UNA EXPERIENCIA CON DOCENTES SOBRE EL TEMA FUNCION CUADRÁTICA

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1 UNA EXPERIENCIA CON DOCENTES SOBRE EL TEMA FUNCION CUADRÁTICA María Rosa Rodríguez Benítez, Sonia Bibiana Benítez Fac. de Cs Económicas. (Argentina) Fac. de Cs Naturales. UNT. (Argentina) Palabras claves: análisis didáctico, función y ecuación cuadrática Key words: didactic analysis, function and quadratic equation RESUMEN Una tarea compleja de los docentes del nivel medio es intentar cambios en los modelos tradicionales de enseñanza.conestefinseimplementóunaulajtaller dirigido a docentes interesados en nuevas estrategias de enseñanza.laexperienciaseinicióconunproblemacuyoobjetivofueconstruirelconceptodefuncióncuadrática. Seutilizaronestrategiasparticipativas,derivadasdelaconcepcióndeltrabajogrupalcomounaformaderesolver problemas.laparticipacióndelosdocentesfuemuybuenaydemostrógrancapacidadparaexperimentarnuevos tratamientosaltemaconsiderado.pensamosqueestasexperienciasnospermitiránavanzarparadiseñarmejores estrategiasdeenseñanza. ABSTRACT Acomplextaskofhighschoolteachersistotrytochangethetraditionalteachingmodels.Withthatobjective,a classroomworkshopaimedatteachersinterestedinnewteachingstrategieswasimplemented.theexperience began with a problem whose objective was to build the concept of quadratic function. Participate strategies derived from the conception of the group in work were used as a way of solving problems. The teacher s participationwasverygoodandshowedgreatcapacitytoexperimentnewtreatmentsinthethemeconsidered. Webelievethattheseexperienceswillpermitustoadvanceinthedesignofbetterteachingstrategies. 486

2 Introducción IntentarcambiosenlosmodelostradicionalesdelaenseñanzadelaMatemáticaesunatareaquese vuelve muy compleja y se observa gran resistencia a dichos cambios. Es necesario implementar una Didáctica transformadora de tradiciones Pedagógicas rutinarias, lo que implica que el docente debe reflexionarsobresusprácticas,interiorizarsesobrelosresultadosdenuevasinvestigacioneseducativas, analizar y debatir sus resultados. Comparar metodologías antiguas con las actuales, permitirá lograr nuevasconstruccionesmetodológicasconresultadospositivos,fomentandoelaprendizajesignificativo. LasverdaderastransformacionesenEducaciónMatemáticacomienzanenlasaulasylosdocentesdeben sergeneradoresdeexperienciasyconocimientos.conestefinseimplementóydesarrollóunaulajtaller sobreeltemafuncióncuadráticadirigidoadocentesdematemáticadelnivelmediodelaprovinciade Tucumán, Argentina; interesados en nuevas estrategias de enseñanza, para luego trasmitirlo a sus educandos.estasestrategiasqueconsistenendiscusiones,análisis,comparaciones,etc.lesfacilitaríala resolucióndeproblemas.todas,actividadesmentalesquecolaboranenlaconstrucción,aprehensióny aplicacióndenuevosconceptos. La clave del éxito de la aplicación de tales metodologías de enseñanza se encuentra en el diseño, programación, elaboración y realización de los contenidos del tema considerado. Las estrategias de enseñanza deben ser diseñadas de tal manera que estimulen a los estudiantes a observar, analizar, opinar,formularhipótesis,buscarsolucionesydescubrirelconocimientoporsímismos. Unavariabledidácticaesunelementodelasituacióndidácticaquepuedemodificarseyqueafectaala jerarquíadelasestrategiasdesoluciónusadasporelalumno.osea,sonlasqueelprofesormodifica paralograruncambiodeestrategiadeaprendizajeparallegaralsabermatemáticodeseado.aquellos elementos de la situación sobre los que se actúa pueden provocar adaptaciones y aprendizajes (Brousseau,1994). Laexperienciaseinicióconlapresentacióndeunproblemaquesecomplejizaatravésdelavariable didáctica, con el objetivo de construir el concepto de Función Cuadrática, continuando con el análisis comparativo de distintas estrategias para el estudio de las transformaciones (traslación, compresión, estiramiento)delaparábolayfinalizóconunasecuenciadeactividades,ordenadasgradualmentesegún lasdificultades;tendiendoalaresolucióndelaecuacióndesegundogrado. Todasestasinstanciasfueronacompañadasporeldebateylareflexióncrítica.Seutilizarondiferentes estrategiasparticipativasaniveláulico,derivadasdelaconcepcióndeltrabajogrupalcomounaformade resolverproblemas.aliniciodecadaencuentroserecurrióalaestrategiagrupal LluviadeIdeas que permiteindagaracercadeloqueungrupoconocesobreundeterminadotema,aclararconcepciones erróneas,resolverproblemas,desarrollarlacreatividad,obtenerconclusionesgrupalesypropiciaruna altaparticipacióndelosalumnos(pimientaprieto,2012).también,sefomentóendistintosmomentosel trabajo individual, con el propósito de provocar procesos inferenciales, donde los participantes experimentenqueel HACER esunatareaintelectualpersonal. Los objetivos del AulaJtaller fueron analizar estrategias innovadoras para la enseñanza de la Función Cuadrática y de la Ecuación Cuadrática y reflexionar críticamente las prácticas docentes habituales 487

3 mediante el debate constructivo. Estos objetivos se desarrollaron en el marco de una "Ingeniería didáctica",herramientaalaquerecurreelprofesorparaproducirconocimiento(artigue,1998). Desarrollodelaulaataller Lostemasinvolucradosenlaexperienciaconsistieronenlaformulacióndeunapropuestadidácticapara la construcción del concepto de Función Cuadrática, continuando con diversas actividades para el análisis grafico de la función y el tratamiento de distintas estrategias para el estudio de las transformacionesdetraslación,compresiónyestiramientodelaparábola.luegoseanalizaronloslogros y las dificultades de la situación didáctica para llegar a la propuesta didáctica, la construcción del conceptodeecuacióncuadrática. LasConsignasfueron: 1.Leaenformaindividuallasactividadesdel"TrabajoprácticoNº1" 2.Realicen,enformagrupal,unanálisisdidácticodel"TrabajoprácticoNº1": a)anticipenlosprocedimientosquerealizaríanlosalumnospararesolverlosproblemas,incluyendo loserróneosylosacertados. b)enuncienlosconocimientospreviosquelosalumnosdebenposeerpararesolverlasecuenciade problemas. c)identifiquenlosconocimientosalosqueapuntanlosproblemas. d) Enquémarcosapareceelconcepto? e) Enquécursoaplicaríanlapropuesta? Cómoorganizaríanelgrupodealumnos? Cómoseríala gestióndelaclase? Quépodríahacerpeligrarlapropuestayquéaccionespermitiríansuperarel inconveniente? Cuálseríalaintervencióndeldocente? Cómoserealizaríanlasvalidacionesde lasactividadesdesarrolladasporlosalumnos? 3.Puestaencomúndelaactividadanterior. 4.Leaenformaindividuallasactividadesdel"TrabajoprácticoNº2". 5.Realicenenformagrupalunanálisiscomparativodelasdospropuestasanteriores.Paraellotengaen cuenta:elroldelalumno,elroldeldocente,conocimientospreviosrequeridos,recursosdidácticos necesarios,otros. 6.Puestaencomúndelaactividadanterior. 7.Leaenformaindividuallasactividadesdel"TrabajoprácticoNº3". 8.Realicenenformagrupalelanálisisdidácticodel"TrabajoprácticoNº3". 9.Puestaencomúndelaactividadanterior. 10.ConsideracionesgeneralesdelapropuestaacargodelosprofesoresdelAulaJTaller. Lasactividadesconsistieronen: Trabajoprácticonº1 1 a)dadoelcuadradoabcdde20cmdeladoycuatropuntosp,q,rysubicadossegúnelgráfico; encuentreeláreadelcuadradopqrs. b) Calcule el área del cuadrado PQRS considerando en cada caso las distintas distancias de los puntosp,q,rysasusrespectivosvértices:5cm;7cm;13cm;15cmy18cm. c)determineladistanciadelospuntosp,q,rysasusrespectivosvérticesparaobtenerelárea mínima. 488

4 d)encuentreunafórmuladeláreadelcuadradopqrscuandoladistanciaalosvérticesesx. 2 a) Con los resultados obtenidos en el problema 1 construya una tabla de valores, ordenando en formacrecientelosvaloresdelavariableindependiente. b)grafiqueenunsistemadecoordenadascartesianasyrespondalassiguientespreguntas: i) Cuálessonlosvaloresquepuedetomarlavariableindependiente? ii) Cuálessonlosvaloresquepuedetomarlavariabledependiente? iii) Sepuedenunirlospuntosdelgráficoconunacurva? Porqué? 3 (Opcional).Enunestanquerectangularde5x3m 2 sequiereconstruiruncaminoensucontorno,con elanchoconstanteensualrededor: a)sixeselancho CuálseráeláreaAdelcamino? b)calculelosvaloresdeayconstruyeunatablacuandoxes0,1,2,3y4. c)grafiqueenunsistemadecoordenadascartesianas. d)sieláreadelcaminoesde30m 2,averigüesuanchox. e) ParaquévalordexesA=100? 4 (Opcional).EldirectordeunteatroestimaquesicobraU$S30porlocalidad,podríacontarcon500 espectadores y que cada descuento de U$S 1 le supondría 100 personas más. Calcule las ganancias obtenidasenfuncióndeldescuentoenelprecio. DescuentoU$S x Precio 30 30J1 30J2 30Jx Nºespectadores x Ingresos (30J1)Ö( ) (30J2)Ö( ) (30Jx)Ö( x) 489

5 Trabajoprácticonº2 1 Representegráficamenteenunsistemacoordenadolafuncióny=x 2 2 Delgráficoindique:i)Ejedesimetríaii)Coordasdelvérticeiii)Aberturadelacurva 3 Detallelassimilitudesydiferenciasalcompararlosgráficosde: y=x 2 conárea(x)=2x 2 40x Modifiqueygrafiquelafuncióny=x 2 paraquelaparábola: a)quedeabiertahaciaabajo.e)sedesplace3unidadeshaciaabajo. b)lacurvaseamáscerradaf)sedesplace1unidadhacialaizquierda. c)lacurvaseamásabierta.g)sedesplace2unidadeshacialaderecha. d)sedesplace2unidadeshaciaarriba. 5 Paracadaunodelossiguientesgráficos i)escribalascoordenadasdelvérticeeindiquesies másabierta, máscerrada o igual alaparábola base. iii)expreselafuncióny=f(x)quecorrespondeacadaunodelosgráficos. iv)determine,siexisten,elolosvaloresdex 1 y/ox 2 dondeelgráficocortaalejex. 6J Quérelaciónexisteentreloscerosdelasfuncionesyelvalordelaabscisadelvértice? 490

6 7.JCompleteelsiguientecuadro: 8JGrafiqueyobtengalafuncióncuadrática: a)elvérticeesv( 4,0)seabrehaciaarribaypasaporelpuntoP( 3,1). b)elpuntodemenorordenadaes(2, 3)ypasaporP(1,2) c)elpuntodemayorordenadaes( 2,4)y a =1/2 d)cortaalejexen 1yen3.Elmenorvalordeyes 4. Trabajoprácticonº3 1. a)encuentreelpolinomiocorrespondientealaecuacióncanónica: i)y=(x+3) 2 9ii)y=(x 2/3) 2 4/9iii)y=(x+5/2) 2 25/4 iv)y=(x+1) 2 +3v)y=(x 3) 2 1vi)y=(x+2/3) 2 1/3 b) Cuálesdelosgráficospasanporelorigen?(noconfeccioneelgráfico) 2. Enlasfuncionescuyosgráficospasanporelorigenindique: a)lacaracterísticaquetienelafórmulacuadráticapolinómica. b)lacaracterísticaquetienelafórmulacuadráticacanónica. 3 a)encuentrelafórmulacanónicacorrespondiente: i)y=x 2 +4xii)y=x 2 6xiii)y=x 2 9xiv)y=x 2 +8xv)y=x 2 5x b)determinelascoordenadasdelvérticedelaparábola. 4 a)encuentrahykparaquey=x 2 +bxseexpresecomoy=(xjh) 2 +k. b)escribalascoordenadasdelvérticedelaparábola c)dequéotraformapodríaencontrarlaordenadadelvértice? 5 a)escribaenformacanónicalassiguientesfunciones: 491

7 i)y=x 2 +2x 1ii)y=x 2 +2x+5iii)y=x 2 8x+3/2 b)encuentrehykparaquey=x 2 +bx+cseexpresecomoy=(xjh) 2 +k. 6 a)escribelassiguientesfuncionesenlaformacanónica: i)y=3x 2 +6x 3b)y=2x 2 5x+3 b)encuentrehykparaquey=ax 2 +bx+ccona 0seexpresey=a(xJh) 2 +k c)escribelascoordenadasdelvérticeeindiquelaconcavidaddelacurva. 7. Dadalafuncióncuadráticay=2x 2 10x+8 a)expreseenformacanónica. b)escribelascoordenadasdelvértice. c)encuentreloscerosdelafunción d)grafiqueenunsistemacoordenadocartesiano. 8. DelproblemadeláreadelcuadradoÁrea(x)=2x 2 40x+400 Cuántotienequevalerxpara queeláreasea200? 9. DetermineunafórmulaquelepermitaresolverlaEcuaciónCuadrática ax 2 +bx+c=0cona 0 Conclusiones EnestaexperienciasevieronbeneficiadosalgunosdocentesdelnivelmediodelaprovinciadeTucumán, quetuvieronlaposibilidaddeparticipardelaulajtallerdondesediscutióeldiseñodeunactualmodelo deenseñanzadeltemafuncióncuadráticafundamentadoennuevosconceptospedagógicos. La participación de los docentes fue muy buena y demostraron gran disposición para experimentar nuevostratamientosdeltema.además,utilizaroncorrectamentelasdiversasherramientasalgebraicas enlaresolucióndelasdistintasactividadespropuestas. AlfinalizarelAulaJTallerselogróquelosdocentestomencontactoconunaIngenieríaDidácticaparala construccióndeunconceptomatemáticoabordadoporlosalumnos.además,consideraronlanecesidad de superar las metodologías rutinarias tradicionales y adquieran conceptos básicos sobre Ingeniería DidácticaaplicadaaltemaFunciónCuadrática. El taller contribuyó a procesos más generales, como favorecer un cambio positivo sobre la forma de enseñarmatemáticaconrespectoalasviejasmetodologías. Estasexperienciasnosmuestranlanecesidaddecontinuarlascapacitacionesdirigidasalosdocentesdel nivelmedioqueprofundicenenotroscontenidosmatemáticos. Pensamos que estas experiencias nos permitirán avanzar en nuestros estudios para diseñar mejores estrategiasdeenseñanzadeunaspectodegrancomplejidadcomoeslatransferenciadelaprendizaje.es apropiadorealizarestetipodeanálisisenelcontextodeltemafuncióncuadráticaporsuriquezaypor lo apropiado que resulta en lo inherente a modelización y resolución de problemas; con importantes aplicacionestantoenlascienciasnaturalescomoenlascienciaseconómicas. 492

8 Referenciasbibliográficas Artigue,M.(1995)."Ingeniería"didáctica"en"educación"matemática.México:GEI. Brousseau, G. (1994). Los diferentes roles del maestro en didáctica" de" la" matemática." Aportes y Reflexiones.C.Parra;ISaiz(Comp).BuenosAires:PaidosEducador. Douady, R. (2011). Relación" enseñanza]aprendizaje. Dialéctica instrumento objeto, juego de Marcos. CuadernodeDidácticadelaMatemáticanº3.Paris:UniversitéParisDiderotJParis7.Disponible enhttp:// Charnay,R.(1994).AprenderpormediodelaresolucióndeproblemasenDidáctica"de"la"Matemática." Aportes"y"Reflexiones.C.Parra;ISaiz(Comp).BuenosAires:PaidosEducador. Pimienta Prieto, J. (2012)." Estrategias" de" enseñanza]aprendizaje." Docencia" universitaria" basada" en" competencias."méxico:pearsoneducación. ReyGenicioM.etal.(2004).Estrategiasdeenseñanzaparalafuncióncuadrática.EnL.DíazMoreno(Ed), Acta"Latinoamericana"de"Matemática"Educativa"17,"740]745.México:ComitéLatinoamericanode MatemáticaEducativa. TrujilloMartínez,C.(2012).Estrategias"de"enseñanza" "aprendizaje."[enred].enero2012.disponibleen: estrategiasjdejensenanzajaprendizaje.shtml 493