Unidad Nº 8 Electrostática 8.1. Carga eléctrica. Conductores y aisladores. Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Líneas de fuerza. Cálculo del campo eléctrico para cargas puntuales. Cálculo del campo eléctrico para distribuciones discretas y continuas. Movimiento de una partícula en un campo eléctrico uniforme. Flujo de campo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones. Conductores en equilibrio electrostático. 8.2. Potencial eléctrico. Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme. Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargas puntuales. Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga. 8.3. Capacitancia. Definición y cálculo de capacitancia. Combinación de capacitares. Almacenamiento de energía en un capacitor. Capacitancia y dieléctricos Que es una carga? Qué fenómenos eléctricos he visto? 1
Carga Eléctrica Como sabemos, los cuerpos materiales se atraen unos a otros con una fuerza denominada ''fuerza gravitatoria''. Sin embargo, las fuerzas no son las únicas que actúan a distancia entre los cuerpos. Existen otras Fuerzas, que a veces son enormemente mayores. Estos son ejemplos de fuerzas eléctricas magnéticas respectivamente. El dominio de las fuerzas eléctricas y el desarrollo de las comunicaciones han cambiado nuestra forma de vivir. Atracción y repulsión entre objetos electrificados Comencemos con un simple experimento eléctrico. Si frotamos una barra de vidrio con un paño de seda y la situamos horizontalmente sobre un soporte colgado de un hilo, y luego frotamos otra barra de vidrio, observaremos que al acercarla a la primera, se repelen. ++++ Vidrio Vidrio ++++ 2
Atracción y repulsión entre objetos electrificados Si repetimos el experimento con dos barras de plástico frotadas con un paño de lana observaremos que sucede lo mismo. Plástico Plástico Atracción y repulsión entre objetos electrificados Finalmente, si frotamos una barra de vidrio con seda y otra de plástico con lana y, situamos una de ellas sobre el soporte, acercando la otra veremos que se atraen. Plástico Vidrio +++++ 3
Carga Eléctrica Siguiendo la notación común, creada por Benjamín Franklin (1706 1790), diremos que la barra de vidrio y todos los objetos que se comportan de igual manera, están cargados positivamente. Del mismo modo, diremos que la barra de plástico y los restantes objetos que se comportan del mismo modo están cargados negativamente En la actualidad se acepta que la materia en estado normal o neutro contiene cantidades iguales cargas positivas y negativas. Cuando se frotan dos cuerpos pasan cargas de uno al otro, cargándose positivamente uno y negativamente el otro El Primer principio de la Electrostática nos dice que: las cargas de igual signo se repelen y las de distinto signo se atraen Estructura de la materia (Iones) Cuando un cuerpo está cargado negativamente entonces tiene un exceso de electrones y cuando esta cargado positivamente tiene un déficit de los mismos 2º Principio de la electrostática: Conservación de la carga: La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema cerrado es constante. La magnitud de la carga del electrón o del protón es la unidad natural de carga. e = -1.602177 x 10-19 C 4
Conductores y aisladores Se denominan: Conductores a lo materiales que permiten la circulación de las cargas. Generalmente tienen una estructura similar a la de los metales, donde los electrones de los últimos niveles atómicos no se encuentran aferrados al núcleo y con el estímulo adecuado pueden circular de un punto a otro del material. En otros conductores, como los electrolitos, se mueven las cargas (+) cationes y ( ) Aniones Aislantes a lo materiales que NO permiten la circulación de las cargas. Generalmente tienen una estructura similar a la de los Cristales, donde los electrones de los últimos niveles atómicos se encuentran fuertemente aferrados al núcleo y no pueden circular de un punto a otro del material. Ejemplo: Vidrio, ebonita, plástico, etc. Semiconductores a lo materiales que permiten medianamente la circulación de las cargas. Son muy utilizados en los aparatos electrónicos. Ejemplo: Silicio y Germanio. 5
Existen dos formas de cargar un cuerpo: Por Contacto: A través del contacto directo de un cuerpo con exceso de cargas positivas o negativas, con otro descargado, con carga distinta o con menor carga. Los dos Cuerpos quedan cargados con la misma carga Por Inducción: Sin contacto directo el cuerpo con exceso de cargas positivas o negativas, con otro descargado Los dos Cuerpos quedan cargados con distinta carga Ley de Coulomb La magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva en caso contrario. F 1,2 ] = N F 1,2 Fuerza ejercida por q 1 sobre q 2 k Constante de Coulomb: 9x10 9 N. m 2 /C 2 r 1,2 Vector unitario que apunta desde q 1 hacia q 2 6
Fuerza eléctrica ejercida en una distribución discreta de cargas, Principio de superposición de fuerzas Dos cargas puntuales iguales y positivas, q 1 = q 2 = 2.0 mc se localizan en x = 0, y = 0.30 m y x = 0, y = 0.30 m, respectivamente. Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica total (neta) que ejercen estas cargas sobre una tercera carga, también puntual, Q = 4.0 mc en x = 0.40 m, y = 0? PROBLEMA N 2 En los vértices de un triángulo equilátero de 50 cm de lado existen tres cargas de: q 1 = 2,5 μc; q 2 = 1,5 μc y q 3 = 3 10 8 C. Determinar la fuerza resultante que se ejerce sobre cada carga. PROBLEMA N 3 Una partícula a ( alfa ) es el núcleo de un átomo de helio. Tiene una masa de m= 6,64 10 27 kg y una carga de q= 3,2 10 19 C. Compare la fuerza de la repulsión eléctrica entre dos partículas a con la fuerza de la atracción gravitatoria (F G =G m 2 /r 2 ) que hay entre ellas. (G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2 ) PROBLEMA N 4 Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: Dibuje y encuentre la fuerza eléctrica que actúa sobre cada carga; y 3nC 5nC O 6 (m) 8 (m) -5nC x PROBLEMA N 5 Dos cargas, de 4μC y 8μC, están a 30 cm de distancia una de otra. En qué lugar de la línea que une a las cargas colocaría un electrón (q e =1,6 10 6 C) para que la fuerza resultante en el fuera nula? 7
Campo Eléctrico Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío, cómo sabe cada una que la otra está ahí? Qué ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de una sobre la otra? [E]=N/C o también [V/m] Concepto de Campo Eléctrico E: Una Carga genera un Campo Eléctrico E en todo el espacio que la rodea. El que, a su vez genera una Fuerza sobre cualquier carga que se ponga en este espacio. 8
Campo eléctrico para una carga puntual de la ley de Coulomb F k qq r E F q k q r E k q r 9
PROBLEMA N 6 Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una carga de 2 μc experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia arriba. Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución discreta de cargas. Principio de superposición de fuerzas => F F E E, Campo eléctrico para un sistema de cargas 10
PROBLEMA N 6 Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una carga de 2 μc experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia arriba. PROBLEMA N 7 Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: a) Dibuje y encuentre el campo eléctrico resultante en el punto P(3, 0) y Q (3, 4); b) Con el campo Eléctrico calculado, estime la fuerza eléctrica que actuaría sobre una carga de 1 µc colocada en el punto P y Q 5nC P 5nC O x 6 (m) PROBLEMA N 8 Al colocar una partícula de masa m=1,5 10 9 Kg y carga q= 2 10 9 C a 1,5m de otra Q de carga y signo desconocido, se observa que aquella experimenta una aceleración inicial de 60m/s, dirigida hacia Q. Calcular: a) La fuerza Eléctrica F con que la carga Q atrae a la partícula b) El campo Eléctrico que Q genera sobre la partícula c) La carga Q Líneas del campo eléctrico (líneas de fuerza) Son línea imaginarias que permiten representar la forma de los E. Comienzan en una carga positiva y terminan en una negativa. El vector campo E es tangente a la línea de campo. La densidad de líneas en cualquier punto (número de líneas por unidad de área perpendicular a las líneas) es proporcional a la magnitud del campo en dicho punto. 11
Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución continua de cargas. Las cargas eléctricas en el mundo macroscópico se describen habitualmente como distribuciones continuas de carga. Carga Uniformemente distribuida en: Q l Q S Q V Densidad lineal de carga Densidad superficial de carga dq dv dq dv Densidad Volumétrica de carga Aplicando la ley de Coulomb y el principio de superposición E V k dq 2 r rˆ Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución continua de cargas. Si R >> x 12
Movimiento de una partícula en un campo eléctrico uniforme. Cuando una Partícula con una carga q y una masa m se coloca en un campo eléctrico E, experimenta una Fuerza F qe. SI esta fuerza es la única que actúa, esta adquiere una aceleración dada por: a F m q m E PROBLEMA N 9 Dos placas horizontales separadas por 1 cm y se conectan a una batería de 100 volts, produciendo un campo Eléctrico uniforme entre ellas de 110 4 N/C. Suponga que la dirección de es vertical hacia arriba, como se ilustra. a) Si un electrón en reposo se libera de la placa superior, cuál es su aceleración? b) Qué rapidez y qué energía cinética adquiere el electrón cuando viaja 1.0 cm hacia la placa inferior? c) Cuánto tiempo se requiere para que recorra esa distancia? Un electrón tiene una carga q e =1,610-19 C y masa m e = 9,1110-31 kg. 13
Flujo de Campo eléctrico Se define el flujo eléctrico Φ E atravésdeunáreacomoelproductodela magnitud del campo eléctrico por el Área (abierta o cerrada). Es una magnitud escalar, que estima el número de líneas que atraviesan la superficie Φ EA Φ EAcosφ Ley de Gauss La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, que describen todos los fenómenos electromagnéticos. Para cargas estáticas, la ley de Coulomb y la ley de Gauss son equivalentes, pero la ley de Gauss es más general. La ley de Gauss puede usarse para calcular el campo eléctrico de creado por distribuciones de carga de alta simetría. LEY DE GAUSS: El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada (gaussiana) es proporcional a la carga neta (q net ) encerrada por dicha superficie. Flujo neto E S q E ds net 0 Carga neta Campo Eléctrico Dif. de Superficie 14
Calculando E a partir de la Ley de Gauss. El poder de la simetría Campo eléctrico de una carga puntual E E 4 R E A 2 1 4 E da q net 0 0 q R 2 q net 0 q k 2 R El flujo es independiente de la esfera seleccionada o 1 4k 8.85 x10 12 C 2 N m 2 Campo eléctrico para una corteza delgada de carga Para cualquier esfera gaussiana fuera de la corteza cargada: Para cualquier esfera gaussiana dentro de la corteza cargada: E A EdA 0 E 0 E E 4 R A A 2 1 E 4 0 qnet EdA E da q net 0 0 q R 2 0 0 0 q net 0 q k 2 R 15
Campo eléctrico sobre una lámina infinita cargada E σ 2ε 0 E σ ε 0 16
PROBLEMA N 10 a) Qué es el Flujo eléctrico? b) Enuncie la Ley de Gauss, escriba su expresión matemática e indique que representa cada uno de sus términos. c) Aplicando esta última determine el campo eléctrico un punto P a una distancia r del centro de una esfera conductora con una carga Q. d) Aplique la Ley de gauss para determinar el campo eléctrico en un punto P a una distancia r del centro de una lámina delgada de área A, cargada con una carga Q. PROBLEMA N 11 Un electrón en un monitor entra a medio camino entre dos placas paralelas con cargas opuestas, como se ilustra. La rapidez inicial del electrón es de 6,15 10 7 m/s y su deviación vertical es de 4,7mm, luego de recorrer 10cm a lo largo de las placas. a) Cuál es la aceleración vertical con la que es desviado el electrón?. b) Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? c) Determine la magnitud de la densidad de carga superficial en las placas en C/m 2 Campo eléctrico sobre una esfera macisa con carga uniformemente distribuida en ella 17
Conductores en equilibrio electrostático. Potencial eléctrico Potencial eléctrico. Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme. Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargas puntuales. Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga. 18
Como vimos la fuerza eléctrica entre dos cargas depende del valor de las cargas y de la distancia entre ellas (ley de Coulomb). Lo mismo que la fuerza gravitatoria que se ejercen dos masas, la Fuerza eléctrica es conservativa. Existe por lo tanto una energía potencial U asociada con esta fuerza. b W a b Fdl U a b U a b Fdl a b U a b q 0 Edl a 19
Potencial eléctrico: El potencial eléctrico (V) es una magnitud escalar que tal como E nos permite describir el espacio que rodea un cuerpo cargado. Diferencia de Potencial eléctrico en un campo Eléctrico Uniforme: La diferencia de ΔV entre dos puntos a y b (Vab)ubicados en un E uniforme, es la energía potencial por unidad de carga necesaria para llevar la carga desde a >b. Vab = Vb Va = Ua b U q Edl V Edl [V]= V (Voltio)= J C Potencial eléctrico en un punto P: Entonces la diferencia de potencial entre dos puntos (a y b) dentro de un campo eléctrico E esta dada por: q V Edl Si tomamos a en el infinito (Va = 0) tenemos el potencial en un punto P : V Edl P dl E r kq r ; como dl dr V kq dr V Edl Edlcos180 Edl V kq V kq r dl r r dl 20
Potencial eléctrico debido a una distribución discreta de Cargas: V kq r i PROBLEMA N 13 Una partícula de polvo, cuya masa es m= 510-9 kg y con carga q 0 = 2.0 nc, parte del reposo en un punto a y se mueve en línea recta hasta un punto b. Calcule: 1) la diferencia de potencial entre b y a (Va-Vb) 2) la Energía potencial eléctrica que pierde q 0 al viajar desde a hasta b. 3) La velocidad v de q 0 en el punto b? PROBLEMA N 14 Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: a) Dibuje y encuentre el campo eléctrico resultante en el punto Q (3, 4); b) Encuentre el potencial eléctrico en este punto y responda: si el potencial eléctrico en cierto punto es igual a cero, el campo eléctrico en ese punto, tiene que valer cero? y Q 25nC O 6 (m) -25nC x Retomando la ecuación anterior donde definíamos a la diferencia de potencial entre dos puntos como la energía potencial por unidad de carga: Vab = Vb Va = Ua b de la misma se desprenden dos ecuaciones más: 1º Uab = Vab q es decir la energía potencial necesaria para llevar una carga de prueba desde a -> b es igual al producto de esa carga por la diferencia de potencial entre los puntos 2º Como la fuerza eléctrica es conservativa se cumple que Uab = Wab entonces Wab = Vab q Se llama superficie equipotencial al lugar geométrico que tiene el mismo potencial eléctrico. Luego el trabajo necesario para mover una carga sobre esta superficie es nulo. 21
Energía Potencial eléctrica : La energía potencial Eléctrica de un sistema de cargas U es el trabajo que un agente exterior debe realizar para colocar las cargas en su posición, moviéndolas desde el infinito, donde se supone que se encuentran en reposo Si tomamos a en el infinito (Va = 0) tenemos el potencial en un punto P : W F dlu U q Edlq E dlq V U q V Energía Potencial eléctrica debido a una distribución discreta de Cargas: U U k q q r Donde la sumatoria comienza en i=2, ya que no se realiza trabajo para traer la primer carga PROBLEMA N 16 Calcule la energía potencial acumulada (o necesaria para juntarlas desde una distancia muy grande) en los siguientes sistemas de cargas: 22
Capacitores Capacitor: Un capacitor o condensador es un conjunto de dos conductores cercanos, de cualquier forma, cargados con cargas de igual valor y signo contrario. Los conductores que forman el capacitor se llaman armaduras. Capacitancia: C Q V donde: Q= carga de una de las armaduras V= diferencia de potencial entre las armaduras Su símbolo más usado es: Q + V C Faradio F 1F 1C 1V Coulomb C Volt V 23
Los capacitores se utilizan entre otros fines para: Obtener determinadas configuraciones de campo eléctrico. Almacenar energía (cargas) Disminuir fluctuaciones de voltaje E σ ε 0 Q ε 0 A VEd Qd ε 0 A C Q V ε 0A d C ε 0A d Capacitancia con dieléctrico: Experimentalmente se observa que si aplicamos la misma diferencia de potencial a ambos capacitores, C 0 y C D, los mismos se cargan con cargas distintas Q 0 y Q D, tal que: Q D = k D Q 0 ; donde: k D : es la constante dieléctrica del dieléctrico Luego: C D = k D C 0 ; C D k D ε 0 A d 24
Energía Potencial Almacenada: Si consideramos el trabajo a realizar para darle una carga adicional a un capacitor: dw= V dq Como V=q/C; resulta que dw q C dq Si ahora evaluamos el trabajo para cargar totalmente el capacitor será: Q W q C dq q2 0 C Luego la energía U almacenada en el capacitor será: U q2 CV2 qv 2C 2 2 25