Comportamiento contractivo ( > 0) Comportamiento dilatante ( < 0) Presión de confinamiento, p (kpa) Figura 1: Definición de state parameter

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1 MODELACIÓN NUMÉRICA DE ENSAYOS DE ARRANQUE EN ARENA Pascale C. Rousé Universidad Diego Portales RESUMEN: Se utilizan dos modelos constitutivos para simular un ensayo de arranque de laboratorio de una lámina de aluminio rugosa y determinar si es posible predecir la respuesta completa de la resistencia al arranque que muestra valores peak y residual. Los resultados obtenidos en FLAC muestran que, usando un ángulo de fricción en deformación plana y Norsand, el modelo puede representar adecuadamente la respuesta completa de resistencia al arranque. INTRODUCCIÓN: Varios autores han investigado los distintos factores que influyen en la resistencia al arranque de geosintéticos a través de ensayos de laboratorio como, por ejemplo, las características y dimensiones de la caja de arranque, la velocidad de arranque, la tensión vertical aplicada, la cantidad de suelo utilizado, y los tipos de suelo y refuerzo utilizados en el ensayo (Farrag et al. 1993, Fannin y Raju 1993, Wilson-Fahmy et al. 1994, Sugimoto et al. 2001, Moraci y Recalcati 2006, entre otros). Estos ensayos han entregado una extensa base de datos que ha permitido entender el comportamiento al arranque de distintas combinaciones suelo/geosintético a través de mediciones de fuerzas de arranque, deformaciones y, en algunos casos, esfuerzos horizontales en la cara frontal de la caja de arranque. Han servido además como base para el análisis numérico de la interacción suelo/geosintético. Para esto, distintos modelos constitutivos se han utilizado para representar el suelo Elástico, Mohr-Coulomb, Hiperbólico, Ducker Prager y Lade, entre otros - para representar el refuerzo Elástico, Hiperbólico y Plástico, entre otros y para la interfaz Elástico e Hiperbólico, entre otros (ver Yuan y Chua 1990, Chan et al. 1993, Yogarajah y Yeo 1994, Bergado y Chai 1994, Abramento y Whittle 1995, Sohbi y Wu 1996, Gurung y Ywao 1999, Gurung et al 1999, Perkins y Cuelho 1999, Perkins y Edens 2003, Ling 2005, Aggarwal et al. 2008, Huang et al. 2009). Estos modelos numéricos han permitido predecir y analizar los resultados obtenidos de los ensayos de laboratorio. Sin embargo, los resultados y predicciones dependen de las relaciones constitutivas para describir el comportamiento de los distintos componentes del modelo numérico. En particular, en el caso de datos de ensayos de arranque de geosintéticos, la mayoría de los análisis numéricos han sido realizados utilizando modelos constitutivos de suelo e interfaz que requieren calibración contra resultados de ensayos de arranque de laboratorio, de una gran cantidad de parámetros, que no siempre tienen un significado físico o geotécnico, y que no pueden representar el valor de arranque peak y residual que se encuentran en ciertos ensayos. Por consiguiente, el objetivo de este trabajo es determinar si es posible predecir la respuesta completa de un ensayo de arranque, incluyendo el valor peak y residual, de un refuerzo inextensible y rugoso usando modelos constitutivos que usen parámetros geotécnicos. En particular, estos modelos no requieren ser calibrados con otros ensayos de arranque sino que con ensayos mas comunes como el ensayo triaxial. Para alcanzar este objetivo, se usan dos modelos constitutivos; el convencional Mohr-Coulomb y Norsand (Jefferies, 1993). Estos modelos serán primeramente calibrados con datos triaxiales de modo de obtener los parámetros necesarios para el modelo y luego serán usados en una simulación numérica en FLAC de un ensayo de arranque.

2 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA ARENAS: Varios modelos constitutivos existen para describir el comportamiento de suelos granulares. Lade (2005) describe y resume estos modelos por sus distintas componentes, como por ejemplo superficie de falla, superficie de fluencia, tipo de relación de fluencia y las capacidades de cada modelo. Además, el número de ensayos necesarios y el número de parámetros necesarios para describir el modelo son presentados. Mohr-Coulomb es uno de los modelos constitutivos mas usados en el análisis del comportamiento de suelos en ingeniería. El uso de este modelo puede ser aceptable desde el punto de vista de la modelación numérica si sólo se considera el estado de falla. Sin embargo la capacidad de Mohr- Coulomb para representar el comportamiento mecánico completo del suelo es muy pobre ya que sólo considera un incremento lineal de la elasticidad del suelo y no es capaz de representar los valores peak y residuales que se obtienen en el comportamiento de suelos granulares densos. Muchos de los modelos descritos por Lade (2005) deben ser calibrados tomando en cuenta el índice de huecos actual del suelo y, cada vez que la densidad cambia el modelo debe ser recalibrado, obteniéndose así un nuevo set de parámetros el cual va cambiando junto con la densidad. Hoy en día, el uso de modelos elasto-plásticos basados en Critical State Soil Mechanics (CSSM) ha aumentado. En los modelos CSSM los parámetros no están asociados a ninguna densidad en particular, por lo tanto el mismo set de parámetros sirve para describir el comportamiento del suelo a cualquier densidad. Este fenómeno se obtiene gracias a la introducción del state parameter,, que es la diferencia entre el índice de huecos actual y el índice de huecos en estado crítico (Figura 1). Este es un mejor parámetro que la densidad relativa para determinar si el suelo tendrá un comportamiento contractivo o dilatante. Por ejemplo, en el caso de un ensayo drenado, si el state parameter es negativo, implica que la combinación índice de huecos presión de confinamiento se encuentra por debajo de la línea de estado último en el plano e-logp, por lo que el suelo tendrá un comportamiento dilatante. Similarmente, si el state parameter es positivo, el suelo tendrá un comportamiento contractivo. El CSSM mas conocido es Cam Clay que puede describir el comportamiento de suelos, especialmente arcillas, a diferentes densidades. Sin embargo este modelo no es capaz de representar la resistencia peak y residual que se encuentran en arenas densas o arcillas preconsolidadas. Norsand es un modelo CSSM desarrollado por Jefferies en 1993 derivado de Cam Clay, capaz de representar el comportamiento dilatante de suelos densos. La bondad de este modelo es que el mismo set de parámetros sirve para representar el comportamiento del suelo en sus distintos estados de densidad y que sus parámetros se obtienen de ensayos triaxiales en compresión. Los parámetros necesarios para describir Norsand y sus rangos de valores se muestran en la Tabla 1. Las propiedades elásticas están dadas por el módulo de corte, G, y el módulo de Poisson,. Las propiedades plásticas están dadas por tres parámetros del modelo, H, N y. H es un parámetro de endurecimiento plástico que se obtiene mediante calibración de ensayos triaxiales, N es un coeficiente volumétrico que se obtiene como la pendiente del gráfico (q/p ) máximo versus dilatancia mínima y se obtiene como la pendiente del gráfico dilatancia mínima versus. Finalmente la línea de estado crítico está definida por y, que corresponden a la altura de la línea de estado crítico en el plano e-logp a 1 kpa y a la pendiente de la línea de estado crítico, respectivamente. En el plano p -q, la línea de estado crítico está descrita por M tc. El valor de M = q/p es función de la tensión principal intermedia a través del ángulo Lode como se muestra en la Figura 2 (Jefferies y Shuttle, 2011). En este estudio, la versión NorsandM_v6 ha sido utilizada en forma de dll implementada por el autor. Más detalles acerca de Norsand se encuentra en Shuttle y Jefferies (2010).

3 Indice de vacíos, e Comportamiento contractivo ( > 0) = e - e c Línea de estado crítico Comportamiento dilatante ( < 0) Presión de confinamiento, p (kpa) Figura 1: Definición de state parameter Tabla 1: Propiedades para Norsand Parámetro Rango Comentario Usualmente H Parámetro de endurecimiento plástico, generalmente función de N 5 Coeficiente volumétrico Relaciona la dilatancia mínima con Altura de línea de estado crítico a 1 kpa 1 7 Pendiente de línea de estado crítico M tc Razón q/p en estado crítico tomando triaxial en compresión como referencia

4 Porcentaje más fino Porcentaje mas fino, en peso Percentage finer (%) M( ) = q/p Función propuesta para M( ) Matsuoka-Nakai Mohr-Coulomb Angulo Lode, ( ) Promedio entre Mohr-Coulomb y Matsuoka-Nakai (Jefferies and Shuttle, 2002) Figura 2: M en función de ángulo Lode (Jefferies y Shuttle, 2011) CALIBRACIÓN DE NORSAND Y DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS: Los ensayos de arranque a modelar fueron realizados en una arena uniforme sin contenido de finos, llamada arena Badger. Esta arena tiene un coeficiente de uniformidad de 1.3 y un coeficiente de curvatura de 1.1 y su granulometría se muestra en la Figura 3a. Los índices de vacío máximo y mínimo fueron obtenidos usando ASTM D4254 Método B y ASTM D4253, respectivamente, obteniéndose valores de e max =0.69 y e min =9. Valores de redondez y esfericidad de las partículas fueron obtenidos utilizando el método descrito por Wadell (1932) con valores de R=0.81 y S=0.77, como se muestra en la Figura 3b) a) b) r max r i 1 mm Tamaño Particle de partículas diameter (mm) Figura 3a: Granulometría arena Badger, 3b: Forma de partículas

5 q/p Deformación volumétrica (%) q/p Deformación volumétrica (%) q/p Deformación volumétrica (%) La Figura 4 muestra los resultados de ensayo triaxiales realizados con la arena Badger a presiones de confinamiento de 50 kpa (CDP50), 100 kpa (CDP100) y 150 kpa (CDP150) y densidad relativa de 33% aproximadamente. Si bien, se esperaba ensayar muestras muy sueltas de arena Badger de modo de alcanzar el estado crítico rápidamente, no fue posible obtener densidades relativas menores de 33% debido a la forma de las partículas. Por lo tanto el método propuesto por Bishop (1966) fue utilizado como se muestra en la Figura 5, obteniéndose un valor del ángulo de fricción en estado crítico de 27º. Estos inusuales valores del ángulo de fricción y de los índices de vacíos están explicados por la forma de las partículas, tal como fue demostrado por Rousé et al. (2008) CDP50 Norsand Mohr Coulomb 1.4 Deformación axial (%) Deformación axial (%) CDP100 Norsand Mohr Coulomb 1.4 Deformación axial (%) Deformación axial (%) CDP150 Norsand Mohr Coulomb Deformación axial (%) Deformación axial(%) Figura 4: Resultados de ensayos triaxiales en arena Badger

6 (q/p') máximo CDP100 CDP h max = 1D min CDP Dilatancia mínima, D min Figura 5: Método Bishop para para obtener ángulo de fricción en estado crítico También en la Figura 4 se muestran los resultados de las calibraciones de los ensayos triaxiales utilizando el modelo constitutivo Norsand y Mohr-Coulomb. Los valores de los parámetros utilizados se muestran en la Tabla 2. Para Norsand, el modelo predice una respuesta inicial menos rígida que los ensayos de laboratorio y llega al valor de M tc a un nivel de deformaciones parecido al de los ensayos. El valor peak obtenido por Norsand es levemente mayor a los ensayos de laboratorio para los ensayos a 50 y 150 kpa y muy similar para el ensayo a 100 kpa. En el caso de Mohr-Coulmb, el valor de M=q/p aumenta rápidamente con una pendiente mas rígida que los ensayos de laboratorio y llega a M tc = 1.07 a muy pequeñas deformaciones. Se debe reconocer que en la práctica difícilmente se utilizaría una pendiente elástica tan alta, sin embargo en este trabajo se está utilizando el mismo valor de E tanto para las predicciones con Mohr- Coulomb como con Norsand. En cuanto a las deformaciones volumétricas, Mohr-Coulomb presenta una muy pobre predicción del comportamiento. En contraste, Norsand es capaz de reproducir el comportamiento contractivo y dilatante de la arena Badger. Tabla 2: Valores de parámetros para Mohr-Coulomb y Norsand Parámetro Mohr Coulomb Norsand G (MPa) M tc H N

7 Resistencia al arranque (kn/m) MODELACIÓN NUMÉRICA DE ENSAYOS DE ARRANQUE EN ARENA: En esta sección los modelos constitutivos Norsand y Mohr-Coulomb son utilizados para simular los ensayos de arranque de laboratorio de un refuerzo inextensible y rugoso realizados por Raju (1995). Las dimensiones de la caja de arranque son de 0.64 m de ancho, 0.6 m de alto y 1.3 m de largo (ver Figura 6). El refuerzo consiste de una lámina de aluminio de 1.5 mm de espesor, 0.95 m de largo y 0.5 m de ancho a la que le fueron pegadas partículas de la arena Badger por ambos lados, transformando así el refuerzo en un elemento rugoso e inextensible. Los ensayos de arranque fueron realizados a una densidad relativa entre 85% y 95%, a una tasa de desplazamiento horizontal de 0.5 mm/min. Los resultados del ensayo de arranque realizado a una tensión vertical de 8 kpa a nivel de la interfaz (Figura 7) muestran que la resistencia al arranque del refuerzo aumenta hasta alcanzar un valor peak de aproximadamente 12.8 kn/m a un desplazamiento de 4 mm para luego disminuir a un valor residual de 10.5 kn/m a grandes desplazamientos (40 mm) m 13 elementos 0.6 m 6 elementos Figura 6: Modelo numérico y dimensiones de la caja de arranque Desplazamiento (mm) Ensayo laboratorio Norsand plane strain Norsand corte directo Mohr Coulomb plane strain Figura 7: Resultados ensayo de arranque y modelación numérica a 8 kpa

8 Las simulaciones numéricas fueron realizadas utilizando el programa FLAC6.0 (Itasca, 2008). La caja de arranque fue modelada utilizando una malla de 13 elementos de largo por 6 elementos de alto (ver Figura 6). Datos reportados por Raju (1995) muestran que el desplazamiento de ambos extremos de la lámina de aluminio son iguales, lo que implica un comportamiento inextensible. Dado esto, y considerando una interfaz arena-arena, el refuerzo fue simulado tirando todos los nodos centrales de la malla a la misma velocidad. Las condiciones de borde del modelo fueron escogidas de modo de representar de la mejor manera las condiciones del ensayo de laboratorio, es decir, las paredes frontal y trasera están fijadas en la dirección horizontal, la pared inferior se encuentra fija en ambas direcciones y en el límite superior se aplica el esfuerzo vertical. Los parámetros utilizados en la simulación para Mohr-Coulomb y Norsand son los obtenidos de la calibración con los ensayos triaxiales y descritos en la Tabla 2. Ensayos de corte directo a 8 kpa también fueron realizados en la arena Badger obteniéndose un ángulo de estado crítico de cv,ds = 28.2º. De los resultados de ensayos de corte directo y un análisis teórico, Jewell y Wroth (1978) postularon que el ángulo de fricción obtenido de ensayos de corte directo subestiman la resistencia movilizada de una arena en un 20%. Boyle (1995) propone que propiedades de deformación plana deben ser usadas en el diseño de muros reforzados con geosintéticos. Además, ángulos de fricción obtenidos de ensayos de corte directo y ensayos triaxiales, Bathurst et al. (2002), sugieren a través de back-analysis de varios muros reforzados con geosintéticos que los diseños son muy conservadores. Un estudio realizado por el autor (pero aún no publicado) muestra que condiciones de deformación plana se desarrollan en la caja de arranque, utilizando el modelo constitutivo Mohr Coulomb y la relación propuesta por Rowe (1969) dada por la ecuación 1 para obtener un ángulo crítico en deformación plana de cv,ps = 32.3º a 8 kpa. sin cv,ps = tan cv,ds ec. 1 El resultado de las simulaciones se muestran en la Figura 6. Como era esperado, Mohr-Coulomb no es capaz de predecir el valor peak que se observa en los ensayos de laboratorio pero sí se obtiene el valor residual, a diferencia de Norsand que es capaz de obtener un valor peak y uno residual. Los resultados obtenidos por Norsand utilizando el ángulo de estado crítico en corte directo subestima tanto la resistencia peak como la resistencia residual en un 12.4% aproximadamente. Sin embargo, cuando se utiliza el ángulo de fricción en plane strain, Norsand predice tanto la resistencia peak como la residual. CONCLUSIONES: El objetivo de este estudio era de determinar si es posible obtener la respuesta completa de un ensayo de arranque que muestra un valor peak y un valor residual de un refuerzo inextensible y rugoso usando un modelo constitutivo que no requiera calibración con otros ensayos de arranque y que tenga parámetros con significado geotécnico. Los resultados de la modelación numérica muestran que: 1. Mohr-Coulomb es capaz de obtener sólo el valor de la resistencia de arranque a grandes desplazamientos. 2. NorSand es capaz de obtener no solo los valores de la resistencia al arranque a grandes desplazamientos, sino que también el valor peak y la tasa de decaimiento de la resistencia 3. Los valores obtenidos con Norsand utilizando el ángulo de fricción obtenido en corte directo subestima la resistencia al arranque en un 12.4%. 4. Los valores obtenidos con Norsand utilizando el ángulo de fricción en condiciones de plane strain coinciden con los resultados obtenidos en los ensayos de laboratorio confirmando asi la condición de plane strain en un ensayo de arranque.

9 AGRADECIMIENTOS: El autor quisiera expresar sus agradecimientos a Itasca S.A. Chile por facilitar una llave de FLAC6.0 y a la Universidad Diego Portales por su financiamiento. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: Abramento, M., and Whittle, A.J., (1995) Analysis of pullout tests for planar reinforcements in soil, Journal of Geotechnical Engineering, 121 (6), Aggarwal, P., Gupta, K.K., and Sharma, K.G., (2008) Modelling of pull-out behaviour of geogrid embedded in sand, International Journal of Modelling and Simulation, 28 (3), ASTM (2006a). (2006) Standard test methods for maximum index density and unit weight of soils using a vibratory table, ASTM D West Conshohocken, PA: ASTM International. ASTM (2006b). (2006) Standard test method for minimum index density and unit weight of soils and calculation of relative density, D West Conshohocken, PA: ASTM International. Bathurst, R. J., Allen, T. M. and Walters, D. L. (2002) Short-term strain and deformation behavior of geosynthetic walls at working stress conditions. Geosynthetics International, 9, (5-6), Bergado, D.T., and Chai J.C., (1994) Pullout Force-Displacement Relationship of Extensible Grid Reinforcements, Geotextiles and Geomembranes, 13 (5), Bishop, A. W. (1966) Strength of soils as engineering materials. Geotechnique, 16 (2), Boyle, S. R. (1995) Deformation prediction of geosynthetic reinforced soil retaining walls. Ph.D. thesis, University of Washington, Seattle, WA. Chan, D.H., Yi, C.T., and Scott, J.D., (1993) An Interpretation of the Pullout Test, Proceedings of the 93 Geosynthetics Conference, Vancouver, Canada, Industrial Fabrics Association International, 2, Fannin, R., J., and Raju, D. M., (1993) Large-Scale Pull-Out Test Results on Geosynthetics. Geosynthetics 93. Vancouver, Canada Farrag, K., Acar, Y.B., and Juran, I.,(1993) Pullout Resistance of Geogrid Reinforcement, Geotextiles and Geomembranes, 12 (2). Gurung, N., Iwao, Y. and Madhav, M.R., (1999) Pullout Test Model for Extensible Reinforcement, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 23, Gurung, N., and Iwao, Y.,(1999) Numerical Simulation of Pullout Response for Planar Soil Reinforcements, Canadian Geotechnical Journal, 36, Huang, B., Bathurst, R.J. and Hatami, K. (2009) Numerical Study of Reinforced Soil Segmental Walls Using Three Different Constitutive Soil Models, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 135 (10), October 1.

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