra constante que depende de a diferencia en a inductancia mutua de as espiras de una bobina rea respecto a as de una peícua de corriente. A es función de a reación entre e diámetro de aambre y e paso de a héice, es decir, a separación entre as espiras y B depende de número tota de vuetas o espiras. os vaores de A y B se obtienen con faciidad de as gráficas de a figura 3. Nº de vuetas, N A S = D/P Fig. 3. Constantes A y B en a fórmua (3). En a figura anterior, P es e paso o separación entre espiras en cm. a fórmua (3) puede expresarse también en as formas siguientes: = = s s ( A + B) 1 πan K 1 π P ak ( A + B) (4) a curva que describen as espiras de una bobina se ama héice.
1. Fórmuas aproximadas. 4 En a práctica, pueden aproximarse os vaores de A y B por as siguientes expresiones: Donde S = D/P. E error es de orden de 1% para todos os vaores de S. En a fórmua (6) e error es de orden de 1% para N > 4 espiras. Fórmua de Wheeer. A.3og1 (1.7S) (5).5 3.8 B.336 1 + (6) N N a fórmua desarroada por Wheeer para e cácuo de a inductancia es: a N =.394 µh (7) 9a + 1 a fórmua anterior produce errores de orden de 1% para todos os vaores de a/ inferiores a 3. E error es de aproximadamente de 4% para a/ = 5. Se usa también una expresión aproximada de (7), basada en un vaor específico de K dado por Esnaut- Peteire: a N.397.9a + µh (8) En que e error es aproximadamente de.1% para vaores de a/ de. a 1.5. Bobinas cortas. Para bobinas cuya ongitud es pequeña comparada con e diámetro, se puede usar a fórmua siguiente: a N.394 µh (9) a a 9 + 1 5 Cuyo error es aproximadamente de ±% para vaores de a/ hasta de.. Diseño de bobinas de una soa capa. Dado e diámetro de a bobina, e paso y a inductancia deseada, determinar su ongitud. Este puede considerarse como e probema típico de diseño, en e que se desea una bobina de determinada inductancia y se requiere determinar sus dimensiones físicas. En este tipo de probema, o frecuente es conocer e diámetro de aambre y e diámetro de a bobina y se trata de terminar su ongitud. Para eo, es conveniente escribir a fórmua () en a forma siguiente:
5 a =.395K P 3 a K =.79 P a a =.79 P 3 F (1) Donde F = K/a se define aquí como factor de forma y es función de a/ o D/, es decir, de as dimensiones de a bobina. Sin embargo, en este factor de forma interviene a constante de Nagaoka, K, por o que a dependencia de F respecto a diámetro y ongitud de a bobina no es simpe, ya que a constante de Nagoaka depende, a su vez de esas magnitudes. Una forma de deterinar e vaor de F es mediante as gráficas de Departamento de Comercio de os Estados Unidos 3 y que se dan en a figura 4. F F a / Curva superior Curva inferior Fig. 4. Variación de F respecto a a/. En esta gráfica, os vaores de F en a escaa de a derecha, se een sobre a curva superior y os de a escaa de a izquierda sobre a curva inferior. os vaores correspondientes de a / se een sobre as escaas indicadas en e eje horizonta. 3 U.S. Dpt. of Commerce, Circuar C74. Radio instruments and measurements.
6 E procedimiento a seguir es obtener primero F de a fórmua (1): P F = 1.658 (11) 3 a Con este vaor de F se entra a a gráfica (4) y se obtiene e vaor de a /. Puesto que e diámetro es conocido, se obtiene fácimente a ongitud de a bobina a partir de vaor eído en a gráfica. Conocida a ongitud y e paso entre espiras, se cacua e número de vuetas: Ejempo. N = (1) P Se desea cacuar e número de vuetas que debe tener una bobina de 5 µh, que se devanará sobre una forma ciíndrica de 8 mm (aproximadamente e diámetro de un ápiz o un boígrafo), con aambre de.5 mm de diámetro y as espiras juntas. os datos para e diseño son: =5µH; a=.8 cm y P=.5 cm. a) Se cacua F mediante a fórmua (11) y se obtiene para este caso que F =.45. b) Se entra con este vaor en a gráfica de a figura 4, de ado derecho, y se ee, sobre a curva superior, e vaor de a / =.36. c) Puesto que a =.8, a ongitud de a bobina,, resuta de. cm. d) Se cacua ahora e número de vuetas: N = / P = 44.4 vuetas (45 vuetas). Una información adiciona de interés es a ongitud de aambre necesaria para esta bobina. Esta se cacua fácimente como: tota = π a N = 11.31 cm a a ongitud anterior es necesario agregar a ongitud de as terminaes de conexión, por ejempo, 1 cm en cada extremo, con o que a ongitud de aambre requerida para esta bobina es de 13.31 cm. 3. Consideraciones adicionaes. 1. Para una ongitud dada de aambre, bobinado con un paso conocido (P), a máxima inductancia se tiene con una reación a / =.46.. Para ograr una bobina de una inductancia dada, con a mínima resistencia, debe cumpirse a reación anterior. 3. a inductancia disminuye rápidamente para bobinas de ongitud mayor que e vaor óptimo, pero sóo decrece entamente para bobinas más cortas. E vaor óptimo de a / es, aproximadamente, de.. 4. Efectos de bindaje o apantaamiento. Con gran frecuencia es necesario bindar o apantaar as bobinas para evitar e acopamiento eectromagnético con otras bobinas o eementos de circuito cercanos. Para eo a bobina se encierra en
7 un recipiente metáico de materia conductor no ferromagnético. Este bindaje metáico actúa en reaidad como una espira en cortocircuito acopada a a bobina y da ugar a una impedancia mutua entre a bobina y e bindaje cuyo vaor es: Z m M ω = (13) Z t donde M es a inductancia mutua entre a bobina y e bindaje y Z t es a impedancia propia de éste útimo. En a práctica, puede ignorarse a resistencia de a paca metáica de bindaje, con o que a impedancia efectiva de a bobina en estas condiciones es: Z = R = R = R + + + jω jω M ω + jω M jω (1 k t ) t (14) En que es a inductancia efectiva de a bobina sin bindaje y aisada de otras bobinas o condcutores cercanos y k es e coeficiente de acopamiento entre a bobina y e bindaje. De (14), puede decirse que a inductancia efectiva de a bobina bindada es: ef = (1 k ) (15) y e cuadrado de coeficiente de acopamiento, k, expresa a inductancia incrementa: k ef = (16) E efecto neto de bindaje, como se aprecia de (14), es una disminución de a inductancia efectiva de a bobina. No hay una expresión anaítica mediante a cua se pueda cacuar con reativa faciidad esta disminución de a inductancia si bien, por otra parte, se han desarroado agunas expresiones empíricas que permiten obtener vaores aproximados en a práctica. Una de estas fórmuas es a debida a H. Kaden en 1933: k V = 3 V t α K (17) Donde V es e voumen de a bobina y V t e de bindaje. K es a constante de Nagaoka y α es una constante que depende de a permeabiidad de materia de bindaje y de sus dimensiones. Cuando e bindaje es de meta no ferromagnético, α 1. Otra expresión debida a Boge 4, para bindajes ciíndricos, concéntricos a a bobina es: 4 A. G. Boge. The effective inductance and resistance of screened cois. Jour. I.E.E. 87 (194), p. 99.
8 1 a k = (18) 1.55g 1 + b Donde a es e radio de a bobina, b e de bindaje y g = b a, a distancia entre a bobina y e bindaje. Un aspecto muy importante que debe tenerse en cuenta, es que as fórmuas anteriores son empíricas y dan resutados aproximados. En una apicación particuar, por o genera será necesario hacer ajustes para obtener os resutados deseados. 5. Comportamiento de as bobinas con respecto a a frecuencia. Todas as fórmuas anteriores son váidas para frecuencias bajas, a as que puede ignorarse e efecto de as terminaes y os efectos capacitivos en a bobina. De hecho, e inductor o bobina es, entre os componentes pasivos de circuito, e que probabemente es más susceptibe de presentar cambios drásticos con a frecuencia. En cuaquier bobina, a proximidad entre as espiras da ugar a una capacidad distribuida que no puede ignorarse en atas frecuencias. Tampoco pueden ignorarse as capacidades parásitas que se presentan entre a bobina y otros eementos de circuito próximos, incuyendo os cabes o as pistas de os circuitos. E circuito equivaente para una bobina, considerando soamente a capacidad distribuida y a resistencia de aambre, se muestra en a figura 5. R s C d Fig. 5. Circuito equivaente de una bobina. A manera de ejempo, en a figura 6 se muestra a impedancia de una bobina de 1 µh, a a que se supone una resistencia de Ω y una capacidad distribuida de 1 pf. Debido a esta capacidad distribuida, a bobina se comporta no como idea, representada por a recta en a figura 6, sino como un circuito C en paraeo cuya frecuencia de resonancia es, para este ejempo, de 15.9 MHz. a gráfica se ha trazado para a vecindad de esta frecuencia. Fig. 6. Respuesta en frecuencia para una bobina de 1 µh, con resistencia de Ω y capacidad distribuida de 1 pf.
9 Como se puede apreciar de a figura, a bobina se desvía de su comportamiento idea a partir de 14.5 MHz para e caso de ejempo, presentando una impedancia inductiva mucho mayor que a de a bobina idea. A partir de a resonancia, a impedancia que presenta a bobina es capacitiva, es decir, a bobina se comporta como un condensador. Como consecuencia de o anterior, es caro que estos efectos deben tomarse en cuenta a diseñar o seeccionar bobinas, ya que si a frecuencia a a que debe funcionar está en a cercanía de su frecuencia natura de resonancia, e comportamiento será totamente diferente de esperado. Una rega simpe, es que esta frecuencia natura de resonancia debe ser mucho mayor que a frecuencia de funcionamiento de a bobina de modo que su comportamiento se acerque a idea. No siempre, en a práctica, es posibe conseguir esta condición. En genera, no se encuentran comerciamente bobinas de determinados vaores de inductancia, como ocurre con as resistencias o condensadores y con frecuencia es necesario construiras. Sin embargo, en agunos casos es posibe disponer de agunos tipos de bobinas en circuito integrado. Estas bobinas se construyen sobre un substrato cerámico y se pueden encontrar en e rango de inductancias de.1 µh a 1 mh, con vaores típicos de Q entre 4 y 6 a MHz. 6. Consideraciones sobre e factor de caidad de una bobina (Q). a resistencia equivaente en serie de una bobina, debida a a conductividad finita de aambre, es e mecanismo básico que da ugar a una impedancia finita a resonancia. E efecto de esta resistencia inherente a a bobina es estrechar o ensanchar a curva de impedancia a resonancia. a reación entre a reactancia (jω) de una bobina y su resistencia se define como factor de caidad de a biobina, o simpemente Q, es decir: Q = ω (19) R s Si e conductor fuera perfecto, a resistencia sería cero y a Q infinita. En bajas frecuencias, a Q de a bobina es ata, debido a que a resistencia de conductor es prácticamente a resistencia a c.c. Según aumenta a frecuencia, intervienen e efecto peicuar y a capacidad distribuida y a caidad de a bobina se degrada. E efecto neto sobre Q es que, a bajas frecuencias a Q aumenta ineamente con a frecuencia, ya que aumenta su reactancia y e efecto peicuar no interviene significativamente. Sin embargo este efecto se manifiesta rápidamente a aumentar a frecuencia, con o que a resistencia de conductor es ahora a resistencia a c.a., que aumenta con a frecuencia. Por consecuencia, aunque a Q sigue creciendo o hace más entamente hasta acanzar un máximo y uego decrecer. Entre os métodos para aumentar a Q de una bobina y extender su rango úti de frecuencia se pueden empear os siguientes: a) Utiizar aambre de mayor diámetro, con o que se reduce a resistencia de aambre a c.c. y c.a. b) Separar as espiras de a bobina para reducir a capacidad distribuida. c) Aumentar a permeabiidad de circuito magnético, devanando a bobina sobre un núceo de materia ferromagnético. Esto además, permite obtener a misma inductancia con menos vuetas.