Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS09A: Física Profesores: Donovan Díaz y Aldo Valcarce Fecha: 3 de octubre de 04 PAUTA INTERROGACIÓN Problema : Responda verdadero (V) o falso (F) justificando las falsas. Sea breve en su respuesta (no más de 4 líneas). En caso que corresponda puede apoyarse también haciendo breves cálculos para responder (6 puntos). i) F Cuando una persona ejerce una fuerza F sobre un libro apoyado sobre la mesa (ver figura), el módulo de la Fuerza Normal debe ser igual al módulo de fuerza aplicada para que la fuerza neta sea cero y así el libro permanezca en reposo. En esa situación el módulo de la fuerza normal sería igual a la fuerza aplicada más el peso del cuerpo: N=F+P, así la fuerza neta es cero y el cuerpo permanece en reposo. ii) F_ Dos bloques de igual masa están conectados por una cuerda como muestra la figura. Una fuerza F es aplicada al primer bloque. Como los objetos tienen la misma aceleración entonces la tensión en la cuerda debe ser igual a la fuerza F aplicada. Si la Tensión tuviese el mismo valor de la fuerza F el segundo bloque tendría el doble de la aceleración del sistema. Para la situación descrita en la figura la Tensión de la cuerda que une a los dos bloques vale la mitad de la fuerza F aplicada. iii) F Si arrastramos una caja en línea recta sobre una superficie con roce una cierta distancia d y luego la arrastramos por la misma trayectoria volviendo al punto inicial, entonces el trabajo total realizado por la fuerza de roce es cero porque el desplazamiento es cero. El trabajo de la fuerza de roce no depende del desplazamiento sino de la distancia recorrida. Y en el caso plantado la distancia recorrida sería d, por lo tanto el trabajo de la fuerza de roce valdría: W Fr = -Fr d.
iv) V El trabajo realizado sobre un objeto siempre será positivo si este siempre aumenta su rapidez. v) F Si se dejan caer al mismo tiempo una pelota de ping-pong y una futbol, después de segundos de caída ambos objetos tendrán la misma energía cinética si el roce no es considerado. La energía cinética no solo depende de la rapidez sino que también de la masa, por lo que aunque los dos cuerpos tengan la misma rapidez, su energía cinética será diferente. vi) F Siempre que se realiza más fuerza sobre un objeto, siempre se obtiene más trabajo. Si la fuerza se aplica perpendicularmente a la dirección del movimiento o si el objeto no se mueve, el trabajo no aumenta.
PROBLEMA Una pelota de masa m =, kg y un bloque de masa m = 3,6 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea sin fricción como se ve en la figura. El bloque está sobre un plano inclinado de ángulo θ = 35º y el coeficiente de fricción cinética es de μ c =0, entre el bloque y el plano inclinado. a) (,5 puntos) Si la pelota sube, realice el Diagrama de Cuerpo Libre de ambos cuerpos y determine la magnitud de la aceleración del sistema. b) (,5 puntos) Determine la tensión de la cuerda. c) (,0 puntos) Considere ahora que la pelota va bajando, calcule la masa mínima que debiese tener la pelota para que se mantenga ese movimiento. Solución: a) 0,7 ptos por D.C.L. m : F y m a T m g m a T m ( a g) m : 0 N m g cos 0 N m g cos m gsen T Fr m a F F y x (0,3 ptos.) Fr c N c mg cos (0, 5 ptos.) m a m gsen m ( a g) m g cos m a m gsen m a m g m g cos m a m gsen m g cos m g a( m m ) c mg( sen c cos ) m g ( m m ) c c a (0,5 ptos.) Reemplazando los valores queda que a=0,56 m/s (0,5 ptos)
b) La tensión la encontramos fácilmente de la ecuación: T T m ( a g),kg(0,56 m/ s 9,8m / s ),4N (,5 ptos.) c) La masa mínima que debiese tener la pelota para que el sistema se mueva en sentido contrario, es decir, la pelota ahora vaya bajando sería cuando el movimiento es a velocidad constante a=0. (0,3 ptos.) m : F y 0 T m g 0 T m g m : 0 N m g cos 0 N m g cos 0 m gsen T Fr 0 F F y x (0,3 ptos.) Fr c N c mg cos (0, 5 ptos.) m gsen m g m g cos 0 m ( sen cos ) m m g( sen cos ) m g c c c (0,4 ptos.) Reemplazando los valores queda que m =,6 Kg (0,5 ptos.)
PROBLEMA 3 Una esfera de masa m = kg se encuentra inicialmente adosada a un resorte comprimido x = 40 cm de constante elástica k = 500 N/m como se muestra en la Figura. Al liberar el resorte de su estado de compresión éste empuja a la esfera la cual se desplaza en todo momento sobre una superficie sin fricción entrando al loop también sin fricción. El loop consiste en una semicircunferencia de radio R=50 cm. a) (,5 puntos) En el estado inicial cuánto vale la fuerza que ejerce el resorte sobre la esfera? y cuánto vale la energía elástica del resorte? b) (,5 puntos) Determine la velocidad de la esfera cuando pasa por las posiciones A, B y C. c) (,5 puntos) Realice el Diagrama de Cuerpo Libre de la esfera cuando pasa por la posición C y determine el valor de Fuerza Normal. d) (,5 puntos) Cuál sería la compresión mínima que debería tener el resorte para que la esfera alcance a llegar hasta la posición C? Solución: a) F kx 500N / m 0,4m 00N (0,5 ptos) b) U e kx 40J ( pto.) k kx mv A VA x 6,3m / s, es la velocidad en el punto A (0,5 ptos.) m mva mvb mgr VB VA gr 5,5m / s, es la velocidad en B (0,5 ptos.) mva mv C mgr VC 4,5m / s, es la velocidad en C (0,5 ptos.)
c) Fr N mg ma VC N m R VC mg m( R c VC m R g) 6,4 N ( pto.) (0,5 ptos.) e) La comprensión mínima del resorte sería tal que alcance justo a llegar al punto C con velocidad 0. mgr kx mgr x 0,8m 8cm, sería la comprensión mínima. k
PROBLEMA 4 Un objeto de masa m = 7.5 kg baja por una pendiente como muestra la figura con una rapidez inicial v = 5 m/s cuando se encuentra a una altura h 0 = 50 m. El objeto al llegar al punto A chocará con un resorte con una constante k = 30 N/m y lo comprimirá. Entre los puntos A y B no existe roce. a) ( puntos) Determine cuanto se comprimirá el resorte. b) ( puntos) Determine cuanto es la rapidez mínima inicial v que debe tener la masa a la altura h 0 para que la masa después de rebotar en el resorte llegue al punto B que se encuentra a una altura h = 90 m. c) ( puntos) Si la rapidez inicial de la masa a la altura h 0 es 50 m/s, determine el valor del coeficiente del roce cinético existente entre los puntos B y C separados una distancia d = 65 m para que la masa llegue justo al punto C y no caiga por el borde. RESPUESTA a) Datos del problema Masa del objeto: m = 7, 5 kg Altura inicial: h 0 = 50 m Velocidad inicial a la altura h 0 : v 0 = 5 m/s Constante del resorte: k = 30 N/m Velocidad de la masa a la máxima compresión del resorte: v a = 0 Compresión del resorte: x =? Por conservación de energía sabemos que como solo actuan fuerzas conservativas la energía del sistema en cualquier instante de tiempo debe ser igual a la energía inicial del sistema E 0. E 0 = E f () La energía en el punto inicial consiste en la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, o sea: E 0 = m v 0 + m g h 0 () La energía en el punto de máxima compresión E a será simplemente la energía potencial elástica almacenada en el resorte, dado que la rapidez de la masa es nula y se ha definido que la energía potencial gravitatoria es nula a esa altura: E a = k x (3)
Igualando ambas energía y despejando x: m v 0 + m g h 0 = k x (4) m x = k (v 0 + g h 0) (5) Resolviendo para los valores de m = 7, 5 kg, k = 50 N/m, v 0 g = 9, 8 m/s, y h 0 = 50 m se obtiene: = 5 m/s, b) Datos del problema Masa del objeto: m = 7, 5 kg Altura inicial: h 0 = 50 m Velocidad mínima inicial a la altura h 0 : v 0 =? Altura final: h = 90 m Velocidad de la masa a la altura h : v = 0 x = 3.4 m (6) Nuevamente, como no hay pérdida de energía, la energía en todo momento debe ser constante, por lo cual la energía en el punto B deberá ser igual a la energía inicial E 0 como en la parte a), pero en este caso no conocemos la rapidez inicial. Entonces tenemos que que debe ser igual a la energía en el punto B. E 0 = m v 0 + m g h 0 (7) E b = m v b + m g h (8) Sin embargo, en este caso se debe asumir además que la rapidez en el punto B sea nula para encontrar la rapidez mínima requerida. Igualando E 0 = E b para v b = 0 se obtiene: m v 0 + m g h 0 = m g h (9)
que despejando v 0. v 0 = g(h h 0 ) (0) Resolviendo para los valores de g = 9, 8 m/s, h 0 = 50 m y h = 90 m se obtiene: c) Datos del problema Masa del objeto: m = 7, 5 kg Altura inicial: h 0 = 50 m Velocidad inicial a la altura h 0 : v 0 = 50 m/s Altura final: h = 90 m Velocidad de la masa en el punto C: v c = 0 Distancia entre los puntos B y C: d = 65 m Coeficiente de roce cinético: µ =? v 0 = 8 m/s () Como en este caso se considera roce, no se conserva la energía en todo el sistema. Especificamente entre los puntos B y C la energía debe ser completamente disipada por el roce. Sin embargo, antes de que la masa pase el punto B, la energía se debe conservar como se vió en las dos partes anteriores del problema. Entonces la energía en el punto B será igual a la energía inicial: E b = E 0 = m v 0 + m g h 0 () Como la energía se debe disipar por el roce entre los puntos B y C sabemos que: E c E b = F R d (3) donde F R = µ m g. Despejando µ de la ecuación anterior, reemplanzando E c = 0 y E b por la ecuación se obtiene: 0 E b = µ m g d (4) µ = m v 0 + m g h 0 m g d µ = v 0 + g h 0 g d (5) (6) 3
Resolviendo para los valores de v 0 = 50 m/s, g = 9, 8 m/s, h 0 = 50 m y d = 65 m se obtiene: µ =.73 (7) 4
PROBLEMA 4 Un objeto de masa m = 7.5kg baja por una pendiente como muestra la figura con una rapidez inicial v = 5m/s cuando se encuentra a una altura h 0 = 50m. El objeto al llegar al punto A chocará con un resorte con una constante k = 30N/m y lo comprimirá. Entre los puntos A y B no existe roce. a) ( puntos) Determine cuanto se comprimirá el resorte. b) ( puntos) Determine cuanto es la rapidez mínima inicial v que debe tener la masa a la altura h 0 para que la masa después de rebotar en el resorte llegue al punto B que se encuentra a una altura h = 90m. c) ( puntos) Si la rapidez inicial de la masa a la altura h 0 es 50m/s, determine el valor del coeficiente del roce cinético existente entre los puntos B y C separados una distancia d = 65m para que la masa llegue justo al punto C y no caiga por el borde. RESPUESTA a) Datos del problema Masa del objeto: m = 7,5kg Altura inicial: h 0 = 50m Velocidad inicial a la altura h 0 : v 0 = 5m/s Constante del resorte: k = 30N/m Velocidad de la masa a la máxima compresión del resorte: v a = 0 Compresión del resorte: x =? Por conservación de energía sabemos que como solo actuan fuerzas conservativas la energía del sistema en cualquier instante de tiempo debe ser igual a la energía inicial del sistema E 0. E 0 = E f () La energía en el punto inicial consiste en la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, o sea: E 0 = m v 0 +m g h 0 () LaenergíaenelpuntodemáximacompresiónE a serásimplementelaenergía potencial elástica almacenada en el resorte, dado que la rapidez de la masa es nula y se ha definido que la energía potencial gravitatoria es nula a esa altura: E a = k x (3)
Igualando ambas energía y despejando x: m v 0 +m g h 0 = k x (4) m x = k (v 0 +g h 0) (5) Resolviendo para los valores de m = 7,5kg, k = 30N/m, v 0 = 5m/s, g = 9,8m/s, y h 0 = 50m se obtiene: b) Datos del problema Masa del objeto: m = 7,5kg Altura inicial: h 0 = 50m Velocidad mínima inicial a la altura h 0 : v 0 =? Altura final: h = 90m Velocidad de la masa a la altura h : v = 0 x = 7.4m (6) Nuevamente, como no hay pérdida de energía, la energía en todo momento debe ser constante, por lo cual la energía en el punto B deberá ser igual a la energía inicial E 0 como en la parte a), pero en este caso no conocemos la rapidez inicial. Entonces tenemos que que debe ser igual a la energía en el punto B. E 0 = m v 0 +m g h 0 (7) E b = m v b +m g h (8) Sin embargo, en este caso se debe asumir además que la rapidez en el punto B sea nula para encontrar la rapidez mínima requerida. Igualando E 0 = E b para v b = 0 se obtiene: m v 0 +m g h 0 = m g h (9)
que despejando v 0. v 0 = g(h h 0 ) (0) Resolviendo para los valores de g = 9,8m/s, h 0 = 50m y h = 90m se obtiene: c) Datos del problema Masa del objeto: m = 7,5kg Altura inicial: h 0 = 50m Velocidad inicial a la altura h 0 : v 0 = 50m/s Altura final: h = 90m Velocidad de la masa en el punto C: v c = 0 Distancia entre los puntos B y C: d = 65m Coeficiente de roce cinético: µ =? v 0 = 8m/s () Como en este caso se considera roce, no se conserva la energía en todo el sistema. Especificamente entre los puntos B y C la energía debe ser completamente disipada por el roce. Sin embargo, antes de que la masa pase el punto B, la energía se debe conservar como se vió en las dos partes anteriores del problema. Entonces la energía en el punto B será igual a la energía inicial: E b = E 0 = m v 0 +m g h 0 () Como la energía se debe disipar por el roce entre los puntos B y C sabemos que: E c E b = F R d (3) donde F R = µ m g. Despejando µ de la ecuación anterior, reemplanzando E c = m g h (la masa solo queda con energía potencial) y E b por la ecuación se obtiene: E c E b = µ m g d (4) m g h ( m v 0 +m g h 0 ) = µ m g d (5) 3
g h ( v 0 +g h 0 ) = µ g d (6) µ = v 0 g(h h 0 ) g d (7) Resolviendo para los valores de v 0 = 50m/s, g = 9,8m/s, h 0 = 50m, h = 90m y d = 65m se obtiene: µ =.34 (8) 4