José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo
PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO Generalidades sobre sistemas trifásicos Conceptos básicos Magnitudes básicas Sistemas trifásicos equilibrados Potencia en sistemas equilibrados Comparación entre sistemas equilibrados Δ-Υ 3
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (I) A) Definición de sistema trifásico de tensiones: Tres fuentes monofásicas de igual ω pero desfasadas 120º (2π/3 rad) Por qué 120º? 360º/3=120º Por qué trifásica? ver al final. Definición de sistema trifásico Equilibrado: Tres fuentes monofásicas de igual ω y AMPLITUD pero desfasadas 120º (2π/3 rad) 4
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (II) APENDICE: Propiedades matemáticas. 1/0º + 1/120º + 1/-120º = 0 equilibradas: V a +V b +V c = 0 Si tenemos tres tensiones (o intensidades) trifásicas 1/0º - 1/+120º = 3 /-30º y 1/0º - 1/-120º = 3 /+30º Si restamos dos vectores con igual módulo y desfasados 120 º entre si V /ϕ - V /ϕ+120º = V /ϕ-30º V a V b = V a 1 e ± j120º V /ϕ - V /ϕ-120º = V /ϕ+30º Formulación exponencial: a= e j120º a 2 = e j240º = e -j120º 1+a+ a 2 = 0 Va+Vb+Vc = 0 1- a = 3 e -j30º 1- a 2 = 3 e j30º ( mj 30º )= V a 3 e 5
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (III) APENDICE: Demostración. 1 1 0º = cos0º+ jsen0º 120º ( ) ( cos( 120º )+ jsen( 120º ))= = 1+ 1 2 + j 3 = 3 2 2 + j 3 3 = 3 2 2 + j 1 = 2 3( cos30º+ jsen30º ) = 3 30º Supongamos V a = V ϕ y V b = V ϕ 120º V a V b =1 120º V a V b = V a 1 V b = V a ( 1 0º 1 120º )= V a 3 30º V a 6
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (IV) B) Conexión de cargas: estrella y triángulo Estrella Triángulo (Delta) Elementos de Δ en función de * Elementos de * en función de Δ Z 12 = Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 Z 3 Z 1 = Z 12 Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 23 = Z 2 + Z 3 + Z 2 Z 3 Z 1 Z 2 = Z 12 Z 23 Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 31 = Z 3 + Z 1 + Z 3 Z 1 Z 2 Regla Mnemotécnica Z 3 = Z 23 Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31 7
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (V) B) Conexión de cargas: estrella y triángulo Sistema equilibrado Estrella Triángulo (Delta) Conexión Δ o ϒ equilibrada Las tres cargas son iguales Sistemas de cargas equilibradas Δ y ϒ equivalentes Z Δ = 3 Z Υ DEMOSTRACIÓN: Sustituir Z 1 =Z 2 =Z 3 en el caso general. 8
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VI) C) Conexión de fuentes: estrella y triángulo Fuentes conectadas en estrella: Unir los 3 terminales de polaridad de referencia negativa en un punto común N (llamado punto neutro). Se suele representar en la forma de estrella de la que recibe el nombre (ϒ) Fuentes conectadas en triángulo: Conectar sucesivamente los terminales de distinta polaridad. Se suele representar en la forma de triángulo o Delta (Δ) 9
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VII) C) Conexión de fuentes ideales Equivalencias Elementos de Δ en función de Υ E ab = E 1 E 2 E bc = E 2 E 3 SISTEMA EQUILIBRADO: E = 3 E Υ /±30º Si E 2 / E 1 = /+120º / 30º Si E 2 / E 1 = / 120º /+30º E ca = E 3 E 1 Elementos de Υ en funci ón de Δ E 1 = E ca E bc 3 E 2 = E ab E ca 3 E 3 = E bc E ab 3 10
GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VIII) D) Conexión de generadores reales de tensión: Estrella y triángulo Sistema trifásico EQUILIBRADO: Las tres cargas son iguales Las tres fuerzas electromotrices tienen igual módulo (!No son iguales pues están desfasadas 120º!) Equivalentes? Las tres cargas son equivalentes entre si (Z 1 =Z 2 =Z 3 ) Los tres fuentes ideales de tensión son equivalentes entre sí. (Ver apartados anteriores) 11
CONCEPTOS BÁSICOS (I) Conexiones Generador-Carga: Sistema trifásico completo = Generador + Líneas + Carga Tres sistemas monofásicos Seis líneas de conducción Un sistema trifásico Tres/Cuatro líneas de conducción Conectamos los generadores en Δ ó Υ Conectamos las cargas en Δ ó Υ Utilizamos tres líneas de conducción NOTA: En estrella-estrella existe un cuarto cable que une los puntos neutros SISTEMAS POSIBLES: Δ Υ ; Υ Δ; Δ Δ; Υ Υ Sistema trifásico equilibrado: Un sistema trifásico está totalmente equilibrado cuando lo están todas sus partes (generación, líneas y carga) 12
CONCEPTOS BÁSICOS (II) Magnitudes Básicas: A) Secuencia de fase: Secuencia de fase= Orden de aparición de las tres fases ante un observador fijo Concepto relativo. 13
B) Magnitudes de línea: CONCEPTOS BÁSICOS (III) Intensidad de línea (3)= Intensidades a través de los conductores de conexión G-C En conexiones Υ Υ la intensidad por el neutro no se considera I de línea. I R I R R R U RS Z I TR Z U RS Z U RN Z Z U TR U ST S I S I RS Z I ST U TR U ST S I S U SN N U TN T I T T I T Tensión de línea (3)= Diferencia de tensión entre dos conductores de línea La tensión de línea en el generador tensión de línea en las cargas EXCEPCIÓN: Si las líneas tienen impedancia nula (no pierden tensión). 14
CONCEPTOS BÁSICOS (IV) C) Magnitudes de fase: Intensidad de fase (3)= I suministrada por cada generador o consumida por cada carga En conexiones Υ (carga o generador) I FASE =I LINEA. R I R R I R U RS Z I TR Z U RS Z U RN U TR S I S I RS Z U TR S I S Z N Z I ST U SN U TN U ST U ST T I T T I T Tensión simple o de fase (3)= ΔV entre un hilo o terminal de fase y el neutro. En conexiones Δ (carga o generador) V FASE =V LINEA. 15
MAGNITUDES BÁSICAS D) Relación entre las magnitudes de fase: Intensidad de fase Tensión de fase FUENTES: CARGAS: V F a = V aa = E 1 I F a Z 1 V F b = V bb = E 2 I F b Z 2 V F c = V cc = E 3 I F c Z 3 V a F = V aa = I a F Z 1 V b F = V bb = I b F Z 2 V c F = V cc = I c F Z 3 Estas relaciones son válidas tanto para conexiones en Δ como en ϒ 16
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (I) 4.3. SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 17
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (II) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo: Recordemos: V F = V L = V AB y I A =I AB I CA ( =aplicar NUDOS en A) SISTEMA EQUILIBRADO: Secuencia directa : I AB = I F /φº ; I BC =I F /φ -120º, I CA =I F /φ +120º I A = I AB I CA = I AB ( 1 0º 1 +120º )= I AB 3 30º I B = I BC 3 30º ; I C = I CA 3 30º Secuencia inversa : I AB = I F /φº ; I BC =I F /φ +120º, I CA =I F /φ - 120º I A = I AB I CA = I AB ( 1 0º 1 120º )= I AB 3 +30º I B = I BC 3 +30º ; I C = I CA 3 +30º CONCLUSIÓN: I AB = I F ϕ I A = I L α I = I A AB 3 m30º I = 3I L F α = ϕ m30º 18
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (III) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo: V AB =V(fase)=V(línea). I L = I F 3 Hay un desfase de 30º entre I(fase) e I(linea) SD I L retrasa (-30º) respecto a I F a I F SI I L adelanta (+30º) ) respecto 19
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (IV) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo: Nomenclatura: Línea I r R, I r S, r r I RS = r r Fase I ST = r r I TR = r RESUMEN: Relación entre magnitudes de fase y línea en Δ equilibrados I T I U I V I W Directa Inversa IR = IRS ITR = 3IRS 30º IS = IST IRS = 3IST 30º I = I I = 3I 30º T TR ST TR IR = IRS ITR = 3IRS + 30º IS = IST IRS = 3IST + 30º I = I I = 3I + 30º T TR ST TR Intensidad de línea retrasa 30º respecto a la de fase Intensidad de línea adelanta 30º respecto a la de fase 20
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (V) 4.3.2 Resolución de conexiones equilibradas en estrella : Recordemos: I F = I L = I A y V AB = V AN V BN SISTEMA EQUILIBRADO: Secuencia directa : V AN = V F /φº ; V BN =V F /φ -120º, V CN =V F /φ +120º V AB = V AN V BN = V AN ( 1 0º 1 120º )= V AB 3 +30º V B = V BC 3 +30º ; V C = V CA 3 +30º Secuencia inversa : V AN = V F /φº ; V BN =V F /φ + 120º, V CN =V F /φ - 120º V AB = V AN V BN = V AN ( 1 0º 1 +120º )= V AB 3 30º V B = V BC 3 30º ; V C = V CA 3 30º CONCLUSIÓN: V AN = V F ϕ V AB = I L α V AB = V AN 3 ± 30º V = 3V L F α = ϕ ± 30º 21
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VI) 4.3.2 Resolución de conexiones equilibradas en estrella : I A = I (fase) = I (línea). V L = V F 3 Hay un desfase de 30º entre V(fase) e V(linea) SD V L adelanta (+30º) a V F SI V L retrasa (- 30º) a V F - I N =I A +I B +I C = 0 (recordar matemáticas) 22
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VII) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en estrella: RESUMEN: Relación entre magnitudes de fase y línea en Δ equilibrados Nomenclatura: URS = 3URN + 30º U R = U RS U S = U ST UST = 3USN + 30º U T = U TR U = 3U + 30º Línea U U = U RN Fase U V = U SN U W = U TN Directa Inversa U U U TR RS ST TR TN = 3URN 30º = 3USN 30º = 3U 30º TN Tensión de línea adelanta 30º respecto a la de fase Tensiónde línea retrasa 30º respecto a la de fase 23
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VIII) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (A) SISTEMA ESTRELLA-ESTRELLA Solución general del problema (no equilibrado) Z Y a = Z g a + Z L a + Z a (Z Y b ; Z Y c ) Kirchoff Ia +Ib +Ic +I N = 0 Millman U N N Tres problemas monofásicos. S. Equilibrado Z ga = Z gb = Z gc = Z g S. Equilibrado Z La = Z Lb = Z Lc = Z L Z = Z Υ g + Z L + Z Z a = Z b = Z c = Z ε 1, ε 2, ε 3, equilibrado ε a + ε b + ε c =0 V N N = 0 I N =0 Cálculo por reducción a 3 modelos monofásicos: (modelo monofásico equivalente) Demostración (Millman): V N.N = ε a +ε b +ε c Z Y 1 + 3 = 0 Z N Z Y 24
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (IX) (A) SISTEMA ESTRELLA-ESTRELLA: Equivalente monofásico V N.N = 0 No existe caída de tensión entre N-N Por qué hilo neutro? Sª trifásico casi equilibrado. Intensidades de fase/linea? RECORDAR: I L =I F. I a = I b = I c = ε a Z g + Z L + Z ε b Z g + Z L + Z ε c Z g + Z L + Z Forman un Sª trifásico equlibrado. Calculamos I a y desfasamos I b, I c Podemos sustituír un sistema trifásico (3 incógnitas) por tres sistemas monofásicos independientes (I a ) 25
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (X) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (B) SISTEMA TRIÁNGULO-TRIÁNGULO RECORDAR: V L =V F y V ab carga V a b generador Solución general del problema (no equilibrado) Kirchoff (incógnitas Ia, Ib, Ic, Iab, Ib a.) Muy complicado. Sistema equilibrado: I a = I ab Sistema equilibrado: Sólo tres incógnitas: Intensidades de fase? NOTA: Cuidado con los sentidos de I 3 ±30º I ab = I b a I bc = I c b I ca = I a c Para cada fase resolvemos un sistema monofásico equivalente Una incóginita = I ab I ab = E a Z Forman un Sª trifásico Z = Z g + 3Z L + Z I bc = E equlibrado b Z I ca = E Calculamos I c a y Z desfasamos I b, I c 26
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (XI) (B) SISTEMA TRIÁNGULO-TRIÁNGULO: Equivalente monofásico Demostración: Sª Equilibrado I ab =I b a Kirchoff en malla (a b b a ) E 0º = Z g I b a + Z L I a + Z I ab Z L I b Secuencia directa ( I bc = I ab 120º ) Sustituimos I a, I b en la ec. de la malla I a = I ab 3 30º I b = I bc 3 30º = I ab 3 150º E 0º = I ab (Z g + 3Z L + Z) I ab = E 0º Z g + 3Z L + Z Igual resultado que considerando aisladamente un circuito monofásico con Z = Z g + 3Z L + Z NOTA: La demostración es idéntica con un Sª de secuencia inversa 27
SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (XII) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (C) SISTEMA TRIÁNGULO-ESTRELLA o ESTRELLA-TRIÁNGULO No existe equivalente monofásico para este tipo de sistemas: Pasamos a equivalente Δ-Δ Pasamos a equivalente ϒ-ϒ ó CUIDADO: Si para resolver un sistema Δ-ϒ pasamos a su equivalente (Δ-Δ ó ϒ-ϒ), los resultados que obtenemos en el nuevo sistema nos dan las magnitudes de línea del sistema inicial. Para obtener las magnitudes de fase del sistema inicial hemos de volver al punto de partida (no son iguales a las del sistema equivalente!!!) 28
POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (I) 4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Potencia suministrada (generador) o consumida (cargas) por Sª trif. Equílibrado = = 3 x Potencia de una fase. Activa (W ) = P 3F = 3 V F I F cosϕ Re activa (VAr) = Q 3F = 3 V F I F senϕ Potencia Aparente (VA)S 3F = 3 V F I F Compleja = S r 3F = 3 V F I F (cosϕ + j senϕ) con: V F = Valor eficaz de V(fase) I F = Valor eficaz de I(fase) φ= desfase entre V e I de fase NOTA: En ocasiones las cantidades medibles son las de línea y no las de fase: Triángulo V L = V F I L = 3I F 3V Estrella V = 3V F I F = L F I L = I F 3V L I L 29
POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (II) 4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Potencia instantánea = Suma P(t) de cada fase Sª Trifásico equilibrado P(t) = 3V f I f cosφ = P.activa = cte con t La potencia total en cada instante es constante e igual a la suma de la potencia activa en cada una de las fases. Demostración : P A (t) = V F I f sen(ωt)sen(ωt ϕ) V A = V F sen(ωt) I A = I F sen(ωt ϕ) P B (t) = V F I f sen(ωt 120º)sen(ωt ϕ 120º) P C (t) = V F I f sen(ωt +120º)sen(ωt ϕ +120º) P 3F (t) = P A (t) + P B (t) + P C (t) = 3V F I f cosϕ NOTA: Los motores trifásicos arrancan mejor y funcionan mejor que los monofásicos - P(monofásica) varía con t y P(trifásica) es cte con t. 30
POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (III) 4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIF. EQUILIBRADOS (Resumen) Comparación potencia monofásica-trifásica: 31
COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS EQUILIBRADOS Δ-ϒ (I) 4.5. COMPARACIÓN TRIÁNGULO-ESTRELLA EQUILIBRADOS. A) SISTEMAS GENERADORES Generador trifásico = = 3 devanados monofásicos Se pueden conectar en Δ o ϒ Y : V L = 3 V F V L > V F (pero I L = I F ) Δ: I L = 3 I F I L > I F (pero V L = V F ) Por tanto: La conexión en Y requiere mayores aislamientos (mayores V s ) La conexión en requiere cables de mayor sección (mayores I s ) 32
COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS EQUILIBRADOS Δ-ϒ (II) 4.5. COMPARACIÓN TRIÁNGULO-ESTRELLA EQUILIBRADOS. B) CARGAS para igual tensión de línea: la potencia absorbida por las cargas es tres veces mayor en conexión triángulo ( ) que en estrella (Υ) Demostración : V F = V L : I F = V L Z S = 3V F I F = 3V Z 2 L V F = V L 3 Υ : I F = V F Z = V L 3 Z S Υ = 3V F I F = V 2 L Z 33