ANÁLISIS DE CIRCUITOS SENOIDALES. Ing. Pablo M. Flores Jara

Transcripción

1 ANÁLISIS DE CIRCUITOS SENOIDALES

2 Onda Senoidal (I) La corriente alterna es una corriente eléctrica cuyo valor y sentido varían continuamente, tomando valores positivos y negativos en distintos instantes de tiempo. La forma más común de corriente alterna es la senoidal y se debe a que los generadores de electricidad más utilizados producen tensiones y corrientes con esta forma.

3 Onda Senoidal (II) La corriente alterna es más fácil para transportar que la corriente continua a lo largo de grandes distancias, lo cual es una ventaja para su distribución. Otra ventaja importante de la corriente alterna es que puede ser fácilmente convertida entre distintos valores de tensión, ya sea aumentándolos o disminuyéndolos a través de transformadores.

4 Onda Senoidal (III) En el siguiente gráfico podemos ver la variación de tensión en el tiempo de una señal alterna senoidal. En el gráfico se muestra un solo ciclo completo, pero la señal normalmente repite los ciclos constantemente. A cada instante de tiempo del eje horizontal le corresponde un valor de tensión en el eje vertical. Los instantes de tiempo se representan también mediante un ángulo que es el parámetro de la función seno. Esta relación entre tiempo y ángulo se explica más adelante. Por ahora vemos en el diagrama que para distintos instantes de tiempo hay distintos valores deing. tensión Pablo M. Flores eléctrica. Jara

5 Expresión general Valor instantáneo (I) A través de la expresión general de una señal alterna se puede obtener el valor que tiene la tensión en un determinado instante de tiempo o para un determinado ángulo. Esta magnitud se denomina valor instantáneo. El valor instantáneo se calcula como el valor máximo multiplicado por el seno de un ángulo. El ángulo varía continuamente con el tiempo, por lo tanto para cada instante de tiempo tenemos un ángulo diferente.

6 Expresión general Valor instantáneo (II) Dado que la función seno toma valores entre -1 y 1, el valor instantáneo alcanza sus máximos y mínimos cuando el argumento de la función vale 90 y 270 grados respectivamente (½ π radianes y 3/2 π radianes). V(α) = Tensión para un determinado ángulo [V] Vmax = Valor máximo de la tensión [V] α = Ángulo instantáneo [Grados o radianes]

7 Expresión general Valor instantáneo (III) El ángulo en un determinado momento se calcula como la velocidad angular (ángulo recorrido por unidad de tiempo) multiplicada por el tiempo. Se suma un valor de fase, que es distinto de cero en los casos en que se tenga un desplazamiento inicial de la función hacia la izquierda o hacia la derecha. Por lo tanto la expresión completa para calcular el valor instantáneo es la siguiente.

8 Expresión general Valor instantáneo (IV) V(t) = Tensión para un determinado instante [V] Vmax = Valor máximo de la tensión [V] ω = Velocidad angular [grados / s o rad. / s] t = Tiempo para el cual calculamos la tensión [s] φ = Angulo de fase inicial [grados o rad.]

9 Fase (φ) Una señal senoidal puede estar desplazada en el eje horizontal, es decir en tiempo. La fase es un valor que representa el ángulo inicial de la señal y se mide en radianes o en grados. En el siguiente ejemplo vemos dos señales con distinta fase (desfasadas entre sí ½ π radianes o 90 grados).

10 Período (T) El período es la duración de un ciclo completo de una señal alterna. Se mide en segundos (con sus prefijos correspondientes).

11 Frecuencia (f) Es la inversa del período y corresponde a la cantidad de ciclos por unidad de tiempo de una señal alterna. Se mide en hertz. Un hertz equivale a un ciclo completo en un segundo.

12 Velocidad angular (ω) La velocidad angular o pulsación se calcula como 2 π multiplicado por la frecuencia. Representa la velocidad de variación del ángulo de giro (ver movimiento circular uniforme). ω = Velocidad angular [rad. / s] f = Frecuencia de la señal [Hz]

13 Valor eficaz (V ef ) (I) El valor eficaz de una corriente alterna es una de sus magnitudes más importantes. Dado que una señal alterna varía en el tiempo, no entrega la misma energía que entregaría una corriente continua con el mismo valor que el valor máximo de la corriente alterna.

14 Valor eficaz (V ef ) (II) El valor eficaz de tensión de una corriente alterna es el equivalente al valor de tensión de una corriente continua que produce el mismo calor (es decir que provee la misma energía) durante un mismo período de tiempo. Si la señal alterna tiene forma senoidal, el valor eficaz se calcula como: V EF = Tensión eficaz [V] V MAX = Tensión máxima [V]

15 Dominio del tiempo y fasores (I) Una forma de analizar circuitos en corriente alterna es utilizando ecuaciones que reciben valores de tiempo como parámetro y que nos permiten por ejemplo conocer los valores de tensión o corriente instantáneos para los diferentes elementos de un circuito. Sin embargo, cuando tenemos que analizar circuitos formados por varios elementos, el análisis en el dominio del tiempo resulta algo complicado ya que aparecen ecuaciones con integrales y derivadas.

16 Dominio del tiempo y fasores (II) Una forma más sencilla de resolver estos circuitos es mediante un análisis fasorial. Esto se hace considerando a las tensiones y corrientes como fasores (números complejos o vectores que giran con una determinada velocidad angular) y considerando como impedancias a los elementos pasivos. Las impedancias también son representadas por números complejos. De esta manera podemos aplicar los mismos conceptos que se utilizan para resolver circuitos resistivos en corriente continua (ley de Ohm, leyes de Kirchhoff, etc.), con la salvedad de que en vez de hacer las cuentas con números reales utilizamos números complejos.

17 Representación fasorial (I) La corriente alterna se puede representar con una flecha girando a velocidad angular ω. Este elemento recibe el nombre de fasor y se representa como un número complejo. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo (corrimiento de la señal sobre el eje horizontal) representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal.

18 Representación fasorial (II)

19 Representación fasorial (III) En muchas ocasiones, las tensiones y las corrientes de circuitos con corriente alterna presentan desfasajes entre sí (corrimientos horizontales). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores. En el ejemplo siguiente hay dos señales desfasadas 90 y a la izquieda de las mismas se pueden ver los dos fasores con un ángulo de 90 grados entre sí.

20 Representación fasorial (IV) En un diagrama fasorial quedarían representadas de la siguiente manera: Al igual que los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (también existen otras como la trigonométrica y la exponencial). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma.

21 Forma polar (I) Los fasores pueden describirse matemáticamente en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. A continuación vamos a ver un ejemplo de cómo indicar una tensión alterna a un fasor. Supongamos que tenemos la siguiente expresión de tensión: La expresión anterior se puede representar como un fasor indicando la tensión máxima (15 V en el ejemplo) y el ángulo de desplazamiento (30 en el ejemplo). En forma polar, la tensión anterior queda representada por el siguiente fasor:

22 Forma polar (II) Gráfiacmente lo podemos ver de la siguiente forma:

23 Forma polar (III) Como convención, las señales deben estar expresadas con una función coseno y con un valor positivo para realizar un analisis fasorial. En caso de no estar expresadas de esta manera debemos convertirlas. Esto se explica detalladamente en la próxima sección.

24 Forma binómica (I) Otra forma de expresar a un fasor, es la forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria. La señal del ejemplo anterior la podemos expresar en base a sus componentes rectangulares como:

25 Forma binómica (II) Gráficamente nos queda el diagrama de la siguiente manera:

26 Conversión de fasores Es posible convertir fácilmente un fasor de la forma polar a la forma binómica y viceversa. Para ello se utilizan los mismos conceptos que para convertir números complejos entre ambas formas de representación.

27 Transformación a fasores (I) Tal como indicamos en la sección anterior, para poder analizar circuitos en forma fasorial se utiliza como convención la función coseno, es decir que tanto las tensiones como las corrientes deben estar expresadas mediante esta función y tener un valor positivo. Una tensión expresada en forma cosinusoidal y con signo positivo puede ser convertida directamente en un fasor. Esto se hace indicando la tensión y el ángulo de desfasaje. Por ejemplo:

28 Transformación a fasores (II) Si tenemos tensiones y corrientes expresadas de otra manera, debemos convertirlas a expresiones cosinusoidales positivas antes de expresarlas en forma fasorial. Podemos utilizar las siguientes reglas prácticas. Si la función es seno positivo le restamos 90 Si la función es seno negativo le sumamos 90 Si la función es coseno negativo le sumamos 180

29 Transformación a fasores (III) Por ejemplo: Recordemos que en las expresiones utilizamos el valor de la amplitud máxima, por lo tanto si tenemos los valores eficaces (RMS) también debemos convertirlos al valor máximo antes de pasarlo a la forma fasorial.

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31 Impedancia (I) Se denomina impedancia a la resistencia al paso de una corriente alterna. Es similar al concepto de resistencia en circuitos de corriente continua pero, a diferencia de la resistencia, la impedancia se representa mediante un número complejo. Las impedancias, al igual que los números complejos, poseen una parte real y una parte imaginaria. La parte real de la impedancia está dada por la resistencia eléctrica y la parte imaginaria está formada por las reactancias que son las resistencias al paso de la corriente de los elementos inductivos y capacitivos.

32 Impedancia (II) Si tenemos un elemento resistivo puro solamente tendrá parte real (correspondiente a su resistencia), mientras que si tenemos un elemento capacitivo puro o inductivo puro tendrá solamente parte imaginaria (correspondiente a su reactancia). Los elementos con una parte resistiva y otra parte inductiva poseen tanto parte real como parte imaginaria.

33 Impedancia (III) La impedancia se representa con la letra Z y se expresa de la siguiente manera: R es la parte real de la impedancia y corresponde al valor resistivo del elemento. X es la parte imaginaria y corresponde a la reactancia total, que se calcula como la diferencia de las reactancias inductivas y capacitivas.

34 Representación de la impedancia En los circuitos, la impedancia se representa por un rectángulo. Para resolver un circuito de forma fasorial es necesario conocer las impedancias de sus elementos, de la misma manera que en corriente continua debemos conocer la resistencia.

35 Triángulo de impedancia (I) El triángulo de impedancia de un elemento o de un cicuito se forma representando a la parte real de la impedancia (correspondiente a la resistencia) y a la parte imaginaria (correspondiente a la diferencia entra las reactancias inductiva y capacitiva) en los catetos de un triángulo. La hipotenesa se calcula de la misma forma que el módulo de un número complejo, es decir mediante el teorema de Pitágoras.

36 Triángulo de impedancia (II) En circuitos en donde la reactancia total es negativa el triángulo tiene la siguiente forma:

37 Triángulo de impedancia (III) En circuitos en donde la reactancia total es positiva el triángulo se representa así: El ángulo observado en el triángulo de impedancias corresponde también al ángulo de desfasaje entre la tensión y corriente y puede calcularse por trigonometría en caso de conocerse el valor de la impedancia.

38 Circuitos resistivos en corriente alterna (I) Impedancia de una resistencia La impedancia (Z) de una resistencia sólo tiene parte real, que es igual al valor de la resistencia (R). Esto es debido a que no hay reactancias (no hay inductores ni capacitores).

39 Circuitos resistivos en corriente alterna (II) En forma binómica la impedancia de una resistencia se representa como: En forma polar:

40 Comportamiento de los elementos resistivos (I) El comportamiento de las resistencias o de los circuitos resistivos puros en corriente alterna es bastante similar al comportamiento en corriente continua, pero teniendo en cuenta que la tensión de alimentación es variable con el tiempo según su propia función. La caída de tensión en la resistencia, la corriente, etc., son valores que varían en función del tiempo, tal como lo hace la señal y con la misma fase.

41 Comportamiento de los elementos resistivos (II)

42 Comportamiento de los elementos resistivos (III) Los elementos resistivos no provocan desfasajes entre la tensión y la corriente. En cada instante la corriente es directamente proporcional a la tensión en ese instante e inversamente proporcional a la resistencia.

43 Tensión y corriente en forma fasorial En forma fasorial se ven los fasores de tensión y corriente sobre una misma línea (sin un ángulo de desfasaje). Estos fasores giran en sentido antihorario tantas veces como indica la frecuencia de la señal.

44 Circuitos capacitivos en corriente alterna (I) La impedancia (Z) de un capacitor o de un circuito capacitivo puro se representa por un número complejo con la reactancia capacitiva (XC) cambiada de signo en su parte imaginaria y sin parte real.

45 Circuitos capacitivos en corriente alterna (II) La impedancia en forma binómica queda expresada como: En forma polar: La reactancia capacitiva (XC) es la resistencia que ofrece un capacitor al paso de la corriente alterna. Es función de la velocidad angular (por lo tanto de la frecuencia) y de la capacidad. Se calcula con la siguiente expresión:

46 Circuitos capacitivos en corriente alterna (III) XC = Reactancia capacitiva [Ω] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] C = Capacidad del capacitor [F] Podemos ver en la fórmula que a mayor frecuencia el capacitor presenta menos resistencia al paso de la corriente.

47 Diferencia entre impedancia y reactancia Recordemos que la impedancia es la resistencia que ofrece cualquier elemento al paso de la corriente alterna, mientras que la reactancia capacitiva es la resistencia que ofrecen los capacitores al paso de esa corriente. Por lo tanto, en un elemento capacitivo puro la impedancia está formada únicamente por la reactancia capacitiva.

48 Comportamiento de circuitos capacitivos puros En un capacitor o elemento capacitivo puro la corriente adelanta 90 a la tensión.

49 Tensión y corriente en forma fasorial El desfasaje en forma fasorial lo podemos ver en el siguiente diagrama:

50 Circuitos inductivos en corriente alterna (I) La impedancia (Z) de un inductor o circuito inductivo puro se representa por un número complejo con la reactancia inductiva (XL) en su parte imaginaria y sin parte real.

51 Circuitos inductivos en corriente alterna (II) La impedancia en forma binómica se expresa como: En forma polar:

52 Circuitos inductivos en corriente alterna (III) La reactancia inductiva (XL) es la resistencia que presentan los inductores puros al paso de la corriente alterna. Es función del coeficiente de autoinducción (L) y de la velocidad angular. Es directamente proporcional a ambos valores y se calcula como: XL = Reactancia inductiva [Ω] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] L = Inductancia [H]

53 Comportamiento de circuitos inductivos puros Tal como pasa con los capacitores, los inductores también almacenean energía eléctrica y producen un desfasaje entre la tensión y la corriente. En los elementos inductivos puros el desfasaje es de 90 en donde la corriente atrasa a la tensión.

54 Tensión y corriente en forma fasorial En el siguiente diagrama fasorial se ve la corriente en atraso 90.

55 Impedancia equivalente Cuando tenemos un conjunto de elementos pasivos (resistencias, capacitores e inductores) podemos asociarlos de manera simple a través de su impedancia, obteniendo así una impedancia equivalente, tal como obtenemos una resistencia equivalente en los circuitos de corriente continua. Lo que tenemos que hacer para calcular la impedancia equivalente del circuito es obtener la impedancia de cada elemento (que es un número complejo) y luego realizar las asociaciones serie y paralelo tal como si fueran resistencias, pero realizando las operaciones matemáticas correspondientes con números complejos.

56 Asociación en serie La impedancia total se calcula como la suma de las impedancias (de la misma forma que para resistencias en serie pero utilizando números complejos).

57 Asociación en paralelo (I) La inversa de la impedancia total es igual a la suma de las inversas de las impedancias (de la misma forma que para resistencias en paralelo pero utilizando números complejos).

58 Asociación en paralelo (II) También podemos utilizar la fórmula que permite calcular resistencias en paralelo tomándolas de a dos.

59 Circuitos RLC (I) Ley de Ohm en corriente alterna Por ejemplo, vamos a calcular la corriente del siguiente circuito:

60 Circuitos RLC (II) Pasamos ambas expresiones a forma polar para realizar la división de manera más simple. Luego aplicamos la ley de Ohm y obtenemos la corriente:

61 Leyes de Kirchhoff para corriente alterna (I) Ley de nodos

62 Leyes de Kirchhoff para corriente alterna (I) Ley de mallas

63 Potencia en corriente alterna En corriente alterna existen desfasajes entre la tensión y la corriente debido a las capacidades e inductancias del circuito que crean campos eléctricos y magnéticos. La energía que almacenan temporalmente estos campos se devuelve al circuito (por ejemplo cuando el capacitor se descarga o el campo magnético del inductor se autoinduce). Esto hace que la potencia total suministrada por la fuente no siempre sea la consumida por el circuito. Una parte de la potencia se utiliza para crear esos campos, pero no se consume. Sin embargo la fuente debe proveerla para el funcionamiento del circuito.

64 Potencia activa, reactiva y aparente Encontramos en este tipo de circuito tres valores distintos de potencia, denominados potencia activa, potencia reactiva y potencia aparente. Potencia activa (P) Es la potencia consumida en el circuito (por ejemplo convertida en calor, energía mecánica, etc). Se mide en watt.

65 Potencia reactiva (Q) Es la potencia necesaria para crear los campos eléctricos y magnéticos. Es una potencia devuelta por el circuito, pero que está presente en el funcionamiento. Se mide en VAR (volt ampere reactivos), una unidad equivalente al watt.

66 Potencia aparente (S) Es la suma (en forma vectorial) de las potencias activa y reactiva. Su valor depende del ángulo de desfasaje. Es la potencia total que debe entregar el generador. Se mide en VA (volt ampere), una unidad equivalente al watt.

67 Triángulo de potencia (I) Podemos representar a las tres potencias en un triángulo rectángulo en donde el cateto horizontal es la potencia activa, el cateto vertical es la potencia reactiva y la hipotenusa es la potencia aparente. El siguiente ejemplo es un triángulo de potencias para un circuito inductivo ya que la potencia reactiva es positiva.

68 Triángulo de potencia (II) El siguiente ejemplo es un triángulo de potencias para un circuito inductivo con menor potencia reactiva que el ejemplo anterior.

69 Triángulo de potencia (III) El siguiente triángulo corresponde a un circuito capacitivo ya que la potencia reactiva es negativa.

70 Capacidad a partir de la potencia Es posible calcular la capacidad que debe tener un capacitor para que genere una determinada potencia reactiva. La expresión es la siguiente: C = Capacidad [F] VRMS = Tensión eficaz [V] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s]

71 Inductancia a partir de la potencia Para calcular la inductancia que genera una determinada potencia reactiva utilizamos la siguiente expresión: L = Inductancia [H] VRMS = Tensión eficaz [V] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s]

72 Factor de potencia (I) Se denomina factor de potencia a la relación entre la potencia activa y la potencia aparente. Este valor nos indica cuánto de la potencia total entregada por la fuente es aprovechada por el circuito. Si la potencia activa es igual a la potencia aparente, quiere decir que no hay componentes reactivas y por lo tanto el factor de potencia es igual a 1. Por otro lado un valor menor que 1 nos indica que la potencia entregada por la fuente no es aprovechada en su totalidad por el circuito.

73 Factor de potencia (II) El factor de potencia se calcula como: Fp = Factor de potencia [sin unidad] P = Potencia activa [W] S = Potencia aparente [VA]

74 Factor de potencia (III) Debido a que las potencias en corriente alterna se representan por un triángulo que tiene como base a la potencia activa y como hipotenusa a la potencia aparente, el factor de potencia también es igual al coseno del ángulo entre estos dos lados del triángulo (es decir igual al coseno del ángulo de desfasaje). Fp = Factor de potencia [sin unidad] Φ = Ángulo de desfasaje [grados o radianes]

75 Corrección del factor de potencia Para que el factor de potencia se aproxime a uno, la potencia aparente debe ser casi igual a la potencia activa, es decir que debería reducirse la potencia reactiva y de esa forma también el ángulo de desfasaje. En la práctica no se busca el valor uno, ya que en caso de sobrecompensación podrían aparecer otros efectos no deseados y por lo tanto se realizan los cálculos para obtener valores tales como 0,9 o 0,95.

76 Cómo mejorar el factor de potencia La potencia reactiva aparece debido a las cargas capacitivas y fundamentalmente a cargas inductivas (por ejemplo motores). Como muchas veces no es posible reducir las cargas inductivas, lo que podemos hacer es compensarlas con cargas capacitivas, de tal forma de que la diferencia entre ambas reactancias proporcione menor potencia reactiva y por lo tanto un mejor factor de potencia. Recordemos que la potencia reactiva viene dada por la reactancia total, que se calcula como (XL-XC), es decir como la diferencia entre las reactancias inductiva y capacitiva. Por lo tanto para reducir la reactancia total, si no podemos eliminar las reactancias inductivas, lo que debemos hacer es tratar de igualarlas, de tal forma que la diferencia sea cercana a cero.

77 Ejemplo de corrección del factor de potencia Una instalación de 220 V y 60 Hz consume una potencia activa de 4,5 kw con un factor de potencia de 0,8 en atraso. Calcular el valor del capacitor que debería conectarse en paralelo con la misma para conseguir un factor de potencia de 0,9.

78 Solución Lo primero que hacemos es calcular el valor del ángulo de desfasaje inicial (Φ1) a partir del factor de potencia inicial (Fp1). Sabemos que el factor de potencia es igual al coseno del ángulo y por lo tanto el ángulo lo calculamos con la función inversa del coseno.

79 Solución (cont.) El triángulo de potencia inicial lo podemos representar con la siguiente forma:

80 Solución (cont.) Calculamos ahora el valor de la potencia reactiva inicial (cateto Q):

81 Solución (cont.) El ejercicio nos dice que se busca un factor de potencia de 0,9, por lo tanto calculamos el ángulo deseado.

82 Solución (cont.) Calculamos la potencia reactiva para este nuevo factor de potencia. Recordemos que la potencia activa no se modifica, por lo tanto para conseguir el nuevo factor de potencia lo que modificamos es la potencia reactiva.

83 Solución (cont.) Para conseguir un factor de potencia de 0,9 necesitamos una potencia reactiva de 2,18 kvar. Sin embargo la potencia reactiva actual es de 3,38 kvar. Calculamos la diferencia entre ambas potencias, es decir el número en el que deberíamos reducir la potencia reactiva actual.

84 Solución (cont.) Para reducir la potencia reactiva en 1,2 kvar utilizamos un capacitor que genere una potencia reactiva de sentido contrario a la inductiva de la instalación. El valor de la capacidad lo calculamos con la siguiente expresión:

85 Solución (cont.) Calculamos primero la velocidad angular. Calculamos la capacidad:

86 Resonancia en serie (I) Un circuito está en resonancia cuando las reactancias XL y XC se igualan en una misma frecuencia. Si se trata de un circuito RLC en serie, la impedancia total está dada por:

87 Resonancia en serie (II) Por lo tanto con valores iguales de XL y XC se anula la parte reactiva siendo la impedancia total igual a la R. Dado que la potencia reactiva se calcula como: Q = Ief 2 (X L - X C )

88 Resonancia en serie (III) También ésta se anula por lo tanto la potencia aparente es igual a la potencia activa. En este circuito no existe desfasaje entre corriente y tensión. En resonancia la corriente máxima se calcula como

89 Resonancia en paralelo También existe la resonancia en paralelo en dónde la impedancia se hace máxima a la frecuencia de resonancia.

90 Ejercicios de señal alterna Dada la siguiente señal: Determinar: Amplitud Frecuencia Fase Velocidad angular Período

91 Ejercicios de señal alterna Dada la siguiente señal: Determinar: Amplitud Frecuencia Fase Velocidad angular Período

92 Ejercicios de representación fasorial Expresar en forma fasorial las siguientes tensiones y corrientes:

93 Ejercicios de representación fasorial Expresar con una función coseno las siguientes tensiones y corrientes:

94 Ejercicios de representación fasorial Representar las siguientes tensiones en un mismo diagrama fasorial e indicar el ángulo de desfasaje entre una y otra.

95 Ejercicios de representación fasorial Representar las siguientes señales en un mismo diagrama fasorial e indicar el ángulo de desfasaje entre una y otra.