Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta

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1 Centro Asociado Palma de Mallorca Tutor: Antonio Rivero Cuesta

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3 Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2011, Anticipo 1. Sea el conjunto A = {a,b,c} y P(A) el conjunto potencia de A: a) Tiene 9 elementos y (a,a) es uno de ellos. b) Tiene 8 elementos y es uno de ellos. c) Tiene 8 elementos y no es uno de ellos.

4 2. Completar ( A B)? a) A B b) A c) B B

5 3. Si R es relación de equivalencia sobre E = {1,2,3}: a) (1,1) R. b) (1,1) R. c) (1,1) R.

6 4. Sea f la función de A = {1,3} en B = {2,4} tal que f(1) = 2, f(3) = 2. a) f es sobreyectiva. b) f no es realmente función de A en B. c) La relación inversa de f no es función de B en A.

7 5. Cuántos conjuntos distintos de 3 elementos se pueden formar escogiendo estos de un total de 5 elementos?: a) 5 3. b) 5!. c) (5 4 3) / (3!).

8 X 1: (p r) (q p) X 2: r (p q) X 3: (p (r q)) X 4: (p q) (r (q p)) p q r p q r p r q px 1 p qx 2 r q p (r q) X 3 p qr (q p)x 4 X 2 X

9 6. X 4 es equivalente a: a) X 1 b) X 2 c) X 3 p q r X 1 X 2 X 3 X

10 7. X 3 X 2 : de X 3 no es consecuencia X 2, como demuestra: a) p=0, q=0, r=0 b) p=0, q=1, r=1 c) p=1, q=1, r=1 p q r X 1 X 2 X 3 X

11 8. Es tautología: a) X 1 X 2 b) X 3 X 2 c) X 2 X 3 p q r X 1 X 2 X 3 X 4 X 2 X

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13 9. La forma normal conjuntiva de X 1 : a) (p q) ( q r) b) (p q) ( q r) ( p r) c) ( p q) ( q r) X 1: (p r) (q p)

14 Y 1 : œx (Qx Rx) Y 2 : y (Py Qy) Y 3 : œxœy ((Qx Py) Sxy) Y 4 : œxœy((sxy x y) Qx) 10. En toda interpretación que satisface tanto a Y 1 como a Y 2 : a) Q= y P=. b) R y P. c) R y Q=.

15 Y 1 : œx (Qx Rx) Y 1 puede leerse Todos los elementos si tienen la propiedad P entonces no tienen la propiedad R. La Y 1 requiere que todos los elementos que estén en Q no estén en R.

16 Y 2 : y (Py Qy) Y 2 se puede reescribir de forma equivalente: y (Py Qy) = y ( Py Qy) = y(py Qy) Es decir Y 2 sería que Al menos un elemento y cumple que está en P y en Q. Y 2 sólo es verdad cuando al menos existe un elemento que está a la vez en P y en Q.

17 11. Y 2 : y (Py Qy) es equivalente a: a) ( xqx) Px b) œz (Qz Pz) c) z (Rz Qz)

18 12. Y 3 : œxœy ((Qx Py) Sxy) es verdadera para la interpretación: E = {1,2,3}, P = {1}, Q = {2} a) S = {(1,1)(2,2)} b) S = {(2,1)(2,3)} c) S =

19 E = {1,2,3}, P = {1}, Q = {2} œxœy Qx Py Sxy 1,1 F V 1,2 F F 1,3 F F 2,1 V V 2,2 V F 2,3 V F 3,1 F V 3,2 F F 3,3 F F

20 13. Y 4 : œxœy ((Sxy x y) Qx) es verdadera para la interpretación: E = {1,2,3}, con S = {(1,1)(2,3)} a) Q = {1,3} b) Q = c) Q = {1,2} S œxœy ((Sxy x y) Qx) (1,1) S 11 1 = 1 Q 1 V F V V (2,3) S Q 2 V V V V

21 14. Completar, B C, B C a) B B b) C c) C B C B B C B C C

22 15. Sea G un grafo con m nodos. Cuál es el máximo valor que puede tomar el grado total de un nodo cualquiera de G? a) (n 1) 2. b) 2n. c) n 2.

23 16. Sea G un grafo con m nodos Cuál es el número de arcos de un árbol de expansión para G? a) n 1. b) n 2. c) Nos faltan datos para poder determinarlo.

24 17. Para demostrar, por inducción matemática, que todos los números naturales tienen una propiedad P, necesitamos comprobar que P(0) y a) œn(p(s(n)) P(n). b) œn(p(n) P(s(n)). c) œn(p(n) P(s(n)).

25 Pregunta de desarrollo Febrero 2011 Anticipo Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: œx(sxx Qx), z Qz œysyy

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29 Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2011, Modelo A 1. Sea A = {a,b,c} y P(A) el conjunto potencia de A: {, {a,c}} P(A) 2. Completar (A B) = A B

30 3. La relación R {(1,2),(3,2)} sobre E = {1,2,3} es: Antisimétrica

31 4. Completar B (A A) = B = B 5. Una relación R de equivalencia no es antisimétrica.

32 X 1 : p (q r) X 3: (p q) r X 2: (p q) r X 4: p (r q) p q r q r X 1 p q X 2 p q X 3 r q X 4 X 1 X 2 X 2 X

33 6. p =1, q = 0, r =0 hace verdaderas a X 1 y X 3 p q r q r X 1 p q X 2 p q X 3 r q X 4 X 1 X 2 X 2 X

34 7. X 3 es equivalente a X 1 p q r q r X 1 p q X 2 p q X 3 r q X 4 X 1 X 2 X 2 X

35 8. X 1 X 2 : de X 1 no es consecuencia X 2, como demuestra: p=0, q=1, r=0 p q r q r X 1 p q X 2 p q X 3 r q X 4 X 1 X 2 X 2 X

36 9. Es tautología X 2 X 4 p q r q r X 1 p q X 2 p q X 3 r q X 4 X 1 X 2 X 2 X

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39 10. La Forma Normal Conjuntiva de X 2 (p q) r (p q) r ( p q) r ( p r) ( q r)

40 Y 1 :œx (Px Qx) Y 2 : x (Rz Qz) 11. En toda interpretación que satisface tanto a Y 1 como a Y 2 : a) Q= y P=. b) Q y P=. c) Q y P.

41 La Y 1 puede leerse Todos los P son Q. La Y 1 requiere que todos los elementos de P, sean los que sean, estén en Q. Y 1 :œx (Px Qx)

42 La Y 2 : x (Rz Qz) se puede reescribir de forma equivalente: x (Rx Qx) = œx (Rx Qx) = œx ( Rx Qx) = œx (Rx Qx) Y 2 sería que Todos los x cumplen uno a uno que están en R y no en Q.

43 La Y 2 sólo es verdad cuando Q es vacío y R es todo el universo. Las dos fórmulas a la vez requieren que P y Q sean vacíos (que es lo que se ofrece como opción de respuesta). Adicionalmente requieren otra cosa: que R sea el universo.

44 12. Y 3 :œx( ysxy Px) es verdadera para la interpretación: E={1,2,3}, P={1,2} a) S={(1,1)(1,2)} b) S={(1,1)(2,3)} c) S= œx( y Sxy Px) Equivale a: œx (Px y Sxy)

45 E={1,2,3}, P={1,2} E œx Px y Sxy 1 V S11 V 2 V S23 V 3 F F V

46 13. Y 2 : x (Rz Qz) es equivalente a: z Rz Qz z Rz Qz z Rz Qz zrz zrz z Qz y Qy

47 14 Y 4 :œx y((sxy Syx) x y) es verdadera para la interpretación: E={1,2,3}, con a) S = {(1,1),(2,3),(3,2)} b) S = {(1,1),(1,2),(2,1)} c) S = {(1,2),(3,2),(1,1)} œx y ((Sxy Syx) x y) (1,2) (1,2) (3,2) (1,2) (3,2) (1,2)

48 15. Señale la expresión válida (siempre verdadera): a) œx ymxy x ymxy b) x ymxy xœymxy c) xœymxy œx ymxy La primera es verdadera, ya que si el antecedente es falso, siempre es verdadera, y si el antecedente es verdadero para todo x existe al menos un y tal que se cumple que Mxy, el consecuente será siempre verdadero, ya que si para todo x existe un y para el que se cumpla esa expresión, es evidente deducir que existe un x para el que existe un y que cumpla la expresión Mxy.

49 16. Si un grafo contiene aristas paralelas se denomina: multigrafo. 17. La longitud de un camino, en un grafo, es: el número de aristas que aparecen en la sucesión del camino. 18. Un grafo no dirigido es conexo si: desde cualquiera de sus nodos se puede llegar a cualquier otro.

50 Pregunta de desarrollo Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: œx y(sxy Syx) x( ysxy ysyx)

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54 Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2011, Modelo C 1. Complete (A B). A B A y A B B U A B

55 2. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es un subconjunto de AxB. 3. Toda función de A en B es: una relación de A en B.

56 4. Sea f una función de A = {1,2} en B = {a,b}, tal que f(1) = a, f(2) = a, No es inyectiva. 1 2 a b

57 5. Cuantas filas ordenadas distintas de 4 personas se pueden hacer escogiéndolas entre un conjunto de 4 personas? 4! P( n) n!

58 X 1 : (p q) r; X 2 : (p r) (p q) X 3 : r p q; X 4 : r (q p) p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 p q p X

59 6. p = 1, q = 0, r = 0 hace verdaderas X 1 y X 2 p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 p q p X

60 7. X 1 es equivalente a X 4 p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 p q p X

61 8. X 1 X 2 : de X 1 no es consecuencia X 2, como demuestra p=0, q=0, r=1 p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 p q p X

62 9. Es tautología X 2 X 3 p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 X 4 X 2 X

63 X 2 : (p r) (p q) X 3 : r p q; 1. (p r) (p q) 2. r p q α 1,2 3. r α 2,2 4. p α 3,2

64 5. q 6. (p r) α 1,6 8. p 9. r α 2,6 β 1,1 β 2,1 7. (p q) β 1,7 β 2,7 10. p 11. q

65 10. No es una contradicción X 1 X 2 p q r p r p q (p q) X 1 p r p q X 2 X 2 X 3 p q p X

66 Y 1 : x(px Qx); Y 2 :œx( Rx Qx) Y 2 :œx(qx Rx) 11. Toda interpretación que satisface tanto a Y 1 como a Y 2 a) R = b) Q, R = c) P R

67 12. Y 3 : x y(qy Sxy), es falsa para la interpretación E = {1,2}, Q = {1,2} y a) S={(1,1)} b) S={(1,2)} c) S = E Q S Qy Sxy 1 V F F 2 V F F

68 13. Y 3 : x y(qy Sxy), es equivalente a Por un lado tenemos el enunciado: x y(qy Sxy) x y( Qy Sxy) Y la respuesta c: œyqy x y Sxy œyqy x y Sxy x y Qy Sxy

69 14. Y 4 :œxœy((sxy Syx) x = y), es verdadera para la interpretación E={1,2,3}, con a) S={(1,1),(1,2),(2,1)} b) S={(1,1),(2,1)} c) S={(3,2),(2,3)} œxœy ((Sxy Syx) x = y) (1,1) (1,1) (1,1) 1 = 1 (2,1) V F 2 = 1

70 15. Completar A, B A B AB AB A B

71 16. Un árbol libre es acíclico. 17. Un camino en un digrafo en el que todas sus aristas son distintas se denomina sencillo. 18. El grado total de un nodo es la suma de sus grados de entrada y de salida.

72 Pregunta de desarrollo Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: xsxx œxœy((sxy Syx)

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76 Lógica y Estructuras Discretas Septiembre 2011, Modelo A X 1 :(p q) (( o t) r s) X 2: o ( r p) X 3: p (q r) X 4:((s t) o) t X 1 :(p q) (( o t) r s) X 2: o ( r p) X 3: p (q r) X 4 : ((s t) o) t

77 1. Señale el conjunto satisfacible: a) {X 1, X 2, X 4 } b) {X 1, X 2, X 3, X 4 } c) {X 1, X 3, X 4 } a) { X 1, X 2, X 4 }, es insatisfacible. b) { X 1, X 2, X 3, X 4 }, es insatisfacible, ya que si añado X 3, no varía el resultado anterior

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81 2. Es equivalente a X 3 : a) ( q r) p b) p (q r) c) p (q r) X 3 : p (q r) p (q r) (q r) p ( q r) p

82 3. Señale el conjunto insatisfacible: a) {X 1, X 2, X 3 } b) {X 2, X 3, X 4 } c) {X 2, X 3 } X 2: o ( r p) X 3: p (q r) X 4: ((s t) o) t

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85 4. Sean φ 1, φ 2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica proposicional. Si: (φ 1 φ 2 Ψ) es tautología, cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) { φ 1, φ 2 } Ψ b) { φ 1, Ψ } φ 2 c) (( φ 1, φ 2 ) Ψ ) es insatisfacible (φ 1 φ 2 Ψ) (φ 1 φ 2 ) Ψ (φ 1 φ 2 ) Ψ {φ 1 φ 2 } Ψ {φ 1 Ψ} φ 2

86 5. Sean φ 1, φ 2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica proposicional. Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 ) Ψ es tautología. b) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 ) Ψ es tautología. c) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 Ψ) es insatisfacible.

87 Y 1 : (œz w Szw) (œx y Sxy) Y 2 : (œx ysxy) Y 3 : ( w t Swt) Y 4 : t (Stt Pt) I Y : dominio U = {0,1}, con P = S = {(0,0),(0,1)} Y 1 : ( zœwszw) ( xœysxy) Y 2 : xœy Sxy Y 3 : œwœtswt Y 4 : t (Pt Stt)

88 6. Señale la tautología: a) Y 1 Y 2 b) Y 2 Y 3 c) Y 1 Y 4 Y 2 : xœy Sxy Y 3 : œwœtswt

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90 7. La interpretación I Y no satisface: a) Y 1 b) Y 2 c) Y 3 Y 3 : œwœtswt I Y : dominio U = {0,1}, con P = S = {(0,0),(0,1)} œwœt Swt (0,0) V (0,1) V (1,0) F (1,1) F

91 Y 1 : ( zœwszw) ( xœysxy) ( zœwszw) ( xœysxy) (0,0) V V V (0,1) V V V Y 2 : xœy Sxy xœy Sxy (0,0) V (0,1) V

92 8. Es consecuencia: a) {Y 1, Y 2 } Y 4 b) {Y 1, Y 4 } Y 3 c) {Y 2 } Y 3 Y 2 : xœy Sxy Y 3 : œwœtswt

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94 9. Sea P cualquier predicado diádico de aridad 2 en lógica de primer orden. Cuál de las siguientes fórmulas es equivalente a œx ypxy? a) x y Pxy b) œx y Pxy c) x ypxy

95 10. Es posible establecer una biyección entre los conjuntos y? a) Si. b) No. c) Dado que y son conjuntos infinitos, no tiene sentido hablar de establecer una biyección entre ambos.

96 11. Sea el conjunto A={1,2,3,4}. Cuál de los siguientes conjuntos es subconjunto de A 2? a) El conjunto {1,4,9,16} b) El conjunto {(1,1),(2,2),(4,1)} c) El conjunto {1,2,3,4,6,8,9,12,16}

97 12. Cuál de las siguientes relaciones es una función inyectiva de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}? a) {(a,1),(c,2),(c,3)} b) {(b,1),(c,2),(a,1)} c) {(c,2),(a,3),(b,1)}

98 13. Cuál de las siguientes relaciones es una función parcial de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}? a) {(c,1),(b,1),(a,1)} b) {(a,1),(b,2),(a,3)} c) {(b,1),(b,2)}

99 14. Cuál de las funciones es una sobreyección? a) f:, f(n) = n + 1 b) f:, f(z) = z + 1 c) f:, f(z) = z 2 + 1

100 15. Sea G un grafo dirigido con n nodos. Cuál es el número de arcos de un árbol de expansión para G? a) n 2. b) n 1. c) No lo podemos saber sólo con los datos que nos da la pregunta.

101 16. Sea un dígrafo cualquiera G. Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Si G es conexo (débilmente conexo) entonces es unilateralmente conexo. b) Si G no es unilateralmente conexo entonces es conexo. c) Si un grafo G no es conexo entonces no es fuertemente conexo.

102 17. Sea d la distancia del nodo a al nodo b en un dígrafo G. Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para cualesquiera nodos a y b? a) d es un número primo b) d 1, pero d no puede ser infinito ( ) c) d puede ser infinito ( )

103 18. Sea G un grafo dirigido con n nodos, tal que no contiene ningún arco de un nodo hacía sí mismo. Cuál es el máximo número de arcos que tiene G? a) n 2. b) n 2 1. c) n (n 1).

104 Pregunta de desarrollo Septiembre 2011 A Septiembre 2012 B, Septiembre 2012 D Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: xœy(pxy Pyx) x( y Pxy y Pyx)

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108 Lógica y Estructuras Discretas Septiembre 2011, Modelo B X 1 : (p q) (( o t) r s) X 2: ( r p) o X 3: p (q r) X 4: ((s t) o) t

109 1. Es equivalente a X 3 : p (q r) = p (q r) a) ( q r) p b) p (q r) c) p (q r)

110 2. No es consecuencia correcta: a) X 1, X 2 X 4 b) X 2, X 4 X 3 c) X 1, X 2 X 3 X 1 : (p q) (r s ( o t)) X 2: ( r p) o X 3: p (q r) X 4: ((s t) o) t

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117 3. Señale el conjunto satisfacible: a) { X 1, X 2, X 4 } b) { X 1, X 2, X 3, X 4 } c) { X 1, X 3, X 4 }

118 4. Sean φ 1, φ 2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica proposicional. Si: (φ 1 φ 2 Ψ) es tautología, cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) { φ 1, φ 2 } Ψ b) { φ 1, Ψ } φ 2 c) (( φ 1, φ 2 ) Ψ ) es insatisfacible (φ 1 φ 2 Ψ) (φ 1 φ 2 ) Ψ (φ 1 φ 2 ) Ψ {φ 1 φ 2 } Ψ {φ 1 Ψ} φ 2

119 5. Sean φ 1, φ 2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica proposicional. Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 ) Ψ es tautología. b) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 ) Ψ es tautología. c) {φ 1, φ 2 } Ψ si y sólo si (φ 1 φ 2 Ψ) es insatisfacible.

120 Y 1 : (œypy xrx) ( zrz) Y 2 : œxpx ( zrz y Ry) Y 3 : xrx «œy Qy Y 4 : œwrw (œxpx œyqy) I Y : dominio U = {0,1}, con P = Q = {(0,1)} R = {1}

121 6. No es tautología: a) Y 2 Y 3 Y 4 b) Y 1 Y 3 Y 4 c) Y 1 Y 3 Y 2

122 7. Es consecuencia: a) {Y 3, Y 4 } Y 4 b) {Y 1, Y 3 } Y 4 c) { Y 1, Y 4 } Y 2

123 8. La interpretación I Y no satisface: a) Y 2 b) Y 4 c) Y 3

124 9. Sea P cualquier predicado diádico de aridad 2 en lógica de primer orden. Cuál de las siguientes fórmulas es equivalente a œx ypxy? a) x y Pxy b) œx y Pxy c) x ypxy

125 10. Sean A el conjunto de los números enteros pares y sea B el conjunto de los números enteros que son múltiplos de 3. Cuál de los siguientes conjuntos es subconjunto de A x B? a) El conjunto de los números enteros múltiplos de 6. b) El conjunto {(3,2)} c) El conjunto {(2,3)}

126 11. Sea A un conjunto finito cualquiera, y sea n = A. Cuál es la cardinalidad del conjunto A 2? a) n b) n 2 c) n n

127 12. Es posible establecer una biyección entre el conjunto y? a) Si. b) No. c) Dado que son conjuntos infinitos, no tiene sentido hablar de establecer una biyección entre ambos.

128 13. Cuál de las siguientes relaciones es una función parcial de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}? a) {(c,1),(b,1),(a,1)} b) {(a,1),(b,2),(a,3)} c) {(b,1),(b,2)}

129 14. Cuál de las funciones es una sobreyección? a) f:, f(n) = n + 1 b) f:, f(z) = z + 1 c) f:, f(z) = z 2 + 1

130 15. Sea d la distancia del nodo a al nodo b en un dígrafo G. Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para cualesquiera nodos a y b? a) d es un número primo b) d 1, pero d no puede ser infinito ( ) c) d puede ser infinito ( )

131 16. Se dice que un grafo no dirigido es conexo si: a) Desde cualquiera de sus nodos se puede llegar a cualquier otro. b) El grado de entrada de todo nodo es igual a 1. c) Permite bucles en cada uno de sus nodos.

132 17. La longitud de un camino en un grafo ponderado G es igual a: a) El grado de entrada del último nodo del camino. b) El número de aristas que aparecen en la sucesión del camino. c) El número de nodos distintos que aparecen en la sucesión del camino.

133 18. Sea G un grafo dirigido con n nodos, tal que no contiene ningún arco de un nodo hacía sí mismo. Cuál es el máximo número de arcos que tiene G? a) n 2. b) n 2 1. c) n (n 1).

134 Pregunta de desarrollo Septiembre 2011 B, Septiembre 2012 A Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento: œx y( Pxy Pyx) x( y Pxy y Pyx)

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