1. a) Leyes de Kepler. b) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para una órbita circular.

Transcripción

1 1. a) Leyes de Kepler. b) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para una órbita circular. Res. a) Consultad libro y apuntes. b) En el movimiento circular del planeta solo actúa la fuerza gravitatoria del Sol (Ley de Newton de la Gravitación Universal) y su efecto es modificar la dirección de la velocidad, es decir hace el papel de fuerza centrípeta (Principio Fundamental de la Dinámica o Segunda Ley de Newton de la Dinámica). Igualando ambas fuerzas podemos obtener la velocidad orbital del planeta: F c = F g mv 2 /r = GM s m /r 2 De donde se obtiene la velocidad con que describe la órbita: v = GM s /r Con el radio de la órbita y el periodo de revolución se puede calcular la velocidad orbital: Si elevamos al cuadrado ambas expresiones obtenemos: v = 2πr / T v 2 = GM S /r v 2 = 4π 2 r 2 /T 2 Igualando ambas expresiones, tenemos: GM s /r = 4π 2 r 2 /T 2 => T 2 = 4π 2 r 3 /GM s = k r 3 que es la expresión de la Tercera Ley de Kepler, siendo k = 4π 2 /GM s.

2 2. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella. Res. a) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso. Si un objeto está sobre la superficie de un planeta posee una energía potencial gravitatoria dada por: E p = - GM m / R ; donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del planeta. Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito (E p = - GM m / r cuando r = => E p = - GM m / = 0), para que un cuerpo escape deberá poseer una energía mecánica igual o mayor a cero (E m 0). Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la energía potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energía cinética de escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta. ½ mv 2 e + (- GM m / R) = 0 despejando v e, tenemos v e = 2GM / R Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de 11,2 km/s, de acuerdo con el siguiente cálculo: v e = 2GM / R = 2 6, Nm 2 kg -2 5, kg / 6, kg = m/s = 11,2 km/s. b) Si el cuerpo posee una altitud h, sin orbitar, poseerá únicamente energía potencial gravitatoria, que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la energía de ligadura o de unión al campo gravitatorio terrestre. E m = E c + E p = 0 + E p = E p = - GM T m / (R T + h) Donde m es la masa del cuerpo, M T la de la Tierra, R T el radio de la Tierra y h la altitud. El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energía cinética de escape a esa altura que debemos de comunicarle con el fin de anular por

3 completo la energía potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra. Por tanto y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía. W e = GM T m /(R T + h) 3. Un muchacho subido en un trineo desliza por una pendiente con nieve (rozamiento despreciable) que tiene una inclinación de Cuando llega al final de la pendiente, el trineo continúa deslizando por una superficie horizontal rugosa hasta detenerse. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar durante el desplazamiento del trineo. b) Si el espacio recorrido sobre la superficie horizontal es cinco veces menor que el espacio recorrido por la pendiente, determine el coeficiente de rozamiento. g = 10 ms -2. Res. v i = 0 1 _ a) En la caída, en ausencia de rozamientos, la trineo / única fuerza que actúa es la gravedad, de natu- / I raleza conservativa, Por consiguiente, la enerl / I gía mecánica se conservará en el descenso, v f = 0 / h donde la energía potencial se transforma en trineo / energía cinética. Al final del plano se habrá ı x = 1/5 l ı / 30 0 transformado íntegramente en energía cinética: ר/ Ә E p1 = E c2 3 2 Ya en el tramo horizontal, donde sí actúa rozamiento, este realizará un trabajo que irá mermando progresivamente la energía cinética, de tal manera que en el punto 3 toda la energía cinética se habrá disipado (igual a toda la energía mecánica que tenía inicialmente en el punto 1 en forma de energía potencial). Por tanto, W rozamiento = E m => => W rozamiento = E m = E c + E p = 0 + E p = E p => W rozamiento = E p. b) Tenemos dos relaciones importantes: La primera es la relación entre la distancia recorrida sobre el plano inclinado y la altura desde la que se dejó caer el trineo es: h = l sen 30 0 (ver dibujo).

4 La segunda es la relación entre las distancias recorridas, que según los datos del problema, es: x = 1/5 l. Para resolver este apartado partimos del principio de conservación de la energía, en presencia de fuerzas de rozamiento, como ya hemos expuestos en el apartado a). W rozamiento = E p => µmg x cos180 0 = 0 mg h Sustituyendo y operando => µmg (l/5) (-1) = -mg l sen 30 0 => µ = 5 sen 30 0 = 2,5. 4. Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300 km, siendo de todos conocidas las imágenes de astronautas flotando en su interior. a) Determine la intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficie terrestre y comente la situación de ingravidez de los astronautas. b) Calcule el período orbital del transbordador. M T = kg; G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = 6, m. Res. - La intensidad de la gravedad en función de la distancia al centro de la Tierra viene dada por: g = GM T / r 2. Teniendo en cuenta que r = R T + H podemos escribir: g = GM T / (R T + H) 2 = 6, Nm 2 kg kg / (6, m m) 2 = = 8,92 m/s 2. - Hemos oído muchas veces que los astronautas flotan en el espacio en estado de ingravidez o, lo que es igual, no sienten la gravedad. No es que estén tan lejos de la Tierra que g valga casi cero, ni que se hallen en un punto entre la Luna y la Tierra en que se igualen las atracciones gravitacionales; o que las paredes de la cabina sean aislantes de los efectos gravitatorios. Es, simplemente, que el transbordador se le deja en caída libre, describiendo la curva correspondiente a los efectos producidos por la composición de dos movimientos perpendiculares entre sí: el de caída libre (MRUV cuya a = g) y otro de arrastre debido a la velocidad que tenía cuando se le dejó orbitando (MRU cuya v lineal = v orbital ). Ambos movimientos originan que el transbordador, según el principio de composición de movimientos de Galileo (estamos ante un caso similar al tiro horizontal),

5 describa una trayectoria circular al rededor de la Tierra. En el movimiento de caída libre se produce un equilibrio dinámico (Principio de D Alembert) entre la fuerza de la gravedad (fuerza que es una fuerza centrípeta) y la inercial para cada astronauta y para el transbordador. Por tanto, el término ingravidez no es correcto, porque la gravedad actúa sobre los astronautas y sobre el transbordado en el espacio y, por tanto, tienen peso. La expresión más correcta es que los astronautas tienen falta aparente de peso. En el caso de un astronauta dentro del transbordador que describe una órbita circular alrededor de la Tierra, se debe a que la gravedad es la fuerza centrípeta necesaria para que el movimiento circular tenga lugar, como ya hemos dicho en el párrafo anterior. Por tanto, el astronauta tiene peso. La sensación de ausencia de peso se debe a que no existe la fuerza de reacción hacia arriba que normalmente ejerce el suelo o una silla. La causa de esto es que el transbordador está cayendo hacia en centro de la Tierra con la misma velocidad con que lo hace el astronauta. Algo similar sucede con una persona subida en una báscula de baño colocada en el suelo de un ascensor. En todo momento la fuerza de reacción R que ejerce la báscula sobre la persona mide el peso de ésta: R = P. Ahora bien, si por cualquier desgraciado accidente se rompiese el cable que sujeta al ascensor, éste se precipitaría, a través del hueco ascensor, en caída libre, es decir, la aceleración que coge es igual a la aceleración de la gravedad. Teniendo en cuenta esta caso a = g; de la Segunda Ley de la Dinámica deducimos: ΣF = ma => R - P = ma => R mg = m(-a) => R = m(g - a) Hemos utilizado el criterio cartesiano de signos para las fuerzas y la aceleración. Sustituyendo datos obtenemos: R = m(g - g) = 0 La persona tendría una falta aparente de peso o se encontraría en estado de ingravidez. b) El período viene dado por: T = 2π r / v, debemos calcular en primer lugar la velocidad orbital.

6 La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que el transbordador describa una órbita circular: F g = F c GM T m / r 2 = mv 2 / r De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital: v = GM T / r = GM T / (R T +H) = 6, Nm 2 kg kg / (6, m m) = = ms -1 Sabiendo la velocidad orbital, calculamos el período del satélite. T = 2π r / v = 2π (R T + H) / v = 2π (6, m m) / ms -1 = = s = 1,51 h.