Solución Tarea 3 IIC Lógica para ciencia de la computación Primer Semestre, 2004

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación Solución Tarea 3 IIC Lógica para ciencia de la computación Primer Semestre, Comenzamos reconociendo las criaturas, características, tesoros y países que existen. Criatura Característica Tesoro País Gnomos traviesos rubíes Escocia Trasgos malos plata Noruega Trolls odiosos oro Inglaterra Elfos feos diamantes Gales Duendes repulsivos esmeraldas Irlanda Luego procedemos a crear las variables que surgen para la modelación del problema: gnomos traviesos: gnomos malos: gnomos odiosos: gnomos feos: gnomos repulsivos: gnomos rubíes: gnomos plata: gnomos oro: gnomos diamantes: gnomos esmeraldas: gnomos Escocia: gnomos Noruega: gnomos Inglaterra: gnomos Gales: gnomos Irlanda: Los gnomos son traviesos Los gnomos son malos Los gnomos son odiosos Los gnomos son feos Los gnomos son repulsivos Los gnomos tienen rubíes Los gnomos tienen plata Los gnomos tienen oro Los gnomos tienen diamantes Los gnomos tienen esmeraldas Los gnomos vienen de Escocia Los gnomos vienen de Noruega Los gnomos vienen de Inglaterra Los gnomos vienen de Gales Los gnomos vienen de Irlanda Generamos en forma análoga, las variables necesarias para las otras criaturas. Trasgos traviesos Trasgos rubíes Trasgos Escocia Trasgos malos Trasgos plata Trasgos Noruega Trasgos odiosos Trasgos oro Trasgos Inglaterra Trasgos feos Trasgos diamantes Trasgos Gales Trasgos repulsivos Trasgos esmeraldas Trasgos Irlanda

2 Trolls traviesos Trolls rubíes Trolls Escocia Trolls malos Trolls plata Trolls Noruega Trolls odiosos Trolls oro Trolls Inglaterra Trolls feos Trolls diamantes Trolls Gales Trolls repulsivos Trolls esmeraldas Trolls Irlanda Elfos traviesos Elfos rubíes Elfos Escocia Elfos malos Elfos plata Elfos Noruega Elfos odiosos Elfos oro Elfos Inglaterra Elfos feos Elfos diamantes Elfos Gales Elfos repulsivos Elfos esmeraldas Elfos Irlanda Duendes traviesos Duendes rubíes Duendes Escocia Duendes malos Duendes plata Duendes Noruega Duendes odiosos Duendes oro Duendes Inglaterra Duendes feos Duendes diamantes Duendes Gales Duendes repulsivos Duendes esmeraldas Duendes Irlanda Ahora debemos modelar el hecho de que cada uno de las cinco razas, solo tiene una característica, un solo tesoro y un solo país: ((gnomos traviesos gnomos malos gnomos odiosos gnomos f eos gnomos repulsivos) ( gnomos traviesos gnomos malos gnomos odiosos gnomos f eos gnomos repulsivos) ( gnomos traviesos gnomos malos gnomos odiosos gnomos f eos gnomos repulsivos) ( gnomos traviesos gnomos malos gnomos odiosos gnomos f eos gnomos repulsivos) ( gnomos traviesos gnomos malos gnomos odiosos gnomos f eos gnomos repulsivos)) ((gnomos rubies gnomos plata gnomos oro gnomos diamantes gnomos esmeraldas) ( gnomos rubies gnomos plata gnomos oro gnomos diamantes gnomos esmeraldas) ( gnomos rubies gnomos plata gnomos oro gnomos diamantes gnomos esmeraldas) ( gnomos rubies gnomos plata gnomos oro gnomos diamantes gnomos esmeraldas) ( gnomos rubies gnomos plata gnomos oro gnomos diamantes gnomos esmeraldas)) ((gnomos Escocia gnomos N oruega gnomos Inglaterra gnomos Gales gnomos Irlanda) ( gnomos Escocia gnomos N oruega gnomos Inglaterra gnomos Gales gnomos Irlanda) ( gnomos Escocia gnomos N oruega gnomos Inglaterra gnomos Gales gnomos Irlanda) ( gnomos Escocia gnomos N oruega gnomos Inglaterra gnomos Gales gnomos Irlanda) ( gnomos Escocia gnomos N oruega gnomos Inglaterra gnomos Gales gnomos Irlanda)) ((trasgos traviesos trasgos malos trasgos odiosos trasgos f eos trasgos repulsivos) ( trasgos traviesos trasgos malos trasgos odiosos trasgos f eos trasgos repulsivos) ( trasgos traviesos trasgos malos trasgos odiosos trasgos f eos trasgos repulsivos) ( trasgos traviesos trasgos malos trasgos odiosos trasgos f eos trasgos repulsivos) ( trasgos traviesos trasgos malos trasgos odiosos trasgos f eos trasgos repulsivos)) ((trasgos rubies trasgos plata trasgos oro trasgos diamantes trasgos esmeraldas) 2

3 ( trasgos rubies trasgos plata trasgos oro trasgos diamantes trasgos esmeraldas) ( trasgos rubies trasgos plata trasgos oro trasgos diamantes trasgos esmeraldas) ( trasgos rubies trasgos plata trasgos oro trasgos diamantes trasgos esmeraldas) ( trasgos rubies trasgos plata trasgos oro trasgos diamantes trasgos esmeraldas)) ((trasgos Escocia trasgos N oruega trasgos Inglaterra trasgos Gales trasgos Irlanda) ( trasgos Escocia trasgos N oruega trasgos Inglaterra trasgos Gales trasgos Irlanda) ( trasgos Escocia trasgos N oruega trasgos Inglaterra trasgos Gales trasgos Irlanda) ( trasgos Escocia trasgos N oruega trasgos Inglaterra trasgos Gales trasgos Irlanda) ( trasgos Escocia trasgos N oruega trasgos Inglaterra trasgos Gales trasgos Irlanda)) ((trolls traviesos trolls malos trolls odiosos trolls f eos trolls repulsivos) ( trolls traviesos trolls malos trolls odiosos trolls f eos trolls repulsivos) ( trolls traviesos trolls malos trolls odiosos trolls f eos trolls repulsivos) ( trolls traviesos trolls malos trolls odiosos trolls f eos trolls repulsivos) ( trolls traviesos trolls malos trolls odiosos trolls f eos trolls repulsivos)) ((trolls rubies trolls plata trolls oro trolls diamantes trolls esmeraldas) ( trolls rubies trolls plata trolls oro trolls diamantes trolls esmeraldas) ( trolls rubies trolls plata trolls oro trolls diamantes trolls esmeraldas) ( trolls rubies trolls plata trolls oro trolls diamantes trolls esmeraldas) ( trolls rubies trolls plata trolls oro trolls diamantes trolls esmeraldas)) ((trolls Escocia trolls N oruega trolls Inglaterra trolls Gales trolls Irlanda) ( trolls Escocia trolls N oruega trolls Inglaterra trolls Gales trolls Irlanda) ( trolls Escocia trolls N oruega trolls Inglaterra trolls Gales trolls Irlanda) ( trolls Escocia trolls N oruega trolls Inglaterra trolls Gales trolls Irlanda) ( trolls Escocia trolls N oruega trolls Inglaterra trolls Gales trolls Irlanda)) ((elfos traviesos elfos malos elfos odiosos elfos feos elfos repulsivos) ( elf os traviesos elf os malos elf os odiosos elf os f eos elf os repulsivos) ( elf os traviesos elf os malos elf os odiosos elf os f eos elf os repulsivos) ( elf os traviesos elf os malos elf os odiosos elf os f eos elf os repulsivos) ( elf os traviesos elf os malos elf os odiosos elfos feos elfos repulsivos)) ((elf os rubies elf os plata elf os oro elf os diamantes elf os esmeraldas) ( elf os rubies elf os plata elf os oro elf os diamantes elf os esmeraldas) ( elf os rubies elf os plata elf os oro elf os diamantes elf os esmeraldas) ( elf os rubies elf os plata elf os oro elf os diamantes elf os esmeraldas) ( elf os rubies elf os plata elf os oro elf os diamantes elf os esmeraldas)) ((elfos Escocia elfos Noruega elfos Inglaterra elfos Gales elfos Irlanda) ( elfos Escocia elfos Noruega elfos Inglaterra elfos Gales elfos Irlanda) ( elfos Escocia elfos Noruega elfos Inglaterra elfos Gales elfos Irlanda) ( elfos Escocia elfos Noruega elfos Inglaterra elfos Gales elfos Irlanda) ( elfos Escocia elfos Noruega elfos Inglaterra elfos Gales elfos Irlanda)) 3

4 ((duendes traviesos duendes malos duendes odiosos duendes f eos duendes repulsivos) ( duendes traviesos duendes malos duendes odiosos duendes f eos duendes repulsivos) ( duendes traviesos duendes malos duendes odiosos duendes f eos duendes repulsivos) ( duendes traviesos duendes malos duendes odiosos duendes f eos duendes repulsivos) ( duendes traviesos duendes malos duendes odiosos duendes f eos duendes repulsivos)) ((duendes rubies duendes plata duendes oro duendes diamantes duendes esmeraldas) ( duendes rubies duendes plata duendes oro duendes diamantes duendes esmeraldas) ( duendes rubies duendes plata duendes oro duendes diamantes duendes esmeraldas) ( duendes rubies duendes plata duendes oro duendes diamantes duendes esmeraldas) ( duendes rubies duendes plata duendes oro duendes diamantes duendes esmeraldas)) ((duendes Escocia duendes N oruega duendes Inglaterra duendes Gales duendes Irlanda) ( duendes Escocia duendes N oruega duendes Inglaterra duendes Gales duendes Irlanda) ( duendes Escocia duendes N oruega duendes Inglaterra duendes Gales duendes Irlanda) ( duendes Escocia duendes N oruega duendes Inglaterra duendes Gales duendes Irlanda) ( duendes Escocia duendes N oruega duendes Inglaterra duendes Gales duendes Irlanda)) De la misma forma, debemos añadir, que cada característica, tesoro es poseído por una sola criatura y también que en un país solo vive una sola de ellas. ((gnomos traviesos trolls traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos) ( gnomos traviesos trolls traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos) ( gnomos traviesos trolls traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos) ( gnomos traviesos trolls traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos) ( gnomos traviesos trolls traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos)) Haciendo esto con las otras 4 características, después con los tesoros y después con los países, procedemos a modelar las afirmaciones del enunciado: Los Gnomos son traviesos, los rubíes vienen de Escocia Interpretamos: criatura rubies criatura Escocia por cada criatura, de los rubíes vienen de Escocia gnomos traviesos ((gnomos rubies gnomos Escocia) (trolls rubies trolls Escocia) (trasgos rubies trasgos Escocia) (elfos rubies elfos Escocia) (duendes rubies duendes Escocia)) Los Trasgos tienen plata, los Elfos vienen de Noruega trasgos plata elfos Noruega Escocia tiene Trolls, los duendes tienen oro trolls Escocia duendes oro Los Elfos son malévolos, Escocia tiene criaturas odiosas Interpretamos: criatura odiosas criatura Escocia por cada criatura, de Escocia tiene criaturas odiosas elfos malos ((gnomos odiosos gnomos Escocia) (trolls odiosos trolls Escocia) (trasgos odiosos trasgos Escocia) (elf os odiosos elf os Escocia) (duendes odiosos 4

5 duendes Escocia)) Los Duendes son repulsivos, los Trasgos vienen de Inglaterra duendes repulsivos trasgos Inglaterra Los Duendes no son feos, Gales no tiene criaturas traviesas Interpretamos: criatura traviesas criatura Gales por cada criatura, de Gales no tiene criaturas traviesas duendes f eos ((gnomos traviesos gnomos Gales) (trolls traviesos trolls Gales) (trasgos traviesos trasgos Gales) (elf os traviesos elf os Gales) (duendes traviesos duendes Gales)) Irlanda no tiene diamantes, los seres odiosos no tienen esmeraldas Interpretamos: criatura diamantes criatura Irlanda y criatura odiosos criatura esmeraldas por cada criatura de la oración ((gnomos diamantes gnomos Irlanda) (trolls diamantes trolls Irlanda) (trasgos diamantes trasgos Irlanda) (elf os diamantes elf os Irlanda) (duendes diamantes duendes Irlanda)) ((gnomos odiosos gnomos esmeraldas) (trolls odiosos trolls esmeraldas) (trasgos odiosos trasgos esmeraldas) (elf os odiosos elf os esmeraldas) (duendes odiosos duendes esmeraldas)) Finalmente podemos averiguar la característica, tesoro y país de cada criatura, aplicando resolución de la siguiente manera: suponemos que una de las características (o tesoro o país) no la tiene ninguna de las criaturas, por lo que la oración los Gnomos no son traviesos y los Elfos no son traviesos y los Duendes no son traviesos y los Trasgos no son traviesos y los Trolls no son traviesos no es una consecuencia lógica de nuestra base de conocimiento. Sin embargo, otter intentará buscar resolución con ella y de lo cual obtendrá cláusulas como gnomos Irlanda, la cual es consecuencia lógica de la base de conocimiento, y por lo tanto, el país indicado de los gnomos. Probamos entonces la siguiente afirmación, en nuestra lista SOS, para la característica travieso : (gnomos traviesos elf os traviesos duendes traviesos trasgos traviesos trolls traviesos) Luego, otter nos devuelve las siguientes cláusulas durante el intento de resolución (eventualmente, no encontrará cláusula vacía): [enrique@cook bin]$ grep "wt=1" salida.out grep -v "-" given clause #17: (wt=1) 509 [binary,491.2,320.1] gnomos_irlanda. given clause #32: (wt=1) 557 [binary,542.2,334.1] gnomos_esmeraldas. given clause #90: (wt=1) 773 [binary,749.2,332.1] trolls_rubies. given clause #109: (wt=1) 812 [binary,803.2,331.1] elfos_diamantes. given clause #122: (wt=1) 875 [binary,862.2,347.1] duendes_gales. 5

6 given clause #145: (wt=1) 958 [binary,944.2,346.1] trasgos_feos. given clause #163: (wt=1) 1004 [binary,1000.2,346.1] trolls_odiosos. Con esto obtenemos que los Gnomos son de Irlanda, tienen esmeraldas, los Trolls tienen rubíes y son odiosos, los Duendes son de Gales, los Elfos tienen diamantes y los Trasgos son feos. Para encontrar el resto de las características, países y tesoros, usando la información recolectada, se puede deducir en forma natural y comprobar mediante resolución. Por ejemplo, ya que sabemos que los Elfos tienen diamantes, los Gnomos esmeraldas, los Trolls tienen rubíes y además del enunciado se tiene el hecho que los Duendes tienen oro, podemos ver si trasgos plata es consecuencia lógica y si es posible encontrar cláusula vacía. Aplicando ésta y otras técnicas, se obtiene: Los Gnomos son traviesos, vienen de Irlanda y tienen esmeraldas Los Elfos son malévolos, vienen de Noruega y tienen diamantes Los Duendes son repulsivos, vienen de Gales y tienen oro Los Trasgos son feos, vienen de Inglaterra y tienen plata Los Trolls son odiosos, vienen de Escocia y tienen rubíes 2. a) S = {<, impar, par },{+,*},{0,1} E = N, {< N, impar N, par N },{ + N, N },{0 N,1 N } N : Conjunto de todos los numeros naturales xy(x<y par(x) par(y)) z impar(z) b) S = { tienepluma, totalemplumado },{},{} E = P, { tienepluma P, totalemplumado P },{},{} P : Conjunto de todos los pingüinos x(tienepluma(x) totalemplumado(x)) c) S = {biternario },{hijos,nietos},{} E = A, {biternario A },{ hijos A,nietos A },{} A : Conjunto de todos los abuelitos x ((hijos(x)=2 nietos(x)=3) biternario(x)) d) S = {ARAÑA, MAMIFERO, TRADUCTOR},{},{} E = A,{ARAÑAA, MAMIFERO A, TRADUCTOR A },{},{} A : Conjunto de todos los seres vivos x(araña(x) MAMIFERO(x) y(mamifero(y) TRADUCTOR(y)) z(araña(z) TRADUCTOR(z)) e) S = {ROBA, LADRON, 100AÑOS},{},{} E = A,{ROBA A, LADRON A, 100AÑOSA },{},{} A : Conjunto de todos los humanos xy(ladron(x) LADRON(y) ROBA(x,y) 100AÑOS(x)) 6

7 f ) S = {EXTRATERRESTRE},{},{ROMULO, REMO} E = A,{EXTRATERRESTRE A },{},{ROMULO A, REMO A } A : Conjunto de todos los Romanos x(extraterrestre(x) x=romulo x=remo) g) S = {DERROTA, CAMPEON},{},{} E = A,{DERROTA A, CAMPEON A },{},{} A : Conjunto de todos los humanos x(campeon(x) y(derrota(x,y) x=y)) 3. En cada caso E representará una estructura sobre un conjunto B compatible con el conjunto de símbolos de cada fórmula y β una función de asignación. a) Sea ϕ= x y(p(x) P(y)) I = E, β una interpretación cualquiera. Supongamos que ϕ no es válida. I ϕ I x y a b P(x) para algún a B y I x y a b P(y) para todo b B. Claramente esto es una contradicción. Luego, se concluye que ϕ es válida. b) Sea ϕ= xp(x) yq(y), ψ= x(p(x) Q(x)) y χ=ϕ ψ Sea B={1, 2}, P B = {1}, Q B = {2} Entonces, I x y a b ϕ para cuaquier a,b B,porque el antecedente se hace falso, pero I x y 1 2 ψ. Luego, se concluye que χ no es válida. c) Sea ϕ= x (P(x) Q(y)), ψ= xp(x) yq(y)) y χ=ϕ ψ I = E, β una interpretación cualquiera. Supongamos que χ no es válida. I χ I ϕ y I ψ I ϕ I x a ϕ para todo a B I x a P(x) o I x a Q(x) para todo a B a / P o a Q, para todo a B. (*) I ψ I x y a b ψ para algunos a,b B I x y a b P(x) y I x y a b Q(y) para algún b y todo a B a P y b / Q para todo a y algún b B. (**) De (*) y (**) llegamos a una contradicción(si a=b). Luego, se concluye que χ es válida. d) Sea B={1, 2} y P B ={(1, 2), (2, 1)} Claramente I x 1 P(x,x). Luego la fórmula no es válida. e) Sea B={1, 2} y P B ={(1, 2)} I x y z P(x,y) y I x y z P(z,x) para todo z B. Luego, la fórmula no es válida. f ) Sea ϕ= x x=a, ψ= x P(x) P(A)) y χ=ϕ ψ I = E, β una interpretación cualquiera. Supongamos que χ no es válida. I χ I ϕ y I ψ 7

8 I x x=a I x a x=a para todo a B a=a para todo a B. I ψ I x a P(x) y I x a P(A) para algún a B. Pero vimos que a=a para todo a B, entonces llegamos a una contradicción. Luego, la fórmula es válida. g) Sea E = N, { N },{cuadrado d e N },{} I x y a b P(x,f(x)) para todo a,b B. Pero I x y 2 1 P(x,y). Luego, la fórmula no es válida. h) Sea ϕ= y Q(x,y), ψ= x yq(x,y) y χ=ϕ ψ I = E, β una interpretación cualquiera. Supongamos que χ no es válida. I χ I ϕ y I ψ I ϕ I x y a b Q(x,y) para todo a y algún b B (a,b) Q para todo a y algún n B. (*) I ψ I x y a b Q(x,y) para todo b y algún a B (a,b) / Q para todo b y algún a B. (**) De (*) y (**) llegamos a una contradicción. Luego, la fórmula es válida. 8